1
00:00:00,282 --> 00:00:02,100
Spróbuj przeprowadzić kiedyś

2
00:00:02,140 --> 00:00:03,912
następujący eksperyment.

3
00:00:04,388 --> 00:00:06,311
Weź latarkę i stań

4
00:00:06,341 --> 00:00:08,248
w kompletnie ciemnym pokoju.

5
00:00:08,710 --> 00:00:10,411
Następnie włącz latarkę

6
00:00:10,441 --> 00:00:12,318
i poświęć przed siebie.

7
00:00:12,394 --> 00:00:14,699
Strumień światła wychodzący z latarki

8
00:00:14,729 --> 00:00:16,660
układa się w pewien kształt.

9
00:00:16,660 --> 00:00:18,066
Jak go nazywamy?

10
00:00:18,152 --> 00:00:20,378
Tego dowiesz się z tego filmu.

11
00:00:33,346 --> 00:00:35,441
Wiesz już, że bryły obrotowe

12
00:00:35,441 --> 00:00:36,988
powstają poprzez obrót

13
00:00:36,988 --> 00:00:38,606
pewnej figury płaskiej.

14
00:00:39,470 --> 00:00:41,395
Co otrzymamy, jeżeli obrócimy

15
00:00:41,395 --> 00:00:43,016
trójkąt równoramienny

16
00:00:43,816 --> 00:00:45,751
na przykład wokół osi obrotu

17
00:00:45,751 --> 00:00:48,128
która pokrywa się z jego wysokością?

18
00:00:48,480 --> 00:00:49,760
Przekonajmy się.

19
00:00:53,038 --> 00:00:56,366
Otrzymaną bryłę nazywamy stożkiem.

20
00:00:57,746 --> 00:01:00,007
Nasz stożek powstał poprzez obrót

21
00:01:00,017 --> 00:01:03,736
trójkąta równoramiennego wokół osi obrotu

22
00:01:03,756 --> 00:01:06,020
pokrywającej się z jego wysokością.

23
00:01:06,080 --> 00:01:07,539
Podobnie jak w walcu

24
00:01:07,539 --> 00:01:09,144
możemy wyróżnić tutaj

25
00:01:09,144 --> 00:01:11,685
kilka charakterystycznych odcinków.

26
00:01:11,745 --> 00:01:13,886
Na początku wysokość stożka.

27
00:01:14,512 --> 00:01:16,200
Zobacz, że wysokość stożka

28
00:01:16,220 --> 00:01:18,102
pokrywa się z osią obrotu.

29
00:01:18,668 --> 00:01:20,241
Jest ona jednocześnie równa

30
00:01:20,271 --> 00:01:22,904
wysokości trójkąta równoramiennego

31
00:01:23,040 --> 00:01:25,476
który obracaliśmy na samym początku.

32
00:01:25,586 --> 00:01:27,960
Jaka figura jest podstawą stożka?

33
00:01:29,340 --> 00:01:30,876
To oczywiście koło.

34
00:01:31,448 --> 00:01:33,276
A każde koło ma swój promień.

35
00:01:33,276 --> 00:01:36,059
Ten odcinek nazywamy promieniem stożka.

36
00:01:36,169 --> 00:01:39,264
Na rysunku dobrze widać, że promień stożka

37
00:01:39,560 --> 00:01:41,448
jest równy połowie podstawy

38
00:01:41,488 --> 00:01:43,416
trójkąta równoramiennego.

39
00:01:44,268 --> 00:01:47,220
W stożku oprócz promienia i wysokości

40
00:01:47,526 --> 00:01:49,123
wyróżniamy jeszcze jeden

41
00:01:49,123 --> 00:01:51,044
charakterystyczny odcinek.

42
00:01:51,120 --> 00:01:53,017
Połączmy wierzchołek stożka

43
00:01:53,017 --> 00:01:54,704
to ten punkt na szczycie

44
00:01:54,780 --> 00:01:57,218
z dowolnym punktem przy podstawie.

45
00:01:57,394 --> 00:01:58,759
Na przykład tym.

46
00:01:58,759 --> 00:02:01,056
Odcinek, który otrzymaliśmy

47
00:02:01,056 --> 00:02:03,305
nazywamy tworzącą stożka

48
00:02:03,525 --> 00:02:05,366
i oznaczamy małą literą l.

49
00:02:06,048 --> 00:02:07,444
Czym jest tworząca

50
00:02:07,444 --> 00:02:09,204
w trójkącie równoramiennym?

51
00:02:10,646 --> 00:02:12,694
To ramię obracanego trójkąta.

52
00:02:14,762 --> 00:02:17,578
Czy są inne sposoby na otrzymanie stożków?

53
00:02:18,316 --> 00:02:19,644
Sprawdźmy.

54
00:02:24,174 --> 00:02:26,160
Na ekranie widzisz teraz

55
00:02:26,160 --> 00:02:28,968
dwa identyczne trójkąty prostokątne.

56
00:02:29,826 --> 00:02:31,874
Jeden zaznaczyłem na fioletowo

57
00:02:31,920 --> 00:02:33,200
a drugi na zielono.

58
00:02:33,686 --> 00:02:35,222
Podobnie jak poprzednio

59
00:02:35,268 --> 00:02:37,572
obróćmy je wokół ich wysokości.

60
00:02:38,018 --> 00:02:39,330
Powinieneś wiedzieć

61
00:02:39,330 --> 00:02:41,003
że w trójkątach prostokątnych

62
00:02:41,263 --> 00:02:43,570
dwie wysokości pokrywają się

63
00:02:43,570 --> 00:02:44,790
z przyprostokątnymi.

64
00:02:47,500 --> 00:02:48,755
Fioletowy trójkąt

65
00:02:48,775 --> 00:02:51,430
obrócimy wokół tej przyprostokątnej.

66
00:02:51,506 --> 00:02:53,298
Natomiast zielony trójkąt

67
00:02:53,314 --> 00:02:55,346
wokół tej przyprostokątnej.

68
00:02:56,058 --> 00:02:58,184
Zobaczmy, co otrzymamy.

69
00:03:00,762 --> 00:03:03,356
Spróbujmy teraz porównać te dwa stożki.

70
00:03:03,412 --> 00:03:04,645
Aby było nam prościej

71
00:03:04,645 --> 00:03:06,982
obróćmy ten zielony stożek w lewo

72
00:03:06,982 --> 00:03:09,570
tak, aby leżał na swojej podstawie.

73
00:03:10,872 --> 00:03:11,732
Zobacz.

74
00:03:11,832 --> 00:03:14,546
Obracaliśmy ten sam trójkąt prostokątny

75
00:03:14,732 --> 00:03:16,780
ale wokół różnych odcinków.

76
00:03:17,658 --> 00:03:20,149
W rezultacie otrzymaliśmy dwa

77
00:03:20,149 --> 00:03:22,552
różniące się od siebie stożki.

78
00:03:23,054 --> 00:03:25,614
Porównajmy ich wysokości i promienie.

79
00:03:26,392 --> 00:03:29,224
Wysokość pierwszego stożka to ten odcinek

80
00:03:29,224 --> 00:03:32,792
natomiast jego promień to ten odcinek.

81
00:03:33,706 --> 00:03:36,806
A teraz zatrzymaj film i samodzielnie

82
00:03:36,896 --> 00:03:39,166
znajdź wysokość oraz promień

83
00:03:39,226 --> 00:03:40,928
tego zielonego stożka.

84
00:03:41,812 --> 00:03:43,728
Następnie włącz film ponownie

85
00:03:43,728 --> 00:03:45,908
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

86
00:03:49,266 --> 00:03:51,095
Wysokość zielonego stożka

87
00:03:51,095 --> 00:03:52,119
to ten odcinek

88
00:03:52,139 --> 00:03:54,024
natomiast jego promień

89
00:03:54,024 --> 00:03:55,310
to ten odcinek.

90
00:03:55,646 --> 00:03:58,064
Co możemy zauważyć ciekawego?

91
00:03:58,894 --> 00:04:01,198
Że wysokość fioletowego stożka

92
00:04:01,224 --> 00:04:04,296
jest równa promieniowi zielonego stożka.

93
00:04:05,550 --> 00:04:08,321
Tak samo wysokość zielonego stożka

94
00:04:08,321 --> 00:04:12,362
jest równa promieniowi fioletowego stożka.

95
00:04:13,270 --> 00:04:15,574
Ale jest tutaj o wiele ciekawszy fakt.

96
00:04:16,322 --> 00:04:18,397
Czym są te poszczególne odcinki

97
00:04:18,417 --> 00:04:20,693
w naszych trójkątach prostokątnych?

98
00:04:23,931 --> 00:04:25,467
To przyprostokątne.

99
00:04:28,775 --> 00:04:30,567
A co z przeciwprostokątną?

100
00:04:31,887 --> 00:04:34,727
Przeciwprostokątna w obu tych przypadkach

101
00:04:34,793 --> 00:04:36,611
jest tworzącą stożka

102
00:04:36,611 --> 00:04:38,369
ponieważ w obu tych trójkątach

103
00:04:38,719 --> 00:04:40,877
przyprostokątne są takie same.

104
00:04:41,459 --> 00:04:44,472
W takim razie te przeciwprostokątne

105
00:04:44,492 --> 00:04:45,831
będą sobie równe.

106
00:04:46,313 --> 00:04:48,617
Czyli tworząca fioletowego stożka

107
00:04:48,623 --> 00:04:51,092
i tworząca zielonego stożka

108
00:04:51,092 --> 00:04:52,463
są sobie równe.

109
00:04:53,737 --> 00:04:57,373
Wysokość, promień oraz tworząca

110
00:04:57,373 --> 00:04:58,868
w każdym stożku

111
00:04:58,868 --> 00:05:01,055
tworzą trójkąt prostokątny.

112
00:05:01,879 --> 00:05:04,499
A to oznacza, że możemy zapisać

113
00:05:04,499 --> 00:05:05,989
 zależność pomiędzy nimi

114
00:05:05,989 --> 00:05:08,659
wykorzystując twierdzenie Pitagorasa

115
00:05:08,659 --> 00:05:10,090
czyli uzyskujemy

116
00:05:10,090 --> 00:05:13,937
że r kwadrat dodać H kwadrat to l kwadrat.

117
00:05:18,419 --> 00:05:20,703
Znamy już charakterystyczne odcinki

118
00:05:20,743 --> 00:05:21,791
w stożku.

119
00:05:22,801 --> 00:05:25,617
Spróbujmy teraz wyznaczyć jego objętość.

120
00:05:26,927 --> 00:05:28,967
Stożek jest szczególnym

121
00:05:28,997 --> 00:05:31,402
przypadkiem ostrosłupa

122
00:05:32,842 --> 00:05:35,339
który ma w swojej podstawie koło.

123
00:05:36,675 --> 00:05:38,144
Pamiętasz jaki jest wzór

124
00:05:38,164 --> 00:05:39,967
na objętość ostrosłupa?

125
00:05:41,353 --> 00:05:43,975
To 1/3 razy pole podstawy

126
00:05:43,995 --> 00:05:45,374
razy wysokość.

127
00:05:45,374 --> 00:05:47,787
Wysokość oznaczyliśmy jako H.

128
00:05:47,859 --> 00:05:49,907
Ile wynosi pole podstawy stożka?

129
00:05:50,559 --> 00:05:52,863
Ponieważ podstawą stożka jest koło

130
00:05:52,919 --> 00:05:55,042
pole tej podstawy policzymy ze wzoru

131
00:05:55,042 --> 00:05:57,391
na pole koła, czyli pi r kwadrat.

132
00:05:57,501 --> 00:05:59,513
Podstawiając pi r kwadrat do wzoru

133
00:05:59,513 --> 00:06:01,360
otrzymujemy, że objętość stożka

134
00:06:01,360 --> 00:06:04,795
to 1/3pi razy r kwadrat razy H.

135
00:06:05,563 --> 00:06:07,191
Pamiętaj, że objętość brył

136
00:06:07,241 --> 00:06:09,123
oznaczamy wielką literą V.

137
00:06:10,793 --> 00:06:12,329
Zapamiętaj ten wzór.

138
00:06:13,077 --> 00:06:15,439
Przyda nam się w kolejnych zadaniach.

139
00:06:19,161 --> 00:06:20,769
Na ekranie masz narysowany

140
00:06:20,769 --> 00:06:22,645
walec oraz stożek.

141
00:06:23,829 --> 00:06:26,901
Te dwie bryły mają taki sam promień.

142
00:06:27,403 --> 00:06:29,707
r równy 3 centymetrom.

143
00:06:30,465 --> 00:06:33,281
Jednocześnie mają też taką samą wysokość H

144
00:06:33,607 --> 00:06:35,399
równą 6 centymetrom.

145
00:06:36,097 --> 00:06:37,633
Policzmy ich objętość.

146
00:06:38,205 --> 00:06:40,765
Pamiętasz jaki był wzór na objętość walca?

147
00:06:42,833 --> 00:06:44,881
To pi r kwadrat razy H.

148
00:06:45,609 --> 00:06:47,401
A wzór na objętość stożka?

149
00:06:48,445 --> 00:06:50,140
Mówiliśmy o nim przed chwilą.

150
00:06:50,140 --> 00:06:52,175
To 1/3pi r kwadrat razy H.

151
00:06:52,235 --> 00:06:54,719
Najpierw zajmijmy się objętością walca.

152
00:06:55,297 --> 00:06:58,113
W miejsce r podstawiam 3 centymetry

153
00:06:58,565 --> 00:07:01,082
a w miejsce H 6 centymetrów.

154
00:07:01,172 --> 00:07:02,505
Objętość tego walca

155
00:07:02,505 --> 00:07:05,009
to pi razy 3 do kwadratu razy 6.

156
00:07:05,055 --> 00:07:06,847
3 do kwadratu to 9

157
00:07:06,903 --> 00:07:09,207
a 9 razy 6 to 54

158
00:07:09,969 --> 00:07:11,435
Ostatecznie otrzymujemy

159
00:07:11,435 --> 00:07:13,160
że objętość tego walca

160
00:07:13,160 --> 00:07:15,983
to pi razy 54 centymetry sześcienne.

161
00:07:16,871 --> 00:07:18,753
A teraz zatrzymaj film i spróbuj

162
00:07:18,753 --> 00:07:21,247
samodzielnie wyznaczyć objętość stożka.

163
00:07:21,339 --> 00:07:23,967
Potem porównaj swoją odpowiedź z moją.

164
00:07:26,915 --> 00:07:28,707
Postępujemy analogicznie.

165
00:07:28,773 --> 00:07:31,077
W miejsce r podstawiamy 3.

166
00:07:31,413 --> 00:07:33,973
A w miejsce H podstawiamy 6.

167
00:07:35,223 --> 00:07:36,317
Liczymy dalej.

168
00:07:36,337 --> 00:07:37,771
3 do kwadratu to 9

169
00:07:37,801 --> 00:07:39,641
1/3 razy 9 to 3

170
00:07:40,815 --> 00:07:43,064
a 3 razy 6 to 18.

171
00:07:43,064 --> 00:07:44,409
Objętość tego stożka

172
00:07:44,409 --> 00:07:47,049
to pi razy 18 centymetrów sześciennych.

173
00:07:47,225 --> 00:07:49,803
Być może zauważyłeś pewne podobieństwo

174
00:07:49,803 --> 00:07:51,479
w tych dwóch wzorach.

175
00:07:51,647 --> 00:07:54,207
Widzimy, że objętość walca jest większa.

176
00:07:54,945 --> 00:07:56,146
Ile razy większa?

177
00:07:56,206 --> 00:07:57,689
Sprawdź to sam.

178
00:08:01,089 --> 00:08:02,428
Dzielimy objętość walca

179
00:08:02,428 --> 00:08:04,235
przez objętość stożka.

180
00:08:04,919 --> 00:08:06,455
pi nam się skróci.

181
00:08:06,987 --> 00:08:09,035
Tak samo centymetry sześcienne.

182
00:08:09,457 --> 00:08:12,273
A 54 przez 18, to 3.

183
00:08:13,171 --> 00:08:15,093
Widzimy, że objętość walca

184
00:08:15,129 --> 00:08:18,713
jest 3 razy większa od objętości stożka.

185
00:08:19,215 --> 00:08:21,261
Ale o czym musimy pamiętać?

186
00:08:22,447 --> 00:08:24,092
Tak się dzieje tylko wtedy

187
00:08:24,102 --> 00:08:27,188
kiedy obie te bryły mają taki sam promień

188
00:08:27,248 --> 00:08:29,191
i taką samą wysokość.

189
00:08:30,253 --> 00:08:31,730
Mówiąc obrazowo

190
00:08:31,730 --> 00:08:32,813
w tym walcu

191
00:08:32,849 --> 00:08:35,409
zmieściłyby się 3 takie stożki.

192
00:08:36,181 --> 00:08:38,263
Można to przedstawić graficznie.

193
00:08:38,535 --> 00:08:39,303
Zobacz.

194
00:08:40,021 --> 00:08:42,795
3 stożki o takich samych wysokościach

195
00:08:42,805 --> 00:08:44,363
i takich samych promieniach

196
00:08:44,389 --> 00:08:46,709
mieszczą się w jednym walcu

197
00:08:46,709 --> 00:08:48,737
który ma taką samą wysokość

198
00:08:48,737 --> 00:08:50,672
jak każdy z tych trzech stożków

199
00:08:50,672 --> 00:08:53,093
oraz taki sam promień.

200
00:08:57,359 --> 00:08:59,087
Istnieje jeszcze jeden sposób

201
00:08:59,087 --> 00:09:00,621
na tworzenie stożków.

202
00:09:01,741 --> 00:09:04,045
Mamy tutaj pewien żółty odcinek.

203
00:09:05,325 --> 00:09:08,653
Obrócimy go teraz wokół pewnej prostej.

204
00:09:09,215 --> 00:09:10,495
Patrz uważnie.

205
00:09:15,861 --> 00:09:17,141
Co otrzymaliśmy?

206
00:09:18,431 --> 00:09:19,967
Wygląda to jak stożek.

207
00:09:21,237 --> 00:09:23,711
Jednak tym razem jest pusty w środku.

208
00:09:24,801 --> 00:09:27,465
Może Ci to przypominać wafelek do lodów.

209
00:09:28,641 --> 00:09:30,786
Po takiej ilości przyswojonej wiedzy

210
00:09:30,786 --> 00:09:32,683
przyda nam się jakaś nagroda.

211
00:09:32,753 --> 00:09:34,659
Lody będą do tego idealne.

212
00:09:41,235 --> 00:09:42,898
Każdy stożek ma trzy

213
00:09:42,908 --> 00:09:44,899
charakterystyczne odcinki.

214
00:09:45,291 --> 00:09:48,107
Wysokość oznaczoną dużą literą H

215
00:09:48,649 --> 00:09:50,953
promień oznaczony małą literą r

216
00:09:51,239 --> 00:09:54,567
i tworzącą oznaczoną małą literą l.

217
00:09:55,215 --> 00:09:57,251
Te trzy odcinki zawsze tworzą

218
00:09:57,251 --> 00:09:58,524
trójkąt prostokątny

219
00:09:58,524 --> 00:10:00,647
więc ich długości możesz obliczać

220
00:10:00,647 --> 00:10:02,513
z twierdzenia Pitagorasa.

221
00:10:03,251 --> 00:10:05,984
Objętość stożka, jak każdego ostrosłupa

222
00:10:06,024 --> 00:10:08,218
obliczamy mnożąc pole podstawy

223
00:10:08,218 --> 00:10:11,057
przez wysokość i dzieląc wynik przez 3.

224
00:10:15,579 --> 00:10:16,953
Właśnie zobaczyłeś film

225
00:10:16,973 --> 00:10:18,637
z playlisty o stożkach.

226
00:10:19,309 --> 00:10:20,796
Zachęcam Cię do zobaczenia

227
00:10:20,796 --> 00:10:22,790
innych filmów z tej playlisty

228
00:10:22,790 --> 00:10:24,513
a także do odwiedzenia

229
00:10:24,513 --> 00:10:27,933
naszej strony internetowej pi-stacja.tv