1
00:00:00,016 --> 00:00:01,599
Kiedy samolot odrzutowy

2
00:00:01,599 --> 00:00:03,363
przekracza prędkość dźwięku

3
00:00:03,363 --> 00:00:04,965
zachodzą bardzo ciekawe

4
00:00:04,965 --> 00:00:06,320
zjawiska fizyczne.

5
00:00:06,346 --> 00:00:07,148
Po pierwsze

6
00:00:07,148 --> 00:00:10,095
słychać gwałtowny huk fali uderzeniowej

7
00:00:10,095 --> 00:00:12,420
a po drugie na ułamki sekund

8
00:00:12,420 --> 00:00:14,175
wokół samolotu pojawia się

9
00:00:14,175 --> 00:00:16,640
obłok pary wodnej w kształcie stożka.

10
00:00:16,706 --> 00:00:19,160
Jest to tak zwany stożek Macha.

11
00:00:31,308 --> 00:00:33,725
Stożki możesz znaleźć nie tylko na niebie

12
00:00:33,725 --> 00:00:36,000
ale również na przyjęciu urodzinowym.

13
00:00:36,212 --> 00:00:37,428
Popularne czapeczki

14
00:00:37,428 --> 00:00:39,207
dla uczestników takich przyjęć

15
00:00:39,207 --> 00:00:40,970
często mają kształt stożka.

16
00:00:40,970 --> 00:00:43,116
Czy pamiętasz jakie charakterystyczne

17
00:00:43,116 --> 00:00:45,298
odcinki możemy wyznaczyć w stożku?

18
00:00:47,702 --> 00:00:50,262
To wysokość, promień i tworząca.

19
00:00:50,864 --> 00:00:52,549
Wysokość stożka jest tutaj

20
00:00:52,549 --> 00:00:55,298
jego promień tutaj, a tworząca tutaj.

21
00:00:55,298 --> 00:00:56,875
Jeśli tego nie pamiętałeś

22
00:00:56,875 --> 00:00:58,446
albo jest to Twoja pierwsza

23
00:00:58,446 --> 00:00:59,681
styczność ze stożkami

24
00:00:59,681 --> 00:01:01,086
to zachęcam Cię najpierw

25
00:01:01,086 --> 00:01:03,030
do zobaczenia odpowiedniego filmu.

26
00:01:03,278 --> 00:01:05,883
Wyobraź sobie, że teraz rozcinamy

27
00:01:05,893 --> 00:01:09,153
tę czapeczkę wzdłuż tworzącej i rozkładamy

28
00:01:09,153 --> 00:01:11,363
to, co otrzymaliśmy na płaskiej powierzchni

29
00:01:11,363 --> 00:01:12,928
na przykład na stole.

30
00:01:13,066 --> 00:01:14,826
Ciekawe, co otrzymamy.

31
00:01:17,142 --> 00:01:18,934
Otrzymalibyśmy taką figurę.

32
00:01:20,214 --> 00:01:22,054
Jak myślisz, co to jest?

33
00:01:23,798 --> 00:01:25,691
Matematycy określają taką figurę

34
00:01:25,711 --> 00:01:29,256
jako wycinek koła, czyli mówiąc wprost

35
00:01:29,286 --> 00:01:31,296
jest to fragment pewnego koła.

36
00:01:31,312 --> 00:01:32,632
Dorysujmy to koło.

37
00:01:32,672 --> 00:01:35,062
Teraz dokładnie widać, że nasz wycinek

38
00:01:35,098 --> 00:01:37,658
jest fragmentem pewnego większego koła.

39
00:01:38,360 --> 00:01:40,408
Czym jest ten wycinek dla stożka?

40
00:01:41,648 --> 00:01:44,208
To jest jego powierzchnia boczna.

41
00:01:45,046 --> 00:01:47,571
W matematyce bardzo często potrzebujemy

42
00:01:47,591 --> 00:01:49,660
informacji o tym, jakie jest pole

43
00:01:49,670 --> 00:01:51,500
powierzchni bocznej stożka.

44
00:01:51,500 --> 00:01:53,250
Zresztą nie tylko w matematyce

45
00:01:53,250 --> 00:01:54,399
ale również w życiu

46
00:01:54,399 --> 00:01:55,716
znając pole powierzchni

47
00:01:55,716 --> 00:01:56,927
czapeczki urodzinowej

48
00:01:56,927 --> 00:01:58,279
wiemy ile papieru

49
00:01:58,279 --> 00:02:00,184
należy zużyć, aby ją złożyć.

50
00:02:00,406 --> 00:02:02,454
Pytanie tylko, jak ją wyznaczać.

51
00:02:02,966 --> 00:02:05,526
Ale spokojnie, zaraz do tego dojdziemy.

52
00:02:05,832 --> 00:02:07,114
Zastanów się i powiedz

53
00:02:07,114 --> 00:02:09,061
gdzie tutaj można znaleźć

54
00:02:09,061 --> 00:02:10,968
naszą tworzącą stożka l?

55
00:02:12,408 --> 00:02:14,456
To promień tego dużego koła.

56
00:02:14,652 --> 00:02:16,292
Tworząca jest tutaj.

57
00:02:16,514 --> 00:02:18,332
To skoro znaleźliśmy tworzącą

58
00:02:18,332 --> 00:02:19,949
to może uda nam się znaleźć

59
00:02:19,949 --> 00:02:21,741
inne charakterystyczne odcinki

60
00:02:21,741 --> 00:02:23,088
na przykład wysokość.

61
00:02:23,088 --> 00:02:24,004
Jak sądzisz?

62
00:02:25,514 --> 00:02:28,061
Wysokości nie znajdziemy na tym wycinku

63
00:02:28,061 --> 00:02:29,398
ani w tym kole.

64
00:02:29,610 --> 00:02:30,634
A promień?

65
00:02:31,518 --> 00:02:32,579
Promienia również

66
00:02:32,579 --> 00:02:34,082
nie ma tutaj bezpośrednio.

67
00:02:34,168 --> 00:02:36,478
Ale zauważ jedną ciekawą rzecz.

68
00:02:36,488 --> 00:02:38,800
Jeśli rozłożysz czapeczkę na stole

69
00:02:40,026 --> 00:02:42,074
to obwód podstawy stożka

70
00:02:42,676 --> 00:02:44,980
stanie się długością tego wycinka.

71
00:02:45,668 --> 00:02:48,714
Obwód podstawy stożka to 2pi r.

72
00:02:48,714 --> 00:02:49,740
W takim razie

73
00:02:49,740 --> 00:02:52,596
długość tego wycinka to 2pi r.

74
00:02:52,646 --> 00:02:54,206
To teraz zastanówmy się

75
00:02:54,206 --> 00:02:56,207
w jaki sposób możemy wyznaczyć

76
00:02:56,207 --> 00:02:57,408
pole tego wycinka.

77
00:02:58,096 --> 00:02:59,632
Pamiętasz na to wzór?

78
00:03:00,576 --> 00:03:02,229
No właśnie, ja również nie.

79
00:03:02,229 --> 00:03:04,583
Ale możemy tutaj skorzystać z proporcji.

80
00:03:04,683 --> 00:03:08,994
Pole tego wycinka do pola całego koła

81
00:03:09,812 --> 00:03:12,334
to tyle samo, ile długość łuku

82
00:03:12,334 --> 00:03:16,398
tego wycinka do obwodu całego koła.

83
00:03:17,688 --> 00:03:19,480
Ile wynosi pole tego koła?

84
00:03:20,760 --> 00:03:21,784
Jak sądzisz?

85
00:03:22,838 --> 00:03:24,506
Zauważ, że promień tego koła

86
00:03:24,506 --> 00:03:26,482
to tworząca stożka, czyli l.

87
00:03:27,030 --> 00:03:27,789
W takim razie

88
00:03:27,789 --> 00:03:30,880
pole tego całego koła to pi l kwadrat.

89
00:03:31,818 --> 00:03:34,378
Długość łuku wycinka już znamy

90
00:03:34,378 --> 00:03:35,546
to 2pi r.

91
00:03:35,914 --> 00:03:38,474
A ile wynosi obwód tego całego koła?

92
00:03:41,024 --> 00:03:42,816
To oczywiście 2pi l.

93
00:03:43,012 --> 00:03:44,909
Postawmy te wszystkie wielkości

94
00:03:44,909 --> 00:03:47,136
do naszego wzoru i spróbujmy wyliczyć

95
00:03:47,196 --> 00:03:48,738
pole wycinka koła.

96
00:03:49,708 --> 00:03:52,156
Powinniśmy otrzymać coś takiego.

97
00:03:52,258 --> 00:03:54,284
Uprośćmy to wyrażenie.

98
00:03:54,758 --> 00:03:56,550
Tutaj skróci się 2pi.

99
00:03:57,674 --> 00:04:00,182
Aby pozbyć się tego wyrażenia z mianownika

100
00:04:00,182 --> 00:04:02,538
mnożę obustronnie przez pi l kwadrat.

101
00:04:02,744 --> 00:04:04,792
Otrzymujemy z kolei coś takiego.

102
00:04:05,078 --> 00:04:06,870
Tutaj skróci się l.

103
00:04:07,894 --> 00:04:09,338
Ostatecznie otrzymujemy

104
00:04:09,338 --> 00:04:13,386
 że pole wycinka koła to pi razy r razy l.

105
00:04:14,550 --> 00:04:16,688
Jeżeli gdzieś po drodze się zgubiłeś

106
00:04:16,688 --> 00:04:18,457
to nie bój się cofnąć filmu

107
00:04:18,457 --> 00:04:21,203
i prześledzić tych obliczeń jeszcze raz.

108
00:04:21,667 --> 00:04:22,660
Gratulacje.

109
00:04:22,710 --> 00:04:24,647
Właśnie otrzymaliśmy wzór

110
00:04:24,647 --> 00:04:27,319
na pole powierzchni bocznej stożka.

111
00:04:27,871 --> 00:04:30,431
Zapiszmy sobie ten wzór na górze planszy

112
00:04:30,537 --> 00:04:32,329
i zróbmy więcej miejsca.

113
00:04:33,001 --> 00:04:34,541
W matematyce oprócz pola

114
00:04:34,541 --> 00:04:35,987
powierzchni bocznej

115
00:04:35,987 --> 00:04:37,410
możemy również wyznaczyć

116
00:04:37,410 --> 00:04:39,159
pole powierzchni całkowitej.

117
00:04:39,387 --> 00:04:41,845
Podobnie, jak to było w przypadku walców

118
00:04:41,845 --> 00:04:43,528
pole powierzchni całkowitej

119
00:04:43,528 --> 00:04:45,670
to pole powierzchni bocznej

120
00:04:47,160 --> 00:04:48,621
oraz pole podstawy.

121
00:04:49,149 --> 00:04:51,341
Jakie jest pole podstawy stożka?

122
00:04:52,181 --> 00:04:54,755
Podstawą stożka jest koło o promieniu r

123
00:04:54,775 --> 00:04:56,765
a pole koła to pi r kwadrat.

124
00:04:57,537 --> 00:04:59,937
W takim razie pole powierzchni całkowitej

125
00:04:59,937 --> 00:05:02,226
będzie równe pi razy r razy l

126
00:05:02,226 --> 00:05:04,445
czyli pole powierzchni bocznej

127
00:05:04,445 --> 00:05:05,850
dodać pi r kwadrat.

128
00:05:05,880 --> 00:05:08,444
Znając pole powierzchni całkowitej stożka

129
00:05:08,444 --> 00:05:10,053
możemy utworzyć jego siatkę.

130
00:05:10,083 --> 00:05:12,013
Wystarczy do wycinka naszego koła

131
00:05:12,023 --> 00:05:14,593
dostawić podstawy naszego stożka.

132
00:05:21,445 --> 00:05:23,237
Mamy teraz takie zadanie.

133
00:05:23,659 --> 00:05:25,811
Trójkąt równoramienny o podstawie

134
00:05:25,811 --> 00:05:28,468
6 centymetrów i wysokości 4 centymetry

135
00:05:28,498 --> 00:05:30,587
obrócono wokół tej wysokości.

136
00:05:31,309 --> 00:05:33,365
Oblicz pole powierzchni całkowitej

137
00:05:33,365 --> 00:05:35,007
otrzymanego stożka.

138
00:05:35,415 --> 00:05:37,541
Co mamy zrobić w tym zadaniu?

139
00:05:37,729 --> 00:05:38,646
Wyznaczyć pole

140
00:05:38,646 --> 00:05:40,545
powierzchni całkowitej stożka.

141
00:05:41,383 --> 00:05:42,663
Jaki to stożek?

142
00:05:43,281 --> 00:05:45,730
To taki, który powstanie poprzez obrót

143
00:05:45,730 --> 00:05:47,545
trójkąta równoramiennego

144
00:05:47,575 --> 00:05:49,333
wokół jego wysokości.

145
00:05:50,253 --> 00:05:52,029
Narysujmy teraz ten trójkąt.

146
00:05:52,055 --> 00:05:53,479
Co o nim wiemy?

147
00:05:54,339 --> 00:05:57,013
Wiemy, że jego podstawa to 6 centymetrów

148
00:05:57,043 --> 00:05:59,319
a jego wysokość to 4 centymetry.

149
00:06:00,503 --> 00:06:02,725
Tak będzie wyglądał nasz rysunek.

150
00:06:03,871 --> 00:06:05,919
Teraz musimy otrzymać stożek.

151
00:06:06,245 --> 00:06:07,525
W jaki sposób?

152
00:06:08,303 --> 00:06:10,225
Masz to podane w treści zadania.

153
00:06:10,301 --> 00:06:12,861
Obracamy trójkąt wokół jego wysokości.

154
00:06:16,365 --> 00:06:17,901
Oto nasz stożek.

155
00:06:19,397 --> 00:06:21,149
Co musimy znać, aby wyznaczyć

156
00:06:21,149 --> 00:06:23,099
jego pole powierzchni całkowitej?

157
00:06:23,965 --> 00:06:26,041
Mówiliśmy o tym poprzednio.

158
00:06:26,153 --> 00:06:28,883
Musimy znać jego promień oraz tworzącą.

159
00:06:28,913 --> 00:06:30,257
Na pierwszy rzut oka

160
00:06:30,257 --> 00:06:32,867
nie znamy ani promienia ani tworzącej.

161
00:06:33,045 --> 00:06:34,339
Ale czy na pewno?

162
00:06:35,389 --> 00:06:37,897
Czym jest podstawa tego trójkąta?

163
00:06:39,405 --> 00:06:41,477
To średnica podstawy stożka.

164
00:06:41,749 --> 00:06:44,053
A średnica to 2 razy promień.

165
00:06:45,253 --> 00:06:46,491
W takim razie promień

166
00:06:46,491 --> 00:06:47,958
ma długość 3 centymetrów.

167
00:06:47,958 --> 00:06:49,904
No dobrze, to potrzebujemy jeszcze

168
00:06:49,904 --> 00:06:51,717
jedynie znać długość tworzącej.

169
00:06:51,957 --> 00:06:53,335
Zaznaczmy ją na rysunku.

170
00:06:53,335 --> 00:06:55,541
Jak myślisz, jak możemy to zrobić?

171
00:06:56,783 --> 00:07:00,832
Zauważ, że tutaj jest trójkąt prostokątny.

172
00:07:01,732 --> 00:07:04,019
W takim razie długość tworzącej

173
00:07:04,019 --> 00:07:05,061
możemy wyznaczyć

174
00:07:05,061 --> 00:07:07,277
korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

175
00:07:07,791 --> 00:07:09,616
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

176
00:07:09,616 --> 00:07:10,977
to zrobić samodzielnie.

177
00:07:10,977 --> 00:07:12,664
Następnie włącz film ponownie

178
00:07:12,664 --> 00:07:14,655
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

179
00:07:17,117 --> 00:07:18,970
Z twierdzenia Pitagorasa wynika

180
00:07:18,970 --> 00:07:21,684
że r kwadrat plus H kwadrat to l kwadrat.

181
00:07:21,724 --> 00:07:23,821
Podstawiam 3 centymetry w miejsce r

182
00:07:23,821 --> 00:07:25,617
i 4 centymetry w miejsce H.

183
00:07:25,617 --> 00:07:27,872
l kwadrat to 9 centymetrów kwadratowych

184
00:07:27,902 --> 00:07:29,874
plus 16 centymetrów kwadratowych

185
00:07:29,874 --> 00:07:31,971
czyli 25 centymetrów kwadratowych.

186
00:07:32,673 --> 00:07:33,913
Ile wynosi l?

187
00:07:33,993 --> 00:07:35,605
To pierwiastek z tej liczby

188
00:07:35,655 --> 00:07:37,197
czyli 5 centymetrów.

189
00:07:38,009 --> 00:07:38,954
Gratulacje.

190
00:07:38,974 --> 00:07:41,311
Wyznaczyliśmy już długość tworzącej.

191
00:07:41,739 --> 00:07:43,284
Czy mam już wszystkie dane

192
00:07:43,284 --> 00:07:44,607
potrzebne do obliczenia

193
00:07:44,607 --> 00:07:46,289
pola powierzchni całkowitej?

194
00:07:46,803 --> 00:07:47,571
Tak.

195
00:07:47,767 --> 00:07:49,469
W takim razie zatrzymaj film

196
00:07:49,469 --> 00:07:51,065
i oblicz ją samodzielnie.

197
00:07:54,609 --> 00:07:56,555
Podstawiam odpowiednie wielkości

198
00:07:56,555 --> 00:07:58,863
w miejsce r oraz l do wzoru.

199
00:07:58,883 --> 00:08:00,451
Pole powierzchni całkowitej

200
00:08:00,451 --> 00:08:02,927
to 15 centymetrów kwadratowych razy pi

201
00:08:02,947 --> 00:08:05,719
dodać 9 centymetrów kwadratowych razy pi.

202
00:08:05,739 --> 00:08:07,416
Dodajemy i otrzymujemy

203
00:08:07,416 --> 00:08:09,212
że pole powierzchni całkowitej

204
00:08:09,212 --> 00:08:11,961
to 24 centymetry kwadratowe razy pi.

205
00:08:12,227 --> 00:08:13,507
Gratulacje.

206
00:08:18,899 --> 00:08:20,865
A teraz kolejne zadanie.

207
00:08:21,393 --> 00:08:23,953
Promień stożka jest równy jego wysokości.

208
00:08:24,079 --> 00:08:26,253
Oblicz jego pole powierzchni bocznej

209
00:08:26,253 --> 00:08:28,562
jeżeli tworząca tego stożka ma długość

210
00:08:28,572 --> 00:08:30,943
7 pierwiastków z dwóch centymetrów.

211
00:08:30,943 --> 00:08:33,288
Przeczytaj zadanie jeszcze raz dokładnie

212
00:08:33,288 --> 00:08:35,069
i narysuj odpowiedni stożek.

213
00:08:38,335 --> 00:08:39,323
Oto on.

214
00:08:40,041 --> 00:08:42,089
Zaznaczamy długość tworzącej.

215
00:08:43,053 --> 00:08:45,167
Wiemy też, że wysokość stożka

216
00:08:45,227 --> 00:08:47,172
jest równa jego promieniowi.

217
00:08:47,222 --> 00:08:49,307
Szukamy pola powierzchni bocznej.

218
00:08:49,333 --> 00:08:51,013
Jaki był na to wzór?

219
00:08:52,319 --> 00:08:54,367
To pi razy r razy l.

220
00:08:54,553 --> 00:08:55,833
l już znamy.

221
00:08:56,079 --> 00:08:57,674
Musimy jakoś znaleźć r.

222
00:08:57,864 --> 00:08:59,597
Jak myślisz, jak to zrobić?

223
00:08:59,819 --> 00:09:01,310
Pamiętasz, co zrobiliśmy

224
00:09:01,310 --> 00:09:02,667
w poprzednim zadaniu?

225
00:09:03,031 --> 00:09:05,299
Skorzystaliśmy z twierdzenia Pitagorasa

226
00:09:05,299 --> 00:09:06,409
dla tego trójkąta.

227
00:09:06,811 --> 00:09:09,371
r kwadrat plus H kwadrat to l kwadrat.

228
00:09:09,913 --> 00:09:12,985
Ale wiemy też, że r równa się H.

229
00:09:13,487 --> 00:09:15,880
Podstawiamy r w miejsce H i otrzymujemy

230
00:09:15,880 --> 00:09:18,165
że 2r kwadrat to l kwadrat.

231
00:09:19,169 --> 00:09:20,697
Mamy teraz jedno równanie

232
00:09:20,697 --> 00:09:21,979
z jedną niewiadomą.

233
00:09:22,015 --> 00:09:23,661
I możemy wyznaczyć r.

234
00:09:23,973 --> 00:09:26,139
Spróbuj to zrobić samodzielnie.

235
00:09:29,289 --> 00:09:30,570
2r kwadrat

236
00:09:30,610 --> 00:09:32,856
to 7 pierwiastków z dwóch do kwadratu.

237
00:09:32,856 --> 00:09:33,963
7 do kwadratu

238
00:09:33,963 --> 00:09:34,749
to 49

239
00:09:34,749 --> 00:09:36,677
a pierwiastek z dwóch do kwadratu

240
00:09:36,677 --> 00:09:37,427
to 2.

241
00:09:37,427 --> 00:09:39,191
Teraz, aby otrzymać r kwadrat

242
00:09:39,191 --> 00:09:40,477
dzielimy przez 2.

243
00:09:40,477 --> 00:09:42,930
r kwadrat to 49 centymetrów kwadratowych.

244
00:09:43,230 --> 00:09:45,027
W takim razie r to pierwiastek

245
00:09:45,027 --> 00:09:47,059
z tej liczby, czyli 7 centymetrów.

246
00:09:47,605 --> 00:09:48,503
Świetnie.

247
00:09:48,539 --> 00:09:49,924
Wyznaczyliśmy promień

248
00:09:49,944 --> 00:09:52,318
a jednocześnie wysokość tego stożka.

249
00:09:52,378 --> 00:09:54,159
Czy to koniec zadania?

250
00:09:55,245 --> 00:09:56,611
Nie, mieliśmy znaleźć

251
00:09:56,651 --> 00:09:58,172
pole powierzchni bocznej.

252
00:09:58,172 --> 00:10:00,313
Oblicz je teraz samodzielnie.

253
00:10:02,759 --> 00:10:05,239
Pod r wstawiam 7 centymetrów

254
00:10:05,289 --> 00:10:08,159
a pod l 7 pierwiastków z dwóch.

255
00:10:08,225 --> 00:10:09,443
Ostatecznie otrzymuję

256
00:10:09,443 --> 00:10:11,038
że pole powierzchni bocznej

257
00:10:11,048 --> 00:10:14,005
to pi razy 49 pierwiastków z dwóch

258
00:10:14,055 --> 00:10:15,869
centymetrów kwadratowych.

259
00:10:21,537 --> 00:10:23,507
Aby wyznaczyć pole powierzchni

260
00:10:23,507 --> 00:10:26,695
bocznej stożka musimy znać jego promień

261
00:10:26,715 --> 00:10:28,245
oraz jego tworzącą.

262
00:10:29,639 --> 00:10:31,868
Pole powierzchni całkowitej stożka

263
00:10:31,868 --> 00:10:33,861
to pole powierzchni bocznej

264
00:10:33,861 --> 00:10:36,647
powiększone o pole podstawy tego stożka.

265
00:10:41,245 --> 00:10:43,119
Obejrzałeś właśnie kolejny film

266
00:10:43,119 --> 00:10:44,387
dotyczący stożków.

267
00:10:44,713 --> 00:10:46,235
Zachęcam Cię do zobaczenia

268
00:10:46,235 --> 00:10:47,979
innych filmów z tej playlisty

269
00:10:47,979 --> 00:10:50,285
a także do polubienia naszego fanpage'a

270
00:10:50,285 --> 00:10:52,765
na Facebook 'u PistacjaMatematyka.