1
00:00:00,256 --> 00:00:02,119
Jedne z najniebezpieczniejszych

2
00:00:02,119 --> 00:00:04,474
miejsc na Ziemi mają kształt stożka.

3
00:00:04,940 --> 00:00:06,234
O czym mowa?

4
00:00:06,350 --> 00:00:08,196
Oczywiście o wulkanach.

5
00:00:08,318 --> 00:00:09,049
Wiesz pewnie

6
00:00:09,049 --> 00:00:11,058
jak wygląda wulkan z zewnątrz.

7
00:00:11,094 --> 00:00:12,604
Ale czy zastanawiałeś się

8
00:00:12,604 --> 00:00:14,060
jak wygląda w środku?

9
00:00:14,332 --> 00:00:16,202
Można to zobaczyć na specjalnych

10
00:00:16,202 --> 00:00:18,598
przekrojach tworzonych przez geologów.

11
00:00:31,504 --> 00:00:34,832
Na ekranie mamy narysowany pewien stożek.

12
00:00:35,640 --> 00:00:38,712
Wyobraź sobie, że jest to model wulkanu.

13
00:00:38,898 --> 00:00:41,070
Jak zobaczyć co jest w środku?

14
00:00:41,448 --> 00:00:43,752
To proste, przetnijmy go na pół

15
00:00:44,188 --> 00:00:45,468
i sprawdźmy to.

16
00:00:47,416 --> 00:00:49,720
Skupmy się teraz na miejscu przecięcia.

17
00:00:50,202 --> 00:00:51,482
Co tutaj widzimy?

18
00:00:52,270 --> 00:00:54,774
Oczywiście widzimy dwie połówki stożka.

19
00:00:54,800 --> 00:00:56,234
Ale chodzi mi o figurę

20
00:00:56,234 --> 00:00:58,418
która powstała w miejscu przecięcia.

21
00:00:58,498 --> 00:00:59,893
Jeżeli nadal nie widzisz

22
00:00:59,893 --> 00:01:02,058
to pozwól, że zaznaczę to wyraźniej.

23
00:01:02,796 --> 00:01:04,692
Czym jest ta żółta figura?

24
00:01:06,832 --> 00:01:08,412
To oczywiście trójkąt.

25
00:01:08,624 --> 00:01:10,966
Co możemy powiedzieć o tym trójkącie?

26
00:01:10,998 --> 00:01:13,862
Czy znamy na przykład długości jego boków?

27
00:01:14,542 --> 00:01:16,238
Zaraz się o tym przekonamy.

28
00:01:16,294 --> 00:01:17,644
Narysujmy najpierw

29
00:01:17,644 --> 00:01:19,782
charakterystyczne odcinki dla stożka.

30
00:01:20,144 --> 00:01:22,704
Promień, wysokość oraz tworzącą.

31
00:01:22,910 --> 00:01:23,749
Zatrzymaj film

32
00:01:23,749 --> 00:01:25,726
i spróbuj to zrobić samodzielnie.

33
00:01:26,002 --> 00:01:27,570
Jeżeli jednak nie pamiętasz

34
00:01:27,570 --> 00:01:29,525
o co w ogóle chodziło z tworzącymi

35
00:01:29,535 --> 00:01:31,068
promieniem czy wysokością

36
00:01:31,068 --> 00:01:32,283
zachęcam Cię najpierw

37
00:01:32,283 --> 00:01:34,226
do zobaczenia odpowiedniego filmu.

38
00:01:37,050 --> 00:01:38,842
Wysokość stożka jest tutaj.

39
00:01:39,148 --> 00:01:40,940
Promień stożka tutaj.

40
00:01:41,146 --> 00:01:42,938
Natomiast tworząca tutaj.

41
00:01:43,736 --> 00:01:45,112
Oczywiście ten odcinek

42
00:01:45,112 --> 00:01:46,706
to również promień stożka

43
00:01:46,706 --> 00:01:48,425
tak samo jak ten odcinek

44
00:01:48,425 --> 00:01:50,240
również jest tworzącą stożka.

45
00:01:50,432 --> 00:01:51,320
No właśnie.

46
00:01:51,366 --> 00:01:53,683
Skoro zarówno ten odcinek, jak i ten

47
00:01:53,723 --> 00:01:54,892
to tworzące stożka

48
00:01:54,892 --> 00:01:56,191
to z jakim trójkątem

49
00:01:56,191 --> 00:01:58,050
mamy tutaj do czynienia?

50
00:01:59,462 --> 00:02:01,288
To trójkąt równoramienny.

51
00:02:01,390 --> 00:02:04,262
Jego ramiona mają taką samą długość

52
00:02:04,298 --> 00:02:06,500
która jest równa długości tworzącej.

53
00:02:06,636 --> 00:02:09,290
Jaka jest długość podstawy tego trójkąta?

54
00:02:10,942 --> 00:02:12,222
To 2 razy promień

55
00:02:12,634 --> 00:02:14,170
czyli średnica stożka.

56
00:02:14,546 --> 00:02:16,371
Figurę, którą widać w miejscu

57
00:02:16,371 --> 00:02:19,492
przekrojenia stożka nazywamy przekrojem.

58
00:02:19,512 --> 00:02:21,550
Jeżeli ten przekrój zawiera w sobie

59
00:02:21,550 --> 00:02:22,395
oś obrotu

60
00:02:22,395 --> 00:02:24,762
to nazywamy go przekrojem osiowym.

61
00:02:25,760 --> 00:02:28,320
No właśnie, zawiera czy nie zawiera?

62
00:02:29,776 --> 00:02:31,153
Oś obrotu w stożku

63
00:02:31,193 --> 00:02:33,138
pokrywa się z jego wysokością.

64
00:02:33,194 --> 00:02:34,490
W takim razie przekrój

65
00:02:34,490 --> 00:02:35,939
o którym teraz rozmawiamy

66
00:02:35,939 --> 00:02:37,615
jest jednocześnie przekrojem

67
00:02:37,615 --> 00:02:38,566
osiowym stożka.

68
00:02:38,616 --> 00:02:40,412
Zapamiętaj, że przekrojem

69
00:02:40,412 --> 00:02:41,789
osiowym tej bryły

70
00:02:41,789 --> 00:02:44,134
zawsze jest trójkąt równoramienny.

71
00:02:44,224 --> 00:02:46,523
Zauważ też, że gdybyśmy obrócili

72
00:02:46,523 --> 00:02:49,023
ten przekrój osiowy wokół osi obrotu

73
00:02:49,043 --> 00:02:50,812
to otrzymalibyśmy w rezultacie

74
00:02:50,812 --> 00:02:51,670
nasz stożek.

75
00:02:51,670 --> 00:02:53,346
Skupmy się jeszcze na kątach

76
00:02:53,346 --> 00:02:54,414
w tym trójkącie.

77
00:02:54,904 --> 00:02:56,771
Mam nadzieję, że pamiętasz o tym

78
00:02:56,771 --> 00:02:58,531
że w trójkącie równoramiennym

79
00:02:58,531 --> 00:03:00,548
kąty przy podstawie są sobie równe.

80
00:03:00,598 --> 00:03:03,047
Ja oznaczyłem je grecką literą alfa.

81
00:03:04,867 --> 00:03:06,944
Ten kąt, który znajduje się

82
00:03:06,944 --> 00:03:08,707
pomiędzy tworzącymi

83
00:03:08,707 --> 00:03:11,826
nazywamy kątem rozwarcia stożka.

84
00:03:12,322 --> 00:03:14,098
I jeszcze jedna porcja wiedzy.

85
00:03:14,194 --> 00:03:16,050
Mam nadzieję, że pamiętasz o tym

86
00:03:16,050 --> 00:03:18,250
że wysokość w trójkącie równoramiennym

87
00:03:18,320 --> 00:03:20,648
pokrywa się z dwusieczną tego kąta.

88
00:03:21,392 --> 00:03:23,822
Pamiętasz, czym była dwusieczna?

89
00:03:24,444 --> 00:03:27,243
To prosta dzieląca dany kąt na pół.

90
00:03:27,293 --> 00:03:28,675
W takim razie ten kąt

91
00:03:28,675 --> 00:03:31,089
między jedną tworzącą, a wysokością

92
00:03:31,089 --> 00:03:32,631
ma taką samą miarę

93
00:03:32,631 --> 00:03:33,627
jak ten kąt

94
00:03:33,627 --> 00:03:35,873
między wysokością, a drugą tworzącą.

95
00:03:35,933 --> 00:03:38,484
Ja oznaczyłem je greckimi literami beta.

96
00:03:38,846 --> 00:03:40,535
Świetnie, to chyba wszystko

97
00:03:40,535 --> 00:03:42,850
co musimy wiedzieć o przekrojach stożka.

98
00:03:43,820 --> 00:03:46,100
Sprawdźmy teraz naszą wiedzę w praktyce

99
00:03:46,100 --> 00:03:47,488
i przejdźmy do zadań.

100
00:03:52,408 --> 00:03:54,200
Mamy teraz takie zadanie.

101
00:03:55,014 --> 00:03:57,544
Jakie jest pole przekroju osiowego stożka

102
00:03:57,574 --> 00:04:00,064
o wysokości równej 6 centymetrom

103
00:04:00,520 --> 00:04:02,824
i promieniu równym 4 centymetrom?

104
00:04:03,768 --> 00:04:05,348
O co jesteśmy pytani?

105
00:04:05,856 --> 00:04:06,935
O wyznaczenie pola

106
00:04:06,935 --> 00:04:08,812
przekroju osiowego stożka.

107
00:04:08,878 --> 00:04:10,628
Co wiemy o tym stożku?

108
00:04:11,162 --> 00:04:13,932
Znamy jego wysokość oraz promień.

109
00:04:14,550 --> 00:04:16,022
No dobrze, to do roboty.

110
00:04:16,042 --> 00:04:17,696
Narysujemy ten stożek.

111
00:04:18,439 --> 00:04:19,463
Oto on.

112
00:04:21,135 --> 00:04:23,047
Zaznaczmy teraz przekrój osiowy.

113
00:04:23,047 --> 00:04:24,593
Jak mówiliśmy przed chwilą

114
00:04:24,613 --> 00:04:26,527
jest to trójkąt równoramienny.

115
00:04:27,841 --> 00:04:30,060
Dodatkowo wypisałem pozostałe dane

116
00:04:30,100 --> 00:04:31,339
z naszego zadania.

117
00:04:31,385 --> 00:04:34,169
Musimy więc obliczyć pole tego trójkąta.

118
00:04:34,567 --> 00:04:35,591
Jak to zrobić?

119
00:04:37,017 --> 00:04:39,465
Jak pamiętasz, we wzorze na pole trójkąta

120
00:04:39,495 --> 00:04:42,459
występuje wysokość oraz podstawa.

121
00:04:43,733 --> 00:04:45,995
Czy znamy jakąś z tej wielkości?

122
00:04:47,799 --> 00:04:49,079
Znamy wysokość.

123
00:04:50,103 --> 00:04:51,671
Wysokość tego trójkąta

124
00:04:51,671 --> 00:04:53,765
jest jednocześnie wysokością stożka.

125
00:04:53,765 --> 00:04:55,729
A podstawa tego trójkąta?

126
00:04:56,247 --> 00:04:58,295
To oczywiście średnica stożka.

127
00:04:58,571 --> 00:05:00,107
Czyli dwa razy promień.

128
00:05:00,669 --> 00:05:03,741
Średnica ma długość 8 centymetrów.

129
00:05:04,183 --> 00:05:06,506
Świetnie, znamy już wszystkie informacje

130
00:05:06,506 --> 00:05:07,994
potrzebne do wyznaczenia

131
00:05:07,994 --> 00:05:09,451
pola przekroju osiowego.

132
00:05:09,451 --> 00:05:10,654
Zatrzymaj teraz film

133
00:05:10,654 --> 00:05:12,203
i wyznacz go samodzielnie.

134
00:05:12,203 --> 00:05:13,653
Potem włącz film ponownie

135
00:05:13,653 --> 00:05:15,771
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

136
00:05:19,071 --> 00:05:21,494
Pole przekroju to 1/2

137
00:05:21,494 --> 00:05:23,112
razy podstawa trójkąta

138
00:05:23,112 --> 00:05:24,212
razy jego wysokość.

139
00:05:24,252 --> 00:05:26,736
W miejsce 2r podstawiam 8 centymetrów

140
00:05:26,736 --> 00:05:28,775
a w miejsce H 6 centymetrów.

141
00:05:28,835 --> 00:05:31,195
8 razy 6 to 48

142
00:05:31,271 --> 00:05:33,975
a całość razy 1/2 to 24.

143
00:05:34,973 --> 00:05:37,052
Pole przekroju osiowego tego stożka

144
00:05:37,052 --> 00:05:39,457
to 24 centymetry kwadratowe.

145
00:05:44,987 --> 00:05:46,779
A teraz kolejne zadanie.

146
00:05:46,815 --> 00:05:49,306
Kąt rozwarcia stożka jest kątem prostym

147
00:05:49,326 --> 00:05:51,394
a tworząca stożka ma długość

148
00:05:51,424 --> 00:05:53,619
4 pierwiastki z dwóch centymetrów.

149
00:05:54,083 --> 00:05:57,155
Oblicz wysokość i promień tego stożka.

150
00:05:57,491 --> 00:05:59,579
Przeczytaj treść zadania jeszcze raz

151
00:05:59,579 --> 00:06:01,358
i spróbuj samodzielnie zrobić

152
00:06:01,358 --> 00:06:02,505
odpowiedni rysunek.

153
00:06:02,505 --> 00:06:04,265
Następnie porównaj go z moim.

154
00:06:07,867 --> 00:06:09,147
Oto nasz stożek.

155
00:06:09,975 --> 00:06:12,389
Zaznaczyłem na nim szukane wielkości.

156
00:06:12,425 --> 00:06:15,043
Jego wysokość oraz promień.

157
00:06:15,093 --> 00:06:16,847
Zaznaczyłem też tworzącą

158
00:06:16,847 --> 00:06:18,538
wraz z jej długością

159
00:06:18,538 --> 00:06:20,989
a także kąt rozwarcia stożka.

160
00:06:21,691 --> 00:06:22,685
To ten kąt.

161
00:06:23,361 --> 00:06:26,185
Nie jest to dowolny kąt, tylko kąt prosty.

162
00:06:26,575 --> 00:06:29,135
Jak możemy znaleźć promień i wysokość?

163
00:06:29,697 --> 00:06:32,144
Albo inaczej, jaka jest zależność wiążąca

164
00:06:32,154 --> 00:06:34,647
wysokość, promień oraz tworzącą?

165
00:06:36,037 --> 00:06:37,951
Tutaj jest trójkąt prostokątny.

166
00:06:37,981 --> 00:06:39,819
W takim razie możemy skorzystać

167
00:06:39,819 --> 00:06:41,487
z twierdzenia Pitagorasa.

168
00:06:41,809 --> 00:06:45,137
I H kwadrat plus r kwadrat to l kwadrat.

169
00:06:45,519 --> 00:06:48,591
No dobrze, ale nie znamy ani H ani r.

170
00:06:48,947 --> 00:06:51,231
Mamy jedno równanie i dwie niewiadome.

171
00:06:51,531 --> 00:06:53,649
Nie damy rady go rozwiązać.

172
00:06:53,701 --> 00:06:56,215
To może skupmy się tym kącie rozwarcia.

173
00:06:56,261 --> 00:06:57,312
Informacja o nim

174
00:06:57,382 --> 00:06:59,401
raczej nie jest przypadkowa.

175
00:07:00,171 --> 00:07:02,731
Wiemy, że jego miara to 90 stopni.

176
00:07:02,977 --> 00:07:05,006
Pamiętasz, co mówiliśmy wcześniej

177
00:07:05,006 --> 00:07:06,873
o wysokości i kącie rozwarcia?

178
00:07:08,589 --> 00:07:11,149
Wysokość jest dwusieczną kąta rozwarcia.

179
00:07:11,591 --> 00:07:14,799
W takim razie ten kąt oraz ten

180
00:07:15,431 --> 00:07:17,901
mają miarę równą 90 przez 2.

181
00:07:18,741 --> 00:07:19,551
Czyli?

182
00:07:20,857 --> 00:07:22,905
Czyli 45 stopni.

183
00:07:23,969 --> 00:07:26,337
Zobacz teraz, znamy miary dwóch kątów

184
00:07:26,337 --> 00:07:27,687
w tym trójkącie.

185
00:07:28,115 --> 00:07:30,675
Możemy więc obliczyć miarę trzeciego kąta.

186
00:07:31,167 --> 00:07:32,447
Ile ona wynosi?

187
00:07:33,923 --> 00:07:38,568
To 180 minus 90 stopni minus 45 stopni

188
00:07:38,628 --> 00:07:40,367
czyli 45 stopni.

189
00:07:42,095 --> 00:07:44,032
No dobrze, znamy miary tych kątów

190
00:07:44,032 --> 00:07:45,577
ale czy to nam coś daje?

191
00:07:45,935 --> 00:07:47,691
Otóż tak i to bardzo dużo.

192
00:07:47,817 --> 00:07:50,706
Te dwa kąty mają taką samą miarę.

193
00:07:50,766 --> 00:07:53,287
W jakim trójkącie się tak dzieje?

194
00:07:53,941 --> 00:07:56,083
W trójkątach równoramiennych.

195
00:07:56,717 --> 00:07:59,157
W takim razie ten trójkąt

196
00:07:59,157 --> 00:08:01,224
nie dość że jest prostokątny

197
00:08:01,224 --> 00:08:03,141
to jest jeszcze równoramienny.

198
00:08:03,639 --> 00:08:05,687
Jakie są ramiona tego trójkąta?

199
00:08:07,755 --> 00:08:09,803
To H oraz r.

200
00:08:10,375 --> 00:08:13,703
W takim razie H jest równe r.

201
00:08:14,195 --> 00:08:16,277
Jak podstawimy w miejsce r kwadrat

202
00:08:16,277 --> 00:08:17,317
H kwadrat

203
00:08:17,317 --> 00:08:18,822
otrzymamy jedno równanie

204
00:08:18,822 --> 00:08:19,890
z jedną niewiadomą

205
00:08:19,890 --> 00:08:22,289
i będziemy mogli policzyć wysokość.

206
00:08:22,879 --> 00:08:24,979
Spróbuj ją wyznaczyć samodzielnie

207
00:08:24,979 --> 00:08:27,419
a potem porównaj swoją odpowiedź z moją.

208
00:08:30,253 --> 00:08:32,662
Otrzymujemy, że H kwadrat dodać H kwadrat

209
00:08:32,662 --> 00:08:35,090
to 4 pierwiastki z dwóch do kwadratu.

210
00:08:35,200 --> 00:08:38,122
2H kwadrat to 4 do kwadratu

211
00:08:38,122 --> 00:08:38,957
czyli 16

212
00:08:39,183 --> 00:08:41,329
razy pierwiastek z dwóch do kwadratu

213
00:08:41,339 --> 00:08:42,169
czyli 2.

214
00:08:42,449 --> 00:08:44,032
Aby wyznaczyć H kwadrat

215
00:08:44,042 --> 00:08:46,487
dzielę obustronnie to równanie przez 2.

216
00:08:46,487 --> 00:08:49,230
H kwadrat to 16 centymetrów kwadratowych

217
00:08:49,280 --> 00:08:50,965
czyli H równa się 4.

218
00:08:52,289 --> 00:08:53,843
Jeżeli zgubiłeś się gdzieś

219
00:08:53,843 --> 00:08:55,170
podczas mojego wywodu

220
00:08:55,170 --> 00:08:57,765
to przejrzyj go na spokojnie jeszcze raz.

221
00:08:58,473 --> 00:09:00,265
Czy to koniec zadania?

222
00:09:00,341 --> 00:09:01,745
Teoretycznie nie.

223
00:09:01,745 --> 00:09:03,032
Musimy jeszcze znaleźć

224
00:09:03,032 --> 00:09:04,206
długość promienia

225
00:09:04,206 --> 00:09:05,450
ale w praktyce tak

226
00:09:05,460 --> 00:09:07,370
ponieważ wiemy, że promień

227
00:09:07,370 --> 00:09:09,007
jest równy wysokości

228
00:09:09,007 --> 00:09:10,561
czyli wynosi 4 centymetry.

229
00:09:11,283 --> 00:09:12,117
Gratulacje.

230
00:09:12,127 --> 00:09:13,366
Zadania ze stożkami

231
00:09:13,366 --> 00:09:15,519
nie mają już przed tobą tajemnic.

232
00:09:21,011 --> 00:09:22,893
Przekrojem osiowym stożka

233
00:09:22,933 --> 00:09:24,891
jest trójkąt równoramienny.

234
00:09:25,755 --> 00:09:27,106
Podstawą tego trójkąta

235
00:09:27,106 --> 00:09:28,481
jest średnica stożka.

236
00:09:29,093 --> 00:09:31,909
Wysokością tego trójkąta—wysokość stożka

237
00:09:32,617 --> 00:09:34,252
a ramionami tego trójkąta

238
00:09:34,312 --> 00:09:35,705
są tworzące stożka.

239
00:09:37,405 --> 00:09:38,891
Kąt rozwarcia stożka

240
00:09:38,937 --> 00:09:41,753
to kąt pomiędzy ramionami tego trójkąta.

241
00:09:46,255 --> 00:09:47,292
Zobaczyłeś właśnie

242
00:09:47,292 --> 00:09:48,775
kolejny film o stożkach.

243
00:09:48,971 --> 00:09:50,514
Zachęcam Cię do zobaczenia

244
00:09:50,514 --> 00:09:52,502
pozostałych filmów z tej playlisty

245
00:09:52,502 --> 00:09:54,944
a także do zasubskrybowania naszego kanału

246
00:09:54,944 --> 00:09:58,004
na YouTube PistacjaMatematyka.