1
00:00:00,448 --> 00:00:03,102
Co otrzymasz po przecięciu kuli na pół?

2
00:00:03,670 --> 00:00:05,206
Oczywiście półkulę.

3
00:00:05,392 --> 00:00:07,952
A gdzie najłatwiej można spotkać półkulę?

4
00:00:08,494 --> 00:00:11,148
Na różnych budynkach w formie kopuły.

5
00:00:11,380 --> 00:00:12,802
Kopuły możesz spotkać

6
00:00:12,802 --> 00:00:15,203
na budynkach sakralnych, rządowych

7
00:00:15,203 --> 00:00:17,738
a nawet na prywatnych domach.

8
00:00:32,066 --> 00:00:34,882
Na ekranie masz narysowaną kulę.

9
00:00:36,644 --> 00:00:38,501
Zaznaczyłem środek tej kuli

10
00:00:38,521 --> 00:00:40,710
i oznaczyłem dużą literą O.

11
00:00:40,956 --> 00:00:43,772
Promień, oznaczyłem dużą literą R.

12
00:00:44,018 --> 00:00:47,090
Litera P oznacza powierzchnię tej kuli.

13
00:00:48,506 --> 00:00:50,749
Co jako pierwsze przychodzi Ci do głowy

14
00:00:50,749 --> 00:00:52,448
kiedy mówimy o przekrojach?

15
00:00:53,274 --> 00:00:55,322
Pewnie nóż i krojenie bryły.

16
00:00:55,618 --> 00:00:57,410
Przekrójmy tę kulę na pół

17
00:00:57,686 --> 00:00:59,914
tak, jak kroimy na przykład pomarańczę

18
00:00:59,914 --> 00:01:02,124
albo inne okrągłe owoce lub warzywa.

19
00:01:03,298 --> 00:01:04,834
Zobaczmy, co się stanie.

20
00:01:07,836 --> 00:01:09,559
Po przekrojeniu naszej bryły

21
00:01:09,559 --> 00:01:11,350
otrzymaliśmy dwie półkule.

22
00:01:11,776 --> 00:01:12,936
Albo inaczej mówiąc

23
00:01:12,966 --> 00:01:14,828
dwie identyczne połówki.

24
00:01:16,560 --> 00:01:19,120
Jaką figurę widzimy w miejscu przecięcia?

25
00:01:19,652 --> 00:01:21,846
Albo inaczej, jaka figura jest tutaj

26
00:01:21,856 --> 00:01:23,712
zamalowana innym kolorem?

27
00:01:24,822 --> 00:01:25,846
To koło.

28
00:01:26,278 --> 00:01:27,778
Tutaj mamy jedno koło.

29
00:01:27,894 --> 00:01:28,918
Tutaj drugie.

30
00:01:29,992 --> 00:01:32,322
Zauważ, że oba te koła mają taki sam

31
00:01:32,342 --> 00:01:33,546
promień duże R.

32
00:01:34,008 --> 00:01:36,246
Taki sam, jak promień kuli.

33
00:01:36,256 --> 00:01:37,452
Figurę, którą widać

34
00:01:37,452 --> 00:01:39,391
w miejscu przecięcia bryły

35
00:01:39,391 --> 00:01:40,882
nazywamy przekrojem.

36
00:01:41,568 --> 00:01:43,357
Być może pamiętasz to z lekcji

37
00:01:43,357 --> 00:01:44,579
o walcach i stożkach.

38
00:01:44,699 --> 00:01:45,668
Wśród przekrojów

39
00:01:45,668 --> 00:01:47,456
wyróżniamy jeden szczególny.

40
00:01:47,762 --> 00:01:49,718
Czy wiesz, albo czy może pamiętasz

41
00:01:49,718 --> 00:01:51,002
jak się nazywa?

42
00:01:51,602 --> 00:01:53,694
To tak zwany przekrój osiowy.

43
00:01:54,232 --> 00:01:57,560
Zawiera on w sobie oś obrotu danej bryły.

44
00:01:59,588 --> 00:02:01,562
W naszym przypadku te przekroje

45
00:02:01,602 --> 00:02:03,248
są przekrojami osiowymi.

46
00:02:03,724 --> 00:02:05,550
W jaki sposób to zapamiętać?

47
00:02:05,586 --> 00:02:07,832
Zauważ, że przekrój osiowy

48
00:02:07,892 --> 00:02:11,334
dzieli bryłę na dwie identyczne części.

49
00:02:12,684 --> 00:02:14,732
Co powinieneś z tego zapamiętać?

50
00:02:15,806 --> 00:02:18,622
Że przekrojem osiowym kuli jest koło

51
00:02:19,124 --> 00:02:21,684
które ma taki sam promień, jak ta kula.

52
00:02:27,522 --> 00:02:30,338
Oto pierwsze zadanie na rozgrzewkę.

53
00:02:30,414 --> 00:02:33,998
Dana jest kula o średnicy 14 centymetrów.

54
00:02:34,916 --> 00:02:35,778
Jakie jest pole

55
00:02:35,778 --> 00:02:37,778
przekroju osiowego tej kuli?

56
00:02:38,726 --> 00:02:41,044
Co mamy wyznaczyć w tym zadaniu?

57
00:02:42,650 --> 00:02:44,581
Pole przekroju osiowego kuli.

58
00:02:44,601 --> 00:02:46,003
Jaka jest ta kula?

59
00:02:46,043 --> 00:02:47,974
Możemy to odczytać z treści.

60
00:02:48,248 --> 00:02:49,948
Ma ona średnicę o długości

61
00:02:49,948 --> 00:02:51,808
równej 14 centymetrom.

62
00:02:52,274 --> 00:02:53,941
Zanim przejdziemy do obliczeń

63
00:02:53,941 --> 00:02:55,220
narysujmy tę kulę.

64
00:02:56,952 --> 00:02:58,488
Oto ona.

65
00:02:59,020 --> 00:03:01,669
Dodatkowo zaznaczyłem jej promień

66
00:03:01,959 --> 00:03:04,686
jak widzisz, oznaczony dużą literą R.

67
00:03:05,390 --> 00:03:06,368
No dobrze.

68
00:03:06,374 --> 00:03:08,835
Szukamy pola przekroju osiowego tej kuli.

69
00:03:08,835 --> 00:03:10,803
Czy jesteś w stanie wskazać tutaj

70
00:03:10,803 --> 00:03:12,074
przekrój osiowy?

71
00:03:13,406 --> 00:03:15,710
Ja zaznaczyłem go na zielono.

72
00:03:16,176 --> 00:03:18,094
Mam nadzieję, że pamiętasz o tym

73
00:03:18,094 --> 00:03:19,443
że przekrój osiowy

74
00:03:19,443 --> 00:03:20,814
to figura, którą widać

75
00:03:20,814 --> 00:03:22,496
w miejscu przecięcia bryły.

76
00:03:22,512 --> 00:03:25,206
Jaka figura jest przekrojem osiowym kuli?

77
00:03:26,322 --> 00:03:27,132
To koło.

78
00:03:27,142 --> 00:03:29,449
Skoro szukamy pola przekroju osiowego

79
00:03:29,469 --> 00:03:32,466
to musimy znaleźć pole tego koła.

80
00:03:33,234 --> 00:03:34,258
Jak to zrobić?

81
00:03:34,930 --> 00:03:37,252
Z pomocą przyjdzie nam wzór na pole koła

82
00:03:37,252 --> 00:03:38,540
pi r kwadrat.

83
00:03:39,970 --> 00:03:42,274
Jaki jest promień przekroju osiowego?

84
00:03:43,702 --> 00:03:46,280
Jest on równy promieniowi tej kuli.

85
00:03:47,374 --> 00:03:49,054
Znamy ten promień?

86
00:03:49,452 --> 00:03:51,244
Nie, ale znamy średnicę.

87
00:03:51,560 --> 00:03:53,523
Skoro średnica to 14 centymetrów

88
00:03:53,643 --> 00:03:55,776
to jak długi jest promień?

89
00:03:57,202 --> 00:03:58,201
Promień tej kuli

90
00:03:58,251 --> 00:04:00,138
ma długość 7 centymetrów.

91
00:04:00,606 --> 00:04:03,312
Możemy już obliczyć pole tego przekroju?

92
00:04:03,798 --> 00:04:04,689
Pewnie, że tak.

93
00:04:04,759 --> 00:04:07,486
Musieliśmy znać jedynie długość promienia.

94
00:04:07,618 --> 00:04:09,443
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

95
00:04:09,443 --> 00:04:11,686
samodzielnie wyznaczyć pole przekroju

96
00:04:11,686 --> 00:04:12,887
osiowego tej kuli.

97
00:04:12,887 --> 00:04:14,587
Następnie włącz film ponownie

98
00:04:14,587 --> 00:04:16,838
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

99
00:04:20,693 --> 00:04:23,687
W miejsce R podstawiam wartość liczbową

100
00:04:23,727 --> 00:04:25,195
7 centymetrów.

101
00:04:25,701 --> 00:04:27,967
Teraz należy 7 centymetrów

102
00:04:28,007 --> 00:04:29,475
podnieść do kwadratu.

103
00:04:29,535 --> 00:04:31,305
7 centymetrów do kwadratu

104
00:04:31,305 --> 00:04:33,639
to 49 centymetrów kwadratowych.

105
00:04:34,261 --> 00:04:36,665
Pamiętamy jeszcze, że mnożymy przez pi.

106
00:04:36,735 --> 00:04:39,129
W takim razie pole przekroju osiowego

107
00:04:39,199 --> 00:04:42,981
to pi razy 49 centymetrów kwadratowych.

108
00:04:43,643 --> 00:04:44,923
Czy to wszystko?

109
00:04:46,213 --> 00:04:48,195
Tak, policzyliśmy wszystko

110
00:04:48,205 --> 00:04:50,941
o co byliśmy proszeni w treści zadania.

111
00:04:55,785 --> 00:04:57,942
Spójrzmy teraz no to zadanie.

112
00:04:58,302 --> 00:05:00,431
Przekrojem osiowym kuli jest koło

113
00:05:00,441 --> 00:05:03,741
o obwodzie równym 16 razy pi centymetrów.

114
00:05:03,797 --> 00:05:05,534
Oblicz pole powierzchni

115
00:05:05,574 --> 00:05:07,241
i objętość tej kuli.

116
00:05:07,867 --> 00:05:09,659
Narysujmy naszą kulę.

117
00:05:10,543 --> 00:05:13,162
Oto ona wraz z zaznaczonym promieniem.

118
00:05:13,272 --> 00:05:14,749
Co mamy obliczyć?

119
00:05:16,673 --> 00:05:20,095
Pole powierzchni oraz objętość tej kuli.

120
00:05:21,535 --> 00:05:23,035
Czy coś o niej wiemy?

121
00:05:23,885 --> 00:05:25,952
Tak, jak widzisz w pierwszym zdaniu

122
00:05:25,972 --> 00:05:28,392
jej przekrojem osiowym jest koło

123
00:05:28,392 --> 00:05:31,219
o obwodzie równym 16 razy pi centymetrów.

124
00:05:31,645 --> 00:05:32,623
No dobrze.

125
00:05:32,659 --> 00:05:34,661
Zastanówmy się teraz w jaki sposób

126
00:05:34,661 --> 00:05:36,135
obliczyć pole powierzchni

127
00:05:36,135 --> 00:05:37,712
oraz objętość tej kuli.

128
00:05:37,962 --> 00:05:40,201
Czy pamiętasz odpowiednie wzory?

129
00:05:41,017 --> 00:05:43,369
Spróbuj je zapisać samodzielnie.

130
00:05:47,101 --> 00:05:48,536
Objętość kuli

131
00:05:48,556 --> 00:05:51,896
to 4/3pi razy R do sześcianu.

132
00:05:51,986 --> 00:05:54,325
Natomiast pole powierzchni kuli

133
00:05:54,375 --> 00:05:57,563
to 4pi razy R do kwadratu.

134
00:05:58,385 --> 00:05:59,554
Zauważ, że te wzory

135
00:05:59,554 --> 00:06:01,225
są bardzo do siebie podobne.

136
00:06:01,235 --> 00:06:02,765
Zarówno tutaj, jak i tutaj

137
00:06:02,765 --> 00:06:04,149
znajduje się pi.

138
00:06:04,149 --> 00:06:05,980
Podobnie tutaj, jak i tutaj

139
00:06:05,990 --> 00:06:07,475
znajduje się czwórka.

140
00:06:07,591 --> 00:06:10,133
Pamiętaj jednak, że w objętości kuli

141
00:06:10,173 --> 00:06:12,363
zawsze jest ułamek 4/3

142
00:06:12,363 --> 00:06:13,269
no i promień

143
00:06:13,269 --> 00:06:14,949
jest oczywiście do sześcianu.

144
00:06:14,949 --> 00:06:16,899
Natomiast w polu powierzchni kuli

145
00:06:16,899 --> 00:06:18,478
promień jest do kwadratu.

146
00:06:18,478 --> 00:06:20,310
Czego potrzebujemy do wyznaczeni

147
00:06:20,310 --> 00:06:23,033
zarówno objętości jak i pola powierzchni?

148
00:06:23,451 --> 00:06:24,613
Promienia.

149
00:06:25,415 --> 00:06:26,768
Tylko skąd go wziąć?

150
00:06:26,798 --> 00:06:28,737
Skupmy się na tym obwodzie.

151
00:06:29,933 --> 00:06:31,332
Zaznaczmy go na rysunku.

152
00:06:31,332 --> 00:06:32,888
Mówiliśmy to już wcześniej

153
00:06:32,888 --> 00:06:34,737
i zostało to jeszcze podkreślone

154
00:06:34,737 --> 00:06:35,808
 w treści zadania.

155
00:06:35,808 --> 00:06:37,873
Przekrojem osiowym kuli jest koło.

156
00:06:37,873 --> 00:06:39,887
Znamy obwód tego koła.

157
00:06:40,243 --> 00:06:42,385
Czy pamiętasz, co szczególnego łączy

158
00:06:42,385 --> 00:06:43,985
przekrój osiowy z kulą?

159
00:06:45,895 --> 00:06:47,431
Mają taki sam promień.

160
00:06:49,123 --> 00:06:51,711
Czyli promień tego czerwonego koła

161
00:06:51,741 --> 00:06:54,785
jest taki sam, jak promień całej tej kuli.

162
00:06:56,527 --> 00:06:58,889
Czy możemy wyznaczyć ten promień?

163
00:06:59,935 --> 00:07:00,703
Tak.

164
00:07:00,919 --> 00:07:03,287
Możemy skorzystać ze wzoru na obwód.

165
00:07:03,675 --> 00:07:05,979
Obwód koła to oczywiście 2pi R.

166
00:07:07,585 --> 00:07:09,510
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

167
00:07:09,510 --> 00:07:12,317
samodzielnie wyznaczyć długość promienia.

168
00:07:15,531 --> 00:07:18,444
16 razy pi centymetrów to 2pi R.

169
00:07:18,474 --> 00:07:20,281
Po obu stronach tego równania

170
00:07:20,281 --> 00:07:23,115
występuje liczba pi, więc mogę ją skrócić.

171
00:07:23,387 --> 00:07:25,773
W takim razie 16 centymetrów to 2R

172
00:07:25,803 --> 00:07:27,675
czyli promień tego koła

173
00:07:27,675 --> 00:07:29,384
a zarazem naszej kuli

174
00:07:29,384 --> 00:07:30,768
to 8 centymetrów.

175
00:07:30,778 --> 00:07:32,541
Świetnie, możemy już obliczyć

176
00:07:32,541 --> 00:07:33,615
zarówno objętość

177
00:07:33,615 --> 00:07:35,512
jak i pole powierzchni tej kuli.

178
00:07:35,512 --> 00:07:36,884
Ponownie zatrzymaj film

179
00:07:36,884 --> 00:07:38,198
i zrób to samodzielnie

180
00:07:38,198 --> 00:07:39,825
następnie porównaj otrzymane

181
00:07:39,825 --> 00:07:41,005
wyniki z moimi.

182
00:07:44,901 --> 00:07:46,875
Najpierw zabrałem się za objętość

183
00:07:46,875 --> 00:07:49,249
i pod R podstawiłem 8 centymetrów.

184
00:07:49,995 --> 00:07:51,832
8 centymetrów do sześcianu

185
00:07:51,852 --> 00:07:54,518
to 512 centymetrów sześciennych.

186
00:07:54,548 --> 00:07:57,410
512 niestety nie skraca się przez 3.

187
00:07:57,560 --> 00:08:00,377
W odpowiedzi będziemy mieli więc ułamek.

188
00:08:00,387 --> 00:08:01,367
Objętość kuli to

189
00:08:01,367 --> 00:08:05,629
2048/3 razy pi centymetrów sześciennych.

190
00:08:05,669 --> 00:08:07,329
Dlaczego akurat tyle?

191
00:08:07,375 --> 00:08:11,715
512 razy 4 to właśnie 2048.

192
00:08:11,795 --> 00:08:13,391
A pole powierzchni?

193
00:08:14,515 --> 00:08:15,945
Ponownie w miejsce R

194
00:08:15,945 --> 00:08:17,771
podstawiam 8 centymetrów.

195
00:08:18,201 --> 00:08:21,085
A 8 do kwadratu to 64.

196
00:08:22,061 --> 00:08:24,547
Mnożę 64 razy 4 i otrzymuję

197
00:08:24,547 --> 00:08:26,382
że pole powierzchni tej kuli

198
00:08:26,382 --> 00:08:30,055
to 256 razy pi centymetrów kwadratowych.

199
00:08:30,085 --> 00:08:32,578
Jak widzisz, w większości zadań z kulami

200
00:08:32,608 --> 00:08:35,155
wystarcza nam znajomość promienia.

201
00:08:35,271 --> 00:08:36,807
Dobra robota.

202
00:08:43,625 --> 00:08:46,441
Przekrojem osiowym kuli jest koło.

203
00:08:47,199 --> 00:08:48,395
Promień tego koła

204
00:08:48,425 --> 00:08:50,467
jest równy promieniowi kuli.

205
00:08:54,809 --> 00:08:56,253
Zobaczyłeś przed chwilą

206
00:08:56,253 --> 00:08:57,745
kolejny film o kulach.

207
00:08:57,745 --> 00:08:59,267
Zachęcam Cię do zobaczenia

208
00:08:59,267 --> 00:09:00,971
innych filmów z tej playlisty

209
00:09:00,971 --> 00:09:03,324
a także do polubienia naszego fanpage'a

210
00:09:03,324 --> 00:09:05,891
na Facebook 'u PistacjaMatematyka.