1
00:00:00,768 --> 00:00:02,404
Matematycy, wszystkie liczby

2
00:00:02,504 --> 00:00:04,452
które można wymierzyć, czyli takie

3
00:00:04,552 --> 00:00:06,911
które przedstawiają długość, temperaturę

4
00:00:07,168 --> 00:00:09,035
objętość lub natężenie, nazywają

5
00:00:09,135 --> 00:00:11,251
liczbami wymiernymi. Jakie to liczby?

6
00:00:11,351 --> 00:00:13,679
Dowiesz się z tego filmu.

7
00:00:26,112 --> 00:00:28,155
Zbiór liczb rzeczywistych składa się

8
00:00:28,255 --> 00:00:30,654
z dwóch podzbiorów: zbioru liczb wymiernych

9
00:00:30,754 --> 00:00:32,390
i zbioru liczb niewymiernych.

10
00:00:35,584 --> 00:00:37,998
Zbiór liczb wymiernych zawiera w sobie

11
00:00:38,098 --> 00:00:40,447
zbiór liczb całkowitych i naturalnych

12
00:00:41,216 --> 00:00:43,788
dlatego możemy oznaczyć to w ten sposób.

13
00:00:45,056 --> 00:00:47,793
Zarówno liczby naturalne jak i liczby całkowite

14
00:00:47,893 --> 00:00:49,919
są jednocześnie liczbami wymiernymi

15
00:00:51,200 --> 00:00:53,674
ale czym właściwie są liczby wymierne?

16
00:00:54,528 --> 00:00:56,214
Liczby wymierne to takie liczby

17
00:00:56,314 --> 00:00:58,118
które możemy przedstawić za pomocą

18
00:00:58,218 --> 00:00:59,904
ułamka zwykłego nieskracalnego

19
00:01:00,672 --> 00:01:03,744
w takiej postaci: W = p / q.

20
00:01:04,768 --> 00:01:06,534
Ten zapis oznacza, że nasz ułamek

21
00:01:06,634 --> 00:01:08,626
jest nieskracalny, czyli nie da się go

22
00:01:08,726 --> 00:01:10,104
już bardziej uprościć.

23
00:01:12,448 --> 00:01:14,276
Zobaczmy to na przykładzie.

24
00:01:15,264 --> 00:01:17,434
Przykładem liczby wymiernej będą 2/7

25
00:01:17,534 --> 00:01:19,839
ponieważ nie możemy tego ułamka zapisać

26
00:01:19,939 --> 00:01:21,122
w prostszej postaci.

27
00:01:21,920 --> 00:01:23,481
Na diagramie mamy zapisane

28
00:01:23,581 --> 00:01:25,836
że liczby całkowite i liczby naturalne

29
00:01:25,936 --> 00:01:27,807
również są liczbami wymiernymi.

30
00:01:28,064 --> 00:01:30,646
Czy na pewno? Zobaczmy.

31
00:01:32,416 --> 00:01:33,820
Weźmy liczbę 3.

32
00:01:34,464 --> 00:01:37,536
Liczbę 3 możemy zapisać jako 3/1

33
00:01:38,304 --> 00:01:39,840
więc jest to liczba wymierna.

34
00:01:40,096 --> 00:01:42,083
Nieskracalne ułamki proste

35
00:01:42,183 --> 00:01:43,935
są liczbami wymiernymi.

36
00:01:44,704 --> 00:01:47,650
Liczby całkowite są liczbami wymiernymi.

37
00:01:48,288 --> 00:01:50,254
A czy ułamki dziesiętne też są

38
00:01:50,354 --> 00:01:52,320
liczbami wymiernymi? Zobaczmy.

39
00:01:53,920 --> 00:01:56,224
Mamy ułamek 125 tysięcznych.

40
00:01:56,736 --> 00:01:58,730
Przekształćmy go w ułamek prosty. 

41
00:01:58,830 --> 00:02:01,343
Będzie to 125 przez 1000.

42
00:02:04,160 --> 00:02:05,766
Musimy jeszcze jak najbardziej

43
00:02:05,866 --> 00:02:06,975
uprościć nasz ułamek.

44
00:02:07,744 --> 00:02:11,072
Podzielmy więc licznik i mianownik przez 25.

45
00:02:11,840 --> 00:02:15,424
125 podzielić na 25 daje nam 5

46
00:02:16,192 --> 00:02:21,056
natomiast 1000 przez 25 daje nam 40

47
00:02:22,336 --> 00:02:25,408
a więc nasz ułamek to 5/40.

48
00:02:26,176 --> 00:02:28,265
Jak widzisz, dalej możemy go uprościć.

49
00:02:28,365 --> 00:02:29,534
Zróbmy to.

50
00:02:31,040 --> 00:02:33,344
Podzielmy licznik i mianownik jeszcze przez 5.

51
00:02:33,600 --> 00:02:39,232
5 podzielić na 5 daje nam 1, 40 na 5 daje 8.

52
00:02:39,744 --> 00:02:42,560
a więc naszym ułamkiem jest 1/8

53
00:02:43,072 --> 00:02:46,509
czyli 125 tysięcznych jest liczbą wymierną.

54
00:02:50,752 --> 00:02:53,153
Wiemy, że ułamki dziesiętne są liczbami

55
00:02:53,253 --> 00:02:54,724
wymiernymi, ale co zrobić

56
00:02:54,824 --> 00:02:57,225
jeśli rozwinięcie ułamka jest okresowe?

57
00:02:57,408 --> 00:02:58,432
Zobaczmy.

58
00:02:58,688 --> 00:03:00,663
Mamy ułamek 7/10 w okresie. 

59
00:03:00,763 --> 00:03:05,101
Możemy go rozwinąć. Będzie to 0, 7, 7, 7, 7

60
00:03:05,267 --> 00:03:07,927
i tak do nieskończoności. Żeby się upewnić

61
00:03:08,027 --> 00:03:10,074
że nasz ułamek jest liczbą wymierną

62
00:03:10,174 --> 00:03:11,997
musimy zamienić go na ułamek zwykły.

63
00:03:12,256 --> 00:03:15,651
Pokażę ci jak to zrobić, czyli jak obciąć mu ogon.

64
00:03:17,888 --> 00:03:20,448
W tym celu wykonamy proste działanie.

65
00:03:20,704 --> 00:03:26,848
Zapiszmy, że x = 0,7777 do nieskończoności.

66
00:03:27,872 --> 00:03:35,881
Wtedy 10 x będzie się równało 7,7, 7, 7 

67
00:03:35,981 --> 00:03:37,734
i tak do nieskończoności.

68
00:03:41,184 --> 00:03:44,000
Od 10 x odejmijmy x.

69
00:03:45,536 --> 00:03:49,645
Będzie się to równało 7,7777

70
00:03:49,796 --> 00:03:58,335
do nieskończoności, odjąć 0,77777.

71
00:03:58,848 --> 00:04:02,944
10 x odjąć x daje nam 9x

72
00:04:04,992 --> 00:04:07,754
i to się równa 7, bo tych siódemek po przecinku

73
00:04:07,854 --> 00:04:09,599
w obu liczbach mamy tyle samo.

74
00:04:12,160 --> 00:04:14,306
Teraz możemy obie strony równania

75
00:04:14,406 --> 00:04:15,487
podzielić przez 9

76
00:04:17,024 --> 00:04:19,839
i nasz x = 7/9.

77
00:04:20,095 --> 00:04:22,272
Ułamek przedstawiony w postaci rozwinięcia

78
00:04:22,372 --> 00:04:24,022
dziesiętnego okresowego, tak jak 

79
00:04:24,122 --> 00:04:25,981
ułamek zwykły, jest liczbą wymierną.

80
00:04:26,495 --> 00:04:28,319
Czyli przekształcenie naszego ułamka

81
00:04:28,419 --> 00:04:30,245
dziesiętnego z rozwinięciem okresowym

82
00:04:30,345 --> 00:04:32,327
na ułamek prosty, polega na przesunięciu

83
00:04:32,427 --> 00:04:34,357
naszej liczby w okresie przed przecinek

84
00:04:34,457 --> 00:04:36,215
i pozbyciu się jej ogona.

85
00:04:40,856 --> 00:04:42,322
Rozwiążmy takie zadanie:

86
00:04:42,473 --> 00:04:45,087
Zamień ułamek dziesiętny na ułamek zwykły.

87
00:04:45,951 --> 00:04:47,431
Naszym ułamkiem dziesiętnym

88
00:04:47,531 --> 00:04:51,070
jest liczba y, równa 0,54 w okresie.

89
00:04:51,583 --> 00:04:57,981
Jest to to samo, co 0,54 54 54

90
00:04:58,087 --> 00:04:59,765
do nieskończoności.

91
00:05:00,543 --> 00:05:02,097
Zobacz, ten ułamek ma okres

92
00:05:02,197 --> 00:05:03,870
składający się z dwóch liczb.

93
00:05:04,127 --> 00:05:06,189
Co trzeba zrobić, żeby przesunąć przecinek

94
00:05:06,289 --> 00:05:07,309
o dwa miejsca?

95
00:05:08,223 --> 00:05:10,015
Trzeba go pomnożyć przez 100.

96
00:05:10,527 --> 00:05:12,781
Wykonaj to działanie samodzielnie, postępując

97
00:05:12,881 --> 00:05:14,623
podobnie, jak w poprzednim zadaniu.

98
00:05:14,879 --> 00:05:16,393
Zatrzymaj film, a następnie

99
00:05:16,493 --> 00:05:18,311
sprawdź swój wynik z moim.

100
00:05:22,047 --> 00:05:29,678
100 y równa się 54,54 54 do nieskończoności.

101
00:05:30,495 --> 00:05:35,225
Teraz wystarczy, że od tych 100 y odejmiemy y.

102
00:05:37,151 --> 00:05:41,608
To będzie się równać 54,54 54

103
00:05:41,708 --> 00:05:48,502
do nieskończoności, odjąć 0,54 54 54

104
00:05:48,602 --> 00:05:50,658
do nieskończoności.

105
00:05:52,511 --> 00:05:56,351
Sto y minus y daje nam 99 y

106
00:05:57,375 --> 00:06:00,475
natomiast 54 z tym naszym ogonem

107
00:06:00,575 --> 00:06:05,054
odjąć właśnie ten ogon, daje nam po prostu 54.

108
00:06:06,591 --> 00:06:09,663
Podzielmy obie strony równania przez 99

109
00:06:10,175 --> 00:06:15,704
więc y będzie się równało 54/99. 

110
00:06:15,870 --> 00:06:17,669
Z poprzedniego zadania wiemy, że ułamki

111
00:06:17,769 --> 00:06:19,664
dziesiętne z rozwinięciem okresowym

112
00:06:19,764 --> 00:06:21,417
są liczbami wymiernymi, ale uprośćmy

113
00:06:21,517 --> 00:06:23,110
nasz ułamek. Skróćmy więc licznik

114
00:06:23,210 --> 00:06:24,531
i mianownik przez 9.

115
00:06:25,030 --> 00:06:28,370
54  podzielić przez 9 daje nam 6.

116
00:06:28,470 --> 00:06:32,663
Z kolei 99 podzielić przez 9 daje nam 11

117
00:06:32,763 --> 00:06:36,124
a więc nasz y równa się 6/11.

118
00:06:42,125 --> 00:06:43,967
Rozwiążmy jeszcze jeden przykład.

119
00:06:44,223 --> 00:06:46,569
Naszym ułamkiem dziesiętnym jest liczba

120
00:06:46,669 --> 00:06:50,620
t = 0,1 i 37 w okresie.

121
00:06:53,951 --> 00:07:00,095
Jest to to samo, co 0,1 37 37 37

122
00:07:00,863 --> 00:07:02,399
do nieskończoności.

123
00:07:02,911 --> 00:07:05,303
Zauważ, że teraz okres zaczyna powtarzać się

124
00:07:05,403 --> 00:07:07,518
dopiero od czwartej cyfry po przecinku.

125
00:07:07,775 --> 00:07:10,784
Mamy powtarzające się 37, przeszkadza nam

126
00:07:10,904 --> 00:07:12,894
jednak jedynka na początku okresu.

127
00:07:13,151 --> 00:07:15,199
Jak usunąć pierwsze trzy cyfry?

128
00:07:16,735 --> 00:07:18,628
Pomnóżmy naszą liczbę przez 1000

129
00:07:18,728 --> 00:07:24,926
oraz przez 10. Zobacz: 1000 t, to jest 137

130
00:07:25,695 --> 00:07:29,279
przecinek 37 37... do nieskończoności.

131
00:07:30,303 --> 00:07:39,548
10 t to się równa jeden, przecinek 37 37 37...

132
00:07:40,213 --> 00:07:41,822
do nieskończoności.

133
00:07:42,591 --> 00:07:45,663
Jaki będzie wynik działania 1000 t odjąć 10 t?

134
00:07:45,919 --> 00:07:47,750
Zatrzymaj film, oblicz samodzielnie

135
00:07:47,850 --> 00:07:50,014
 a następnie porównaj swój wynik z moim.

136
00:07:54,623 --> 00:07:58,215
1000 t minus 10 t

137
00:07:59,743 --> 00:08:04,607
to się równa 137,37 37...

138
00:08:04,863 --> 00:08:06,399
do nieskończoności

139
00:08:06,911 --> 00:08:14,207
odjąć 1,37 37 37... do nieskończoności.

140
00:08:16,383 --> 00:08:20,026
Wyliczając 10 t i 1000 t możemy pozbyć się

141
00:08:20,126 --> 00:08:21,658
całego tego ogona.

142
00:08:23,807 --> 00:08:28,597
1000 t odjąć 10 t, to jest 990 t.

143
00:08:30,463 --> 00:08:35,583
137 i nasz ogon, odjąć 1, przecinek i nasz ogon

144
00:08:36,607 --> 00:08:38,936
daje nam 136.

145
00:08:40,959 --> 00:08:44,558
Podzielmy obie strony równania przez 990

146
00:08:45,556 --> 00:08:51,345
a więc t równa się 136/990.

147
00:08:56,575 --> 00:08:58,857
Podzielmy jeszcze licznik i mianownik na 2.

148
00:08:58,963 --> 00:09:00,822
136 na 2 daje nam 68

149
00:09:01,951 --> 00:09:07,327
990 na 2 daje nam 495

150
00:09:10,911 --> 00:09:15,519
a więc ułamek 0,1 i 37 w okresie

151
00:09:15,775 --> 00:09:17,615
jest liczbą wymierną.

152
00:09:23,711 --> 00:09:26,015
Rozwiążmy jeszcze jedno zadanie.

153
00:09:26,527 --> 00:09:28,721
Zakreśl wszystkie liczby, które należą

154
00:09:28,821 --> 00:09:30,366
do zbioru liczb wymiernych.

155
00:09:30,879 --> 00:09:32,100
Zatrzymaj film i spróbuj

156
00:09:32,200 --> 00:09:34,106
rozwiązać to zadanie samodzielnie.

157
00:09:37,279 --> 00:09:39,079
Z poprzednich przykładów wiemy

158
00:09:39,179 --> 00:09:41,942
że ułamek 0,33 w okresie

159
00:09:42,042 --> 00:09:43,523
będzie liczbą wymierną.

160
00:09:46,239 --> 00:09:51,096
Pierwiastek z 36 to to samo, co sześć

161
00:09:51,746 --> 00:09:54,109
więc również jest liczbą wymierną, ponieważ

162
00:09:54,209 --> 00:09:56,900
liczby całkowite są liczbami wymiernymi.

163
00:09:59,295 --> 00:10:01,229
Liczba 18 jest liczbą całkowitą

164
00:10:01,329 --> 00:10:03,391
więc również jest liczbą wymierną

165
00:10:03,647 --> 00:10:06,207
tak samo, jak liczba 6 do czwartej.

166
00:10:09,279 --> 00:10:12,514
Liczbę 26,25 możemy zamienić

167
00:10:12,680 --> 00:10:16,081
na ułamek prosty, więc jest to liczba wymierna

168
00:10:17,284 --> 00:10:20,419
tak samo, jak liczba 0,16.

169
00:10:25,919 --> 00:10:27,749
Reszta wymienionych liczb należy

170
00:10:27,849 --> 00:10:29,502
do zbioru liczb niewymiernych

171
00:10:29,759 --> 00:10:31,807
i o nich opowiem Ci w kolejnym filmie.

172
00:10:38,463 --> 00:10:39,853
Zbiór liczb wymiernych

173
00:10:39,953 --> 00:10:41,278
oznaczamy symbolem W.

174
00:10:41,535 --> 00:10:43,703
Zawiera on w sobie wszystkie te liczby

175
00:10:43,803 --> 00:10:45,921
które możemy określić za pomocą ułamka

176
00:10:46,021 --> 00:10:48,790
nieskracalnego liczb całkowitych.

177
00:10:52,031 --> 00:10:54,214
Zapraszam Cię do obejrzenia kolejnych filmów

178
00:10:54,314 --> 00:10:55,939
z playlisty o zbiorach liczbowych.

179
00:10:56,039 --> 00:10:58,646
Odwiedź też nasz fanpage na Facebooku.