1
00:00:01,954 --> 00:00:03,804
Matematyk z żoną opuszcza hotel.

2
00:00:03,804 --> 00:00:05,319
Stoją z bagażami na ulicy.

3
00:00:05,319 --> 00:00:06,192
Żona mu nie ufa

4
00:00:06,192 --> 00:00:07,608
gdyż jest wielce roztargniony

5
00:00:07,608 --> 00:00:09,849
więc mówi: poczekaj tu i przypilnuj bagaży

6
00:00:09,849 --> 00:00:11,424
a ja zamówię taksówkę.

7
00:00:11,424 --> 00:00:13,560
Zostawiła go mruczącego coś pod nosem.

8
00:00:13,560 --> 00:00:15,004
Gdy wróciła po kilku minutach

9
00:00:15,004 --> 00:00:16,705
mąż powiedział: wydawało mi się

10
00:00:16,705 --> 00:00:18,224
że mówiłaś, że mamy 8 walizek

11
00:00:18,224 --> 00:00:20,008
a ja policzyłem tylko do siedmiu.

12
00:00:20,008 --> 00:00:21,265
Ależ nie!- mówi żona.

13
00:00:21,265 --> 00:00:22,618
Przecież jest 8.

14
00:00:22,618 --> 00:00:23,912
Nie. Policz sama.

15
00:00:23,912 --> 00:00:26,272
0,1,2,3...

16
00:00:42,554 --> 00:00:44,556
Zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem

17
00:00:44,556 --> 00:00:46,336
zbioru liczb rzeczywistych.

18
00:00:46,342 --> 00:00:47,882
Liczby naturalne są to liczby

19
00:00:47,882 --> 00:00:49,926
od zera do nieskończoności.

20
00:00:50,302 --> 00:00:52,082
Każda następna liczba naturalna

21
00:00:52,082 --> 00:00:54,272
jest o 1 większa od poprzedniej.

22
00:00:54,830 --> 00:00:55,855
Do zbioru tych liczb

23
00:00:55,855 --> 00:00:57,287
zaliczamy liczby parzyste

24
00:00:57,287 --> 00:00:58,941
które oznaczyłam na niebiesko

25
00:00:58,941 --> 00:00:59,913
i nieparzyste

26
00:00:59,913 --> 00:01:02,054
które oznaczyłam na pomarańczowo.

27
00:01:03,062 --> 00:01:05,065
Jak sądzisz, czy iloczyn dwóch kolejnych

28
00:01:05,065 --> 00:01:06,754
liczb naturalnych jest parzysty

29
00:01:06,754 --> 00:01:08,656
czy nieparzysty?

30
00:01:09,226 --> 00:01:11,228
Ponieważ chcemy rozstrzygnąć ten problem

31
00:01:11,228 --> 00:01:12,874
dla wszystkich liczb naturalnych

32
00:01:12,874 --> 00:01:14,702
zapiszemy go ogólnie.

33
00:01:15,282 --> 00:01:17,097
Weźmy dowolną liczbę naturalną

34
00:01:17,097 --> 00:01:19,104
którą mogę zapisać jako n.

35
00:01:19,692 --> 00:01:20,699
Następna po niej,

36
00:01:20,699 --> 00:01:22,270
co widzisz na osi liczbowej

37
00:01:22,270 --> 00:01:24,044
jest liczba n plus 1.

38
00:01:24,480 --> 00:01:27,040
Nasz iloczyn będzie zatem wyglądał tak:

39
00:01:27,086 --> 00:01:29,364
n razy, w nawiasie n plus 1.

40
00:01:31,222 --> 00:01:32,054
Jak pamiętasz

41
00:01:32,074 --> 00:01:34,570
co druga liczba naturalna jest parzysta.

42
00:01:34,922 --> 00:01:36,887
Jednak nie wiemy czy w naszym iloczynie

43
00:01:36,887 --> 00:01:39,774
parzysta jest liczba n czy n plus 1.

44
00:01:40,352 --> 00:01:41,632
Czy jest to ważne?

45
00:01:44,192 --> 00:01:45,728
Masz rację, nie jest.

46
00:01:46,020 --> 00:01:48,318
Bo mnożenie jest działaniem przemiennym.

47
00:01:48,364 --> 00:01:49,920
Wiemy zatem, że na pewno

48
00:01:49,970 --> 00:01:51,872
jedna z tych liczb jest parzysta.

49
00:01:52,214 --> 00:01:53,737
No a iloczyn liczby parzystej

50
00:01:53,737 --> 00:01:55,798
i nieparzystej jest parzysty.

51
00:01:56,014 --> 00:01:57,181
Co możesz sprawdzić

52
00:01:57,181 --> 00:01:58,704
na dowolnym przykładzie liczb

53
00:01:58,704 --> 00:01:59,854
z osi liczbowej.

54
00:02:00,576 --> 00:02:02,741
Na przykład 2 razy 3 da nam 6

55
00:02:02,741 --> 00:02:04,160
które jest parzyste

56
00:02:05,184 --> 00:02:06,720
i 7 razy 8

57
00:02:06,766 --> 00:02:08,299
da nam liczbę 56

58
00:02:08,299 --> 00:02:10,048
która również jest parzysta.

59
00:02:14,686 --> 00:02:16,436
Liczby naturalne możemy również

60
00:02:16,436 --> 00:02:18,266
podzielić na liczby pierwsze

61
00:02:18,266 --> 00:02:19,802
zaznaczone na żółto

62
00:02:21,312 --> 00:02:24,128
i liczby złożone zaznaczone na niebiesko.

63
00:02:24,640 --> 00:02:26,914
Pamiętaj, że liczby 0 i 1

64
00:02:26,914 --> 00:02:29,083
nie należą ani do liczb pierwszych

65
00:02:29,083 --> 00:02:30,784
ani do liczb złożonych.

66
00:02:32,718 --> 00:02:34,281
Jeśli nie pamiętasz jak znaleźć

67
00:02:34,281 --> 00:02:35,924
liczby pierwsze lub złożone

68
00:02:35,924 --> 00:02:37,411
obejrzyj na naszym kanale film

69
00:02:37,411 --> 00:02:40,222
o liczbach pierwszych i złożonych.

70
00:02:43,956 --> 00:02:46,307
Każdą liczbę złożoną możemy zapisać jako

71
00:02:46,307 --> 00:02:47,689
iloczyn liczb pierwszych

72
00:02:47,689 --> 00:02:49,240
które są jej dzielnikami.

73
00:02:50,396 --> 00:02:51,784
Możemy w ten sposób znaleźć

74
00:02:51,784 --> 00:02:53,311
największy wspólny dzielnik

75
00:02:53,311 --> 00:02:55,196
oraz najmniejszą wspólną wielokrotność

76
00:02:55,196 --> 00:02:56,348
dwóch liczb.

77
00:02:56,348 --> 00:02:58,008
Jeśli nie pamiętasz jak to zrobić

78
00:02:58,008 --> 00:02:59,760
obejrzyj na naszym kanale filmy

79
00:02:59,760 --> 00:03:01,642
o NWD i NWW.

80
00:03:02,162 --> 00:03:03,817
Skoro już sobie przypomnieliśmy

81
00:03:03,817 --> 00:03:05,544
jakie są liczby pierwsze

82
00:03:05,544 --> 00:03:06,624
a jakie złożone

83
00:03:06,680 --> 00:03:08,130
rozwiążmy takie zadanie.

84
00:03:09,184 --> 00:03:10,886
Wyznacz liczby a i b

85
00:03:10,886 --> 00:03:14,560
wiedząc, że NWD liczby a i b równa się 6

86
00:03:14,816 --> 00:03:18,400
a NWW liczby a i b równa się 210.

87
00:03:18,912 --> 00:03:19,995
Żeby to obliczyć

88
00:03:19,995 --> 00:03:22,069
najłatwiej będzie nam posłużyć się wzorem

89
00:03:22,069 --> 00:03:24,620
na zależność między NWD i NWW.

90
00:03:25,312 --> 00:03:27,616
Podstawmy nasze dane z zadania pod wzór.

91
00:03:28,384 --> 00:03:30,818
NWD liczby a i b to 6

92
00:03:30,818 --> 00:03:34,528
razy NWW liczby a i b, czyli 210

93
00:03:35,036 --> 00:03:37,008
równa się a razy b

94
00:03:37,902 --> 00:03:39,928
NWD jest dzielnikiem liczb a i b

95
00:03:40,058 --> 00:03:41,281
więc możemy zapisać

96
00:03:41,281 --> 00:03:43,920
że obie nasze liczby są podzielne przez 6.

97
00:03:44,854 --> 00:03:47,265
A więc a będzie jakąś liczbą x

98
00:03:47,265 --> 00:03:48,950
pomnożoną razy 6

99
00:03:49,432 --> 00:03:51,303
i b będzie jakąś liczbą y

100
00:03:51,303 --> 00:03:52,760
pomnożoną razy 6.

101
00:03:53,984 --> 00:03:56,522
Skoro NWD jest dzielnikiem liczb a i b

102
00:03:56,522 --> 00:03:58,592
to jest również dzielnikiem NWW.

103
00:03:58,954 --> 00:04:00,954
A więc lewą stronę naszego działania

104
00:04:00,954 --> 00:04:02,282
możemy zapisać jako 6

105
00:04:02,282 --> 00:04:04,330
oznaczające nasze NWD

106
00:04:04,992 --> 00:04:07,552
razy 6 razy 35

107
00:04:07,668 --> 00:04:10,484
bo 6 razy 35 to 210.

108
00:04:11,136 --> 00:04:12,920
I nasza lewa strona równa się

109
00:04:12,920 --> 00:04:15,234
6 razy x, które jest naszym a

110
00:04:15,694 --> 00:04:18,697
i razy 6 razy y, które jest naszym b

111
00:04:18,697 --> 00:04:19,825
a więc wiemy, że

112
00:04:19,825 --> 00:04:24,191
a razy b to 6 razy 6 razy 35.

113
00:04:24,779 --> 00:04:26,691
Wiemy też, że każda z tych liczb

114
00:04:26,691 --> 00:04:28,287
jest podzielna przez 6.

115
00:04:28,303 --> 00:04:30,862
To jak możemy wykorzystać nasze 35?

116
00:04:30,942 --> 00:04:32,022
Wychodzi na to

117
00:04:32,022 --> 00:04:35,037
że 35 to jest nasze x razy y.

118
00:04:35,265 --> 00:04:36,932
A więc nasze a może się równać

119
00:04:36,932 --> 00:04:38,849
6 razy 1, czyli 6

120
00:04:40,063 --> 00:04:43,647
i b równe 6 razy 35, czyli 210.

121
00:04:44,159 --> 00:04:46,333
Zauważ, że może też być tak

122
00:04:46,333 --> 00:04:48,299
że b będzie się równało 6

123
00:04:48,555 --> 00:04:50,722
a a będzie się równało 210

124
00:04:50,722 --> 00:04:52,863
bo mnożenie jest przecież przemienne.

125
00:04:52,863 --> 00:04:55,528
No dobrze, ale zastanówmy się czy istnieje

126
00:04:55,528 --> 00:04:57,191
inne rozwiązanie tego zadania.

127
00:04:57,727 --> 00:04:59,940
Czy 35 jest liczbą pierwszą?

128
00:04:59,940 --> 00:05:00,745
Nie jest.

129
00:05:00,745 --> 00:05:03,189
35 to iloczyn 5 razy 7.

130
00:05:03,215 --> 00:05:05,047
Czy możemy ten fakt jakoś wykorzystać

131
00:05:05,047 --> 00:05:06,789
do znalezienia drugiego rozwiązania

132
00:05:06,789 --> 00:05:08,021
do tego zadania?

133
00:05:08,021 --> 00:05:09,031
Oczywiście!

134
00:05:09,031 --> 00:05:10,110
Możemy zapisać

135
00:05:10,110 --> 00:05:12,344
że nasze NWW razy NWD

136
00:05:12,344 --> 00:05:15,161
to 6 razy 6 razy 5 razy 7

137
00:05:15,357 --> 00:05:17,293
a skoro tak to nasze a

138
00:05:17,293 --> 00:05:19,137
może się równać 6 razy 5

139
00:05:19,137 --> 00:05:20,911
a b, 6 razy 7.

140
00:05:20,911 --> 00:05:23,234
A więc a może się równać 30

141
00:05:23,234 --> 00:05:24,784
a b, 42.

142
00:05:24,784 --> 00:05:26,095
Albo odwrotnie

143
00:05:26,095 --> 00:05:28,191
a może się równać 42

144
00:05:28,191 --> 00:05:29,471
a b, 30.

145
00:05:35,907 --> 00:05:37,744
Rozwiążmy jeszcze jedno zadanie.

146
00:05:38,204 --> 00:05:40,122
Dla jakich liczb naturalnych n

147
00:05:40,122 --> 00:05:43,089
ułamek 6n plus 3 przez 3n plus 1

148
00:05:43,089 --> 00:05:44,319
jest naturalny?

149
00:05:45,961 --> 00:05:47,529
Zacznijmy od zastanowienia się

150
00:05:47,529 --> 00:05:48,674
w jakiej sytuacji

151
00:05:48,674 --> 00:05:50,503
ułamek jest liczbą naturalną.

152
00:05:51,337 --> 00:05:53,350
Ułamek jest liczbą naturalną wtedy

153
00:05:53,380 --> 00:05:54,728
gdy możemy go przedstawić

154
00:05:54,728 --> 00:05:56,228
w postaci liczby całkowitej

155
00:05:56,228 --> 00:05:58,221
większej bądź równej zeru.

156
00:05:58,399 --> 00:06:00,191
Przepiszmy zatem nasz ułamek.

157
00:06:01,215 --> 00:06:04,287
6n plus 3 przez 3n plus 1

158
00:06:04,543 --> 00:06:06,971
Zatrzymaj teraz film i zastanów się

159
00:06:06,971 --> 00:06:09,490
ile razy mianownik mieści się w liczniku

160
00:06:09,490 --> 00:06:10,687
i co z tego wynika?

161
00:06:13,775 --> 00:06:15,050
Zacznijmy od tego

162
00:06:15,050 --> 00:06:17,599
ile razy 3n mieści się w 6n.

163
00:06:18,503 --> 00:06:19,716
To bardzo proste.

164
00:06:19,716 --> 00:06:20,631
2 razy.

165
00:06:20,631 --> 00:06:23,095
W takim razie możemy zapisać nasz licznik

166
00:06:23,095 --> 00:06:26,197
jako 2 razy, w nawiasie 3n plus 1.

167
00:06:26,339 --> 00:06:28,461
Czy licznik zapisany jest poprawnie?

168
00:06:29,175 --> 00:06:30,137
Ile trzeba dodać

169
00:06:30,137 --> 00:06:32,074
aby nasz licznik był poprawny?

170
00:06:32,074 --> 00:06:33,783
Musimy jeszcze dodać 1.

171
00:06:34,335 --> 00:06:36,177
I mamy przekształcony cały ułamek.

172
00:06:36,177 --> 00:06:38,354
Ten zapis aż prosi się o skrócenie.

173
00:06:38,514 --> 00:06:39,231
Jak widzisz

174
00:06:39,231 --> 00:06:41,099
nie możemy jeszcze tego zrobić.

175
00:06:41,403 --> 00:06:43,122
Musimy najpierw rozbić nasz ułamek

176
00:06:43,122 --> 00:06:44,785
na sumę dwóch ułamków.

177
00:06:45,369 --> 00:06:46,663
Zatrzymaj teraz film

178
00:06:46,663 --> 00:06:48,718
i spróbuj samodzielnie rozbić ten ułamek

179
00:06:48,728 --> 00:06:50,687
na sumę dwóch ułamków.

180
00:06:53,867 --> 00:06:55,657
Pierwszym ułamkiem będzie

181
00:06:55,657 --> 00:06:57,601
2 razy, w nawiasie 3n plus 1.

182
00:06:57,621 --> 00:06:59,845
podzielić przez 3n plus 1

183
00:07:01,119 --> 00:07:02,855
Zaś drugim ułamkiem będzie

184
00:07:02,855 --> 00:07:05,215
1 przez 3n plus 1.

185
00:07:07,775 --> 00:07:09,510
W pierwszym ułamku możemy skrócić

186
00:07:09,510 --> 00:07:10,934
nawias z mianownikiem

187
00:07:10,934 --> 00:07:12,034
i otrzymamy 2.

188
00:07:12,224 --> 00:07:14,109
Liczba 2 jest liczbą naturalną.

189
00:07:14,335 --> 00:07:16,409
Teraz musimy znaleźć takie n

190
00:07:16,409 --> 00:07:18,973
żeby ułamek 1 przez 3n plus 1

191
00:07:18,979 --> 00:07:20,575
był liczbą całkowitą.

192
00:07:20,575 --> 00:07:21,712
Zatrzymaj teraz film

193
00:07:21,712 --> 00:07:24,671
i zastanów się, jaką liczbą może być n.

194
00:07:27,743 --> 00:07:29,296
Szukamy takich liczb n

195
00:07:29,296 --> 00:07:30,660
aby cały nasz ułamek

196
00:07:30,660 --> 00:07:33,287
6n plus 3 przez 3n plus 1

197
00:07:33,287 --> 00:07:34,911
był liczbą naturalną

198
00:07:35,423 --> 00:07:38,157
a więc liczbą od zera do nieskończoności.

199
00:07:38,157 --> 00:07:41,197
W takim razie ułamek 1 przez 3n plus 1

200
00:07:41,823 --> 00:07:43,359
musi być całkowity.

201
00:07:43,615 --> 00:07:46,553
Aby nasz ułamek 1 przez 3n plus 1

202
00:07:46,553 --> 00:07:47,711
był całkowity

203
00:07:48,223 --> 00:07:50,681
możemy 1 podzielić tylko przez 1

204
00:07:50,681 --> 00:07:52,063
albo przez - 1.

205
00:07:52,319 --> 00:07:54,088
W takim razie możemy zapisać

206
00:07:54,088 --> 00:07:56,734
że 3n plus 1 równa się 1

207
00:07:56,854 --> 00:08:00,255
lub 3n plus 1 równa się -1.

208
00:08:00,371 --> 00:08:01,925
Wtedy w pierwszym przypadku

209
00:08:01,925 --> 00:08:05,035
3n będzie się równało 1 odjąć 1

210
00:08:05,035 --> 00:08:08,191
a więc 0, co da nam n równe 0

211
00:08:12,243 --> 00:08:13,779
lub w drugim przypadku

212
00:08:14,135 --> 00:08:16,910
3n plus 1 może się równać -1

213
00:08:16,910 --> 00:08:20,125
a więc 3n może się równać -2

214
00:08:20,125 --> 00:08:22,995
i to da nam wynik n równe -2/3.

215
00:08:24,063 --> 00:08:25,175
Szukaliśmy liczby n

216
00:08:25,175 --> 00:08:26,596
która będzie naturalna

217
00:08:26,596 --> 00:08:28,402
a więc jedynym możliwym rozwiązaniem

218
00:08:28,402 --> 00:08:30,987
tego zadania będzie n równe 0.

219
00:08:31,357 --> 00:08:33,405
W ten sposób rozwiązaliśmy zadanie.

220
00:08:37,963 --> 00:08:38,842
A co jeśli liczba

221
00:08:38,842 --> 00:08:41,129
nie jest podzielna przez dzielnik?

222
00:08:42,495 --> 00:08:44,953
Udowodnij, że każda liczba całkowita k

223
00:08:44,953 --> 00:08:47,718
która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2

224
00:08:47,718 --> 00:08:48,859
ma tę własność

225
00:08:48,895 --> 00:08:50,372
że reszta z dzielenia liczby

226
00:08:50,372 --> 00:08:53,373
3k kwadrat przez 7 jest równa 5.

227
00:08:54,271 --> 00:08:56,249
Z pierwszej części zadania wynika

228
00:08:56,249 --> 00:08:58,157
że liczba całkowita k

229
00:08:58,213 --> 00:09:01,093
przy dzieleniu przez 7 daje nam coś

230
00:09:01,149 --> 00:09:02,173
i resztę 2.

231
00:09:03,121 --> 00:09:04,584
Przekształćmy nasz zapis tak

232
00:09:04,584 --> 00:09:06,609
żeby po lewej stronie mieć samo k.

233
00:09:06,609 --> 00:09:10,911
Wtedy k będzie się równać 7x plus 2

234
00:09:10,937 --> 00:09:12,553
ponieważ reszta to 2.

235
00:09:14,079 --> 00:09:15,237
Reszty z dzielenia

236
00:09:15,237 --> 00:09:17,311
nie mnożymy przez nasz dzielnik.

237
00:09:19,887 --> 00:09:21,521
Teraz zatrzymaj film

238
00:09:21,641 --> 00:09:23,847
i zapisz liczbę 3k kwadrat.

239
00:09:28,063 --> 00:09:29,678
3k kwadrat to inaczej

240
00:09:29,678 --> 00:09:32,390
3 razy, w nawiasie 7x plus 2

241
00:09:32,390 --> 00:09:33,867
podniesione do kwadratu.

242
00:09:33,867 --> 00:09:35,293
Podnosząc nasz nawias

243
00:09:35,293 --> 00:09:37,479
7x plus 2 do kwadratu

244
00:09:37,479 --> 00:09:38,940
najlepiej skorzystać ze wzoru

245
00:09:38,940 --> 00:09:40,351
skróconego mnożenia

246
00:09:40,397 --> 00:09:41,874
z którego wyliczymy

247
00:09:41,884 --> 00:09:44,759
że nasz nawias 7x plus 2 do kwadratu

248
00:09:44,775 --> 00:09:49,567
to 49x kwadrat dodać 28x

249
00:09:49,567 --> 00:09:50,591
i dodać 4.

250
00:09:53,151 --> 00:09:55,045
To wyrażenie musimy jeszcze pomnożyć

251
00:09:55,045 --> 00:09:57,759
przez 3, które jest przed nawiasem

252
00:09:58,031 --> 00:10:03,407
i otrzymamy 147x kwadrat dodać 84x

253
00:10:04,671 --> 00:10:06,207
i dodać 12.

254
00:10:06,439 --> 00:10:08,170
Mamy wykazać, że reszta z dzielenia

255
00:10:08,170 --> 00:10:10,655
naszej liczby 3k kwadrat przez 7

256
00:10:11,107 --> 00:10:11,875
to 5.

257
00:10:14,671 --> 00:10:16,009
W tym celu wyciągnijmy

258
00:10:16,009 --> 00:10:17,743
z naszego wyniku siódemki.

259
00:10:19,319 --> 00:10:24,183
147x kwadrat to 7 razy 21x kwadrat

260
00:10:25,407 --> 00:10:26,175
dodać

261
00:10:27,455 --> 00:10:29,247
84x

262
00:10:29,503 --> 00:10:32,575
to to samo co 7 razy 12x

263
00:10:33,599 --> 00:10:37,439
a 12 możemy przedstawić jako 7 plus 5.

264
00:10:38,373 --> 00:10:40,354
Tutaj widać, że przy dzieleniu naszej

265
00:10:40,354 --> 00:10:42,815
liczby 3k kwadrat przez 7

266
00:10:43,017 --> 00:10:45,065
naszą resztą będzie liczba 5.

267
00:10:45,697 --> 00:10:47,118
W ten sposób rozwiązaliśmy

268
00:10:47,118 --> 00:10:48,427
ostatnie zadanie.

269
00:10:54,823 --> 00:10:56,619
Liczby naturalne to wszystkie liczby

270
00:10:56,619 --> 00:10:59,108
całkowite od zera do nieskończoności.

271
00:10:59,108 --> 00:11:01,247
Liczba pierwsza jest to taka liczba

272
00:11:01,247 --> 00:11:03,264
która ma dokładnie 2 różne dzielniki

273
00:11:03,264 --> 00:11:04,875
jedynkę i samą siebie

274
00:11:04,875 --> 00:11:06,042
zaś liczba złożona

275
00:11:06,052 --> 00:11:08,397
ma co najmniej 3 różne dzielniki.

276
00:11:12,773 --> 00:11:14,553
Zachęcam Cię do obejrzenia kolejnych

277
00:11:14,553 --> 00:11:16,552
filmów z playlisty o zbiorach liczbowych

278
00:11:16,552 --> 00:11:18,004
a także do odwiedzenia naszej

279
00:11:18,004 --> 00:11:20,414
strony internetowej.