1
00:00:00,874 --> 00:00:03,102
Podróżując pociągami, można się natknąć

2
00:00:03,102 --> 00:00:04,974
na najróżniejsze rodzaje przedziałów.

3
00:00:04,974 --> 00:00:06,823
W tej lekcji opowiem Ci z jakimi

4
00:00:06,823 --> 00:00:08,394
przedziałami możesz się spotkać

5
00:00:08,394 --> 00:00:09,422
w matematyce.

6
00:00:22,680 --> 00:00:24,565
Przedział liczbowy jest to zbiór liczb

7
00:00:24,565 --> 00:00:26,308
na osi liczbowej między dwoma

8
00:00:26,308 --> 00:00:28,383
ustalonymi elementami tego zbioru

9
00:00:28,383 --> 00:00:30,694
początkiem i końcem przedziału.

10
00:00:31,488 --> 00:00:33,729
Przedział może być zamknięty i otwarty

11
00:00:33,729 --> 00:00:35,584
lub jednostronnie otwarty.

12
00:00:35,584 --> 00:00:36,632
Co to oznacza?

13
00:00:36,658 --> 00:00:39,042
Dowiesz się w dalszej części tego filmu.

14
00:00:40,298 --> 00:00:41,957
Rozwiążmy takie zadanie.

15
00:00:42,017 --> 00:00:43,762
Jakie liczby spełniają warunek

16
00:00:43,762 --> 00:00:45,436
x jest większe od -2

17
00:00:45,436 --> 00:00:47,222
i x jest mniejsze od 2?

18
00:00:47,222 --> 00:00:48,974
Zaznacz je na osi liczbowej

19
00:00:48,974 --> 00:00:50,432
i zapisz przedział.

20
00:00:52,014 --> 00:00:53,526
Mamy podany przedział A

21
00:00:53,526 --> 00:00:56,878
gdzie x są większe od -2 i mniejsze od 2.

22
00:00:58,328 --> 00:00:59,610
Znajdźmy początek i koniec

23
00:00:59,610 --> 00:01:01,228
naszego przedziału.

24
00:01:01,952 --> 00:01:04,512
Początkiem przedziału będzie liczba -2.

25
00:01:04,538 --> 00:01:05,910
Szukamy takich liczb x

26
00:01:05,940 --> 00:01:09,166
które są większe od -2, a więc samo -2

27
00:01:09,166 --> 00:01:11,172
do naszego przedziału nie należy

28
00:01:11,172 --> 00:01:12,513
a jedynie wyznacza nam

29
00:01:12,513 --> 00:01:14,182
początek tego przedziału.

30
00:01:14,752 --> 00:01:15,506
W takim razie

31
00:01:15,506 --> 00:01:17,824
początek naszego przedziału jest otwarty

32
00:01:18,136 --> 00:01:20,952
dlatego -2 zaznaczamy kółeczkiem otwartym.

33
00:01:21,640 --> 00:01:23,061
I zaznaczmy wszystkie liczby

34
00:01:23,061 --> 00:01:24,822
które są większe od -2.

35
00:01:26,810 --> 00:01:28,343
Przejdźmy do końca przedziału.

36
00:01:28,343 --> 00:01:29,966
Szukamy takich liczb x

37
00:01:29,966 --> 00:01:31,418
które są mniejsze od dwóch

38
00:01:31,564 --> 00:01:33,495
czyli tak jak w przypadku -2

39
00:01:33,545 --> 00:01:34,847
koniec naszego przedziału

40
00:01:34,847 --> 00:01:36,768
oznaczamy kółeczkiem otwartym

41
00:01:36,990 --> 00:01:38,710
bo również nie należy do przedziału

42
00:01:38,710 --> 00:01:40,844
a jedynie wyznacza jego koniec.

43
00:01:40,990 --> 00:01:42,719
Wiedząc to, możemy zaznaczyć

44
00:01:42,739 --> 00:01:44,704
wszystkie liczby mniejsze od dwóch.

45
00:01:45,728 --> 00:01:47,159
Szukaliśmy takich liczb x

46
00:01:47,159 --> 00:01:48,743
które są jednocześnie większe od

47
00:01:48,743 --> 00:01:50,592
-2 i mniejsze od 2.

48
00:01:50,754 --> 00:01:51,755
Są to te liczby

49
00:01:51,775 --> 00:01:53,288
ograniczone częścią wspólną

50
00:01:53,288 --> 00:01:55,284
naszych dwóch narysowanych przedziałów.

51
00:01:55,284 --> 00:01:56,364
O tutaj.

52
00:01:57,504 --> 00:01:59,552
Teraz możemy zapisać przedział.

53
00:01:59,864 --> 00:02:01,168
x należy do przedziału

54
00:02:01,168 --> 00:02:04,412
lewostronnie otwartego od -2 do 2

55
00:02:04,412 --> 00:02:06,208
prawostronnie otwartego.

56
00:02:07,544 --> 00:02:09,799
A więc x należy do przedziału otwartego

57
00:02:09,799 --> 00:02:11,264
od -2 do 2.

58
00:02:11,660 --> 00:02:13,964
W ten sposób rozwiązaliśmy całe zadanie.

59
00:02:19,008 --> 00:02:20,783
Rozwiążmy kolejne zadanie.

60
00:02:20,783 --> 00:02:22,810
Zaznacz przedziały na osi liczbowej

61
00:02:22,810 --> 00:02:25,692
i wyznacz ich sumę, różnicę i iloczyn.

62
00:02:26,944 --> 00:02:28,927
Przedziały tak jak zbiory możemy sumować

63
00:02:28,927 --> 00:02:31,732
odejmować i wyznaczać ich część wspólną.

64
00:02:32,064 --> 00:02:33,734
Mamy podany przedział A

65
00:02:33,734 --> 00:02:36,928
obustronnie zamknięty od -3 do 4

66
00:02:36,994 --> 00:02:40,512
i przedział B, lewostronnie otwarty

67
00:02:41,140 --> 00:02:43,054
od zera do pięciu

68
00:02:43,054 --> 00:02:44,864
prawostronnie zamknięty.

69
00:02:45,864 --> 00:02:47,248
Przedział A jest przedziałem

70
00:02:47,248 --> 00:02:50,070
obustronnie zamkniętym od -3 do 4.

71
00:02:50,276 --> 00:02:51,973
To znaczy, że zarówno początek

72
00:02:51,973 --> 00:02:53,882
naszego przedziału, jak i jego koniec

73
00:02:53,882 --> 00:02:55,460
należą do przedziału.

74
00:02:56,214 --> 00:02:57,983
Jak pamiętasz, przedział zamknięty

75
00:02:57,983 --> 00:02:59,882
oznaczamy kółeczkiem zamkniętym.

76
00:02:59,882 --> 00:03:00,952
Zróbmy to.

77
00:03:02,122 --> 00:03:03,311
Teraz możemy narysować

78
00:03:03,311 --> 00:03:05,664
nasz przedział A na na osi liczbowej.

79
00:03:06,112 --> 00:03:07,551
Przejdźmy do przedziału B.

80
00:03:07,551 --> 00:03:09,422
Zatrzymaj film, zaznacz przedział B

81
00:03:09,422 --> 00:03:10,935
na osi, a następnie porównaj

82
00:03:10,935 --> 00:03:12,656
swój rysunek z moim.

83
00:03:15,906 --> 00:03:17,790
Przedział B jest jednostronnie otwarty

84
00:03:17,790 --> 00:03:19,849
w początku przedziału, dlatego 0

85
00:03:19,849 --> 00:03:21,954
oznaczamy kółeczkiem otwartym.

86
00:03:22,010 --> 00:03:24,496
Z kolei koniec przedziału jest zamknięty

87
00:03:24,496 --> 00:03:27,130
więc 5 oznaczamy kółeczkiem zamkniętym.

88
00:03:27,366 --> 00:03:28,990
Teraz wystarczy tylko narysować

89
00:03:28,990 --> 00:03:31,082
nasz przedział B i pierwszą część zadania

90
00:03:31,082 --> 00:03:32,626
mamy już wykonaną.

91
00:03:35,116 --> 00:03:37,199
Przejdźmy do sumy przedziałów A i B.

92
00:03:37,199 --> 00:03:38,876
Jak pamiętasz z poprzedniej lekcji

93
00:03:38,876 --> 00:03:41,000
sumę zbiorów, a więc i przedziałów możemy 

94
00:03:41,000 --> 00:03:43,095
skojarzyć z wlewaniem wszystkich elementów

95
00:03:43,095 --> 00:03:45,878
naszych przedziałów do kubka.

96
00:03:46,466 --> 00:03:48,134
Nasza suma przedziałów zaczyna się

97
00:03:48,134 --> 00:03:50,283
w domkniętym początku przedziału A

98
00:03:50,283 --> 00:03:51,646
a więc w - 3

99
00:03:51,712 --> 00:03:53,666
a kończy się w domkniętym końcu

100
00:03:53,666 --> 00:03:56,064
naszego przedziału B, czyli w piątce.

101
00:03:56,690 --> 00:03:58,738
A więc suma przedziałów A i B

102
00:03:58,774 --> 00:04:00,711
to przedział obustronnie zamknięty

103
00:04:00,711 --> 00:04:02,358
od -3 do 5.

104
00:04:03,968 --> 00:04:06,338
W ten sposób zapisaliśmy sumę przedziałów.

105
00:04:06,338 --> 00:04:08,846
Przejdźmy więc do iloczynu przedziałów.

106
00:04:09,500 --> 00:04:10,783
Polega on na wyznaczeniu

107
00:04:10,783 --> 00:04:12,274
części wspólnej przedziałów

108
00:04:12,274 --> 00:04:14,384
a więc iloczynem przedziału A i B

109
00:04:14,384 --> 00:04:15,744
będzie ten obszar.

110
00:04:17,827 --> 00:04:19,448
Jak widzisz, cześć wspólna

111
00:04:19,448 --> 00:04:21,667
to przedział od zera do 4.

112
00:04:22,505 --> 00:04:24,416
0 nie należy do naszej części

113
00:04:24,416 --> 00:04:25,632
wspólnej przedziałów

114
00:04:25,652 --> 00:04:27,901
ponieważ należy tylko do przedziału A.

115
00:04:28,669 --> 00:04:31,324
Z kolei 4 do części wspólnej należy

116
00:04:31,324 --> 00:04:32,707
ponieważ zarówno należy

117
00:04:32,707 --> 00:04:34,813
do przedziału A, jak i B.

118
00:04:35,049 --> 00:04:37,327
W takim razie zapiszmy nasz iloczyn.

119
00:04:37,865 --> 00:04:39,996
Część wspólna przedziałów A i B

120
00:04:39,996 --> 00:04:43,130
zaczyna się w zerze i kończy w czterech.

121
00:04:43,130 --> 00:04:44,344
Przejdźmy do różnicy.

122
00:04:44,364 --> 00:04:45,441
Jeśli chcemy odjąć

123
00:04:45,441 --> 00:04:47,487
od przedziału A przedział B

124
00:04:47,487 --> 00:04:49,703
to musimy odciąć od przedziału A

125
00:04:49,703 --> 00:04:51,040
wszystkie te elementy

126
00:04:51,040 --> 00:04:52,505
które są w przedziale B.

127
00:04:52,929 --> 00:04:55,521
Możemy więc zacząć od -3 i zakończyć

128
00:04:55,521 --> 00:04:58,368
w zerze, ponieważ 0 należy do przedziału A

129
00:04:58,368 --> 00:05:00,543
ale nie należy do przedziału B.

130
00:05:01,387 --> 00:05:03,373
Teraz zatrzymaj film i wyznacz

131
00:05:03,373 --> 00:05:05,178
samodzielnie różnicę przedziałów

132
00:05:05,178 --> 00:05:06,431
B odjąć A.

133
00:05:11,551 --> 00:05:13,427
Różnica przedziałów B odjąć A

134
00:05:13,427 --> 00:05:15,173
oznacza, że od przedziału B

135
00:05:15,173 --> 00:05:17,095
odcinamy wszystkie te elementy

136
00:05:17,095 --> 00:05:19,105
które należą do przedziału A.

137
00:05:19,487 --> 00:05:22,047
Więc nasza różnica zaczyna się w czwórce

138
00:05:23,383 --> 00:05:25,431
ponieważ czwórka należy do przedziału A

139
00:05:25,887 --> 00:05:27,679
i kończy się w piątce

140
00:05:28,703 --> 00:05:29,983
tak jak przedział B.

141
00:05:31,063 --> 00:05:32,719
W ten sposób zapisaliśmy sumę

142
00:05:32,719 --> 00:05:35,159
różnicę i iloczyn przedziałów A i B.

143
00:05:42,317 --> 00:05:44,109
Zróbmy jeszcze jedno zadanie.

144
00:05:44,445 --> 00:05:46,467
Zaznacz przedziały na osi liczbowej

145
00:05:46,467 --> 00:05:49,309
wyznacz ich sumę, różnicę i iloczyn.

146
00:05:50,559 --> 00:05:52,319
Zatrzymaj film i zaznacz przedziały

147
00:05:52,319 --> 00:05:53,979
na osi liczbowej samodzielnie

148
00:05:53,979 --> 00:05:56,647
a następnie porównaj swój rysunek z moim.

149
00:05:59,399 --> 00:06:01,678
Przedział A zaczyna się od -2

150
00:06:01,678 --> 00:06:03,113
w przedziale domkniętym

151
00:06:03,113 --> 00:06:05,823
i kończy się w 4 w przedziale otwartym.

152
00:06:06,471 --> 00:06:08,494
Przedział B zawiera w sobie wszystkie

153
00:06:08,494 --> 00:06:11,751
liczby większe od 5 i mniejsze od 6

154
00:06:11,751 --> 00:06:13,480
a więc jest przedziałem obustronnie

155
00:06:13,480 --> 00:06:15,807
otwartym od 5 do 6.

156
00:06:17,087 --> 00:06:19,647
Wyznaczmy iloczyn przedziałów A i B.

157
00:06:20,717 --> 00:06:23,246
Jak widzisz, przedziały te są rozłączne

158
00:06:23,456 --> 00:06:25,791
a więc nie posiadają części wspólnej.

159
00:06:27,071 --> 00:06:28,125
W takiej sytuacji

160
00:06:28,125 --> 00:06:29,932
iloczynem przedziałów A i B

161
00:06:29,932 --> 00:06:31,423
będzie zbiór pusty.

162
00:06:32,031 --> 00:06:33,823
Zapisujemy go w ten sposób.

163
00:06:35,033 --> 00:06:37,311
Zajmijmy się teraz sumą przedziałów.

164
00:06:37,599 --> 00:06:39,349
W sytuacji, gdy nasze przedziały są

165
00:06:39,349 --> 00:06:41,562
rozłączne to nie możemy zapisać sumy

166
00:06:41,562 --> 00:06:43,263
w formie jednego przedziału

167
00:06:43,263 --> 00:06:45,363
a musimy zapisać oba przedziały.

168
00:06:46,271 --> 00:06:48,129
A więc sumą przedziałów A i B

169
00:06:48,129 --> 00:06:49,511
będzie przedział A

170
00:06:49,511 --> 00:06:53,165
lewostronne zamknięty od -2 do 4

171
00:06:53,279 --> 00:06:54,870
prawostronnie otwarty

172
00:06:54,870 --> 00:06:57,518
i przedział B obustronnie otwarty

173
00:06:57,518 --> 00:06:59,167
od 5 do 6.

174
00:07:00,181 --> 00:07:01,492
Zapiszmy jeszcze różnicę

175
00:07:01,492 --> 00:07:03,141
przedziałów A i B.

176
00:07:04,031 --> 00:07:05,597
Skoro przedziały są rozłączne

177
00:07:05,597 --> 00:07:07,410
to po odjęciu od przedziału A

178
00:07:07,410 --> 00:07:09,407
wszystkich elementów przedziału B

179
00:07:09,407 --> 00:07:11,689
dalej pozostanie nam przedział A.

180
00:07:12,133 --> 00:07:13,474
To właśnie on jest wynikiem

181
00:07:13,474 --> 00:07:15,283
różnicy przedziałów A i B.

182
00:07:15,283 --> 00:07:16,479
Zapiszmy go.

183
00:07:18,021 --> 00:07:19,956
Została nam jeszcze różnica przedziałów

184
00:07:19,956 --> 00:07:21,343
B odjąć A.

185
00:07:22,559 --> 00:07:24,247
Podobnie jak w poprzedniej różnicy

186
00:07:24,247 --> 00:07:26,909
po odjęciu od przedziału B przedziału A

187
00:07:26,909 --> 00:07:28,391
zostaje nam przedział B

188
00:07:28,391 --> 00:07:30,228
a więc wynikiem tego działania

189
00:07:30,228 --> 00:07:32,087
będzie przedział obustronnie otwarty

190
00:07:32,087 --> 00:07:33,915
od 5 do 6.

191
00:07:34,987 --> 00:07:35,787
W ten sposób

192
00:07:35,787 --> 00:07:37,404
rozwiązaliśmy kolejne zadanie

193
00:07:37,404 --> 00:07:39,540
i poznaliśmy różne rodzaje przedziałów

194
00:07:39,540 --> 00:07:40,839
i działań, które możemy

195
00:07:40,839 --> 00:07:42,605
wykonać na przedziałach.

196
00:07:49,349 --> 00:07:51,043
Przedział liczbowy jest podzbiorem

197
00:07:51,043 --> 00:07:52,583
liczb rzeczywistych.

198
00:07:52,583 --> 00:07:54,137
Jeśli przedział jest domknięty

199
00:07:54,137 --> 00:07:56,113
to liczby wyznaczające krańce przedziału

200
00:07:56,113 --> 00:07:58,088
 należą do tego przedziału.

201
00:07:58,088 --> 00:07:59,558
Jeśli przedział jest otwarty

202
00:07:59,558 --> 00:08:01,606
to liczby wyznaczające krańce przedziału

203
00:08:01,606 --> 00:08:04,267
nie należą do tego przedziału.

204
00:08:07,587 --> 00:08:09,048
Zapraszam Cię do obejrzenia

205
00:08:09,048 --> 00:08:10,719
wszystkich filmów z tej playlisty

206
00:08:10,719 --> 00:08:12,006
oraz do polubienia naszego

207
00:08:12,006 --> 00:08:13,129
fanpage'a na Facebooku

208
00:08:13,129 --> 00:08:15,059
PistacjaMatematyka.