1
00:00:00,256 --> 00:00:02,384
Pierwiastki chemiczne możemy ze sobą

2
00:00:02,384 --> 00:00:05,019
łączyć i mieszać z różnym skutkiem.

3
00:00:05,019 --> 00:00:07,099
Czasami coś dymi, czasami coś wybucha

4
00:00:07,099 --> 00:00:09,596
a czasami nie dzieje się zupełnie nic.

5
00:00:09,596 --> 00:00:11,377
Czy możemy tak samo mieszać ze sobą

6
00:00:11,377 --> 00:00:13,102
pierwiastki matematyczne?

7
00:00:13,102 --> 00:00:15,296
Sprawdzimy to za chwilę.

8
00:00:26,222 --> 00:00:27,996
Powinieneś już znać podstawowe prawa

9
00:00:27,996 --> 00:00:29,945
działań na pierwiastkach,czyli mnożenie

10
00:00:29,945 --> 00:00:31,389
i dzielenie pierwiastków tego

11
00:00:31,389 --> 00:00:32,570
samego stopnia.

12
00:00:32,570 --> 00:00:34,453
A pamiętasz jak się wyłączało czynnik

13
00:00:34,453 --> 00:00:35,904
przed znak pierwiastka?

14
00:00:35,904 --> 00:00:37,287
Spróbujmy to najpierw zrobić

15
00:00:37,287 --> 00:00:38,692
dla pierwiastka kwadratowego

16
00:00:38,692 --> 00:00:40,054
z osiemdziesięciu.

17
00:00:40,054 --> 00:00:44,173
80 możemy zapisać jako 16 razy 5

18
00:00:44,173 --> 00:00:46,226
ponieważ 16 razy 5 to 80.

19
00:00:46,246 --> 00:00:47,816
Dlaczego tak zrobiliśmy?

20
00:00:48,128 --> 00:00:51,712
Zauważ, że 16 to 4 do kwadratu.

21
00:00:52,536 --> 00:00:54,173
Teraz korzystając z prawa działań

22
00:00:54,173 --> 00:00:55,746
na pierwiastkach, możemy zapisać

23
00:00:55,746 --> 00:00:57,114
to wyrażenie jako iloczyn

24
00:00:57,114 --> 00:00:58,618
dwóch pierwiastków.

25
00:00:58,618 --> 00:01:00,229
Czyli mamy pierwiastek z czterech

26
00:01:00,229 --> 00:01:02,702
do kwadratu razy pierwiastek z pięciu.

27
00:01:02,702 --> 00:01:05,238
Ile to pierwiastek z czterech do kwadratu?

28
00:01:05,238 --> 00:01:07,090
To oczywiście 4.

29
00:01:07,090 --> 00:01:08,556
Czyli ostatecznie otrzymujemy

30
00:01:08,556 --> 00:01:10,092
4 pierwiastki z pięciu.

31
00:01:11,208 --> 00:01:12,552
A co zrobić z pierwiastkami

32
00:01:12,552 --> 00:01:13,472
wyższych stopni?

33
00:01:13,728 --> 00:01:15,508
Na przykład jak uprościć pierwiastek

34
00:01:15,508 --> 00:01:17,772
czwartego stopnia z czterdziestu ośmiu?

35
00:01:18,342 --> 00:01:20,245
Poprzednio mieliśmy pierwiastek stopnia

36
00:01:20,245 --> 00:01:22,662
drugiego i znaleźliśmy w nim iloczyn

37
00:01:22,662 --> 00:01:24,178
zawierający kwadrat.

38
00:01:24,736 --> 00:01:26,342
Logiczne jest, abyśmy teraz

39
00:01:26,342 --> 00:01:28,815
znaleźli iloczyn zawierający jakąś liczbę

40
00:01:28,815 --> 00:01:30,624
podniesioną do czwartej potęgi.

41
00:01:31,136 --> 00:01:33,553
Zobacz, że 48 możemy zapisać

42
00:01:33,553 --> 00:01:35,232
jako 16 razy 3.

43
00:01:35,744 --> 00:01:37,280
A ile to jest 16?

44
00:01:38,906 --> 00:01:40,210
Owszem, to 4 do drugiej

45
00:01:40,210 --> 00:01:42,186
ale szukamy czwartej potęgi.

46
00:01:42,646 --> 00:01:45,164
16 to również 2 do czwartej.

47
00:01:45,682 --> 00:01:48,143
Tak samo możemy ten pierwiastek

48
00:01:48,143 --> 00:01:50,336
rozbić na iloczyn dwóch pierwiastków

49
00:01:51,024 --> 00:01:52,071
i otrzymujemy, że to

50
00:01:52,071 --> 00:01:54,636
2 pierwiastki czwartego stopnia z trzech.

51
00:01:54,636 --> 00:01:56,224
Albo kolejny przykład.

52
00:01:56,736 --> 00:01:57,916
Jak uprościć pierwiastek

53
00:01:57,916 --> 00:02:00,686
piątego stopnia z pięciuset tysięcy?

54
00:02:01,856 --> 00:02:02,624
Zobacz.

55
00:02:02,880 --> 00:02:04,455
Tym razem będziemy szukać

56
00:02:04,455 --> 00:02:06,598
pod pierwiastkiem jakiejś liczby

57
00:02:06,598 --> 00:02:08,512
podniesionej do piątej potęgi.

58
00:02:08,768 --> 00:02:10,048
Widzisz tu jakąś?

59
00:02:10,710 --> 00:02:12,352
500 000

60
00:02:12,608 --> 00:02:14,656
to 100 000 razy 5.

61
00:02:15,424 --> 00:02:17,702
Ta liczba ma 5 zer.

62
00:02:18,240 --> 00:02:19,776
Możemy ją inaczej zapisać

63
00:02:20,032 --> 00:02:21,696
jako 10 do potęgi piątej.

64
00:02:22,158 --> 00:02:23,316
Zaleźliśmy więc liczbę

65
00:02:23,316 --> 00:02:25,218
podniesioną do piątej potęgi.

66
00:02:25,218 --> 00:02:27,152
Zatrzymaj teraz film i analogicznie

67
00:02:27,152 --> 00:02:28,616
jak w poprzednich przykładach

68
00:02:28,616 --> 00:02:29,859
doprowadź ten pierwiastek

69
00:02:29,859 --> 00:02:31,520
do najprostszej postaci.

70
00:02:31,552 --> 00:02:33,018
Następnie włącz film ponownie

71
00:02:33,018 --> 00:02:35,340
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

72
00:02:37,606 --> 00:02:39,835
Iloczyn pod pierwiastkiem przedstawiamy

73
00:02:39,835 --> 00:02:41,696
jako iloczyn dwóch pierwiastków.

74
00:02:41,792 --> 00:02:43,784
Pierwiastek piątego stopnia z dziesięciu

75
00:02:43,784 --> 00:02:45,173
do piątej razy pierwiastek

76
00:02:45,173 --> 00:02:46,986
piątego stopnia z pięciu.

77
00:02:47,424 --> 00:02:49,989
Ta liczba jest oczywiście równa 10

78
00:02:49,989 --> 00:02:51,464
czyli otrzymujemy ostatecznie

79
00:02:51,464 --> 00:02:54,498
10 pierwiastków piątego stopnia z pięciu.

80
00:02:55,360 --> 00:02:56,210
No dobrze.

81
00:02:56,210 --> 00:02:58,125
Jak widzisz, kluczowe jest rozbicie

82
00:02:58,125 --> 00:02:59,348
liczby pod pierwiastkiem

83
00:02:59,348 --> 00:03:01,100
na odpowiedni iloczyn.

84
00:03:01,504 --> 00:03:03,752
Spróbujmy jeszcze policzyć wspólnie

85
00:03:03,752 --> 00:03:06,196
pierwiastek sześcienny ze stu czterech.

86
00:03:06,196 --> 00:03:08,672
Jak zapisać 104 w postaci iloczynu?

87
00:03:09,644 --> 00:03:11,586
Pamiętaj, że każdą liczbę zawsze możesz

88
00:03:11,586 --> 00:03:13,604
rozłożyć na czynniki pierwsze.

89
00:03:13,792 --> 00:03:15,940
104 to liczba parzysta

90
00:03:15,940 --> 00:03:17,888
czyli na pewno dzieli się przez 2.

91
00:03:18,656 --> 00:03:21,984
Możemy ją zapisać w postaci 2 razy 52.

92
00:03:23,008 --> 00:03:25,312
52 również jest parzysta.

93
00:03:26,080 --> 00:03:27,753
Jeżeli podzielimy ją przez 2

94
00:03:27,753 --> 00:03:29,538
otrzymamy 26.

95
00:03:29,664 --> 00:03:32,224
Czyli mamy 2 razy 2 razy 26.

96
00:03:33,504 --> 00:03:34,739
Zauważ, że nadal jeszcze

97
00:03:34,739 --> 00:03:36,634
nie mamy żadnego sześcianu.

98
00:03:36,832 --> 00:03:38,880
Ale 26 również jest parzysta.

99
00:03:38,880 --> 00:03:40,416
To 2 razy 13.

100
00:03:41,696 --> 00:03:42,720
104

101
00:03:43,232 --> 00:03:46,304
to 2 razy 2 razy 2 razy 13

102
00:03:46,560 --> 00:03:48,608
czyli 2 do trzeciej razy 13.

103
00:03:49,120 --> 00:03:50,400
O to nam chodziło.

104
00:03:50,912 --> 00:03:52,809
Spróbuj teraz samodzielnie do końca

105
00:03:52,809 --> 00:03:54,496
uprościć ten pierwiastek.

106
00:03:57,432 --> 00:03:58,927
Zapisujemy tę liczbę

107
00:03:58,927 --> 00:04:00,896
jako iloczyn dwóch pierwiastków

108
00:04:01,152 --> 00:04:02,728
i otrzymujemy 2 pierwiastki

109
00:04:02,728 --> 00:04:04,480
trzeciego stopnia z trzynastu.

110
00:04:08,320 --> 00:04:10,204
Znamy podstawowe zasady rządzące

111
00:04:10,204 --> 00:04:12,164
mnożeniem i dzieleniem pierwiastków.

112
00:04:12,164 --> 00:04:14,224
A co z dodawaniem lub odejmowaniem?

113
00:04:14,224 --> 00:04:15,911
Mam nadzieję, że pamiętasz o tym

114
00:04:15,911 --> 00:04:17,728
że możemy dodawać i odejmować

115
00:04:17,728 --> 00:04:19,087
tylko te pierwiastki

116
00:04:19,087 --> 00:04:20,947
które są tego samego stopnia

117
00:04:20,947 --> 00:04:23,497
i mają taką samą liczbę podpierwiastkową.

118
00:04:23,497 --> 00:04:24,807
Spójrz tutaj.

119
00:04:24,807 --> 00:04:26,682
Ile to 3 pierwiastki piątego stopnia

120
00:04:26,682 --> 00:04:28,967
z trzech minus pierwiastek piątego stopnia

121
00:04:28,967 --> 00:04:29,937
z trzech?

122
00:04:30,591 --> 00:04:32,590
Gdybyśmy pierwiastek piątego stopnia

123
00:04:32,590 --> 00:04:34,463
z trzech oznaczyli jakąś literą

124
00:04:34,463 --> 00:04:37,167
powiedzmy a, to mielibyśmy wyrażenie

125
00:04:37,167 --> 00:04:41,211
3a minus a, co nam daje oczywiście 2a

126
00:04:41,211 --> 00:04:42,986
czyli 2 pierwiastki piątego stopnia

127
00:04:42,986 --> 00:04:43,726
z trzech.

128
00:04:43,726 --> 00:04:45,553
Podobnie jest w przypadku dodawania.

129
00:04:45,595 --> 00:04:47,151
6 pierwiastków siódmego stopnia

130
00:04:47,151 --> 00:04:49,127
z jedenastu dodać 3 pierwiastki

131
00:04:49,127 --> 00:04:50,559
siódmego stopnia z jedenastu

132
00:04:51,071 --> 00:04:52,982
to 9 pierwiastków siódmego stopnia

133
00:04:52,982 --> 00:04:53,887
z jedenastu.

134
00:04:54,655 --> 00:04:56,679
Dodajemy takie same pierwiastki.

135
00:04:56,679 --> 00:04:59,263
Tutaj mamy ich 6, a tutaj mamy ich 3.

136
00:05:00,799 --> 00:05:01,567
No dobrze.

137
00:05:01,823 --> 00:05:03,599
A tutaj mamy taki przykład.

138
00:05:03,839 --> 00:05:05,127
Ile to jest pierwiastek ze

139
00:05:05,127 --> 00:05:06,193
stu dwudziestu pięciu

140
00:05:06,193 --> 00:05:08,161
minus pierwiastek z czterdziestu pięciu?

141
00:05:08,161 --> 00:05:09,589
Czy możemy to odjąć?

142
00:05:09,589 --> 00:05:13,087
Nawet nie myśl o tym aby odjąć od 125, 45.

143
00:05:13,599 --> 00:05:15,345
Trzeba postąpić w inny sposób.

144
00:05:15,547 --> 00:05:16,865
Mówiliśmy przed chwilą

145
00:05:16,865 --> 00:05:18,426
że możemy dodawać bądź odejmować

146
00:05:18,426 --> 00:05:20,485
pierwiastki identyczne, czyli takie

147
00:05:20,485 --> 00:05:22,061
które są takiego samego stopnia

148
00:05:22,061 --> 00:05:25,181
i mają taką samą liczbę podpierwiastkową.

149
00:05:25,181 --> 00:05:27,003
Tutaj mamy pierwiastki takiego samego

150
00:05:27,003 --> 00:05:28,565
stopnia, ale mamy różne

151
00:05:28,565 --> 00:05:30,046
liczby podpierwiastkowe.

152
00:05:30,046 --> 00:05:32,617
Tutaj 125, a tutaj 45.

153
00:05:33,311 --> 00:05:35,197
Co można z tym fantem zrobić?

154
00:05:36,321 --> 00:05:38,295
A gdybyśmy uprościli to wyrażenie

155
00:05:38,295 --> 00:05:40,358
na przykład korzystając z umiejętności

156
00:05:40,358 --> 00:05:42,375
wyłączania czynnika przed pierwiastek tak

157
00:05:42,375 --> 00:05:43,985
jak w poprzedniej planszy?

158
00:05:43,985 --> 00:05:45,125
Spróbujmy.

159
00:05:45,125 --> 00:05:47,647
Jak inaczej możemy zapisać 125?

160
00:05:50,061 --> 00:05:51,853
To 25 razy 5.

161
00:05:53,023 --> 00:05:55,583
Zauważ, że tutaj kryje się kwadrat 5.

162
00:05:56,095 --> 00:05:58,143
Jak rozpisać 45?

163
00:05:58,399 --> 00:06:00,703
To to samo co 9 razy 5.

164
00:06:00,959 --> 00:06:01,745
Tutaj zauważ

165
00:06:01,745 --> 00:06:03,775
że kryje nam się kwadrat trójki.

166
00:06:04,117 --> 00:06:06,079
Co możemy zapisać w taki sposób.

167
00:06:06,155 --> 00:06:07,590
Jaki czynnik możemy tutaj

168
00:06:07,590 --> 00:06:09,155
wyłączyć przed pierwiastek?

169
00:06:09,663 --> 00:06:10,687
Piątkę.

170
00:06:10,943 --> 00:06:12,991
Otrzymamy 5 pierwiastków z pięciu.

171
00:06:13,247 --> 00:06:14,271
A tutaj?

172
00:06:15,339 --> 00:06:16,319
Trójkę.

173
00:06:16,319 --> 00:06:18,361
Otrzymamy 3 pierwiastki z pięciu.

174
00:06:19,135 --> 00:06:20,415
Możemy teraz odjąć?

175
00:06:21,323 --> 00:06:22,207
Oczywiście.

176
00:06:22,463 --> 00:06:23,928
5 pierwiastków z pięciu

177
00:06:23,928 --> 00:06:25,627
odjąć 3 pierwiastki z pięciu

178
00:06:25,627 --> 00:06:28,229
to oczywiście 2 pierwiastki z pięciu.

179
00:06:28,607 --> 00:06:29,986
Zobacz co zrobiliśmy.

180
00:06:29,986 --> 00:06:31,273
Wyłączyliśmy czynniki

181
00:06:31,273 --> 00:06:32,745
przed znak pierwiastka

182
00:06:32,745 --> 00:06:35,171
po czym mogliśmy je zwyczajnie odjąć.

183
00:06:35,775 --> 00:06:36,543
Świetnie.

184
00:06:36,799 --> 00:06:38,006
A teraz spróbujemy

185
00:06:38,006 --> 00:06:39,615
uprościć takie wyrażenie.

186
00:06:40,127 --> 00:06:41,065
Tutaj mamy sumę

187
00:06:41,065 --> 00:06:43,194
trzech pierwiastków trzeciego stopnia

188
00:06:43,194 --> 00:06:44,891
z trzystu siedemdziesięciu pięciu

189
00:06:44,891 --> 00:06:45,961
z dwudziestu czterech

190
00:06:45,961 --> 00:06:47,809
i z osiemdziesięciu jeden.

191
00:06:47,809 --> 00:06:49,749
Spróbujmy je jakoś inaczej zapisać.

192
00:06:50,367 --> 00:06:51,903
375

193
00:06:52,159 --> 00:06:54,463
to 125 razy 3.

194
00:06:54,975 --> 00:06:58,227
Z kolei 24 to 8 razy 3.

195
00:06:58,559 --> 00:07:01,631
A 81 to 27 razy 3.

196
00:07:02,073 --> 00:07:03,593
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

197
00:07:03,593 --> 00:07:05,645
samodzielnie dokończyć ten przykład.

198
00:07:05,645 --> 00:07:07,259
Następnie włącz film ponownie

199
00:07:07,259 --> 00:07:09,445
i porównaj swój wynik z moim.

200
00:07:13,151 --> 00:07:15,199
125 to 5 do trzeciej.

201
00:07:15,711 --> 00:07:17,503
8 to 2 do trzeciej.

202
00:07:17,759 --> 00:07:19,807
A 27 to 3 do trzeciej.

203
00:07:20,063 --> 00:07:21,532
Czyli możemy teraz wyłączyć

204
00:07:21,532 --> 00:07:23,647
odpowiednie czynniki przed pierwiastek.

205
00:07:24,649 --> 00:07:26,677
5 pierwiastków trzeciego stopnia z trzech

206
00:07:26,677 --> 00:07:28,763
dodać 2 pierwiastki trzeciego stopnia

207
00:07:28,763 --> 00:07:30,646
z trzech dodać 3 pierwiastki trzeciego

208
00:07:30,646 --> 00:07:32,329
stopnia z trzech to oczywiście

209
00:07:32,329 --> 00:07:34,181
10 pierwiastków trzeciego stopnia

210
00:07:34,181 --> 00:07:35,281
z trzech.

211
00:07:35,281 --> 00:07:36,809
Jeżeli czegoś nie zrozumiałeś

212
00:07:36,809 --> 00:07:39,047
to nie wahaj się i cofnij fragment filmu

213
00:07:39,047 --> 00:07:40,823
aby zobaczyć go ponownie.

214
00:07:44,639 --> 00:07:46,123
A teraz mamy przykład w którym

215
00:07:46,123 --> 00:07:48,145
jednocześnie dzielimy i odejmujemy

216
00:07:48,145 --> 00:07:49,271
pierwiastki.

217
00:07:49,689 --> 00:07:51,049
W liczniku mamy pierwiastek

218
00:07:51,049 --> 00:07:52,959
z dwudziestu siedmiu, w mianowniku

219
00:07:52,959 --> 00:07:54,754
pierwiastek z czterdziestu ośmiu

220
00:07:54,754 --> 00:07:56,543
minus pierwiastek z dwunastu.

221
00:07:56,671 --> 00:07:58,207
Jak obliczyć to wyrażenie?

222
00:07:58,975 --> 00:08:00,471
Cóż, na początku wypadałoby

223
00:08:00,471 --> 00:08:02,047
jakoś uprościć mianownik.

224
00:08:02,961 --> 00:08:04,274
Może tak jak to zrobiliśmy

225
00:08:04,274 --> 00:08:05,739
poprzednim razem?

226
00:08:05,739 --> 00:08:07,222
Spróbujmy wyłączyć czynnik

227
00:08:07,222 --> 00:08:08,551
przed pierwiastek.

228
00:08:09,215 --> 00:08:11,273
Pierwiastek z czterdziestu ośmiu to

229
00:08:11,273 --> 00:08:17,837
16 razy 3, a 12 to 4 razy 3.

230
00:08:18,943 --> 00:08:22,271
16 i 4 są kwadratami pewnych liczb.

231
00:08:22,527 --> 00:08:24,319
Czwórki i dwójki.

232
00:08:24,831 --> 00:08:27,030
Zauważ, że licznik też możemy zapisać

233
00:08:27,030 --> 00:08:28,439
jako pewien iloczyn.

234
00:08:28,671 --> 00:08:30,975
9 razy 3.

235
00:08:31,743 --> 00:08:34,289
Wszędzie tutaj powtarza nam się trójka.

236
00:08:34,519 --> 00:08:35,299
Dobrze.

237
00:08:35,299 --> 00:08:37,118
Spróbuj samodzielnie obliczyć wartość

238
00:08:37,118 --> 00:08:38,291
tego wyrażenia.

239
00:08:41,741 --> 00:08:43,005
W liczniku będziemy mieli

240
00:08:43,005 --> 00:08:44,543
3 pierwiastki z trzech

241
00:08:44,543 --> 00:08:47,103
ponieważ 9 to 3 do kwadratu

242
00:08:47,359 --> 00:08:50,358
a w mianowniku 4 pierwiastki z trzech

243
00:08:50,358 --> 00:08:52,223
minus 2 pierwiastki z trzech.

244
00:08:52,735 --> 00:08:54,260
Tutaj odejmujemy

245
00:08:54,260 --> 00:08:56,063
i otrzymamy 2 pierwiastki z trzech.

246
00:08:56,319 --> 00:08:58,956
Teraz pierwiastki z trzech nam się skrócą

247
00:08:58,956 --> 00:09:00,927
i otrzymujemy 3/2.

248
00:09:01,439 --> 00:09:03,459
Spróbuj samodzielnie w taki sam sposób

249
00:09:03,459 --> 00:09:05,353
rozwiązać ten przykład.

250
00:09:08,817 --> 00:09:10,229
Musimy w odpowiedni sposób

251
00:09:10,229 --> 00:09:12,308
rozbić liczby pod pierwiastkiem.

252
00:09:12,308 --> 00:09:14,751
50 to 25 razy 2.

253
00:09:14,751 --> 00:09:17,567
Natomiast 18 to 9 razy 2.

254
00:09:18,847 --> 00:09:21,407
25 to 5 do kwadratu.

255
00:09:21,663 --> 00:09:24,223
Natomiast 9 to 3 do kwadratu.

256
00:09:24,801 --> 00:09:26,043
5 pierwiastków z dwóch

257
00:09:26,043 --> 00:09:27,501
minus 3 pierwiastki z dwóch

258
00:09:27,501 --> 00:09:29,041
to 2 pierwiastki z dwóch.

259
00:09:29,041 --> 00:09:31,149
Pierwiastki z dwóch nam się skrócą

260
00:09:31,149 --> 00:09:33,183
i ostatecznie otrzymujemy 2.

261
00:09:38,559 --> 00:09:39,952
Aby ułatwić wyłączanie

262
00:09:39,952 --> 00:09:41,970
czynnika przed znak pierwiastka

263
00:09:41,970 --> 00:09:43,987
rozłóż liczbę pod pierwiastkiem

264
00:09:43,987 --> 00:09:45,471
na czynniki pierwsze.

265
00:09:48,895 --> 00:09:50,818
Zobaczyłeś właśnie film z playlisty

266
00:09:50,818 --> 00:09:52,427
o potęgach i pierwiastkach.

267
00:09:52,427 --> 00:09:53,765
Zachęcam Cię do zobaczenia

268
00:09:53,765 --> 00:09:55,436
innych filmów z tej playlisty

269
00:09:55,436 --> 00:09:56,528
a także do odwiedzenia

270
00:09:56,528 --> 00:09:59,295
naszej strony internetowej pistacja.tv