1
00:00:00,256 --> 00:00:02,504
Z czym kojarzy Ci się prawdziwa potęga?

2
00:00:02,816 --> 00:00:04,402
Mamy potęgi militarne

3
00:00:04,402 --> 00:00:05,988
gospodarcze, naukowe.

4
00:00:06,144 --> 00:00:08,292
Oczywiście potęgi możemy łączyć!

5
00:00:08,448 --> 00:00:10,782
Połączenie potęgi gospodarczej z militarną

6
00:00:10,782 --> 00:00:12,644
da nam supermocarstwo.

7
00:00:13,056 --> 00:00:14,948
A jak to wygląda w matematyce?

8
00:00:15,104 --> 00:00:17,241
W tej lekcji dowiesz się jak mnożyć

9
00:00:17,241 --> 00:00:19,500
dzielić i łączyć potęgi matematyczne.

10
00:00:30,720 --> 00:00:32,116
Przypomnijmy sobie prawa

11
00:00:32,116 --> 00:00:33,280
działań na potęgach.

12
00:00:33,436 --> 00:00:35,660
Pierwsze mówi, że jeżeli mnożymy potęgi

13
00:00:35,660 --> 00:00:37,755
o takiej samej podstawie i różnych

14
00:00:37,755 --> 00:00:39,942
wykładnikach to w odpowiedzi otrzymujemy

15
00:00:40,042 --> 00:00:41,811
potęgę o takiej samej podstawie

16
00:00:41,911 --> 00:00:44,076
której wykładnik jest sumą wykładników.

17
00:00:44,288 --> 00:00:46,335
Analogicznie jest w przypadku dzielenia

18
00:00:46,335 --> 00:00:47,993
ale w tym przypadku w odpowiedzi

19
00:00:47,993 --> 00:00:50,222
otrzymujemy potęgę, której wykładnik

20
00:00:50,222 --> 00:00:52,268
jest równy różnicy wykładników.

21
00:00:52,892 --> 00:00:54,807
Tak samo przy podnoszeniu potęgi

22
00:00:54,807 --> 00:00:55,824
do jakiejś potęgi.

23
00:00:55,924 --> 00:00:58,150
Wystarczyło, że pomnożyliśmy wykładniki.

24
00:00:58,250 --> 00:00:59,967
Te 3 prawa działań mówią o tym

25
00:01:00,067 --> 00:01:01,073
co robić z potęgami

26
00:01:01,173 --> 00:01:02,920
które mają taką samą podstawę.

27
00:01:02,976 --> 00:01:05,505
Natomiast kiedy mamy taki sam wykładnik

28
00:01:05,605 --> 00:01:08,101
a różne podstawy, to przy mnożeniu

29
00:01:08,202 --> 00:01:11,428
wynik jest równy iloczynowi podstaw

30
00:01:11,428 --> 00:01:13,060
podniesionemu do potęgi.

31
00:01:13,216 --> 00:01:14,596
Tak samo z ilorazem:

32
00:01:14,752 --> 00:01:16,481
iloraz podstaw podniesiony

33
00:01:16,481 --> 00:01:18,324
do tej samej potęgi.

34
00:01:19,104 --> 00:01:21,320
Te prawa działań obowiązują dla wszystkich

35
00:01:21,320 --> 00:01:22,858
potęg, również dla potęg

36
00:01:22,858 --> 00:01:24,524
o wykładnikach wymiernych.

37
00:01:24,792 --> 00:01:26,478
Zaczniemy od pierwszego przykładu

38
00:01:26,488 --> 00:01:28,319
i policzymy, ile wynosi pierwiastek

39
00:01:28,319 --> 00:01:29,575
z trzech razy pierwiastek

40
00:01:29,575 --> 00:01:31,180
trzeciego stopnia z trzech.

41
00:01:31,572 --> 00:01:33,488
Zauważ, że mamy tutaj takie same

42
00:01:33,488 --> 00:01:35,332
podstawy, trójki.

43
00:01:35,488 --> 00:01:37,368
A jakie mamy wykładniki?

44
00:01:38,048 --> 00:01:39,628
Pierwiastek z trzech to to samo

45
00:01:39,728 --> 00:01:41,120
co 3 do jednej drugiej.

46
00:01:41,220 --> 00:01:43,158
Natomiast pierwiastek trzeciego stopnia

47
00:01:43,158 --> 00:01:44,543
z trzech to to samo, co 3

48
00:01:44,543 --> 00:01:45,572
do jednej trzeciej.

49
00:01:45,628 --> 00:01:47,365
Jeżeli wcześniej nie spotkałeś się

50
00:01:47,365 --> 00:01:49,537
z potęgami wymiernymi albo ich jeszcze

51
00:01:49,537 --> 00:01:51,298
nie rozumiesz, zachęcam Cię najpierw

52
00:01:51,298 --> 00:01:53,096
do zobaczenia odpowiedniego filmu.

53
00:01:53,296 --> 00:01:55,500
Mnożymy potęgi o takich samych podstawach.

54
00:01:55,612 --> 00:01:56,986
W takim razie w odpowiedzi

55
00:01:57,086 --> 00:01:58,614
również w podstawie będzie 3.

56
00:01:58,714 --> 00:02:00,408
A jaki będzie wykładnik?

57
00:02:01,344 --> 00:02:04,270
1/2 dodać 1/3, sprowadzamy do wspólnego

58
00:02:04,270 --> 00:02:06,349
mianownika i otrzymujemy w odpowiedzi

59
00:02:06,449 --> 00:02:08,203
3 do potęgi pięciu szóstych.

60
00:02:08,303 --> 00:02:10,448
Jak to zapisać za pomocą pierwiastka?

61
00:02:10,560 --> 00:02:12,552
Patrzymy na mianownik wykładnika.

62
00:02:12,950 --> 00:02:14,972
To szóstka. Czyli będzie mieć pierwiastek

63
00:02:14,972 --> 00:02:16,765
szóstego stopnia z trzech

64
00:02:16,765 --> 00:02:17,984
do potęgi piątej.

65
00:02:18,240 --> 00:02:20,076
Tak jak w liczniku wykładnika.

66
00:02:20,344 --> 00:02:22,576
Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielne

67
00:02:22,676 --> 00:02:24,150
w analogiczny sposób policzyć

68
00:02:24,250 --> 00:02:25,888
ile to jest pierwiastek z dwóch

69
00:02:25,988 --> 00:02:28,224
przez pierwiastek piątego stopnia z dwóch.

70
00:02:28,992 --> 00:02:31,340
Wykorzystaj to prawo działań na potęgach.

71
00:02:31,608 --> 00:02:33,194
Następnie włącz film ponownie

72
00:02:33,294 --> 00:02:35,280
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

73
00:02:37,676 --> 00:02:39,975
Znowu mamy dwie potęgi o takiej samej

74
00:02:39,975 --> 00:02:42,092
podstawie ale różnych wykładnikach.

75
00:02:42,204 --> 00:02:44,335
Pierwiastek z dwóch to 2 do jednej drugiej

76
00:02:44,335 --> 00:02:46,236
a pierwiastek piątego stopnia z dwóch

77
00:02:46,236 --> 00:02:47,367
to 2 do jednej piątej.

78
00:02:47,367 --> 00:02:49,683
Musimy odjąć wykładniki i otrzymujemy

79
00:02:49,694 --> 00:02:51,264
w odpowiedzi 2 do potęgi

80
00:02:51,264 --> 00:02:53,517
trzech dziesiątych, czyli pierwiastek

81
00:02:53,517 --> 00:02:56,172
dziesiątego stopnia z dwóch do trzeciej.

82
00:02:56,384 --> 00:02:58,732
Dobrze. A ten przykład?

83
00:02:59,612 --> 00:03:01,549
Pierwiastek z sześćdziesięciu czterech

84
00:03:01,649 --> 00:03:03,732
to 64 do jednej drugiej, co podnosimy

85
00:03:03,732 --> 00:03:05,700
jeszcze do potęgi jednej trzeciej.

86
00:03:06,268 --> 00:03:08,125
Czyli musimy pomnożyć wykładniki

87
00:03:08,225 --> 00:03:10,608
ponieważ podnosimy potęgę do potęgi.

88
00:03:10,976 --> 00:03:13,892
64 do potęgi 1/2 razy 1/3.

89
00:03:14,048 --> 00:03:16,652
czyli 64 do potęgi jednej szóstej.

90
00:03:17,120 --> 00:03:20,336
A 64 do jednej szóstej to po prostu 2.

91
00:03:20,704 --> 00:03:22,440
Teraz mamy inny przykład.

92
00:03:22,708 --> 00:03:25,061
Pierwiastek trzeciego stopnia z 3/2

93
00:03:25,061 --> 00:03:26,788
razy pierwiastek trzeciego stopnia

94
00:03:26,788 --> 00:03:27,960
z osiemnastu.

95
00:03:28,384 --> 00:03:31,044
Tym razem mamy różne podstawy

96
00:03:31,256 --> 00:03:33,348
ale takie same wykładniki.

97
00:03:33,504 --> 00:03:35,767
Możemy to zapisać w taki sam sposób

98
00:03:35,867 --> 00:03:38,575
jako 3/2 do potęgi jednej trzeciej

99
00:03:38,575 --> 00:03:40,863
razy 18 do potęgi jednej trzeciej.

100
00:03:40,963 --> 00:03:43,110
Mnożymy dwie potęgi o takim samym

101
00:03:43,110 --> 00:03:44,968
wykładniku i różnych podstawach

102
00:03:45,124 --> 00:03:46,660
czyli w odpowiedzi uzyskamy

103
00:03:46,816 --> 00:03:49,372
iloczyn podstaw podniesiony do tej samej

104
00:03:49,372 --> 00:03:52,109
potęgi, czyli 3/2 razy 18 do potęgi

105
00:03:52,109 --> 00:03:53,360
jednej trzeciej.

106
00:03:53,728 --> 00:03:56,510
3/2 razy 18 to 27

107
00:03:56,510 --> 00:03:58,848
a 27 do jednej trzeciej to 3.

108
00:03:59,024 --> 00:04:00,309
Spróbuj teraz analogicznie

109
00:04:00,309 --> 00:04:01,564
rozwiązać ten przykład.

110
00:04:01,664 --> 00:04:03,667
Ile to jest pierwiastek czwartego stopnia

111
00:04:03,667 --> 00:04:05,354
z osiemdziesięciu podzielić przez

112
00:04:05,354 --> 00:04:07,784
pierwiastek czwartego stopnia z pięciu?

113
00:04:10,168 --> 00:04:11,754
Zapisujemy te liczby w postaci

114
00:04:11,954 --> 00:04:13,640
potęg o wykładnikach wymiernych.

115
00:04:13,796 --> 00:04:15,532
80 do jednej czwartej przez 5

116
00:04:15,532 --> 00:04:17,442
do jednej czwartej, to jest to samo

117
00:04:17,442 --> 00:04:20,529
co 80 przez 5 do jednej czwartej

118
00:04:20,629 --> 00:04:22,590
a 80 przez 5 to 16.

119
00:04:22,590 --> 00:04:24,351
Z kolei 16 do jednej czwartej

120
00:04:24,351 --> 00:04:25,785
to po prostu 2.

121
00:04:25,785 --> 00:04:27,372
Zauważ, że 3 ostatnie przykłady

122
00:04:27,372 --> 00:04:29,045
mogliśmy równie dobrze rozwiązać

123
00:04:29,245 --> 00:04:30,770
wykorzystując własności działań

124
00:04:30,770 --> 00:04:31,947
na pierwiastkach.

125
00:04:32,037 --> 00:04:33,339
Możesz spróbować je zrobić

126
00:04:33,339 --> 00:04:34,741
samodzielnie w inny sposób.

127
00:04:35,099 --> 00:04:36,680
Zapamiętaj te prawa działań.

128
00:04:36,780 --> 00:04:39,227
Będziemy z nich jeszcze nie raz korzystać.

129
00:04:42,391 --> 00:04:43,884
A teraz korzystając ze znanych

130
00:04:43,984 --> 00:04:45,384
Ci praw działań na potęgach

131
00:04:45,484 --> 00:04:46,997
spróbujemy wyznaczyć wartość

132
00:04:46,997 --> 00:04:48,099
tego wyrażenia.

133
00:04:48,255 --> 00:04:49,735
Od czego byś zaczął?

134
00:04:50,459 --> 00:04:51,789
Cóż, na pierwszy rzut oka

135
00:04:51,889 --> 00:04:54,087
ciężko wykorzystać jakieś prawo działań

136
00:04:54,299 --> 00:04:56,015
bo nie mamy ani wspólnych podstaw

137
00:04:56,115 --> 00:04:57,771
ani wspólnych wykładników.

138
00:04:57,983 --> 00:04:59,514
Ale zobacz, mamy tutaj

139
00:04:59,614 --> 00:05:01,611
do czynienia z potęgami dwójki.

140
00:05:01,823 --> 00:05:04,152
8 to 2 do trzeciej

141
00:05:04,152 --> 00:05:06,854
natomiast 16 to 2 do 4.

142
00:05:06,954 --> 00:05:08,221
Ile to jest 2 do trzeciej

143
00:05:08,221 --> 00:05:10,047
do minus pierwszej?

144
00:05:10,839 --> 00:05:12,875
To 2 do minus trzeciej.

145
00:05:13,087 --> 00:05:14,763
A 2 do czwartej do potęgi

146
00:05:14,763 --> 00:05:15,903
trzech czwartych?

147
00:05:16,059 --> 00:05:17,517
Podnosimy potęgę do potęgi

148
00:05:17,617 --> 00:05:19,275
czyli mnożymy wykładniki.

149
00:05:19,377 --> 00:05:20,675
Spróbuj dalej samodzielnie

150
00:05:20,675 --> 00:05:22,337
obliczyć wartość tego wyrażenia.

151
00:05:25,687 --> 00:05:27,351
Ten pierwiastek możemy zapisać

152
00:05:27,451 --> 00:05:29,260
w postaci potęgi wymiernej

153
00:05:29,360 --> 00:05:31,875
czyli 2 do minus trzeciej razy 1/3

154
00:05:32,031 --> 00:05:33,958
którą mnożymy przez 2 do trzeciej

155
00:05:34,058 --> 00:05:36,415
ponieważ 4 razy 3/4 to 3.

156
00:05:36,571 --> 00:05:38,887
Tutaj również podnosimy potęgę do potęgi

157
00:05:38,987 --> 00:05:40,879
czyli możemy pomnożyć wykładniki.

158
00:05:41,247 --> 00:05:43,295
2 do minus trzeciej razy 1/3

159
00:05:43,451 --> 00:05:45,187
to 2 do minus pierwszej.

160
00:05:45,187 --> 00:05:46,619
Kiedy pomnożymy jeszcze przez

161
00:05:46,619 --> 00:05:48,900
2 do trzeciej, otrzymujemy 2 do drugiej

162
00:05:49,056 --> 00:05:50,220
czyli po prostu 4.

163
00:05:50,490 --> 00:05:52,007
Zobacz, jaką drogę przeszliśmy

164
00:05:52,007 --> 00:05:53,935
aby udowodnić, że to wyrażenie

165
00:05:54,047 --> 00:05:55,807
jest tak naprawdę równe czterem.

166
00:05:55,807 --> 00:05:57,601
Dobrze, a teraz samodzielnie spróbuj

167
00:05:57,601 --> 00:05:59,511
wyznaczyć wartość tego wyrażenia.

168
00:06:02,751 --> 00:06:04,437
Na samym początku warto zauważyć

169
00:06:04,443 --> 00:06:06,252
że mamy tutaj potęgi dwójki:

170
00:06:06,352 --> 00:06:08,461
2 do czwartej i 2 do drugiej

171
00:06:08,560 --> 00:06:10,931
i są one podniesione do pewnej potęgi.

172
00:06:11,355 --> 00:06:13,167
Tutaj do potęgi jednej trzeciej

173
00:06:13,267 --> 00:06:15,239
co możemy zapisać w taki sposób

174
00:06:15,551 --> 00:06:18,555
natomiast tutaj do potęgi minus drugiej.

175
00:06:19,391 --> 00:06:21,093
Musimy pomnożyć wykładniki:

176
00:06:21,093 --> 00:06:24,299
4 razy 1/3 to 4/3

177
00:06:24,511 --> 00:06:26,990
a 2 razy –2 to oczywiście –4.

178
00:06:27,190 --> 00:06:28,453
Mamy iloczyn dwóch potęg

179
00:06:28,453 --> 00:06:30,131
o takich samych podstawach.

180
00:06:30,243 --> 00:06:32,234
Czyli musimy dodać wykładniki.

181
00:06:32,334 --> 00:06:34,201
Podstawę przepisujemy, a w wykładniku

182
00:06:34,201 --> 00:06:36,487
mamy 4/3 dodać –4.

183
00:06:36,687 --> 00:06:38,879
Plus i minus daje nam minus.

184
00:06:39,103 --> 00:06:41,582
I po sprowadzeniu do wspólnego mianownika

185
00:06:41,682 --> 00:06:44,067
otrzymujemy 2 do potęgi –8/3.

186
00:06:44,067 --> 00:06:45,809
Gdy to wszystko podniesiemy jeszcze

187
00:06:45,809 --> 00:06:47,353
do potęgi trzeciej, otrzymamy

188
00:06:47,353 --> 00:06:50,511
w ostateczności 2 do potęgi minus ósmej.

189
00:06:50,623 --> 00:06:52,831
Dobrze, to jeszcze samodzielnie na koniec

190
00:06:52,931 --> 00:06:55,931
spróbuj wyznaczyć wartość tego wyrażenia.

191
00:06:58,559 --> 00:07:00,195
Mam tutaj kilka pierwiastków:

192
00:07:00,351 --> 00:07:02,358
szóstego stopnia, czwartego stopnia

193
00:07:02,458 --> 00:07:03,879
i zwykły kwadratowy.

194
00:07:04,191 --> 00:07:06,083
Spróbujmy pozbyć się tych pierwiastków

195
00:07:06,239 --> 00:07:08,331
idąc tak jakby od wewnątrz.

196
00:07:08,799 --> 00:07:10,947
Pierwiastek z dwóch do czterdziestej ósmej

197
00:07:11,103 --> 00:07:13,423
to to samo, co 2 do dwudziestej czwartej.

198
00:07:13,423 --> 00:07:15,054
Ten pierwiastek czwartego stopnia

199
00:07:15,054 --> 00:07:16,215
możemy zapisać jako

200
00:07:16,275 --> 00:07:17,534
2 do dwudziestej czwartej

201
00:07:17,534 --> 00:07:18,875
do potęgi jednej czwartej

202
00:07:19,095 --> 00:07:21,323
czyli 2 do potęgi szóstej.

203
00:07:21,855 --> 00:07:23,840
A pierwiastek szóstego stopnia z dwóch

204
00:07:23,940 --> 00:07:26,451
do potęgi szóstej to po prostu 2.

205
00:07:29,435 --> 00:07:31,124
Na sam koniec spróbuj jeszcze

206
00:07:31,124 --> 00:07:32,597
samodzielnie rozwiązać ten

207
00:07:32,597 --> 00:07:33,787
rozbudowany przykład.

208
00:07:34,143 --> 00:07:36,847
Następnie porównaj swoją odpowiedź z moją.

209
00:07:39,775 --> 00:07:41,493
Tutaj tym razem mamy do czynienia

210
00:07:41,593 --> 00:07:43,203
z samymi potęgami trójki.

211
00:07:43,359 --> 00:07:44,895
Tutaj jest 3 do jednej drugiej

212
00:07:45,151 --> 00:07:47,143
tutaj 3 do kwadratu

213
00:07:47,455 --> 00:07:49,091
3 do potęgi trzeciej

214
00:07:49,247 --> 00:07:50,883
3 do potęgi czwartej

215
00:07:51,039 --> 00:07:52,875
i 3 do potęgi piątej.

216
00:07:52,987 --> 00:07:54,735
Każdą z tych potęg podnosimy

217
00:07:54,735 --> 00:07:56,968
do jakiejś potęgi, czyli musimy pomnożyć

218
00:07:56,968 --> 00:07:58,307
te wszystkie wykładniki.

219
00:07:58,463 --> 00:08:00,312
Należy pamiętać, aby nie pomylić się

220
00:08:00,312 --> 00:08:02,545
przy mnożeniu, a także pamiętać o znakach

221
00:08:02,645 --> 00:08:04,239
tak jak w tym przypadku.

222
00:08:04,919 --> 00:08:06,208
Otrzymujemy w liczniku

223
00:08:06,208 --> 00:08:07,380
3 do siedmiu drugich

224
00:08:07,480 --> 00:08:08,805
razy 3 do trzech drugich

225
00:08:08,905 --> 00:08:10,851
razy 3 do minus dziewięciu drugich

226
00:08:11,007 --> 00:08:12,577
podzielone przez 3 do pierwszej

227
00:08:12,677 --> 00:08:14,167
razy 3 do drugiej.

228
00:08:15,615 --> 00:08:18,036
Musimy zsumować wszystkie wykładniki

229
00:08:18,036 --> 00:08:20,575
w liczniku i zsumować wszystkie wykładniki

230
00:08:20,575 --> 00:08:22,003
w mianowniku.

231
00:08:23,707 --> 00:08:25,229
Obliczamy i otrzymujemy

232
00:08:25,229 --> 00:08:26,333
3 do jednej drugiej

233
00:08:26,333 --> 00:08:27,791
przez 3 do trzeciej.

234
00:08:27,903 --> 00:08:29,795
Tutaj wystarczy odjąć wykładniki

235
00:08:29,951 --> 00:08:32,186
czyli 3 do potęgi 1/2 minus 3

236
00:08:32,286 --> 00:08:33,373
czyli ostatecznie 3

237
00:08:33,373 --> 00:08:35,015
do potęgi minus pięciu drugich.

238
00:08:35,263 --> 00:08:36,876
To jeszcze spróbuj samodzielnie

239
00:08:36,876 --> 00:08:38,087
zrobić ten przykład.

240
00:08:38,399 --> 00:08:40,747
Następnie porównaj swój wynik z moim.

241
00:08:43,575 --> 00:08:45,155
Co możemy tutaj zauważyć?

242
00:08:45,311 --> 00:08:47,562
Na pewno skróci się 5 do czwartej.

243
00:08:47,662 --> 00:08:49,116
Jeden problem z głowy!

244
00:08:49,116 --> 00:08:50,845
Zacznijmy upraszczać wyrażenia.

245
00:08:50,911 --> 00:08:53,447
0,2 to to samo, co 1/5.

246
00:08:54,527 --> 00:08:56,003
Ta liczba to to samo

247
00:08:56,003 --> 00:08:57,102
co 5 do trzech drugich

248
00:08:57,202 --> 00:08:59,444
a 1/2 to 2 do minus pierwszej.

249
00:08:59,544 --> 00:09:01,839
Dalej możemy to rozpisać w ten sposób.

250
00:09:02,007 --> 00:09:03,421
Zauważ, że mamy do czynienia

251
00:09:03,421 --> 00:09:06,483
z potęgami piątki i z potęgami dwójki.

252
00:09:07,071 --> 00:09:10,343
Dodajemy odpowiednie wykładniki w piątce

253
00:09:11,679 --> 00:09:14,583
i odejmujemy wykładniki dwójki.

254
00:09:15,163 --> 00:09:17,845
Pamiętaj, że odejmujemy liczbę ujemną

255
00:09:17,845 --> 00:09:20,427
czyli ostatecznie czwórkę musimy dodać!

256
00:09:20,795 --> 00:09:22,693
Koniec końców mamy 5 do jednej drugiej

257
00:09:22,793 --> 00:09:24,749
razy 2 do potęgi 2 plus 4.

258
00:09:24,749 --> 00:09:26,289
Czyli pierwiastek z pięciu razy

259
00:09:26,289 --> 00:09:28,275
2 do szóstej, czyli 64 pierwiastki

260
00:09:28,275 --> 00:09:29,575
z pięciu.

261
00:09:34,689 --> 00:09:36,857
Dla potęg o wykładniku wymiernym

262
00:09:36,957 --> 00:09:39,095
obowiązują takie same prawa działań

263
00:09:39,195 --> 00:09:41,263
jak dla potęg o wykładniku całkowitym.

264
00:09:41,631 --> 00:09:43,245
Możemy je stosować albo wtedy

265
00:09:43,345 --> 00:09:44,959
kiedy mamy takie same podstawy

266
00:09:45,215 --> 00:09:48,175
albo jeżeli wykładniki są sobie równe.

267
00:09:52,183 --> 00:09:53,920
Zobaczyłeś właśnie kolejny film

268
00:09:54,020 --> 00:09:56,067
z playlisty o potęgach i pierwiastkach.

269
00:09:56,083 --> 00:09:57,385
Zachęcam Cię do zobaczenia

270
00:09:57,385 --> 00:09:58,993
innych filmów z tej playlisty

271
00:09:59,063 --> 00:10:01,196
a także do zasubskrybowania naszego kanału

272
00:10:01,196 --> 00:10:03,977
na YouTubie — PistacjaMatematyka!