1
00:00:00,768 --> 00:00:02,245
Suwak logarytmiczny działa

2
00:00:02,345 --> 00:00:04,125
na zasadzie dodawania logarytmów

3
00:00:04,225 --> 00:00:06,592
poprzez dodawanie różnej długości odcinków

4
00:00:06,692 --> 00:00:07,934
zaznaczonych na skali.

5
00:00:08,448 --> 00:00:10,713
Jest to praktyczne wykorzystanie równości

6
00:00:10,813 --> 00:00:12,287
którą poznasz w tej lekcji.

7
00:00:12,800 --> 00:00:14,911
Dzięki suwakowi mnożenie sprowadza się

8
00:00:15,011 --> 00:00:16,788
do dodawania. W przypadku suwaka 

9
00:00:16,888 --> 00:00:19,725
dodawania odcinków na skalach.

10
00:00:31,744 --> 00:00:33,481
Już na samym początku tej lekcji

11
00:00:33,581 --> 00:00:35,228
mam dla Ciebie zadanie.

12
00:00:35,328 --> 00:00:37,678
Zatrzymaj ją i spróbuj samodzielnie obliczyć

13
00:00:37,778 --> 00:00:39,358
te dwa logarytmy.

14
00:00:42,752 --> 00:00:44,850
Zacznijmy od tego logarytmu.

15
00:00:45,056 --> 00:00:47,652
Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 2

16
00:00:47,752 --> 00:00:49,052
aby otrzymać 8?

17
00:00:49,152 --> 00:00:51,985
Dwa do potęgi trzeciej równa się 8.

18
00:00:52,224 --> 00:00:54,703
A do jakiej potęgi należy podnieść 2

19
00:00:54,803 --> 00:00:55,964
aby otrzymać 4?

20
00:00:56,064 --> 00:00:59,009
2 do potęgi drugiej równa się 4.

21
00:00:59,392 --> 00:01:01,596
Mam dla Ciebie jeszcze jedno zadanie.

22
00:01:01,696 --> 00:01:04,783
Zatrzymaj lekcję i spróbuj obliczyć, ile to jest

23
00:01:04,883 --> 00:01:08,461
logarytm o podstawie 2 z iloczynu liczb 8 i 4.

24
00:01:11,680 --> 00:01:14,065
8 razy 4 to 32.

25
00:01:14,240 --> 00:01:15,683
Otrzymujemy logarytm

26
00:01:15,783 --> 00:01:17,823
o podstawie dwa z liczby 32.

27
00:01:18,336 --> 00:01:19,968
Do jakiej potęgi należy zatem

28
00:01:20,068 --> 00:01:22,944
podnieść liczbę 2, aby otrzymać 32?

29
00:01:23,200 --> 00:01:26,226
2 do potęgi piątej to 32.

30
00:01:26,784 --> 00:01:29,917
Skoro wiemy, ile to jest logarytm o podstawie 2

31
00:01:30,017 --> 00:01:33,083
z liczby 8 i logarytm o podstawie 2 z liczby 4

32
00:01:33,184 --> 00:01:34,509
to obliczenie takiej sumy

33
00:01:34,609 --> 00:01:36,155
nie będzie dla nas problemem.

34
00:01:36,256 --> 00:01:39,228
Logarytm o podstawie 2 z liczby 8 to 3

35
00:01:39,328 --> 00:01:42,496
a logarytm o podstawie 2 z liczby 4 to 2.

36
00:01:42,912 --> 00:01:44,569
Wiemy to z tych obliczeń.

37
00:01:44,960 --> 00:01:47,820
Otrzymujemy 3 dodać 2, czyli 5.

38
00:01:48,288 --> 00:01:49,560
Spróbujmy teraz poszukać

39
00:01:49,660 --> 00:01:50,992
trochę matematycznej magii

40
00:01:51,092 --> 00:01:53,237
która wynika z tych rozważań.

41
00:01:53,664 --> 00:01:55,852
Spójrz raz jeszcze na tę sumę.

42
00:01:56,224 --> 00:01:59,314
Wiemy, że logarytm o podstawie 2 z liczby 8

43
00:01:59,414 --> 00:02:02,650
dodać logarytm o podstawie 2 z liczby 4 to 5.

44
00:02:03,136 --> 00:02:04,782
Spójrz teraz na ten logarytm

45
00:02:04,882 --> 00:02:07,133
który w podstawie ma również liczbę 2.

46
00:02:07,488 --> 00:02:10,460
Liczbą logarytmowaną jest iloczyn dwóch liczb:

47
00:02:10,560 --> 00:02:12,589
liczby 8 i liczby 4.

48
00:02:12,864 --> 00:02:14,878
Zwróć uwagę, że te liczby są liczbami

49
00:02:14,978 --> 00:02:17,502
logarytmowanymi w tych dwóch logarytmach.

50
00:02:17,728 --> 00:02:20,032
Logarytm o podstawie 2 z iloczynu

51
00:02:20,288 --> 00:02:22,601
liczb 8 i 4, to również 5.

52
00:02:23,104 --> 00:02:25,291
Możemy zatem stwierdzić, że logarytm

53
00:02:25,391 --> 00:02:27,066
o podstawie 2 z liczby 8

54
00:02:27,253 --> 00:02:30,128
dodać logarytm o podstawie 2 z liczby 4

55
00:02:30,272 --> 00:02:32,446
to jest to samo, co logarytm o podstawie 2

56
00:02:32,546 --> 00:02:34,929
z iloczynu liczb 8 i 4.

57
00:02:35,136 --> 00:02:37,309
Zauważ, że wszystkie te logarytmy

58
00:02:37,409 --> 00:02:39,432
mają taką samą podstawę.

59
00:02:39,744 --> 00:02:41,075
Po prawej stronie równania

60
00:02:41,175 --> 00:02:43,075
mamy sumę dwóch logarytmów.

61
00:02:43,328 --> 00:02:45,850
Zobacz: jeśli podstawy dwóch logarytmów

62
00:02:45,950 --> 00:02:48,092
są identyczne i dodajemy do siebie

63
00:02:48,192 --> 00:02:50,532
te dwa logarytmy, to taką sumę możemy

64
00:02:50,632 --> 00:02:52,840
zapisać w postaci jednego logarytmu

65
00:02:52,940 --> 00:02:54,950
również o takiej samej podstawie

66
00:02:55,050 --> 00:02:57,308
z iloczynu liczb logarytmowanych.

67
00:02:57,408 --> 00:02:58,799
Zastanawiasz się pewnie

68
00:02:58,899 --> 00:03:00,352
po co to jest potrzebne.

69
00:03:00,480 --> 00:03:03,846
Spróbuj sam dojść do tego, obliczając tę sumę.

70
00:03:07,136 --> 00:03:10,431
Mamy tutaj logarytm o podstawie 6 z liczby 2

71
00:03:10,531 --> 00:03:13,522
dodać logarytm o podstawie 6 z liczby 3.

72
00:03:13,792 --> 00:03:15,599
Moglibyśmy ugryźć ten przykład 

73
00:03:15,699 --> 00:03:17,755
obliczając po kolei te dwa logarytmy

74
00:03:17,855 --> 00:03:19,687
i dodając do siebie wyniki.

75
00:03:19,936 --> 00:03:22,468
Zauważ jednak, że nie potrafimy powiedzieć

76
00:03:22,568 --> 00:03:24,989
do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 6

77
00:03:25,089 --> 00:03:26,391
aby otrzymać liczbę 2.

78
00:03:26,592 --> 00:03:28,526
Tak samo nie potrafimy powiedzieć

79
00:03:28,626 --> 00:03:30,991
do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 6

80
00:03:31,091 --> 00:03:32,123
aby otrzymać trzy.

81
00:03:32,224 --> 00:03:34,241
Możemy jednak skorzystać z techniki

82
00:03:34,341 --> 00:03:36,476
którą poznaliśmy przed chwilą.

83
00:03:36,576 --> 00:03:38,279
Zauważ że oba logarytmy

84
00:03:38,379 --> 00:03:40,159
mają taką samą podstawę.

85
00:03:40,928 --> 00:03:43,603
W tym przypadku taką sumę możemy zapisać

86
00:03:43,703 --> 00:03:46,260
w postaci jednego logarytmu o podstawie

87
00:03:46,360 --> 00:03:49,121
równej 6, z iloczynu liczb logarytmowanych

88
00:03:49,221 --> 00:03:51,964
które występują w tych dwóch logarytmach.

89
00:03:52,192 --> 00:03:53,728
2 razy 3 to 6.

90
00:03:53,984 --> 00:03:57,925
Otrzymujemy logarytm o podstawie 6 z liczby 6.

91
00:03:58,336 --> 00:04:01,398
Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 6

92
00:04:01,498 --> 00:04:04,181
aby otrzymać 6? Do potęgi pierwszej.

93
00:04:04,480 --> 00:04:06,631
Mimo tego, że nie byliśmy w stanie obliczyć

94
00:04:06,731 --> 00:04:08,476
oddzielnie tych dwóch logarytmów

95
00:04:08,576 --> 00:04:10,395
to byliśmy w stanie obliczyć sumę

96
00:04:10,495 --> 00:04:11,691
tych dwóch logarytmów.

97
00:04:11,904 --> 00:04:14,204
Zamieniliśmy ją na jeden logarytm

98
00:04:14,304 --> 00:04:16,604
z iloczynu liczb logarytmowanych.

99
00:04:17,024 --> 00:04:18,773
Możemy to robić wyłącznie wtedy

100
00:04:18,873 --> 00:04:21,211
kiedy logarytmy biorące udział w dodawaniu

101
00:04:21,311 --> 00:04:23,049
mają taką samą podstawę.

102
00:04:26,751 --> 00:04:30,278
Przyszła pora, aby uogólnić nasze rozważania.

103
00:04:30,591 --> 00:04:32,895
Logarytm o podstawie a z liczby b

104
00:04:32,995 --> 00:04:35,677
dodać logarytm o podstawie a z liczby c

105
00:04:35,777 --> 00:04:37,674
to jest to samo, co logarytm

106
00:04:37,774 --> 00:04:40,363
o podstawie a z iloczynu liczb b i c.

107
00:04:40,575 --> 00:04:42,847
Najważniejsze, aby pamiętać o tym

108
00:04:42,947 --> 00:04:44,747
że ten wzór możemy stosować

109
00:04:44,847 --> 00:04:47,562
wyłącznie wtedy, kiedy logarytmy biorące

110
00:04:47,662 --> 00:04:50,638
udział w dodawaniu mają taką samą podstawę.

111
00:04:50,815 --> 00:04:53,075
Pamiętaj o tym, że podstawa logarytmu

112
00:04:53,175 --> 00:04:55,934
musi być zawsze większa od zera i różna od 1

113
00:04:56,191 --> 00:04:59,675
liczby logarytmowane muszą być większe od 0.

114
00:04:59,775 --> 00:05:01,979
Teraz przyszła kolej na zadanie dla Ciebie.

115
00:05:02,079 --> 00:05:04,769
Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie

116
00:05:04,869 --> 00:05:07,189
obliczyć, ile to jest logarytm o podstawie 10

117
00:05:07,289 --> 00:05:10,122
z liczby 2, dodać logarytm o podstawie 10

118
00:05:10,222 --> 00:05:11,632
z liczby 5.

119
00:05:15,135 --> 00:05:17,566
Znowu nie jesteśmy w stanie powiedzieć

120
00:05:17,666 --> 00:05:20,309
do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 10

121
00:05:20,409 --> 00:05:21,795
aby otrzymać liczbę 2.

122
00:05:22,047 --> 00:05:24,330
Tak samo nie jesteśmy w stanie powiedzieć

123
00:05:24,430 --> 00:05:26,093
do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 10

124
00:05:26,193 --> 00:05:27,623
aby otrzymać 5.

125
00:05:27,935 --> 00:05:30,222
Zwróć jednak uwagę, że w tej sumie

126
00:05:30,322 --> 00:05:31,803
występują dwa logarytmy

127
00:05:31,903 --> 00:05:33,434
o jednakowej podstawie.

128
00:05:33,567 --> 00:05:35,359
Co w takim przypadku możemy zrobić?

129
00:05:35,871 --> 00:05:37,865
W takim przypadku taką sumę możemy

130
00:05:37,965 --> 00:05:39,969
zapisać w postaci jednego logarytmu

131
00:05:40,069 --> 00:05:42,363
który również w podstawie ma liczbę 10

132
00:05:42,527 --> 00:05:44,477
z iloczynu liczb logarytmowanych

133
00:05:44,577 --> 00:05:47,089
które występują w tych dwóch logarytmach.

134
00:05:47,391 --> 00:05:49,854
Otrzymujemy zatem logarytm o podstawie 10

135
00:05:50,041 --> 00:05:52,431
z iloczynu liczby 2 i 5.

136
00:05:52,767 --> 00:05:55,649
2 razy 5 to 10, więc otrzymujemy logarytm

137
00:05:55,749 --> 00:05:58,073
o podstawie 10 z liczby 10.

138
00:05:58,399 --> 00:06:00,758
Taki logarytm jest równy 1, ponieważ 10

139
00:06:00,858 --> 00:06:02,557
podniesione do potęgi pierwszej

140
00:06:02,706 --> 00:06:04,275
da nam liczbę 10.

141
00:06:07,871 --> 00:06:10,587
Teraz zajmiemy się czymś nieco innym.

142
00:06:10,687 --> 00:06:12,326
Zaraz zobaczysz, czym.

143
00:06:12,479 --> 00:06:14,941
Najpierw obliczymy sobie te dwa logarytmy.

144
00:06:15,295 --> 00:06:17,627
Logarytm o podstawie 2 z liczby 2, to 1

145
00:06:17,727 --> 00:06:20,260
ponieważ 2 podniesione do potęgi pierwszej

146
00:06:20,360 --> 00:06:21,759
da nam liczbę dwa.

147
00:06:21,951 --> 00:06:24,383
Logarytm o podstawie dwa z liczby 8, to 3

148
00:06:24,483 --> 00:06:26,728
ponieważ dwa podniesione do potęgi trzeciej

149
00:06:26,828 --> 00:06:28,204
to osiem.

150
00:06:28,351 --> 00:06:29,773
Obliczmy teraz, ile to jest

151
00:06:29,873 --> 00:06:32,702
logarytm o podstawie 2 z ułamka 2/8.

152
00:06:32,959 --> 00:06:34,665
Ułamek 2/8 możemy skrócić

153
00:06:34,765 --> 00:06:37,244
dzieląc licznik i mianownik przez 2.

154
00:06:37,567 --> 00:06:39,337
Otrzymamy 1/4.

155
00:06:39,615 --> 00:06:41,018
Obliczmy teraz, ile to jest

156
00:06:41,118 --> 00:06:44,437
logarytm o podstawie 2 z ułamka 1/4.

157
00:06:44,991 --> 00:06:47,562
Jeśli liczbę 2 podniesiemy do potęgi

158
00:06:47,662 --> 00:06:50,451
o wykładniku minus 2, to otrzymamy 1/4.

159
00:06:51,135 --> 00:06:53,674
Teraz obliczymy, ile to jest logarytm

160
00:06:53,774 --> 00:06:55,353
o podstawie 2 z liczby 2

161
00:06:55,453 --> 00:06:58,202
odjąć logarytm o podstawie 2 z liczby 8.

162
00:06:58,303 --> 00:07:00,487
Wiemy, że logarytm o podstawie 2

163
00:07:00,587 --> 00:07:02,511
z dwóch, to jeden. a logarytm

164
00:07:02,611 --> 00:07:04,446
o podstawie 2 z 8, to trzy.

165
00:07:04,959 --> 00:07:06,876
Otrzymujemy jeden odjąć trzy

166
00:07:06,976 --> 00:07:08,542
a to równa się minus 2.

167
00:07:09,311 --> 00:07:11,770
Zwróć uwagę, że w wyniku otrzymaliśmy

168
00:07:11,870 --> 00:07:13,651
taką samą liczbę, jak tutaj.

169
00:07:13,919 --> 00:07:16,465
Zobacz, wynikiem tego odejmowania

170
00:07:16,565 --> 00:07:20,084
jest liczba minus 2. Ten logarytm jest również

171
00:07:20,184 --> 00:07:21,235
równy minus 2.

172
00:07:21,855 --> 00:07:24,020
Możemy zatem zapisać, że logarytm

173
00:07:24,120 --> 00:07:25,765
o podstawie dwa z liczby 2

174
00:07:25,865 --> 00:07:28,383
odjąć logarytm o podstawie 2 z liczby 8

175
00:07:28,483 --> 00:07:30,520
to jest to samo, co logarytm o podstawie 2

176
00:07:30,620 --> 00:07:32,201
z ułamka 2/8.

177
00:07:32,351 --> 00:07:34,438
Właśnie poznajesz kolejną własność

178
00:07:34,538 --> 00:07:36,292
działań na logarytmach.

179
00:07:36,703 --> 00:07:38,829
Zwróć uwagę, że w tej różnicy występują

180
00:07:38,929 --> 00:07:41,055
dwa logarytmy o takiej samej podstawie.

181
00:07:41,567 --> 00:07:43,225
Taką różnicę możemy zapisać

182
00:07:43,325 --> 00:07:44,933
w postaci jednego logarytmu

183
00:07:45,033 --> 00:07:46,451
o takiej samej podstawie

184
00:07:46,551 --> 00:07:48,525
z ilorazu liczb logarytmowanych.

185
00:07:48,735 --> 00:07:51,239
W liczniku znajduje się liczba logarytmowana

186
00:07:51,339 --> 00:07:53,038
która znajduje się w logarytmie

187
00:07:53,138 --> 00:07:54,822
od którego odejmujemy.

188
00:07:55,135 --> 00:07:56,745
W mianowniku znajduje się

189
00:07:56,845 --> 00:07:59,401
liczba logarytmowana, która znajduje się

190
00:07:59,501 --> 00:08:01,509
w logarytmie, który odejmujemy.

191
00:08:01,791 --> 00:08:03,581
Innymi słowy liczba logarytmowana

192
00:08:03,681 --> 00:08:06,146
z pierwszego logarytmu znajdzie się w liczniku

193
00:08:06,246 --> 00:08:08,544
a liczba logarytmowana z drugiego logarytmu

194
00:08:08,644 --> 00:08:10,044
znajdzie się w mianowniku.

195
00:08:10,144 --> 00:08:12,187
Nie inaczej.

196
00:08:12,287 --> 00:08:14,492
Do czego w ogóle jest nam to potrzebne?

197
00:08:14,847 --> 00:08:16,809
Spójrz na takie odejmowanie.

198
00:08:17,151 --> 00:08:19,590
Tutaj mamy logarytm o podstawie 15

199
00:08:19,690 --> 00:08:22,562
z liczby 30, a tutaj logarytm o podstawie 15

200
00:08:22,662 --> 00:08:23,963
z liczby dwa.

201
00:08:24,063 --> 00:08:25,794
Nie jesteśmy w stanie powiedzieć

202
00:08:25,894 --> 00:08:28,351
do jakiej potęgi należy podnieść 15

203
00:08:28,451 --> 00:08:29,997
aby otrzymać 30.

204
00:08:30,463 --> 00:08:33,007
Nie jesteśmy też w stanie powiedzieć

205
00:08:33,107 --> 00:08:35,529
do jakiej potęgi należy podnieść 15

206
00:08:35,629 --> 00:08:37,524
aby otrzymać dwa. Co robić?

207
00:08:38,399 --> 00:08:41,079
Różnicę logarytmów o takiej samej podstawie

208
00:08:41,179 --> 00:08:43,746
możemy zapisać w postaci jednego logarytmu

209
00:08:43,846 --> 00:08:45,891
również o takiej samej podstawie.

210
00:08:46,079 --> 00:08:49,073
Liczbę logarytmowaną z pierwszego logarytmu

211
00:08:49,173 --> 00:08:52,259
zapisujemy w liczniku, a liczbę logarytmowaną

212
00:08:52,359 --> 00:08:54,858
z drugiego logarytmu - w mianowniku.

213
00:08:55,295 --> 00:08:59,473
Ile to jest 30 podzielić przez 2? Piętnaście.

214
00:08:59,647 --> 00:09:03,321
Otrzymujemy logarytm o podstawie 15 z 15.

215
00:09:03,487 --> 00:09:05,997
15 podniesione do potęgi pierwszej

216
00:09:06,097 --> 00:09:07,935
da nam liczbę 15.

217
00:09:08,095 --> 00:09:10,422
Mimo tego, że nie byliśmy w stanie obliczyć

218
00:09:10,522 --> 00:09:12,191
tych dwóch logarytmów oddzielnie

219
00:09:12,291 --> 00:09:13,739
to byliśmy w stanie obliczyć

220
00:09:13,839 --> 00:09:15,407
ile wynosi ta różnica.

221
00:09:15,775 --> 00:09:17,555
Ta różnica wynosi jeden.

222
00:09:21,407 --> 00:09:23,738
Uogólnijmy sobie nasze rozważania.

223
00:09:23,967 --> 00:09:26,421
Logarytm o podstawie a z liczby b

224
00:09:26,521 --> 00:09:29,380
odjąć logarytm o podstawie a z liczby c

225
00:09:29,480 --> 00:09:31,808
równa się logarytm o podstawie a

226
00:09:31,908 --> 00:09:33,299
z ułamka b przez c.

227
00:09:33,439 --> 00:09:35,950
Pamiętaj, że ten wzór możemy stosować

228
00:09:36,050 --> 00:09:38,857
gdy logarytmy biorące udział w odejmowaniu

229
00:09:38,957 --> 00:09:40,568
mają taką samą podstawę.

230
00:09:40,849 --> 00:09:43,144
Pamiętaj o tym, że podstawa logarytmu

231
00:09:43,244 --> 00:09:45,982
musi być zawsze większa od zera i różna od 1

232
00:09:46,239 --> 00:09:49,535
liczby logarytmowane muszą być większe od 0.

233
00:09:50,079 --> 00:09:52,127
Przed Tobą kolejne zadanie w tej lekcji.

234
00:09:52,383 --> 00:09:54,613
Zatrzymaj ją i spróbuj samodzielnie

235
00:09:54,713 --> 00:09:56,241
obliczyć tę różnicę.

236
00:10:00,063 --> 00:10:02,312
Nie potrafimy powiedzieć, do jakiej potęgi

237
00:10:02,412 --> 00:10:06,347
należy podnieść liczbę 4, aby otrzymać 192.

238
00:10:06,463 --> 00:10:09,120
Nie potrafimy też powiedzieć, do jakiej potęgi

239
00:10:09,220 --> 00:10:11,582
należy podnieść liczbę 4, aby otrzymać 3.

240
00:10:12,095 --> 00:10:14,294
Taką różnicę możemy jednak zapisać

241
00:10:14,394 --> 00:10:16,080
w postaci jednego logarytmu

242
00:10:16,180 --> 00:10:18,974
którego podstawa będzie również wynosiła 4.

243
00:10:19,263 --> 00:10:22,217
Możemy tak zrobić, ponieważ te dwa logarytmy

244
00:10:22,317 --> 00:10:23,905
mają taką samą podstawę.

245
00:10:24,127 --> 00:10:26,335
Otrzymamy logarytm o podstawie 4

246
00:10:26,435 --> 00:10:27,585
z takiego ułamka.

247
00:10:28,223 --> 00:10:31,039
W liczniku znajduje się liczba 192

248
00:10:31,295 --> 00:10:33,246
a w mianowniku liczba 3.

249
00:10:33,599 --> 00:10:37,767
192 podzielić przez 3, to sześćdziesiąt cztery.

250
00:10:38,207 --> 00:10:39,504
Otrzymujemy logarytm

251
00:10:39,604 --> 00:10:42,286
o podstawie 4, z liczby 64.

252
00:10:42,559 --> 00:10:44,996
Do jakiej potęgi należy podnieść 4

253
00:10:45,096 --> 00:10:49,199
aby otrzymać 64? Do potęgi trzeciej.

254
00:10:49,471 --> 00:10:52,804
Wynikiem tego odejmowania jest liczba 3.

255
00:10:56,895 --> 00:10:58,810
Pokażę Ci teraz, jak korzystać

256
00:10:58,910 --> 00:11:01,022
z poznanych wzorów nieco inaczej.

257
00:11:01,247 --> 00:11:03,489
Tutaj mamy logarytm o podstawie 2

258
00:11:03,589 --> 00:11:06,178
z iloczynu 4 razy pierwiastek z dwóch.

259
00:11:06,367 --> 00:11:07,864
Wiemy, że sumę logarytmów

260
00:11:07,964 --> 00:11:10,154
o jednakowej podstawie możemy zapisać

261
00:11:10,254 --> 00:11:12,753
w postaci jednego logarytmu o takiej samej

262
00:11:12,853 --> 00:11:14,969
podstawie, z liczb logarytmowanych.

263
00:11:15,071 --> 00:11:17,606
Jeśli rozbijemy ten logarytm na sumę dwóch

264
00:11:17,706 --> 00:11:19,934
logarytmów, to otrzymamy coś takiego.

265
00:11:20,447 --> 00:11:22,782
Logarytm o podstawie dwa z liczby 4

266
00:11:22,882 --> 00:11:24,690
dodać logarytm o podstawie 2

267
00:11:24,790 --> 00:11:26,239
z pierwiastka z dwóch.

268
00:11:26,591 --> 00:11:29,670
Liczbą logarytmowaną w tym logarytmie jest 4

269
00:11:29,770 --> 00:11:32,444
a liczbą logarytmowaną w tym logarytmie

270
00:11:32,544 --> 00:11:34,272
jest pierwiastek z dwóch.

271
00:11:34,783 --> 00:11:37,430
Logarytm o podstawie dwa z liczby 4, to 2

272
00:11:37,530 --> 00:11:40,193
ponieważ dwa podniesione do potęgi drugiej

273
00:11:40,293 --> 00:11:41,502
da nam liczbę 4.

274
00:11:41,695 --> 00:11:44,433
Logarytm o podstawie 2 z pierwiastka z 2

275
00:11:44,533 --> 00:11:47,639
to 1/2, ponieważ dwa podniesione do potęgi 1/2

276
00:11:47,739 --> 00:11:49,571
da nam pierwiastek z dwóch.

277
00:11:49,887 --> 00:11:51,935
Otrzymujemy 2 dodać 1/2.

278
00:11:52,447 --> 00:11:55,942
Dwa dodać 1/2 to jest 2 i 1/2.

279
00:11:58,079 --> 00:12:00,238
Spójrz teraz na kolejny przykład.

280
00:12:00,383 --> 00:12:02,363
Logarytm o podstawie 2 z ułamka

281
00:12:02,463 --> 00:12:05,245
który w liczniku ma liczbę 1, a w mianowniku

282
00:12:05,345 --> 00:12:07,260
ma liczbę pierwiastek z dwóch.

283
00:12:07,551 --> 00:12:10,105
Skoro mamy tutaj ułamek, czyli dzielenie

284
00:12:10,205 --> 00:12:12,449
to taki logarytm możemy rozbić sobie

285
00:12:12,549 --> 00:12:14,322
na różnicę dwóch logarytmów.

286
00:12:14,719 --> 00:12:17,405
Oba będą miały podstawę równą 2.

287
00:12:17,535 --> 00:12:20,484
Otrzymamy logarytm o podstawie 2 z liczby 1

288
00:12:20,584 --> 00:12:23,811
odjąć logarytm o podstawie 2 z pierwiastka z 2.

289
00:12:23,935 --> 00:12:26,421
Liczbę, która jest w liczniku, zapisaliśmy

290
00:12:26,521 --> 00:12:27,931
jako liczbę logarytmowaną

291
00:12:28,031 --> 00:12:29,309
w pierwszym logarytmie

292
00:12:29,567 --> 00:12:31,468
a liczbę, która jest w mianowniku

293
00:12:31,568 --> 00:12:33,655
zapisaliśmy jako liczbę logarytmowaną

294
00:12:33,755 --> 00:12:34,887
w drugim logarytmie.

295
00:12:35,199 --> 00:12:37,581
Do jakiej potęgi należy podnieść 2

296
00:12:37,681 --> 00:12:40,531
aby otrzymać 1? Do potęgi zerowej.

297
00:12:40,831 --> 00:12:42,918
A do jakiej potęgi należy podnieść 2

298
00:12:43,018 --> 00:12:45,182
aby otrzymać pierwiastek z dwóch?

299
00:12:45,439 --> 00:12:47,461
Do potęgi jednej drugiej.

300
00:12:47,999 --> 00:12:52,486
Ile to jest 0 odjąć 1/2? Minus 1/2.

301
00:12:52,607 --> 00:12:54,877
To jest nasz wynik.

302
00:12:59,775 --> 00:13:02,300
Sumę logarytmów o jednakowych podstawach

303
00:13:02,400 --> 00:13:04,489
możemy zapisać jako jeden logarytm

304
00:13:04,589 --> 00:13:06,663
z iloczynu liczb logarytmowanych.

305
00:13:06,943 --> 00:13:08,937
Różnicę logarytmów o jednakowych

306
00:13:09,037 --> 00:13:10,598
podstawach, możemy zapisać

307
00:13:10,698 --> 00:13:13,409
jako jeden logarytm o takiej samej podstawie

308
00:13:13,509 --> 00:13:15,759
ale z ilorazu liczb logarytmowanych.

309
00:13:15,903 --> 00:13:18,339
W liczniku znajdzie się liczba logarytmowana

310
00:13:18,439 --> 00:13:21,068
logarytmu, od którego odejmujemy

311
00:13:21,168 --> 00:13:22,560
a w mianowniku znajdzie się liczba

312
00:13:22,660 --> 00:13:26,333
logarytmowana logarytmu, który odejmujemy.

313
00:13:28,447 --> 00:13:30,810
Zapraszam Cię do obejrzenia kolejnych lekcji

314
00:13:30,910 --> 00:13:33,278
z tej playlisty, gdzie poznasz inne własności

315
00:13:33,378 --> 00:13:36,010
działań na logarytmach.