1
00:00:01,280 --> 00:00:03,000
Czy wiesz, że wartość pH

2
00:00:03,000 --> 00:00:05,060
konkretnego roztworu określa się

3
00:00:05,060 --> 00:00:06,656
używając logarytmu?

4
00:00:07,018 --> 00:00:08,923
Im więcej jest w roztworze

5
00:00:08,923 --> 00:00:10,486
wolnych jonów hydroniowych

6
00:00:10,486 --> 00:00:12,426
tym jego pH jest niższe

7
00:00:12,426 --> 00:00:14,072
czyli bardziej kwaśne.

8
00:00:14,592 --> 00:00:17,455
Znajomość skali pH jest potrzebna każdemu

9
00:00:17,455 --> 00:00:19,832
kto ma do czynienia z chemią, biologią

10
00:00:19,832 --> 00:00:22,348
rolnictwem, techniką czy medycyną.

11
00:00:36,864 --> 00:00:38,444
Spójrz na taki przykład.

12
00:00:38,444 --> 00:00:39,867
2 logarytmy o podstawie

13
00:00:39,867 --> 00:00:41,216
3 z liczby 9.

14
00:00:42,502 --> 00:00:44,987
Ten zapis oznacza, że logarytm o podstawie

15
00:00:45,027 --> 00:00:46,612
3 z liczby 9 mnożymy

16
00:00:46,612 --> 00:00:47,772
przez liczbę 2.

17
00:00:47,988 --> 00:00:49,671
Między dwójką, a tym logarytmem

18
00:00:49,671 --> 00:00:51,060
jest znak razy.

19
00:00:51,316 --> 00:00:52,533
Przyjęło się po prostu

20
00:00:52,533 --> 00:00:54,150
aby go nie zapisywać.

21
00:00:54,272 --> 00:00:56,070
Zatrzymaj teraz lekcję i spróbuj

22
00:00:56,070 --> 00:00:58,372
samodzielnie obliczyć ten przykład.

23
00:01:02,208 --> 00:01:04,256
Najpierw przepiszę liczbę 2.

24
00:01:05,024 --> 00:01:07,362
Logarytm o podstawie 3 z liczby 9

25
00:01:07,362 --> 00:01:08,368
to również 2

26
00:01:08,368 --> 00:01:10,387
ponieważ 3 podniesione do potęgi drugiej

27
00:01:10,387 --> 00:01:12,018
da nam liczbę 9.

28
00:01:12,064 --> 00:01:13,633
Otrzymujemy zatem 2 razy 2

29
00:01:13,633 --> 00:01:15,430
a to jest to samo co 4.

30
00:01:15,782 --> 00:01:18,086
To był dość łatwy przykład, prawda?

31
00:01:18,482 --> 00:01:20,340
Na tym łatwym przykładzie pokażę Ci

32
00:01:20,340 --> 00:01:22,688
pewną ciekawą własność logarytmów.

33
00:01:23,200 --> 00:01:25,264
Aby to zrobić zmażę te obliczenia.

34
00:01:25,264 --> 00:01:27,040
Potrzebuję więcej miejsca.

35
00:01:27,808 --> 00:01:29,350
Przypomnę, że mnożenie

36
00:01:29,350 --> 00:01:31,392
to inny zapis dodawania.

37
00:01:32,216 --> 00:01:33,639
2 logarytmy o podstawie

38
00:01:33,639 --> 00:01:35,318
3 z liczby 9 to inaczej

39
00:01:35,318 --> 00:01:37,651
logarytm o podstawie 3 z liczby 9

40
00:01:37,651 --> 00:01:39,451
dodać logarytm o podstawie 3

41
00:01:39,451 --> 00:01:40,608
z liczby 9.

42
00:01:41,648 --> 00:01:43,811
Czy pamiętasz, jak inaczej możemy zapisać

43
00:01:43,811 --> 00:01:45,000
sumę logarytmów

44
00:01:45,000 --> 00:01:46,782
o takich samych podstawach?

45
00:01:50,894 --> 00:01:53,141
Taką sumę możemy zapisać w postaci

46
00:01:53,141 --> 00:01:55,783
jednego logarytmu o podstawie równej 3

47
00:01:55,783 --> 00:01:57,898
z iloczynu liczb logarytmowanych

48
00:01:57,928 --> 00:02:00,284
czyli z iloczynu dwóch dziewiątek.

49
00:02:01,344 --> 00:02:03,255
Zauważ, że tutaj mamy iloczyn

50
00:02:03,255 --> 00:02:04,672
takich samych liczb.

51
00:02:04,698 --> 00:02:06,074
Iloczyn takich samych liczb

52
00:02:06,074 --> 00:02:08,592
możemy zapisać w postaci potęgowania.

53
00:02:09,386 --> 00:02:10,490
Co otrzymamy?

54
00:02:10,616 --> 00:02:11,896
Logarytm o podstawie

55
00:02:11,896 --> 00:02:13,944
3 z liczby 9 do kwadratu.

56
00:02:14,912 --> 00:02:16,960
Zatrzymajmy się tutaj na chwilę.

57
00:02:17,086 --> 00:02:19,176
Na początku mieliśmy 2 logarytmy

58
00:02:19,176 --> 00:02:21,182
o podstawie 3 z liczby 9.

59
00:02:21,824 --> 00:02:23,705
Teraz mamy logarytm o podstawie

60
00:02:23,705 --> 00:02:26,030
3 z liczby 9 do kwadratu.

61
00:02:26,688 --> 00:02:28,011
Zauważ, że dwójka

62
00:02:28,011 --> 00:02:29,760
zmieniła swoje położenie.

63
00:02:30,528 --> 00:02:31,949
Na początku była liczbą

64
00:02:31,949 --> 00:02:34,112
przez którą mnożyliśmy ten logarytm.

65
00:02:34,368 --> 00:02:36,492
Teraz liczba 2 jest wykładnikiem

66
00:02:36,492 --> 00:02:37,952
liczby logarytmowanej.

67
00:02:38,720 --> 00:02:40,928
Dokończmy obliczanie tego przykładu.

68
00:02:41,024 --> 00:02:43,584
9 do kwadratu to 81.

69
00:02:43,926 --> 00:02:45,059
Otrzymujemy logarytm

70
00:02:45,059 --> 00:02:47,510
o podstawie 3 z liczby 81.

71
00:02:47,936 --> 00:02:49,978
Do jakiej potęgi należy podnieść 3

72
00:02:49,978 --> 00:02:51,922
aby otrzymać 81?

73
00:02:52,544 --> 00:02:54,336
Do potęgi czwartej.

74
00:02:55,616 --> 00:02:58,184
Zauważ, że otrzymaliśmy taki sam wynik

75
00:02:58,184 --> 00:03:00,135
jak przy obliczaniu tego przykładu

76
00:03:00,135 --> 00:03:01,504
pierwszym sposobem.

77
00:03:02,272 --> 00:03:03,552
Szybko go przypomnę.

78
00:03:03,688 --> 00:03:06,291
Logarytm o podstawie 3 z liczby 9 to 2

79
00:03:06,291 --> 00:03:08,552
ponieważ 3 do potęgi drugiej to 9.

80
00:03:09,440 --> 00:03:11,232
A ile to jest 2 razy 2?

81
00:03:12,000 --> 00:03:12,768
4.

82
00:03:13,376 --> 00:03:15,183
Widzisz więc, że ten przykład

83
00:03:15,183 --> 00:03:17,216
możemy obliczyć na dwa sposoby.

84
00:03:17,888 --> 00:03:19,557
Ten drugi sposób polega na tym

85
00:03:19,557 --> 00:03:21,815
że jeśli jakiś logarytm mnożymy

86
00:03:21,815 --> 00:03:24,062
przez pewną liczbę, to tę liczbę 

87
00:03:24,062 --> 00:03:25,535
możemy swobodnie przenieść

88
00:03:25,535 --> 00:03:27,872
do wykładnika liczby logarytmowanej.

89
00:03:28,384 --> 00:03:29,136
Zobacz.

90
00:03:29,152 --> 00:03:31,665
2 logarytmy o podstawie 3 z liczby 9

91
00:03:31,665 --> 00:03:32,712
to jest to samo

92
00:03:32,712 --> 00:03:34,806
co logarytm o podstawie 3 z liczby 9

93
00:03:34,806 --> 00:03:35,766
do kwadratu.

94
00:03:36,576 --> 00:03:38,869
Zanim uogólnimy sobie tę własność

95
00:03:38,869 --> 00:03:41,440
przeanalizujmy jeszcze jeden przykład.

96
00:03:41,662 --> 00:03:42,435
Mamy tutaj

97
00:03:42,435 --> 00:03:45,110
4 logarytmy o podstawie 3 z liczby 9.

98
00:03:45,536 --> 00:03:48,010
Zapiszmy to mnożenie w postaci dodawania.

99
00:03:48,352 --> 00:03:49,731
Skoro mamy 4 logarytmy

100
00:03:49,731 --> 00:03:51,696
o podstawie 3 z liczby 9

101
00:03:51,696 --> 00:03:53,330
to takie mnożenie możemy zapisać

102
00:03:53,330 --> 00:03:54,856
jako sumę 4 logarytmów 

103
00:03:54,856 --> 00:03:57,056
 o podstawie 3 z liczby 9.

104
00:03:57,824 --> 00:03:58,947
Sumę 4 logarytmów

105
00:03:58,947 --> 00:04:01,022
o jednakowej podstawie równej 3

106
00:04:01,022 --> 00:04:03,557
możemy zapisać jako logarytm o podstawie 3

107
00:04:03,557 --> 00:04:05,760
z iloczynu liczb logarytmowanych.

108
00:04:06,534 --> 00:04:08,011
Ile dziewiątek bierze udział

109
00:04:08,011 --> 00:04:09,344
w tym mnożeniu?

110
00:04:09,600 --> 00:04:10,402
4.

111
00:04:10,720 --> 00:04:11,747
Otrzymujemy zatem

112
00:04:11,747 --> 00:04:13,838
logarytm o podstawie 3 z liczby 9

113
00:04:13,838 --> 00:04:15,232
do potęgi czwartej.

114
00:04:15,820 --> 00:04:16,562
Zobacz.

115
00:04:16,668 --> 00:04:17,611
Tutaj mieliśmy

116
00:04:17,611 --> 00:04:20,351
4 logarytmy o podstawie 3 z liczby 9.

117
00:04:20,693 --> 00:04:21,781
Tutaj mamy logarytm

118
00:04:21,781 --> 00:04:23,580
o podstawie 3 z liczby 9

119
00:04:23,580 --> 00:04:25,229
do potęgi czwartej.

120
00:04:25,471 --> 00:04:26,991
Oczywiście ta czwarta potęga

121
00:04:26,991 --> 00:04:28,543
tyczy się liczby 9.

122
00:04:29,823 --> 00:04:32,383
Zatrzymajmy się na chwilę przy tym kroku.

123
00:04:32,705 --> 00:04:33,789
Jeżeli podniesiemy

124
00:04:33,789 --> 00:04:35,465
liczbę 9 do potęgi czwartej

125
00:04:35,465 --> 00:04:37,247
otrzymamy ogromną liczbę.

126
00:04:37,759 --> 00:04:39,163
Ciężko będzie stwierdzić

127
00:04:39,163 --> 00:04:40,829
do jakiej potęgi będzie należało

128
00:04:40,829 --> 00:04:43,303
podnieść liczbę 3, aby otrzymać liczbę

129
00:04:43,303 --> 00:04:45,951
która jest równa 9 do potęgi czwartej.

130
00:04:46,463 --> 00:04:48,818
Możemy jednak poradzić sobie nieco inaczej

131
00:04:48,818 --> 00:04:51,071
operując działaniami na potęgach.

132
00:04:51,327 --> 00:04:53,785
Zamieńmy liczbę 9 na taką potęgę

133
00:04:53,785 --> 00:04:55,858
aby podstawą była liczba 3.

134
00:04:55,858 --> 00:04:58,495
Wiemy, że 9 to inaczej 3 do kwadratu.

135
00:04:59,263 --> 00:05:01,014
Otrzymamy logarytm o podstawie

136
00:05:01,014 --> 00:05:03,000
3 z liczby 3 do potęgi drugiej

137
00:05:03,000 --> 00:05:04,383
do potęgi czwartej.

138
00:05:05,407 --> 00:05:07,951
Jeśli potęgę podnosimy do innej potęgi

139
00:05:07,951 --> 00:05:09,759
to co robimy z wykładnikami?

140
00:05:10,015 --> 00:05:10,783
Mnożymy.

141
00:05:11,551 --> 00:05:13,087
2 razy 4 to 8.

142
00:05:13,193 --> 00:05:14,808
Otrzymujemy logarytm o podstawie

143
00:05:14,808 --> 00:05:17,183
3 z liczby 3 do potęgi ósmej.

144
00:05:17,951 --> 00:05:19,761
Zastanów się teraz, do jakiej potęgi

145
00:05:19,761 --> 00:05:21,551
należy podnieść 3

146
00:05:21,551 --> 00:05:23,849
aby otrzymać 3 do potęgi ósmej?

147
00:05:25,119 --> 00:05:27,593
Odpowiedź jest już zawarta w tym pytaniu.

148
00:05:27,679 --> 00:05:29,215
Do potęgi ósmej.

149
00:05:29,983 --> 00:05:31,775
Otrzymujemy zatem 8.

150
00:05:32,649 --> 00:05:33,850
Jeśli mi nie wierzysz

151
00:05:33,850 --> 00:05:35,323
że to jest poprawny wynik

152
00:05:35,323 --> 00:05:37,407
to udowodnię Ci innym sposobem.

153
00:05:38,517 --> 00:05:40,363
Powiedzieliśmy już, że logarytm

154
00:05:40,363 --> 00:05:42,639
o podstawie 3 z liczby 9 to 2

155
00:05:42,639 --> 00:05:44,831
ponieważ 3 do potęgi drugiej to 9.

156
00:05:45,343 --> 00:05:47,391
A ile to jest 4 razy 2?

157
00:05:47,903 --> 00:05:48,671
8.

158
00:05:49,183 --> 00:05:51,487
Widzisz więc, że to jest poprawny wynik.

159
00:05:53,279 --> 00:05:54,849
Te dwa przykłady miały na celu

160
00:05:54,849 --> 00:05:57,381
pokazanie Ci, że jeśli dowolny logarytm

161
00:05:57,381 --> 00:05:59,049
mnożymy przez jakąś liczbę

162
00:05:59,049 --> 00:06:01,323
to tę liczbę możemy swobodnie przenieść

163
00:06:01,323 --> 00:06:03,929
do wykładnika liczby logarytmowanej.

164
00:06:04,287 --> 00:06:05,567
Uogólnijmy to sobie.

165
00:06:06,847 --> 00:06:09,206
Jeśli logarytm o podstawie a z liczby b

166
00:06:09,206 --> 00:06:10,943
pomnożymy przez dowolną liczbę

167
00:06:10,943 --> 00:06:12,977
którą oznaczono literą k

168
00:06:12,977 --> 00:06:15,425
to tę literę k możemy swobodnie przenieść

169
00:06:15,425 --> 00:06:17,789
do wykładnika liczby logarytmowanej.

170
00:06:18,111 --> 00:06:20,538
k razy logarytm o podstawie a z liczby b

171
00:06:20,538 --> 00:06:22,224
równa się logarytm o podstawie

172
00:06:22,224 --> 00:06:24,255
a z liczby b do potęgi k.

173
00:06:24,767 --> 00:06:26,462
Pamiętaj, że podstawa logarytmu

174
00:06:26,462 --> 00:06:29,029
musi być większa od zera i różna od 1

175
00:06:29,029 --> 00:06:30,213
a liczba logarytmowana

176
00:06:30,213 --> 00:06:31,935
musi być większa od zera.

177
00:06:32,819 --> 00:06:34,417
Przejdziemy teraz do przykładów

178
00:06:34,417 --> 00:06:35,329
w których będziemy

179
00:06:35,329 --> 00:06:37,427
wykorzystywali sobie ten wzór.

180
00:06:41,663 --> 00:06:43,199
Spójrz na taki przykład.

181
00:06:43,455 --> 00:06:44,883
Logarytm o podstawie 2

182
00:06:44,883 --> 00:06:46,959
z liczby pierwiastek trzeciego stopnia

183
00:06:46,959 --> 00:06:48,063
z liczby 2.

184
00:06:49,087 --> 00:06:50,545
Zatrzymaj teraz lekcję

185
00:06:50,545 --> 00:06:52,167
i spróbuj samodzielnie zamienić

186
00:06:52,167 --> 00:06:54,207
ten pierwiastek na potęgę.

187
00:06:58,093 --> 00:07:00,255
Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby 2

188
00:07:00,255 --> 00:07:02,865
to inaczej 2 do potęgi 1/3.

189
00:07:03,679 --> 00:07:05,421
Otrzymujemy logarytm o podstawie

190
00:07:05,421 --> 00:07:08,207
2 z liczby 2 do potęgi 1/3.

191
00:07:08,799 --> 00:07:10,664
Teraz zastosujemy poznany wzór

192
00:07:10,664 --> 00:07:11,871
w drugą stronę.

193
00:07:12,193 --> 00:07:12,961
Czyli jak?

194
00:07:13,919 --> 00:07:15,178
Wykładnik tej potęgi

195
00:07:15,178 --> 00:07:17,759
możemy swobodnie przenieść przed logarytm.

196
00:07:19,637 --> 00:07:22,118
Otrzymamy 1/3 razy logarytm

197
00:07:22,118 --> 00:07:24,415
o podstawie 2 z liczby 2.

198
00:07:25,695 --> 00:07:28,511
Logarytm o podstawie 2 z liczby 2 to 1.

199
00:07:29,791 --> 00:07:31,327
Otrzymujemy takie mnożenie:

200
00:07:31,583 --> 00:07:33,119
1/3 razy 1.

201
00:07:33,631 --> 00:07:37,471
1/3 razy 1 to nic innego jak 1/3.

202
00:07:38,897 --> 00:07:41,165
Teraz przyszła kolej na zadanie dla Ciebie

203
00:07:41,165 --> 00:07:42,607
Zatrzymaj lekcję i spróbuj

204
00:07:42,607 --> 00:07:44,249
samodzielnie obliczyć ile to jest

205
00:07:44,249 --> 00:07:47,290
logarytm o podstawie 6 z liczby 36

206
00:07:47,290 --> 00:07:48,745
do potęgi piątej.

207
00:07:52,575 --> 00:07:54,353
Zwróć uwagę, że jeżeli podniesiemy

208
00:07:54,353 --> 00:07:56,886
liczbę 36 do potęgi piątej

209
00:07:56,886 --> 00:07:58,719
to otrzymamy ogromną liczbę.

210
00:07:59,287 --> 00:08:00,724
Ciężko będzie nam powiedzieć

211
00:08:00,724 --> 00:08:03,000
do jakiej potęgi należy podnieść 6

212
00:08:03,000 --> 00:08:04,051
aby otrzymać liczbę

213
00:08:04,051 --> 00:08:07,167
która jest równa 36 do potęgi piątej.

214
00:08:07,971 --> 00:08:09,349
Tę piątkę możemy jednak

215
00:08:09,379 --> 00:08:11,459
przenieść sobie przed logarytm.

216
00:08:12,127 --> 00:08:13,572
Otrzymamy 5 razy

217
00:08:13,572 --> 00:08:16,895
logarytm o podstawie 6 z liczby 36.

218
00:08:17,237 --> 00:08:19,180
Teraz dużo łatwiej znaleźć liczbę

219
00:08:19,180 --> 00:08:21,318
do której należy podnieść liczbę 6

220
00:08:21,318 --> 00:08:23,271
aby otrzymać 36.

221
00:08:24,063 --> 00:08:26,111
Taką liczbą jest liczba 2.

222
00:08:27,161 --> 00:08:29,465
Otrzymujemy zatem 5 razy 2.

223
00:08:30,719 --> 00:08:33,279
Wynikiem tego mnożenia jest liczba 10.

224
00:08:34,559 --> 00:08:35,583
Co to oznacza?

225
00:08:36,095 --> 00:08:37,216
Jeżeli liczbę 6

226
00:08:37,216 --> 00:08:39,196
podniesiemy do potęgi dziesiątej

227
00:08:39,196 --> 00:08:40,849
to otrzymamy taką samą liczbę

228
00:08:40,849 --> 00:08:43,519
jak 36 do potęgi piątej.

229
00:08:45,055 --> 00:08:46,661
Ostatni przykład w tej lekcji

230
00:08:46,661 --> 00:08:48,383
również jest dla Ciebie.

231
00:08:48,639 --> 00:08:49,405
Zatrzymaj ją

232
00:08:49,405 --> 00:08:50,983
i spróbuj samodzielnie obliczyć

233
00:08:50,983 --> 00:08:53,363
ile to jest logarytm o podstawie 6

234
00:08:53,363 --> 00:08:55,587
z liczby pierwiastek trzeciego stopnia

235
00:08:55,587 --> 00:08:57,855
z liczby 6 do potęgi drugiej.

236
00:09:01,695 --> 00:09:03,043
Ten przykład tylko wygląda

237
00:09:03,043 --> 00:09:04,255
na skomplikowany.

238
00:09:04,527 --> 00:09:06,158
Wiesz już, że pierwiastki

239
00:09:06,158 --> 00:09:07,855
możemy zamieniać na potęgi.

240
00:09:08,863 --> 00:09:11,219
Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby 6

241
00:09:11,219 --> 00:09:12,744
do potęgi drugiej to inaczej

242
00:09:12,744 --> 00:09:15,007
6 do potęgi 2/3.

243
00:09:15,063 --> 00:09:17,336
Zwróć uwagę, że tutaj mamy taką sytuację

244
00:09:17,336 --> 00:09:19,393
że podstawa logarytmu jest taka sama

245
00:09:19,393 --> 00:09:21,207
jak liczba logarytmowana.

246
00:09:21,769 --> 00:09:23,625
Zadaj sobie teraz takie pytanie.

247
00:09:23,625 --> 00:09:26,128
Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 6

248
00:09:26,128 --> 00:09:28,887
aby otrzymać 6 do potęgi 2/3?

249
00:09:29,855 --> 00:09:32,415
Tą potęgą jest liczba 2/3.

250
00:09:32,481 --> 00:09:34,273
Możemy już zapisać wynik.

251
00:09:34,469 --> 00:09:36,948
Logarytm o podstawie 6 z liczby 6

252
00:09:36,978 --> 00:09:39,633
do potęgi 2/3 to 2/3.

253
00:09:39,925 --> 00:09:41,179
Możemy jednak obliczyć to

254
00:09:41,179 --> 00:09:42,485
też nieco inaczej.

255
00:09:43,167 --> 00:09:44,703
Zmażę najpierw ten wynik.

256
00:09:45,215 --> 00:09:47,519
Co możemy zrobić z liczbą 2/3?

257
00:09:48,031 --> 00:09:49,823
Przenieść ją przed logarytm.

258
00:09:50,335 --> 00:09:52,309
Otrzymamy 2/3 razy logarytm

259
00:09:52,309 --> 00:09:54,537
o podstawie 6 z liczby 6.

260
00:09:54,943 --> 00:09:58,527
Logarytm o podstawie 6 z liczby 6 to 1.

261
00:09:59,295 --> 00:10:03,391
Otrzymujemy 2/3 razy 1 i otrzymujemy 2/3.

262
00:10:03,989 --> 00:10:04,768
To jest wynik

263
00:10:04,768 --> 00:10:06,523
który zapisałem przed chwilą.

264
00:10:06,523 --> 00:10:08,847
Otrzymaliśmy go na 2 różne sposoby.

265
00:10:09,279 --> 00:10:10,577
Gratulacje.

266
00:10:15,951 --> 00:10:17,808
Logarytm potęgi jest równy

267
00:10:17,818 --> 00:10:19,803
iloczynowi wykładnika potęgi

268
00:10:19,803 --> 00:10:22,285
i logarytmu podstawy tej potęgi.

269
00:10:26,933 --> 00:10:28,433
Zapraszam Cię do obejrzenia

270
00:10:28,433 --> 00:10:30,203
pozostałych lekcji o logarytmach

271
00:10:30,203 --> 00:10:32,973
oraz do zasubskrybowania naszego kanału.