1
00:00:00,239 --> 00:00:03,342
Jasność gwiazd, to ilość energii świetlnej

2
00:00:03,342 --> 00:00:05,936
docierającej od gwiazdy na jednostkę 

3
00:00:06,036 --> 00:00:08,580
powierzchni prostopadłej do kierunku 

4
00:00:08,680 --> 00:00:11,774
padającego promieniowania w jednostce czasu.

5
00:00:12,033 --> 00:00:14,080
Co mają do tego logarytmy?

6
00:00:14,422 --> 00:00:17,605
Okazuje się, że jasność gwiazd wyraża się 

7
00:00:17,705 --> 00:00:21,119
w logarytmicznej skali wielkości gwiazdowych.

8
00:00:34,941 --> 00:00:36,988
Zobacz. Mamy tutaj logarytm 

9
00:00:37,088 --> 00:00:38,911
o podstawie 2 z liczby 5.

10
00:00:39,613 --> 00:00:41,409
Nie wiemy, do jakiej potęgi 

11
00:00:41,509 --> 00:00:44,031
mamy podnieść liczbę 2, aby otrzymać 5.

12
00:00:44,544 --> 00:00:47,104
Wiemy jednak, że taka liczba istnieje.

13
00:00:47,204 --> 00:00:49,408
Oznaczono ją literą x.

14
00:00:50,002 --> 00:00:52,944
Jeżeli logarytm o podstawie 2 z liczby 5

15
00:00:52,944 --> 00:00:57,088
równa się x, to 2 do potęgi x równa się 5.

16
00:00:57,909 --> 00:01:00,084
Zwróć uwagę, że w tym równaniu 

17
00:01:00,184 --> 00:01:02,719
x występuje w wykładniku tej potęgi.

18
00:01:02,980 --> 00:01:04,949
Z tego równania wiemy też

19
00:01:04,949 --> 00:01:06,347
że x to jest to samo

20
00:01:06,347 --> 00:01:08,864
co logarytm o podstawie 2 z liczby 5.

21
00:01:09,529 --> 00:01:11,730
Możemy zatem ten logarytm wstawić 

22
00:01:11,830 --> 00:01:14,495
w miejsce x w równaniu po prawej stronie.

23
00:01:14,880 --> 00:01:16,288
Co otrzymamy?

24
00:01:16,644 --> 00:01:17,705
2 do potęgi

25
00:01:17,705 --> 00:01:20,482
logarytm o podstawie 2 z liczby 5

26
00:01:20,482 --> 00:01:21,615
równa się 5.

27
00:01:21,961 --> 00:01:24,480
Przeanalizujmy to sobie raz jeszcze.

28
00:01:24,580 --> 00:01:26,964
Logarytm o podstawie 2 z liczby 5

29
00:01:26,964 --> 00:01:28,269
oznacza taką liczbę

30
00:01:28,269 --> 00:01:30,280
do której należy podnieść liczbę 2

31
00:01:30,280 --> 00:01:31,648
aby otrzymać 5.

32
00:01:32,237 --> 00:01:34,377
To, co powiedziałem przed chwilą

33
00:01:34,377 --> 00:01:36,562
jest również zapisane w tym miejscu

34
00:01:36,662 --> 00:01:38,304
tylko nieco inaczej.

35
00:01:38,553 --> 00:01:40,950
Logarytm o podstawie 2 z liczby 5

36
00:01:40,950 --> 00:01:42,396
oznacza taki wykładnik

37
00:01:42,396 --> 00:01:44,420
do którego należy podnieść liczbę 2

38
00:01:44,420 --> 00:01:45,800
aby otrzymać 5.

39
00:01:46,866 --> 00:01:49,568
To równanie przedstawia nam pewien wzór.

40
00:01:50,592 --> 00:01:52,669
Z tego, co powiedziałem przed chwilą

41
00:01:52,669 --> 00:01:54,657
wynika, że jeżeli podstawa potęgi

42
00:01:54,657 --> 00:01:56,856
jest taka sama, jak podstawa logarytmu

43
00:01:56,992 --> 00:01:59,118
to wynikiem takiego potęgowania

44
00:01:59,118 --> 00:02:00,832
jest liczba logarytmowana.

45
00:02:01,421 --> 00:02:02,619
Pokażę Ci teraz

46
00:02:02,619 --> 00:02:04,928
jak wygląda uogólnienie tego wzoru.

47
00:02:05,175 --> 00:02:06,195
Zobacz.

48
00:02:06,295 --> 00:02:07,598
a podniesione do potęgi

49
00:02:07,698 --> 00:02:09,827
logarytm o podstawie a z liczby b

50
00:02:09,927 --> 00:02:11,072
równa się b.

51
00:02:11,840 --> 00:02:13,801
Liczby występujące w tym równaniu

52
00:02:13,801 --> 00:02:15,258
nie mogą być byle jakie.

53
00:02:15,358 --> 00:02:16,896
Podstawa tego logarytmu

54
00:02:16,896 --> 00:02:18,843
i zarazem podstawa potęgowania

55
00:02:18,843 --> 00:02:19,929
musi być liczbą

56
00:02:19,929 --> 00:02:22,028
większą od zera i różną od 1.

57
00:02:22,233 --> 00:02:24,591
Liczba logarytmowana musi być

58
00:02:24,591 --> 00:02:26,176
z kolei większa od zera.

59
00:02:26,785 --> 00:02:28,104
Pokażę Ci teraz

60
00:02:28,104 --> 00:02:30,272
jak stosować ten wzór w obliczeniach.

61
00:02:30,838 --> 00:02:32,576
Spójrz na taki przykład.

62
00:02:32,676 --> 00:02:34,147
Mamy tutaj liczbę 8

63
00:02:34,147 --> 00:02:35,627
podniesioną do potęgi

64
00:02:35,627 --> 00:02:37,952
logarytm o podstawie 2 z liczby 5.

65
00:02:38,319 --> 00:02:40,376
Chciałoby się powiedzieć, że wynikiem

66
00:02:40,476 --> 00:02:42,816
tego potęgowania jest liczba 5.

67
00:02:43,051 --> 00:02:44,864
Niestety, jednak nie jest.

68
00:02:45,048 --> 00:02:46,144
A dlaczego?

69
00:02:46,332 --> 00:02:49,014
Zwróć uwagę, że podstawa tego potęgowania

70
00:02:49,114 --> 00:02:51,623
nie jest taka sama, jak podstawa logarytmu.

71
00:02:51,723 --> 00:02:53,201
Dlatego nie możemy powiedzieć

72
00:02:53,301 --> 00:02:54,705
że wynikiem tego potęgowania

73
00:02:54,805 --> 00:02:56,089
jest liczba 5.

74
00:02:56,262 --> 00:02:58,826
Dokonując jednak pewnych przekształceń

75
00:02:58,826 --> 00:02:59,765
tego potęgowania

76
00:02:59,765 --> 00:03:01,900
będziemy w stanie podać jego wynik.

77
00:03:02,099 --> 00:03:04,576
Najważniejszy jest pierwszy krok.

78
00:03:04,728 --> 00:03:06,089
Zastanawiamy się

79
00:03:06,089 --> 00:03:07,612
czy istnieje taka liczba

80
00:03:07,612 --> 00:03:09,220
do której należy podnieść liczbę 2

81
00:03:09,320 --> 00:03:10,720
aby otrzymać 8.

82
00:03:11,011 --> 00:03:14,048
Wiemy, że 2 do potęgi trzeciej to 8.

83
00:03:14,299 --> 00:03:16,568
Możemy więc zamienić liczbę 8

84
00:03:16,668 --> 00:03:18,400
na 2 do potęgi trzeciej.

85
00:03:18,791 --> 00:03:21,167
Otrzymamy: 2 do potęgi trzeciej

86
00:03:21,167 --> 00:03:21,900
do potęgi

87
00:03:21,900 --> 00:03:24,032
logarytm o podstawie 2 z liczby 5.

88
00:03:24,661 --> 00:03:26,848
Mamy tutaj potęgę potęgi.

89
00:03:27,130 --> 00:03:29,920
Co więc możemy zrobić z wykładnikami?

90
00:03:30,045 --> 00:03:31,200
Pomnożyć je.

91
00:03:31,696 --> 00:03:33,965
Po pomnożeniu wykładników otrzymamy

92
00:03:34,065 --> 00:03:35,952
2 do potęgi 3 logarytmy

93
00:03:35,952 --> 00:03:37,950
o podstawie 2 z liczby 5.

94
00:03:38,245 --> 00:03:39,722
To jeszcze nie wszystko.

95
00:03:39,882 --> 00:03:43,023
Jeśli jakiś logarytm mnożymy przez liczbę

96
00:03:43,023 --> 00:03:44,908
to tę liczbę możemy zapisać

97
00:03:44,908 --> 00:03:47,284
w wykładniku liczby logarytmowanej.

98
00:03:47,709 --> 00:03:49,007
Po dokonaniu tego kroku

99
00:03:49,107 --> 00:03:50,571
otrzymamy 2 do potęgi

100
00:03:50,671 --> 00:03:52,860
logarytm o podstawie 2 z liczby 5

101
00:03:52,960 --> 00:03:54,240
do potęgi trzeciej.

102
00:03:54,340 --> 00:03:56,800
A ile to jest 5 do potęgi trzeciej?

103
00:03:56,900 --> 00:03:58,336
125.

104
00:03:58,996 --> 00:04:02,405
Gdy zamienimy 5 do potęgi trzeciej na 125

105
00:04:02,405 --> 00:04:03,661
otrzymamy 2 do potęgi

106
00:04:03,661 --> 00:04:07,040
logarytm o podstawie 2 z liczby 125.

107
00:04:07,442 --> 00:04:09,878
Zwróć uwagę,  że dopiero teraz podstawa

108
00:04:09,878 --> 00:04:11,812
tego potęgowania jest taka sama

109
00:04:11,812 --> 00:04:13,184
jak podstawa logarytmu.

110
00:04:13,532 --> 00:04:15,640
Oznacza to, że dopiero teraz

111
00:04:15,640 --> 00:04:16,711
możemy powiedzieć

112
00:04:16,711 --> 00:04:18,340
że wynikiem tego potęgowania

113
00:04:18,340 --> 00:04:21,115
jest liczba logarytmowana, czyli 125.

114
00:04:22,251 --> 00:04:23,935
To jest nasz wynik.

115
00:04:29,212 --> 00:04:31,221
Aby obliczać różne logarytmy

116
00:04:31,221 --> 00:04:33,525
wystarczy rozumieć, jak działa logarytm

117
00:04:33,525 --> 00:04:34,667
oraz jak działają

118
00:04:34,667 --> 00:04:36,481
różne wzory na logarytmach.

119
00:04:39,728 --> 00:04:40,894
Jeśli chcesz

120
00:04:40,894 --> 00:04:42,960
dowiedzieć się więcej o logarytmach

121
00:04:42,960 --> 00:04:45,252
to obejrzyj pozostałe lekcje z tej playlisty.

122
00:04:45,651 --> 00:04:48,192
Jeśli chcesz być na bieżąco z nowymi lekcjami

123
00:04:48,292 --> 00:04:50,776
zasubskrybuj nasz kanał na YouTube.