1
00:00:00,362 --> 00:00:02,410
Znamy kilka rodzajów dowodów.

2
00:00:02,596 --> 00:00:05,924
Osobisty, rejestracyjny, dowód w sprawie.

3
00:00:05,970 --> 00:00:07,329
Moglibyśmy szukać

4
00:00:07,329 --> 00:00:08,809
jeszcze innych przykładów

5
00:00:08,809 --> 00:00:10,451
ale w tej lekcji skupimy się

6
00:00:10,451 --> 00:00:11,945
na dowodach w matematyce

7
00:00:11,945 --> 00:00:13,615
i wykorzystamy w nich wzory

8
00:00:13,615 --> 00:00:15,030
skróconego mnożenia.

9
00:00:26,208 --> 00:00:28,014
Rozwiążmy takie zadanie:

10
00:00:28,226 --> 00:00:31,340
wykaż, że liczba 199 do kwadratu

11
00:00:31,420 --> 00:00:34,364
odjąć 1 jest podzielna przez 100.

12
00:00:35,088 --> 00:00:36,568
Przepiszmy nasz przykład.

13
00:00:36,674 --> 00:00:40,514
199 do kwadratu odjąć 1 równa się.

14
00:00:41,232 --> 00:00:42,679
Ten przykład moglibyśmy

15
00:00:42,679 --> 00:00:44,740
po prostu obliczyć na kalkulatorze.

16
00:00:44,756 --> 00:00:47,174
To by było poprawne rozwiązanie zadania.

17
00:00:47,240 --> 00:00:48,559
Zastanówmy się jednak

18
00:00:48,589 --> 00:00:50,658
czy dałoby się to zrobić inaczej?

19
00:00:50,734 --> 00:00:53,192
Na przykład rozpisując to wyrażenie?

20
00:00:53,540 --> 00:00:57,106
Mamy 199 do kwadratu i odjąć 1

21
00:00:57,216 --> 00:00:59,469
to przypomina wzór skróconego mnożenia

22
00:00:59,469 --> 00:01:00,928
na różnicę kwadratów.

23
00:01:01,084 --> 00:01:03,321
Wystarczy, że będziemy pamiętać, że 1

24
00:01:03,321 --> 00:01:05,618
to przecież to samo, co 1 do kwadratu.

25
00:01:06,114 --> 00:01:07,874
W takim razie będziemy mieli

26
00:01:07,874 --> 00:01:11,019
199 do kwadratu odjąć 1 do kwadratu

27
00:01:11,049 --> 00:01:13,255
a to już na pewno jest wzór skróconego

28
00:01:13,255 --> 00:01:15,089
mnożenia na różnicę kwadratów.

29
00:01:15,089 --> 00:01:17,306
199 będzie naszą liczbą a

30
00:01:17,476 --> 00:01:19,138
zaś 1 będzie liczbą b.

31
00:01:19,702 --> 00:01:21,203
I rozpiszmy ten przykład

32
00:01:21,203 --> 00:01:23,560
zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia.

33
00:01:23,748 --> 00:01:26,116
a do kwadratu odjąć b do kwadratu

34
00:01:26,198 --> 00:01:29,270
równa się a dodać b razy a odjąć b.

35
00:01:29,606 --> 00:01:32,294
Czyli 199 dodać 1

36
00:01:32,294 --> 00:01:34,982
razy 199 odjąć 1.

37
00:01:35,996 --> 00:01:38,218
Wykonajmy działania w nawiasach.

38
00:01:38,390 --> 00:01:40,543
199 dodać 1

39
00:01:40,543 --> 00:01:41,718
to 200

40
00:01:41,884 --> 00:01:44,877
razy 199 odjąć 1

41
00:01:44,877 --> 00:01:46,748
czyli 198.

42
00:01:47,772 --> 00:01:50,332
Zauważ, że wcale nie musimy tego mnożyć.

43
00:01:51,170 --> 00:01:53,986
200 równa się 2 razy 100.

44
00:01:54,714 --> 00:01:56,772
Czyli możemy zapisać nasze działanie

45
00:01:56,802 --> 00:02:00,336
jako 2 razy 100 i razy 198.

46
00:02:01,124 --> 00:02:04,467
Mieliśmy wykazać, że liczba 199

47
00:02:04,527 --> 00:02:05,877
podniesiona do kwadratu

48
00:02:05,877 --> 00:02:07,011
pomniejszona o 1

49
00:02:07,011 --> 00:02:08,783
jest podzielna przez 100.

50
00:02:08,823 --> 00:02:10,856
Skoro w iloczynie mamy liczbę 100

51
00:02:10,876 --> 00:02:13,148
to znaczy, że końcowy wynik mnożenia

52
00:02:13,148 --> 00:02:14,581
będziemy mogli podzielić

53
00:02:14,581 --> 00:02:16,412
przez 100 bez reszty.

54
00:02:16,770 --> 00:02:19,032
A więc dowód został zakończony.

55
00:02:23,672 --> 00:02:25,464
Rozwiążmy drugie zadanie.

56
00:02:25,936 --> 00:02:27,523
Wykaż, że różnica kwadratów

57
00:02:27,523 --> 00:02:29,743
dwóch kolejnych liczb nieparzystych

58
00:02:29,743 --> 00:02:31,582
jest podzielna przez 8.

59
00:02:32,572 --> 00:02:34,362
Tę zależność mamy wykazać

60
00:02:34,422 --> 00:02:35,954
dla całej grupy liczb.

61
00:02:36,040 --> 00:02:38,276
A więc tutaj nie możemy posługiwać się

62
00:02:38,276 --> 00:02:39,930
konkretnymi liczbami.

63
00:02:40,508 --> 00:02:42,190
Zastanówmy się, jak zapisać

64
00:02:42,190 --> 00:02:44,096
nasze liczby nieparzyste.

65
00:02:45,010 --> 00:02:46,546
Narysujmy oś liczbową.

66
00:02:47,636 --> 00:02:50,196
Mamy oś od zera do nieskończoności.

67
00:02:51,586 --> 00:02:52,988
Weźmy jakąś liczbę n

68
00:02:52,988 --> 00:02:55,472
należącą do zbioru liczb całkowitych.

69
00:02:56,114 --> 00:02:58,385
Czy możemy mieć pewność, że ta liczba

70
00:02:58,385 --> 00:03:00,184
jest parzysta albo nieparzysta?

71
00:03:00,506 --> 00:03:02,728
Nie możemy mieć tej pewności.

72
00:03:03,096 --> 00:03:04,962
Co więc musimy zrobić?

73
00:03:06,148 --> 00:03:09,220
Naszą liczbę n musimy przemnożyć przez 2.

74
00:03:10,018 --> 00:03:11,648
Czy wiesz dlaczego?

75
00:03:12,312 --> 00:03:14,368
Dzięki przemnożeniu naszej liczby

76
00:03:14,368 --> 00:03:17,206
n przez 2 będziemy mieli pewność

77
00:03:18,126 --> 00:03:21,142
że liczba 2n jest liczbą parzystą

78
00:03:22,020 --> 00:03:23,514
bo przecież każda liczba

79
00:03:23,514 --> 00:03:24,507
pomnożona razy 2

80
00:03:24,507 --> 00:03:26,588
jest też podzielna przez 2

81
00:03:27,230 --> 00:03:28,717
a podzielność przez 2

82
00:03:28,747 --> 00:03:30,588
jest warunkiem parzystości.

83
00:03:31,502 --> 00:03:33,710
No dobrze, mamy liczbę parzystą.

84
00:03:33,736 --> 00:03:36,684
A więc kolejną liczbą będzie 2n plus 1

85
00:03:36,704 --> 00:03:38,487
i jest ona na pewno nieparzysta

86
00:03:38,487 --> 00:03:40,776
bo jest o 1 większa od liczby parzystej.

87
00:03:40,836 --> 00:03:42,368
Następną liczbą na osi

88
00:03:42,368 --> 00:03:44,872
będzie oczywiście liczba parzysta

89
00:03:44,872 --> 00:03:46,390
a dalej nieparzysta.

90
00:03:47,178 --> 00:03:49,263
Więc naszą drugą liczbą nieparzystą

91
00:03:49,293 --> 00:03:50,828
będzie 2n plus 3.

92
00:03:51,440 --> 00:03:53,930
Mamy nasze dwie kolejne liczby nieparzyste

93
00:03:54,010 --> 00:03:56,358
przejdźmy więc do rozwiązania zadania.

94
00:03:56,394 --> 00:03:58,942
Mamy wykazać, że różnica kwadratów

95
00:03:58,972 --> 00:04:00,919
naszych dwóch liczb nieparzystych

96
00:04:00,919 --> 00:04:02,544
jest podzielna przez 8.

97
00:04:03,266 --> 00:04:05,234
A więc zapiszmy naszą drugą liczbę

98
00:04:05,234 --> 00:04:08,608
nieparzystą 2n plus 3 do kwadratu

99
00:04:08,608 --> 00:04:11,792
bo w końcu mamy ją podnieść do kwadratu

100
00:04:12,050 --> 00:04:15,122
odjąć 2n plus 1 do kwadratu.

101
00:04:16,066 --> 00:04:18,573
Odejmujemy od większej liczby mniejszą

102
00:04:18,573 --> 00:04:20,553
po to, żeby mieć dodatni wynik.

103
00:04:22,721 --> 00:04:25,025
Rozpisaliśmy treść naszego zadania.

104
00:04:25,081 --> 00:04:26,788
Teraz musimy tylko dowieść

105
00:04:26,828 --> 00:04:29,021
że ta liczba jest podzielna przez 8.

106
00:04:29,663 --> 00:04:31,450
Zastanów się, z jakiego wzoru

107
00:04:31,450 --> 00:04:32,623
skróconego mnożenia

108
00:04:32,623 --> 00:04:34,032
możemy tutaj skorzystać

109
00:04:34,032 --> 00:04:35,811
żeby rozwiązać to zadanie.

110
00:04:37,439 --> 00:04:39,166
To zadanie możemy rozwiązać

111
00:04:39,176 --> 00:04:40,389
na dwa sposoby.

112
00:04:40,591 --> 00:04:43,128
Możemy użyć, tak jak w poprzednim zadaniu

113
00:04:43,128 --> 00:04:44,757
wzoru na różnicę kwadratów.

114
00:04:45,475 --> 00:04:48,149
Spróbujmy jednak rozwiązać je inaczej.

115
00:04:48,527 --> 00:04:51,177
Nasz pierwszy nawias, tak samo jak drugi

116
00:04:51,203 --> 00:04:52,739
jest kwadratem sumy.

117
00:04:53,125 --> 00:04:54,455
A przecież znamy wzór

118
00:04:54,455 --> 00:04:55,670
skróconego mnożenia

119
00:04:55,670 --> 00:04:57,059
na kwadrat sumy, prawda?

120
00:04:58,225 --> 00:04:59,885
Przypomnijmy go sobie.

121
00:05:00,067 --> 00:05:01,944
a dodać b do kwadratu

122
00:05:01,944 --> 00:05:04,884
równa się a do kwadratu dodać 2ab

123
00:05:04,954 --> 00:05:06,873
i dodać b do kwadratu.

124
00:05:08,063 --> 00:05:09,869
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

125
00:05:09,869 --> 00:05:11,853
samodzielnie rozpisać ten przykład

126
00:05:11,853 --> 00:05:14,125
zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia

127
00:05:14,125 --> 00:05:16,291
a następnie sprawdź czy udało nam się

128
00:05:16,291 --> 00:05:17,619
go rozpisać tak samo.

129
00:05:20,497 --> 00:05:25,105
W pierwszym nawiasie liczbą a, będzie 2n.

130
00:05:26,505 --> 00:05:28,399
Zaś b, 3.

131
00:05:29,331 --> 00:05:30,630
W drugim nawiasie

132
00:05:30,670 --> 00:05:33,147
2n również będzie liczbą a

133
00:05:34,903 --> 00:05:37,207
zaś liczbą b będzie 1.

134
00:05:37,915 --> 00:05:40,270
Skoro tak, to rozpiszmy oba nawiasy

135
00:05:40,280 --> 00:05:42,656
zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia.

136
00:05:42,716 --> 00:05:44,584
Z pierwszego nawiasu otrzymamy

137
00:05:44,584 --> 00:05:48,823
2n do kwadratu dodać 2 razy 2n

138
00:05:48,853 --> 00:05:51,889
i razy 3 i dodać 3 do kwadratu.

139
00:05:53,285 --> 00:05:54,837
Rozwinięcie drugiej części

140
00:05:54,837 --> 00:05:57,107
naszego wyrażenia zapiszemy w nawiasie

141
00:05:57,107 --> 00:05:58,676
ponieważ przed tą częścią

142
00:05:58,676 --> 00:05:59,959
znajduje się minus

143
00:06:01,211 --> 00:06:04,795
odjąć i w nawiasie zapiszemy

144
00:06:04,961 --> 00:06:08,913
2n do kwadratu dodać 2 razy 2n

145
00:06:08,993 --> 00:06:11,735
i razy 1 i dodać 1 do kwadratu

146
00:06:11,811 --> 00:06:14,171
zamknijmy nawias i to się równa

147
00:06:14,221 --> 00:06:15,627
2n do kwadratu

148
00:06:15,627 --> 00:06:17,435
to 4n do kwadratu.

149
00:06:18,413 --> 00:06:21,901
2 razy 2n i razy 3, to 12n

150
00:06:21,951 --> 00:06:23,999
a więc dodać 12n

151
00:06:24,883 --> 00:06:27,955
i dodać 3 do kwadratu, czyli 9.

152
00:06:31,087 --> 00:06:32,677
I w nawiasie mamy

153
00:06:32,739 --> 00:06:36,067
2n do kwadratu, czyli 4n do kwadratu

154
00:06:36,373 --> 00:06:40,469
dodać 2 razy 2n i razy 1, czyli dodać 4n

155
00:06:41,157 --> 00:06:43,461
i dodać 1 do kwadratu, czyli 1.

156
00:06:44,023 --> 00:06:46,827
Pozbądźmy się teraz jeszcze tego nawiasu.

157
00:06:47,035 --> 00:06:49,583
Przepiszmy nasze trzy pierwsze wyrazy.

158
00:06:49,665 --> 00:06:53,505
4n do kwadratu dodać 12n i dodać 9.

159
00:06:53,761 --> 00:06:55,913
Przed nawiasem mamy minus.

160
00:06:55,995 --> 00:06:57,767
A więc każdy wyraz w nawiasie

161
00:06:57,787 --> 00:07:00,547
musimy przepisać z przeciwnym znakiem.

162
00:07:01,105 --> 00:07:04,375
4n do kwadratu i minus przed nawiasem

163
00:07:04,435 --> 00:07:07,507
dają nam minus 4n do kwadratu

164
00:07:07,507 --> 00:07:10,341
minus 4n i odjąć 1.

165
00:07:10,607 --> 00:07:12,579
Mamy 4n do kwadratu

166
00:07:12,579 --> 00:07:14,447
i minus 4n do kwadratu.

167
00:07:14,663 --> 00:07:17,001
Te dwa wyrazy możemy zredukować.

168
00:07:17,117 --> 00:07:18,793
W takim razie zostanie nam

169
00:07:18,793 --> 00:07:21,635
12n odjąć 4n, czyli 8n

170
00:07:22,333 --> 00:07:25,149
i 9 odjąć 1, czyli 8.

171
00:07:25,967 --> 00:07:28,527
A więc mamy 8n dodać 8.

172
00:07:29,541 --> 00:07:31,602
Wyciągnijmy ósemkę przed nawias.

173
00:07:31,782 --> 00:07:35,133
Otrzymamy wtedy 8 razy n plus 1.

174
00:07:35,715 --> 00:07:38,575
Skoro mamy tutaj iloczyn to znaczy

175
00:07:38,575 --> 00:07:40,099
że ta liczba jest również

176
00:07:40,099 --> 00:07:41,311
podzielna przez 8.

177
00:07:41,633 --> 00:07:45,036
A więc wykazaliśmy, że różnica kwadratów

178
00:07:45,056 --> 00:07:47,122
dwóch kolejnych liczb nieparzystych

179
00:07:47,122 --> 00:07:48,605
jest podzielna przez 8.

180
00:07:53,339 --> 00:07:55,246
Rozwiążmy ostatnie zadanie.

181
00:07:55,256 --> 00:07:57,809
Wykaż, że wartość poniższego wyrażenia

182
00:07:57,839 --> 00:08:00,417
nie zależy od wartości zmiennej x.

183
00:08:03,393 --> 00:08:04,617
Mamy nasze wyrażenie:

184
00:08:04,647 --> 00:08:08,669
4 razy x odjąć 3 do kwadratu

185
00:08:08,985 --> 00:08:12,825
dodać 8 razy 3x odjąć 1

186
00:08:13,277 --> 00:08:18,397
i odjąć 2x odjąć 3 razy 3 dodać 2x.

187
00:08:21,263 --> 00:08:22,274
Zastanówmy się

188
00:08:22,334 --> 00:08:24,821
jak możemy rozpisać nasze wyrażenie.

189
00:08:24,897 --> 00:08:26,779
Zauważ, że pierwszy nawias

190
00:08:26,809 --> 00:08:28,230
podniesiony do kwadratu

191
00:08:28,260 --> 00:08:30,685
to nic innego jak kwadrat różnicy.

192
00:08:31,071 --> 00:08:33,088
A więc możemy rozpisać to wyrażenie

193
00:08:33,118 --> 00:08:35,476
korzystając ze wzoru skróconego mnożenia

194
00:08:35,476 --> 00:08:36,673
na kwadrat różnicy.

195
00:08:36,929 --> 00:08:38,888
Czyli a odjąć b do kwadratu

196
00:08:38,888 --> 00:08:41,668
równa się a do kwadratu odjąć 2ab

197
00:08:41,668 --> 00:08:43,093
i dodać b do kwadratu.

198
00:08:43,685 --> 00:08:45,989
W tym wypadku x będzie naszym a

199
00:08:46,221 --> 00:08:48,013
zaś 3 będzie b.

200
00:08:49,473 --> 00:08:51,088
Przejdźmy do drugiej części

201
00:08:51,088 --> 00:08:52,278
naszego wyrażenia.

202
00:08:52,278 --> 00:08:54,835
Mamy 8 razy 3x odjąć 1.

203
00:08:55,547 --> 00:08:57,762
Tutaj nie pozostaje nam nic innego

204
00:08:57,772 --> 00:08:59,516
jak tylko wymnożyć każdy wyraz

205
00:08:59,526 --> 00:09:01,179
z nawiasu razy 8.

206
00:09:01,967 --> 00:09:02,788
I odjąć.

207
00:09:03,208 --> 00:09:06,092
W ostatniej części naszego wyrażenia mamy

208
00:09:06,092 --> 00:09:09,727
2x odjąć 3 i 3 dodać 2x.

209
00:09:10,159 --> 00:09:12,806
Pamiętaj, że dodawanie jest przemienne.

210
00:09:12,866 --> 00:09:14,454
Możemy dodać do 3

211
00:09:14,454 --> 00:09:16,603
2x albo do 2x dodać 3.

212
00:09:17,121 --> 00:09:19,652
Jeśli zamienimy miejscami 3 i 2x

213
00:09:19,652 --> 00:09:20,945
w drugim nawiasie

214
00:09:20,945 --> 00:09:23,378
to na pewno zauważysz, że możemy

215
00:09:23,378 --> 00:09:24,907
tutaj skorzystać ze wzoru

216
00:09:24,907 --> 00:09:27,421
skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

217
00:09:27,491 --> 00:09:29,805
I w takim wypadku naszym wyrazem a

218
00:09:29,881 --> 00:09:34,233
będzie tutaj 2x, zaś wyrazem b będzie 3.

219
00:09:35,041 --> 00:09:37,345
Skoro mamy podpisane nasze wyrazy

220
00:09:38,259 --> 00:09:40,348
zatrzymaj teraz film i spróbuj

221
00:09:40,348 --> 00:09:42,259
samodzielnie rozwiązać to zadanie

222
00:09:42,295 --> 00:09:45,029
a następnie sprawdź swój wynik z moim.

223
00:09:48,323 --> 00:09:52,163
A więc mamy 4 razy x do kwadratu

224
00:09:52,951 --> 00:09:56,035
odjąć 2 razy x i razy 3

225
00:09:56,805 --> 00:09:59,143
i dodać 3 do kwadratu

226
00:09:59,331 --> 00:10:01,863
dodać, w drugiej części wyrażenia

227
00:10:01,863 --> 00:10:03,140
musimy tylko wymnożyć

228
00:10:03,140 --> 00:10:04,993
wyrazy w nawiasie razy 8

229
00:10:05,269 --> 00:10:08,597
a więc 8 razy 3x da nam 24x

230
00:10:09,315 --> 00:10:12,387
i minus 1 razy 8 da nam minus 8.

231
00:10:13,351 --> 00:10:14,182
I odjąć

232
00:10:15,302 --> 00:10:17,915
trzecią część wyrażenia zwiniemy

233
00:10:18,009 --> 00:10:19,820
do postaci a do kwadratu

234
00:10:19,860 --> 00:10:21,721
odjąć b do kwadratu.

235
00:10:22,411 --> 00:10:23,628
A więc zapiszemy

236
00:10:23,628 --> 00:10:27,317
2x do kwadratu odjąć 3 do kwadratu.

237
00:10:29,077 --> 00:10:30,869
I to się równa

238
00:10:30,869 --> 00:10:34,197
4 razy x do kwadratu odjąć

239
00:10:34,609 --> 00:10:39,473
2 razy x i razy 3, czyli 6x i dodać 9.

240
00:10:40,733 --> 00:10:44,061
Dodać 24x i odjąć 8

241
00:10:44,663 --> 00:10:48,759
odjąć 2x do kwadratu to 4x do kwadratu

242
00:10:49,341 --> 00:10:51,901
i odjąć 3 do kwadratu, czyli 9.

243
00:10:52,373 --> 00:10:53,397
To się równa.

244
00:10:53,733 --> 00:10:56,549
Wymnóżmy wyrazy w nawiasie, razy 4.

245
00:10:56,951 --> 00:11:00,791
4 razy x do kwadratu, czyli 4x do kwadratu

246
00:11:01,087 --> 00:11:05,951
odjąć 6 razy 4, to 24 i razy x

247
00:11:06,383 --> 00:11:09,711
i dodać 4 razy 9, czyli 36.

248
00:11:10,785 --> 00:11:14,113
Dodać 24x i odjąć 8.

249
00:11:15,147 --> 00:11:17,329
I pozbądźmy się tego nawiasu.

250
00:11:17,531 --> 00:11:18,916
Otrzymamy tutaj

251
00:11:18,916 --> 00:11:21,685
minus 4x do kwadratu i dodać 9

252
00:11:21,757 --> 00:11:23,917
bo minus razy minus daje nam plus.

253
00:11:24,057 --> 00:11:26,105
Zredukujmy wyrazy podobne.

254
00:11:26,391 --> 00:11:27,232
Mamy tutaj

255
00:11:27,232 --> 00:11:30,529
4x do kwadratu i minus 4x do kwadratu.

256
00:11:30,639 --> 00:11:32,479
Możemy je zredukować.

257
00:11:32,605 --> 00:11:36,957
Dalej mamy minus 24x i 24x.

258
00:11:37,941 --> 00:11:39,733
Je też możemy zredukować.

259
00:11:40,767 --> 00:11:45,375
I zostanie nam 36 odjąć 8 i dodać 9.

260
00:11:47,363 --> 00:11:49,411
A to się równa 37.

261
00:11:50,927 --> 00:11:53,401
To znaczy, że całe to nasze

262
00:11:53,401 --> 00:11:56,635
początkowe wyrażenie równa się 37.

263
00:11:57,407 --> 00:11:58,793
A więc nie jest zależne

264
00:11:58,793 --> 00:12:00,239
od wartości zmiennej x.

265
00:12:02,025 --> 00:12:02,811
W ten sposób

266
00:12:02,811 --> 00:12:04,841
rozwiązaliśmy ostatnie zadanie.

267
00:12:14,775 --> 00:12:16,603
Jak widzisz, znajomość wzorów

268
00:12:16,603 --> 00:12:18,895
skróconego mnożenia bardzo nam ułatwia

269
00:12:18,905 --> 00:12:21,309
rozwiązywanie zadań dowodowych.

270
00:12:24,785 --> 00:12:26,378
Zapraszam Cię do obejrzenia

271
00:12:26,378 --> 00:12:28,310
wszystkich filmów z tej playlisty

272
00:12:28,310 --> 00:12:29,290
i do odwiedzenia

273
00:12:29,290 --> 00:12:31,790
naszej strony internetowej pi-stacja.tv