1
00:00:00,256 --> 00:00:01,792
Hugo wyszedł z domu.

2
00:00:02,048 --> 00:00:03,998
Po stu metrach zauważył

3
00:00:03,998 --> 00:00:05,566
że zapomniał telefonu.

4
00:00:05,632 --> 00:00:06,761
Wrócił po niego

5
00:00:06,761 --> 00:00:08,687
a następnie poszedł do kolegi

6
00:00:08,687 --> 00:00:11,262
mieszkającego pół kilometra dalej.

7
00:00:11,520 --> 00:00:13,682
O ile metrów oddalił się od domu?

8
00:00:14,080 --> 00:00:17,152
O 500, bo przecież poszedł do domu kolegi.

9
00:00:17,664 --> 00:00:19,204
A ile metrów przeszedł?

10
00:00:19,456 --> 00:00:21,969
W odpowiedzi na to pytanie przyda się nam

11
00:00:21,969 --> 00:00:24,328
znajomość wartości bezwzględnej.

12
00:00:24,328 --> 00:00:25,542
Przez gapiostwo

13
00:00:25,542 --> 00:00:28,234
Hugo przeszedł aż 700 metrów.

14
00:00:39,168 --> 00:00:41,378
Na początku rozwiążmy proste równania

15
00:00:41,378 --> 00:00:43,242
z wartością bezwzględną.

16
00:00:43,520 --> 00:00:45,179
Znajdź x wiedząc

17
00:00:45,179 --> 00:00:48,708
że wartość bezwzględna z x wynosi 3.

18
00:00:48,896 --> 00:00:50,020
A z jakiej liczby

19
00:00:50,020 --> 00:00:52,480
wartość bezwzględna wynosi 3?

20
00:00:54,016 --> 00:00:57,592
Oczywiście z trzech lub minus trzech.

21
00:00:57,600 --> 00:01:00,088
Otrzymujemy więc dwa rozwiązania.

22
00:01:00,160 --> 00:01:01,969
Spróbujmy teraz rozwiązać

23
00:01:01,969 --> 00:01:03,718
to równanie graficznie.

24
00:01:04,000 --> 00:01:05,610
Mamy oś x-ów.

25
00:01:06,304 --> 00:01:09,376
Wiemy, że wartość bezwzględna z x

26
00:01:09,632 --> 00:01:12,180
to odległość x od zera.

27
00:01:12,192 --> 00:01:15,784
Tak więc wiemy, że odległość x od zera

28
00:01:15,784 --> 00:01:18,726
na lewo albo prawo wynosi 3.

29
00:01:19,360 --> 00:01:22,176
Odliczamy 3 jednostki w jedną

30
00:01:22,432 --> 00:01:24,480
i w drugą stronę od zera.

31
00:01:25,248 --> 00:01:27,930
Otrzymujemy ponownie dwa rozwiązania.

32
00:01:27,930 --> 00:01:29,856
3 i -3.

33
00:01:32,928 --> 00:01:34,235
Spróbuj samodzielnie

34
00:01:34,235 --> 00:01:36,170
rozwiązać następne równanie.

35
00:01:36,256 --> 00:01:40,340
Wartość bezwzględna z x równa się zeru.

36
00:01:43,680 --> 00:01:45,176
Jest tylko jedna liczba

37
00:01:45,176 --> 00:01:48,032
której wartość bezwzględna wynosi 0.

38
00:01:48,544 --> 00:01:50,866
Jest to właśnie liczba 0.

39
00:01:51,360 --> 00:01:54,962
Rozwiązaniem jest więc x równy zeru.

40
00:01:54,962 --> 00:01:57,168
Spróbujmy teraz zinterpretować

41
00:01:57,168 --> 00:01:59,808
to równanie graficznie na osi liczbowej.

42
00:02:00,832 --> 00:02:05,184
Wiemy, że odległość x od zera wynosi 0

43
00:02:05,696 --> 00:02:08,256
więc nie ruszamy się w żadną stronę

44
00:02:08,512 --> 00:02:11,072
i zostajemy w punkcie równym zeru.

45
00:02:11,584 --> 00:02:14,144
Rozwiązaniem jest więc jedna liczba

46
00:02:14,546 --> 00:02:15,788
0.

47
00:02:16,960 --> 00:02:18,924
A co jest rozwiązaniem równania: wartość

48
00:02:18,924 --> 00:02:21,568
bezwzględna z x równa się minus dwóm?

49
00:02:24,128 --> 00:02:25,382
Jak dobrze wiesz

50
00:02:25,408 --> 00:02:28,790
wartość bezwzględna jest odległością.

51
00:02:29,248 --> 00:02:31,808
Odległość nie może być liczbą ujemną.

52
00:02:32,576 --> 00:02:34,112
Nie istnieje więc liczba

53
00:02:34,368 --> 00:02:37,440
której wartość bezwzględna wynosi -2.

54
00:02:38,208 --> 00:02:40,768
x należy więc do zbioru pustego.

55
00:02:42,048 --> 00:02:43,322
Podsumowując.

56
00:02:43,840 --> 00:02:45,683
Możemy zapisać pewne własności

57
00:02:45,683 --> 00:02:47,302
wartości bezwzględnej.

58
00:02:47,670 --> 00:02:50,114
Dla każdego a większego od zera

59
00:02:50,114 --> 00:02:53,568
wartość bezwzględna z x jest równa a

60
00:02:53,824 --> 00:02:57,664
jeżeli x jest równy a lub -a.

61
00:02:58,432 --> 00:03:00,224
Dla a równego zeru

62
00:03:00,224 --> 00:03:03,808
wartość bezwzględna z x jest równa a.

63
00:03:04,064 --> 00:03:05,251
Czyli inaczej

64
00:03:05,251 --> 00:03:08,436
wartość bezwzględna z x jest równa zeru

65
00:03:08,436 --> 00:03:10,182
bo przecież a to 0

66
00:03:10,208 --> 00:03:12,420
gdy x jest równe zeru

67
00:03:12,768 --> 00:03:15,328
a dla każdego a mniejszego od zera

68
00:03:15,584 --> 00:03:18,191
równanie wartość bezwzględna z x

69
00:03:18,191 --> 00:03:19,334
jest równa a

70
00:03:19,334 --> 00:03:20,944
nie posiada rozwiązania

71
00:03:20,960 --> 00:03:22,470
ponieważ odległość

72
00:03:22,496 --> 00:03:24,288
nie może być liczbą ujemną.

73
00:03:25,312 --> 00:03:26,848
Zatem dla takich a

74
00:03:27,104 --> 00:03:29,938
x należy do zbioru pustego.

75
00:03:33,372 --> 00:03:36,444
Na osi liczbowej zaznaczmy dwie liczby

76
00:03:36,576 --> 00:03:37,970
a oraz b.

77
00:03:38,368 --> 00:03:40,018
Załóżmy na początku

78
00:03:40,018 --> 00:03:43,232
że liczba a jest mniejsza od liczby b.

79
00:03:43,488 --> 00:03:44,757
Jak możemy opisać

80
00:03:44,757 --> 00:03:47,192
odległość między liczbami a i b?

81
00:03:48,608 --> 00:03:52,192
Oczywiście, jeżeli a jest mniejsze od b

82
00:03:52,448 --> 00:03:55,268
to wystarczy, że od b odejmiemy liczbę a

83
00:03:55,268 --> 00:03:57,312
i otrzymamy szukaną odległość.

84
00:03:57,568 --> 00:03:59,594
b odjąć a

85
00:03:59,616 --> 00:04:01,130
Przypuśćmy teraz

86
00:04:01,130 --> 00:04:03,968
że a jest większe bądź równe b.

87
00:04:04,736 --> 00:04:07,446
Zaznaczmy więc a na osi liczbowej

88
00:04:07,446 --> 00:04:09,758
na prawo od liczby b.

89
00:04:10,112 --> 00:04:13,184
Jak możemy opisać teraz odległość a od b?

90
00:04:14,720 --> 00:04:16,341
Tym razem wystarczy

91
00:04:16,341 --> 00:04:18,559
że od a odejmiemy liczbę b.

92
00:04:19,071 --> 00:04:21,297
Zobaczmy, co otrzymaliśmy.

93
00:04:21,297 --> 00:04:23,167
Dla a mniejszego od b

94
00:04:23,423 --> 00:04:25,727
czyli inaczej dla a odjąć b

95
00:04:25,727 --> 00:04:27,543
mniejszego od zera

96
00:04:27,543 --> 00:04:29,567
odległość tych liczb od siebie

97
00:04:29,823 --> 00:04:31,615
wynosi b odjąć a

98
00:04:32,127 --> 00:04:34,714
co wyciągając minus przed nawias

99
00:04:34,714 --> 00:04:38,271
możemy zapisać jako -a odjąć b.

100
00:04:39,039 --> 00:04:40,807
Jednocześnie dla a większego

101
00:04:40,807 --> 00:04:42,351
bądź równego b

102
00:04:42,367 --> 00:04:44,379
czyli dla a odjąć b

103
00:04:44,379 --> 00:04:46,747
większego bądź równego zeru

104
00:04:46,747 --> 00:04:49,179
odległość między punktami a i b

105
00:04:49,179 --> 00:04:51,571
wynosi a odjąć b.

106
00:04:51,583 --> 00:04:52,629
Przypomnij sobie

107
00:04:52,629 --> 00:04:54,825
definicję wartości bezwzględnej.

108
00:04:54,825 --> 00:04:55,868
 Mówiliśmy o niej

109
00:04:55,868 --> 00:04:58,237
w pierwszym filmie na tej playliście.

110
00:04:58,247 --> 00:05:00,799
Jeżeli x był mniejszy od zera

111
00:05:01,055 --> 00:05:03,589
to wartość bezwzględna z x

112
00:05:03,589 --> 00:05:05,491
wynosiła -x.

113
00:05:05,663 --> 00:05:07,906
Natomiast, jeżeli x był większy

114
00:05:07,906 --> 00:05:08,991
bądź równy zeru

115
00:05:09,247 --> 00:05:13,428
to wartość bezwzględna z x wynosiła x.

116
00:05:13,428 --> 00:05:15,628
Wartość bezwzględną z x

117
00:05:15,628 --> 00:05:17,457
określiliśmy jako odległość

118
00:05:17,457 --> 00:05:19,445
punktu x od zera.

119
00:05:19,487 --> 00:05:21,331
Spróbuj teraz zapisać definicję

120
00:05:21,331 --> 00:05:23,327
odległości dwóch punktów

121
00:05:23,583 --> 00:05:25,887
używając wartości bezwzględnej.

122
00:05:29,215 --> 00:05:32,287
Jeśli a odjąć b potraktujemy jako x

123
00:05:32,543 --> 00:05:35,359
to kiedy jest ono większe lub równe zeru

124
00:05:35,615 --> 00:05:39,199
to odległość wynosi a odjąć b, czyli x

125
00:05:39,711 --> 00:05:41,503
a kiedy jest mniejsze od zera

126
00:05:41,759 --> 00:05:45,599
to -a odjąć b, czyli -x.

127
00:05:46,111 --> 00:05:48,415
Tak więc odległość między a i b

128
00:05:48,671 --> 00:05:50,623
możemy zapisać jednym wzorem.

129
00:05:50,869 --> 00:05:53,791
Wartość bezwzględna z a odjąć b

130
00:05:54,047 --> 00:05:55,666
który będzie prawdziwy

131
00:05:55,666 --> 00:05:58,074
niezależnie od tego, która z tych liczb

132
00:05:58,074 --> 00:06:00,375
a czy b jest większa.

133
00:06:00,447 --> 00:06:02,563
Jak wcześniej zauważyliśmy

134
00:06:02,563 --> 00:06:07,291
b odjąć a, to to samo co -a odjąć b

135
00:06:07,291 --> 00:06:10,431
więc wartości bezwzględne z a odjąć b

136
00:06:10,507 --> 00:06:13,833
oraz b odjąć a, są takie same.

137
00:06:14,527 --> 00:06:17,581
Stąd ten wzór można równie dobrze zapisać

138
00:06:17,581 --> 00:06:21,183
jako wartość bezwzględna z b odjąć a.

139
00:06:21,479 --> 00:06:23,035
Dzięki tej interpretacji

140
00:06:23,035 --> 00:06:24,511
wartości bezwzględnej

141
00:06:24,511 --> 00:06:26,820
będziemy mogli graficznie rozwiązywać

142
00:06:26,820 --> 00:06:29,311
trudniejsze równania i nierówności

143
00:06:29,311 --> 00:06:30,911
z wartością bezwzględną.

144
00:06:35,007 --> 00:06:37,113
Czas na trudniejsze równania.

145
00:06:37,311 --> 00:06:38,612
Zacznijmy od sprawdzenia

146
00:06:38,612 --> 00:06:41,826
dla jakich x-ów, wartość bezwzględna

147
00:06:41,826 --> 00:06:44,553
z x odjąć 3 równa się dwóm.

148
00:06:44,553 --> 00:06:47,432
Z definicji wartości bezwzględnej wynika

149
00:06:47,432 --> 00:06:50,290
że wyrażenie pod wartością bezwzględną

150
00:06:50,290 --> 00:06:52,159
czyli x odjąć 3

151
00:06:52,415 --> 00:06:55,231
może być równe dwóm lub minus dwóm.

152
00:06:56,255 --> 00:06:58,303
Rozwiązując dwa proste równania

153
00:06:58,559 --> 00:07:00,828
otrzymujemy, że x musi być równy

154
00:07:00,828 --> 00:07:03,291
pięciu lub jednemu.

155
00:07:03,423 --> 00:07:05,145
Spróbujmy teraz rozwiązać

156
00:07:05,145 --> 00:07:07,055
to zadanie graficznie.

157
00:07:07,519 --> 00:07:11,359
Wiemy, że wartość bezwzględna z a odjąć b

158
00:07:11,615 --> 00:07:15,187
jest to odległość punktu a od b na osi.

159
00:07:15,711 --> 00:07:19,295
Tak więc wartość bezwzględna z x odjąć 3

160
00:07:19,551 --> 00:07:23,391
jest to odległość niewiadomej x od trójki.

161
00:07:23,647 --> 00:07:26,933
W naszym równaniu szukamy takich x-ów

162
00:07:26,933 --> 00:07:29,361
które są oddalone od trójki

163
00:07:29,361 --> 00:07:30,603
o dwie jednostki.

164
00:07:30,815 --> 00:07:33,247
Oczywiście są dwie liczby, które są

165
00:07:33,247 --> 00:07:35,679
odległe od trójki o dwie jednostki.

166
00:07:36,191 --> 00:07:37,983
Na lewo jest to jedynka

167
00:07:38,239 --> 00:07:40,175
a na prawo piątka.

168
00:07:40,287 --> 00:07:42,335
Otrzymujemy więc dwa rozwiązania

169
00:07:42,847 --> 00:07:44,639
1 oraz 5.

170
00:07:45,407 --> 00:07:47,037
Spróbuj teraz samodzielnie

171
00:07:47,037 --> 00:07:49,009
rozwiązać kolejne równanie.

172
00:07:49,247 --> 00:07:52,319
Wartość bezwzględna z x dodać 2

173
00:07:52,575 --> 00:07:54,409
równa się zeru.

174
00:07:56,927 --> 00:07:58,794
Tylko wartość bezwzględna

175
00:07:58,794 --> 00:08:00,511
z zera jest równa zeru.

176
00:08:01,023 --> 00:08:04,343
Więc wyrażenie pod wartością bezwzględną

177
00:08:04,343 --> 00:08:08,007
x dodać 2, musi być równe właśnie zeru.

178
00:08:08,007 --> 00:08:10,838
Odejmując dwójkę z obu stron równania

179
00:08:10,838 --> 00:08:13,751
otrzymujemy, że x musi być równy

180
00:08:13,751 --> 00:08:14,847
minus dwóm.

181
00:08:15,359 --> 00:08:16,719
A w jaki sposób

182
00:08:16,719 --> 00:08:18,801
rozwiązać to równanie graficznie?

183
00:08:19,711 --> 00:08:21,309
Zauważ na początku

184
00:08:21,309 --> 00:08:24,063
że wyrażenie x dodać 2

185
00:08:24,575 --> 00:08:26,209
możemy zapisać jako różnicę

186
00:08:26,209 --> 00:08:28,569
x odjąć -2.

187
00:08:28,671 --> 00:08:30,427
Dlaczego tak postępujemy?

188
00:08:30,653 --> 00:08:32,878
Bo w interpretacji graficznej

189
00:08:32,878 --> 00:08:35,225
mamy różnicę a i b

190
00:08:35,225 --> 00:08:37,631
więc jeśli chcemy z niej skorzystać

191
00:08:37,887 --> 00:08:39,798
to musimy doprowadzić wyrażenie

192
00:08:39,798 --> 00:08:41,705
do odpowiedniej postaci.

193
00:08:42,017 --> 00:08:44,906
Szukamy więc punktu, którego odległość

194
00:08:44,906 --> 00:08:47,503
od minus dwójki wynosi 0.

195
00:08:47,871 --> 00:08:49,127
Jest to oczywiście

196
00:08:49,127 --> 00:08:51,967
sam punkt x równy minus dwóm.

197
00:08:52,735 --> 00:08:54,271
Zatrzymaj teraz film

198
00:08:54,527 --> 00:08:57,437
i rozwiąż samodzielnie ostatnie z równań.

199
00:08:57,855 --> 00:09:02,207
Wartość bezwzględna z x dodać 1,5

200
00:09:02,463 --> 00:09:04,745
równa się 0,5.

201
00:09:07,583 --> 00:09:09,375
Z równania tego wynika

202
00:09:09,631 --> 00:09:12,703
że to, co jest pod wartością bezwzględną

203
00:09:12,959 --> 00:09:15,207
czyli x dodać 1,5

204
00:09:15,263 --> 00:09:20,121
musi być równe 0,5 lub -0,5.

205
00:09:20,895 --> 00:09:22,681
W dwóch otrzymanych równaniach

206
00:09:22,681 --> 00:09:25,503
od obu stron odejmijmy 1,5.

207
00:09:26,015 --> 00:09:28,958
Otrzymujemy x równy minus jednemu

208
00:09:28,958 --> 00:09:30,615
lub minus dwóm.

209
00:09:31,005 --> 00:09:32,646
A czy jesteś teraz gotów

210
00:09:32,646 --> 00:09:34,975
sam zinterpretować to równanie na osi?

211
00:09:35,487 --> 00:09:36,843
Zatrzymaj film

212
00:09:36,843 --> 00:09:39,019
i zastanów się chwilę samodzielnie.

213
00:09:41,631 --> 00:09:45,215
Wyrażenie x dodać 1,5

214
00:09:45,471 --> 00:09:50,379
możemy zapisać jako x odjąć -1,5.

215
00:09:51,103 --> 00:09:54,940
Wiemy więc, że odległość od -1,5

216
00:09:54,940 --> 00:09:57,557
w obie strony wynosi 0,5.

217
00:09:57,693 --> 00:10:00,253
Patrząc na lewo od -1,5

218
00:10:00,319 --> 00:10:02,448
otrzymujemy minus dwójkę

219
00:10:02,448 --> 00:10:04,671
a na prawo minus jedynkę.

220
00:10:05,183 --> 00:10:08,057
Mamy więc dwa rozwiązania równania.

221
00:10:08,057 --> 00:10:10,559
-2 oraz -1.

222
00:10:15,679 --> 00:10:17,740
Równanie wartość bezwzględna

223
00:10:17,740 --> 00:10:19,224
z x równa się a

224
00:10:19,224 --> 00:10:20,912
dla a większego od zera

225
00:10:20,912 --> 00:10:22,343
posiada dwa rozwiązania

226
00:10:22,343 --> 00:10:24,135
a lub -a.

227
00:10:24,135 --> 00:10:26,057
Dla a równego zeru równanie to

228
00:10:26,057 --> 00:10:28,975
ma jedno rozwiązanie x równe zeru.

229
00:10:28,991 --> 00:10:31,287
Natomiast dla a mniejszego od zera

230
00:10:31,287 --> 00:10:33,791
równanie nie posiada rozwiązań.

231
00:10:33,855 --> 00:10:35,713
Równanie wartość bezwzględna

232
00:10:35,713 --> 00:10:37,877
z x odjąć a równa się b

233
00:10:37,877 --> 00:10:39,393
dla b większego od zera

234
00:10:39,393 --> 00:10:40,987
posiada dwa rozwiązania

235
00:10:41,023 --> 00:10:43,571
a odjąć b lub a dodać b.

236
00:10:43,583 --> 00:10:45,785
Dla b równego zeru równanie to

237
00:10:45,785 --> 00:10:48,987
ma jedno rozwiązanie, x równe a.

238
00:10:48,987 --> 00:10:50,623
A dla b mniejszego od zera

239
00:10:50,623 --> 00:10:52,543
równanie nie posiada rozwiązań.

240
00:10:56,383 --> 00:10:58,668
Jeśli spodobało Ci się moje tłumaczenie

241
00:10:58,668 --> 00:11:01,161
wejdź na stronę pistacja.tv.

242
00:11:01,161 --> 00:11:04,329
Tam znajdziesz wiele filmów ułatwiających

243
00:11:04,329 --> 00:11:07,259
zrozumienie różnych pojęć matematycznych.