1
00:00:01,132 --> 00:00:02,425
Chcesz łatwo zapamiętać,

2
00:00:02,525 --> 00:00:03,586
jak poprawnie stawiać

3
00:00:03,686 --> 00:00:04,754
znak nierówności?

4
00:00:05,157 --> 00:00:07,168
Podpowiem ci dwie mnemotechniki.

5
00:00:07,376 --> 00:00:09,146
Większa liczba stoi zawsze

6
00:00:09,246 --> 00:00:10,246
po szerszej stronie

7
00:00:10,346 --> 00:00:11,397
znaku nierówności.

8
00:00:12,084 --> 00:00:13,120
Mniejsza to ta,

9
00:00:13,220 --> 00:00:15,012
na którą wskazuje strzałka,

10
00:00:15,112 --> 00:00:17,035
jaką przypomina ten znak.

11
00:00:28,863 --> 00:00:31,744
Właściciel klubu organizuje koncert.

12
00:00:31,908 --> 00:00:33,514
Znalazł zespół muzyczny,

13
00:00:33,614 --> 00:00:35,512
który spełnia jego oczekiwania.

14
00:00:35,975 --> 00:00:39,156
Honorarium muzyków wynosi 1400 zł

15
00:00:39,337 --> 00:00:42,240
plus 5 zł od każdego sprzedanego biletu.

16
00:00:42,660 --> 00:00:46,336
Organizator imprezy sprzedaje bilet po 15 zł.

17
00:00:46,646 --> 00:00:49,664
Ile osób musiałoby wziąć udział w wydarzeniu,

18
00:00:49,764 --> 00:00:51,712
aby właściciel klubu na tym zarobił?

19
00:00:52,672 --> 00:00:54,784
Jak możemy rozwiązać to zadanie?

20
00:00:55,190 --> 00:00:57,334
Na początek sprawdźmy, czy właścicielowi

21
00:00:57,434 --> 00:00:58,769
opłaci się ta impreza,

22
00:00:58,869 --> 00:01:00,853
jeśli na koncert przyjdzie 100 osób.

23
00:01:02,153 --> 00:01:03,962
Przychód ze sprzedaży biletów

24
00:01:04,062 --> 00:01:07,135
wyniesie wtedy 100 razy 15 zł,

25
00:01:07,267 --> 00:01:09,120
czyli 1500 zł.

26
00:01:09,475 --> 00:01:10,982
Muzykom będzie musiał zapłacić

27
00:01:11,082 --> 00:01:14,928
1400 zł dodać 100 razy 5 zł,

28
00:01:15,103 --> 00:01:17,312
czyli w sumie 1900 zł.

29
00:01:17,959 --> 00:01:19,996
Przychód organizatora będzie wtedy

30
00:01:20,096 --> 00:01:22,112
mniejszy niż koszta, jakie poniesie.

31
00:01:22,404 --> 00:01:25,760
A co, jeśli na koncert przyszłoby 200 osób?

32
00:01:25,860 --> 00:01:28,064
Spróbuj obliczyć to samodzielnie.

33
00:01:32,245 --> 00:01:34,228
Przychód ze sprzedaży biletów

34
00:01:34,328 --> 00:01:36,490
wyniesie 200 razy 15 zł,

35
00:01:36,846 --> 00:01:38,560
czyli 3000 zł.

36
00:01:39,015 --> 00:01:41,081
Honorarium zespołu w tym przypadku

37
00:01:41,181 --> 00:01:43,567
wynosić będzie 1400 zł

38
00:01:43,727 --> 00:01:45,984
dodać 200 x 5 zł,

39
00:01:46,106 --> 00:01:48,288
czyli 2400 zł.

40
00:01:48,970 --> 00:01:50,833
Widzimy, że jeśli na koncert

41
00:01:50,933 --> 00:01:52,239
przyjdzie 200 osób,

42
00:01:52,339 --> 00:01:54,052
właściciel na tym zyska,

43
00:01:54,152 --> 00:01:55,591
ponieważ jego przychód,

44
00:01:55,755 --> 00:01:58,280
czyli 3000 zł, jest większy

45
00:01:58,380 --> 00:02:00,210
od kosztów zatrudnienia zespołu,

46
00:02:00,374 --> 00:02:02,880
czyli od 2400 zł.

47
00:02:03,476 --> 00:02:06,720
Czy jest to jedyne rozwiązanie? Nie.

48
00:02:06,874 --> 00:02:08,509
Zobacz, że jeśli na koncert

49
00:02:08,609 --> 00:02:11,575
przyszłoby na przykład 199 osób,

50
00:02:11,675 --> 00:02:14,144
to i tak właściciel klubu na tym zarobi.

51
00:02:14,521 --> 00:02:16,704
Ile osób musi przyjść,

52
00:02:16,804 --> 00:02:18,638
aby właściciel już zarobił?

53
00:02:18,887 --> 00:02:20,273
Oznaczmy sobie liczbę

54
00:02:20,373 --> 00:02:22,267
zakupionych biletów literą n.

55
00:02:22,887 --> 00:02:24,913
Przychód organizatora wyniesie

56
00:02:25,013 --> 00:02:26,972
wtedy n razy 15 zł.

57
00:02:27,866 --> 00:02:30,528
Ta kwota musi być większa od kosztów,

58
00:02:30,628 --> 00:02:32,475
dlatego piszemy, że to wyrażenie

59
00:02:32,575 --> 00:02:35,117
jest większe od 1400 zł

60
00:02:35,253 --> 00:02:36,928
dodać n razy 5.

61
00:02:37,066 --> 00:02:38,720
Otrzymaliśmy nierówność.

62
00:02:39,263 --> 00:02:40,830
Nierówności rozwiązujemy

63
00:02:40,930 --> 00:02:42,303
podobnie jak równania.

64
00:02:42,689 --> 00:02:45,015
Aby uprościć sobie obliczenia, przepiszmy

65
00:02:45,115 --> 00:02:47,287
nasze wyrażenie, pozbywając się jednostek.

66
00:02:48,505 --> 00:02:50,927
Przenieśmy 5n na lewą stronę,

67
00:02:51,027 --> 00:02:52,712
pamiętając o zmianie znaku.

68
00:02:53,306 --> 00:02:56,426
Dostajemy 15n odjąć 5n

69
00:02:56,526 --> 00:02:58,727
jest większe od 1400.

70
00:02:59,233 --> 00:03:01,993
Wykonujemy odejmowanie i otrzymujemy

71
00:03:02,093 --> 00:03:05,144
10n jest większe od 1400.

72
00:03:05,478 --> 00:03:07,311
Następnie dzielimy obie strony

73
00:03:07,411 --> 00:03:08,992
nierówności przez 10

74
00:03:09,205 --> 00:03:12,379
i dostajemy: n jest większe od 140.

75
00:03:12,835 --> 00:03:14,816
Jest to nasze rozwiązanie.

76
00:03:15,153 --> 00:03:17,077
Aby właściciel klubu zarobił

77
00:03:17,177 --> 00:03:18,896
na organizacji koncertu,

78
00:03:18,996 --> 00:03:22,791
bilet musiałoby kupić więcej niż 140 osób.

79
00:03:23,858 --> 00:03:25,521
Schrup orzeszka, a za chwilę

80
00:03:25,621 --> 00:03:27,662
opowiem ci o różnych typach nierówności.

81
00:03:32,049 --> 00:03:34,653
Zostawmy na ekranie tylko nieprzekształcone

82
00:03:34,753 --> 00:03:36,643
wyrażenie z poprzedniego zadania

83
00:03:36,743 --> 00:03:38,623
i porozmawiajmy o nierównościach.

84
00:03:39,245 --> 00:03:41,456
Nierówności liniowe z jedną niewiadomą

85
00:03:41,556 --> 00:03:43,231
wyglądem przypominają równania,

86
00:03:43,442 --> 00:03:45,016
jednakże zamiast znaku równości

87
00:03:45,116 --> 00:03:47,234
zawierają symbol nierówności.

88
00:03:47,615 --> 00:03:49,911
Na przykład: 2 razy z plus 15

89
00:03:50,011 --> 00:03:51,935
jest mniejsze od minus 30.

90
00:03:52,108 --> 00:03:54,245
1/2 razy x jest większe

91
00:03:54,345 --> 00:03:55,809
niż 1 odjąć x.

92
00:03:56,621 --> 00:03:57,956
O takich nierównościach

93
00:03:58,056 --> 00:04:00,129
mówimy, że są ostre bądź mocne.

94
00:04:01,151 --> 00:04:03,484
Zawierają one znak mniejszości

95
00:04:03,584 --> 00:04:04,805
czytany zazwyczaj jako

96
00:04:04,905 --> 00:04:05,905
„mniejsze niż”

97
00:04:06,005 --> 00:04:07,904
lub znak większości, czytany

98
00:04:08,004 --> 00:04:10,130
zazwyczaj jako „większe niż”.

99
00:04:10,849 --> 00:04:12,527
Jak możesz się domyślać,

100
00:04:12,627 --> 00:04:14,062
istnieją jeszcze nierówności

101
00:04:14,162 --> 00:04:16,580
nazywane nieostrymi bądź słabymi,

102
00:04:16,929 --> 00:04:19,372
na przykład 2x plus 13

103
00:04:19,472 --> 00:04:21,382
jest większe bądź równe 5;

104
00:04:21,597 --> 00:04:26,557
76 plus 3z jest mniejsze bądź równe 2z;

105
00:04:26,819 --> 00:04:31,336
lub 8y jest większe bądź równe 2y dodać 5.

106
00:04:31,941 --> 00:04:33,765
W nierównościach tych pojawiają się

107
00:04:33,865 --> 00:04:35,237
dwa nowe symbole:

108
00:04:35,523 --> 00:04:36,888
większe bądź równe

109
00:04:36,988 --> 00:04:38,477
oraz mniejsze bądź równe.

110
00:04:39,004 --> 00:04:40,478
W nierównościach liniowych

111
00:04:40,578 --> 00:04:43,011
z jedną niewiadomą, takich jak na ekranie,

112
00:04:43,130 --> 00:04:45,695
niewiadoma występuje w pierwszej potędze.

113
00:04:45,795 --> 00:04:47,491
Dlatego matematycy nazywają je też

114
00:04:47,591 --> 00:04:49,414
nierównościami pierwszego stopnia.

115
00:04:50,066 --> 00:04:52,014
Podobnie jak równania, istnieją też

116
00:04:52,114 --> 00:04:54,205
nierówności z kilkoma niewiadomymi

117
00:04:54,305 --> 00:04:56,545
występującymi w różnych potęgach,

118
00:04:56,651 --> 00:04:58,425
na przykład taka nierówność:

119
00:04:58,525 --> 00:05:00,989
x kwadrat dodać y kwadrat

120
00:05:01,089 --> 00:05:02,671
jest mniejsze od 16,

121
00:05:02,898 --> 00:05:05,032
której rozwiązaniem są współrzędne

122
00:05:05,132 --> 00:05:07,867
wszystkich punktów leżących wewnątrz okręgu

123
00:05:07,967 --> 00:05:10,228
o środku w początku układu współrzędnych

124
00:05:10,328 --> 00:05:11,510
i promieniu 4.

125
00:05:11,610 --> 00:05:13,615
Jednak takie nierówności leżą

126
00:05:13,715 --> 00:05:15,490
poza zakresem tej playlisty.

127
00:05:20,048 --> 00:05:22,262
Do rozwiązania mamy taką nierówność:

128
00:05:22,537 --> 00:05:24,720
minus 3x odjąć 12

129
00:05:24,820 --> 00:05:27,317
jest większe bądź równe minus 21.

130
00:05:27,527 --> 00:05:29,268
Na początku minus 12

131
00:05:29,368 --> 00:05:30,950
przenosimy na prawą stronę.

132
00:05:31,050 --> 00:05:33,535
Mamy więc minus 3x jest większe

133
00:05:33,635 --> 00:05:36,253
bądź równe minus 21 dodać 12.

134
00:05:36,463 --> 00:05:38,687
Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy

135
00:05:38,878 --> 00:05:42,250
minus 3x jest większe bądź równe minus 9.

136
00:05:42,770 --> 00:05:44,831
Co zrobić, żeby otrzymać x?

137
00:05:45,203 --> 00:05:46,966
Wypadałoby podzielić obie strony

138
00:05:47,066 --> 00:05:48,804
nierówności przez minus 3.

139
00:05:48,904 --> 00:05:50,093
Ale uwaga!

140
00:05:50,193 --> 00:05:51,949
Mnożąc lub dzieląc obie strony

141
00:05:52,049 --> 00:05:53,897
nierówności przez liczbę ujemną,

142
00:05:54,054 --> 00:05:56,084
musimy pamiętać o zmianie

143
00:05:56,184 --> 00:05:57,426
zwrotu nierówności.

144
00:05:57,925 --> 00:05:59,531
Po podzieleniu otrzymujemy

145
00:05:59,631 --> 00:06:01,626
x jest mniejszy bądź równy 3.

146
00:06:02,056 --> 00:06:04,799
Zaznaczmy to rozwiązanie na osi liczbowej.

147
00:06:05,119 --> 00:06:07,125
Rozwiązaniem są liczby mniejsze

148
00:06:07,225 --> 00:06:10,099
bądź równe 3, czyli na lewo od tej liczby.

149
00:06:10,775 --> 00:06:13,069
3 również należy do tego rozwiązania.

150
00:06:13,254 --> 00:06:15,551
Oznaczmy to zamalowując ten punkt.

151
00:06:16,303 --> 00:06:17,699
Spróbujmy jeszcze zapisać

152
00:06:17,799 --> 00:06:19,679
to rozwiązanie w postaci przedziału.

153
00:06:19,968 --> 00:06:21,392
x należy do przedziału

154
00:06:21,492 --> 00:06:23,266
prawostronnie domkniętego

155
00:06:23,366 --> 00:06:25,570
od minus nieskończoności do 3.

156
00:06:25,670 --> 00:06:27,518
Znając już zasady postępowania

157
00:06:27,618 --> 00:06:28,904
z nierównościami,

158
00:06:29,142 --> 00:06:31,058
spróbuj samodzielnie rozwiązać

159
00:06:31,158 --> 00:06:32,202
taką nierówność.

160
00:06:32,376 --> 00:06:35,614
2y dodać 15 jest mniejsze

161
00:06:35,714 --> 00:06:37,570
od 8y odjąć 9.

162
00:06:41,533 --> 00:06:43,613
Na początku przenosimy niewiadome

163
00:06:43,713 --> 00:06:45,813
na lewą stronę,  a liczby na prawą

164
00:06:45,913 --> 00:06:47,807
pamiętając o zmianie znaków.

165
00:06:48,040 --> 00:06:50,882
Otrzymujemy 2y odjąć 8y

166
00:06:50,982 --> 00:06:53,981
jest mniejsze od minus 9 odjąć 15.

167
00:06:54,458 --> 00:06:56,702
Po wykonaniu obliczeń dostajemy

168
00:06:56,802 --> 00:07:00,321
minus 6y jest mniejsze od minus 24.

169
00:07:00,474 --> 00:07:01,913
Obie strony nierówności

170
00:07:02,013 --> 00:07:03,693
dzielimy przez minus 6.

171
00:07:04,253 --> 00:07:07,031
Jako że dzieliliśmy przez liczbę ujemną,

172
00:07:07,230 --> 00:07:09,780
to musimy zmienić zwrot nierówności.

173
00:07:10,026 --> 00:07:11,429
Dlatego zamieniamy znak

174
00:07:11,529 --> 00:07:14,151
„mniejsze niż” na „większe niż”.

175
00:07:14,437 --> 00:07:15,988
Rozwiązaniem naszej nierówności

176
00:07:16,088 --> 00:07:17,498
są zatem wszystkie y

177
00:07:17,598 --> 00:07:18,762
większe od 4.

178
00:07:19,411 --> 00:07:21,377
Zaznaczmy to na osi liczbowej.

179
00:07:21,808 --> 00:07:24,158
Rozwiązaniem są liczby większe od

180
00:07:24,258 --> 00:07:26,452
czyli leżące na prawo od tej liczby.

181
00:07:26,662 --> 00:07:28,692
4 nie należy do tego przedziału,

182
00:07:28,792 --> 00:07:31,007
dlatego zostawiamy niezamalowany punkt.

183
00:07:31,876 --> 00:07:34,593
Zapiszmy rozwiązanie w postaci przedziału:

184
00:07:35,165 --> 00:07:36,761
y należy do przedziału

185
00:07:36,861 --> 00:07:38,526
od 4 do nieskończoności.

186
00:07:39,452 --> 00:07:41,800
Przejdźmy teraz do ostatniego zadania.

187
00:07:46,492 --> 00:07:48,853
Znajdź liczby, dla których wyrażenie

188
00:07:48,953 --> 00:07:51,579
4x dodać 5 jest jednocześnie

189
00:07:51,679 --> 00:07:54,689
większe od 1 i mniejsze od 17.

190
00:07:55,003 --> 00:07:57,765
Treść zadania moglibyśmy zapisać w ten sposób:

191
00:07:57,865 --> 00:08:01,295
1 jest mniejsze od 4x dodać 5

192
00:08:01,395 --> 00:08:03,369
jest mniejsze od 17.

193
00:08:03,862 --> 00:08:05,143
Spójrz na to wyrażenie.

194
00:08:05,678 --> 00:08:07,886
Możemy wyodrębnić dwie nierówności:

195
00:08:08,198 --> 00:08:12,287
1 jest mniejsze od 4x dodać 5

196
00:08:12,387 --> 00:08:16,435
oraz 4x dodać 5 jest mniejsze od 17.

197
00:08:16,930 --> 00:08:18,943
Możemy teraz je rozwiązać.

198
00:08:19,043 --> 00:08:20,735
Zacznijmy od tej pierwszej,

199
00:08:21,016 --> 00:08:23,031
Przenoszę piątkę ze zmienionym

200
00:08:23,131 --> 00:08:24,664
znakiem na lewą stronę.

201
00:08:24,808 --> 00:08:26,776
1 odjąć 5 to minus 4.

202
00:08:27,194 --> 00:08:29,545
Po prawej stronie zostaje nam 4x.

203
00:08:30,201 --> 00:08:32,864
Obie strony tej nierówności dzielę przez 4.

204
00:08:33,469 --> 00:08:36,316
Otrzymuję: minus 1 jest mniejsze od x.

205
00:08:36,416 --> 00:08:39,415
Innymi słowy x jest większe od minus 1.

206
00:08:40,016 --> 00:08:41,727
Teraz pora na drugą nierówność.

207
00:08:42,257 --> 00:08:44,243
5 przenoszę na prawą stronę

208
00:08:44,343 --> 00:08:45,889
pamiętając o zmianie znaku.

209
00:08:46,369 --> 00:08:48,687
17 odjąć 5 to 12.

210
00:08:49,442 --> 00:08:52,223
Po prawej stronie zostaje nam 4x.

211
00:08:52,578 --> 00:08:54,560
Obie strony dzielę przez 4

212
00:08:54,660 --> 00:08:57,120
i otrzymuję: x jest mniejsze od trzech.

213
00:08:57,689 --> 00:09:00,644
Następnie musimy znaleźć liczby,

214
00:09:00,744 --> 00:09:02,198
które jednocześnie spełniają

215
00:09:02,298 --> 00:09:03,553
obie te nierówności.

216
00:09:04,197 --> 00:09:06,205
Rysując rozwiązania na osi

217
00:09:06,305 --> 00:09:08,062
najłatwiej jest nam to odczytać.

218
00:09:08,859 --> 00:09:10,352
Rozwiązaniem tej nierówności

219
00:09:10,452 --> 00:09:12,665
jest część wspólna obu tych przedziałów.

220
00:09:12,859 --> 00:09:14,341
Czy jesteś w stanie

221
00:09:14,441 --> 00:09:16,091
zapisać już odpowiedź?

222
00:09:19,775 --> 00:09:21,659
Częścią wspólną jest przedział

223
00:09:21,759 --> 00:09:23,634
od minus 1 do 3.

224
00:09:23,992 --> 00:09:26,499
Zatem piszemy, że x należy

225
00:09:26,599 --> 00:09:28,232
do przedziału otwartego

226
00:09:28,332 --> 00:09:30,225
od minus 1 do 3.

227
00:09:30,482 --> 00:09:32,157
Zwróć uwagę, że w przypadku,

228
00:09:32,257 --> 00:09:34,374
kiedy nasza niewiadoma musi spełniać

229
00:09:34,474 --> 00:09:36,099
więcej niż jedną nierówność,

230
00:09:36,199 --> 00:09:38,070
łatwiej jest zapisać rozwiązanie

231
00:09:38,170 --> 00:09:39,329
w postaci zbioru.

232
00:09:44,179 --> 00:09:46,521
Aby rozwiązać nierówność liniową

233
00:09:46,621 --> 00:09:48,321
z jedną niewiadomą, postępujemy

234
00:09:48,421 --> 00:09:50,445
podobnie, jak przy rozwiązywaniu równań.

235
00:09:51,071 --> 00:09:53,339
Pamiętaj! Mnożąc lub dzieląc

236
00:09:53,439 --> 00:09:56,110
obie strony nierówności przez liczbę ujemną,

237
00:09:56,210 --> 00:09:59,017
należy zmienić zwrot nierówności na przeciwny.

238
00:10:03,758 --> 00:10:05,460
Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej

239
00:10:05,560 --> 00:10:07,673
o rozwiązywaniu nierówności liniowych,

240
00:10:07,773 --> 00:10:09,303
to zapraszam cię do obejrzenia

241
00:10:09,403 --> 00:10:11,104
innych filmów z tej playlisty.

242
00:10:11,481 --> 00:10:12,534
Zachęcam cię również

243
00:10:12,634 --> 00:10:14,078
do odwiedzenia naszej strony

244
00:10:14,178 --> 00:10:16,363
na Facebooku: PistacjaMatematyka.