1
00:00:00,287 --> 00:00:02,106
W pamięci komputera ułamek,

2
00:00:02,273 --> 00:00:03,866
na przykład dwie dziesiąte,

3
00:00:03,983 --> 00:00:07,554
to w systemie binarnym 0,0011...

4
00:00:07,654 --> 00:00:09,469
i tak dalej. Wzór ten powtarza się

5
00:00:09,569 --> 00:00:12,392
w nieskończoność – a w zasadzie mógłby,

6
00:00:12,492 --> 00:00:13,701
gdyby nie to, że komputer

7
00:00:13,801 --> 00:00:15,322
posiada ograniczoną pamięć.

8
00:00:15,434 --> 00:00:17,028
Dlatego rozwinięcie dziesiętne

9
00:00:17,128 --> 00:00:19,255
w pewnym punkcie po prostu obcina.

10
00:00:19,355 --> 00:00:21,504
Gdy chce taki ułamek „przeczytać”,

11
00:00:21,604 --> 00:00:23,218
musi zamienić kod binarny

12
00:00:23,318 --> 00:00:24,959
z powrotem na system dziesiętny.

13
00:00:25,285 --> 00:00:26,882
Tyle, że po takiej zamianie

14
00:00:26,982 --> 00:00:29,237
nie będzie to już oryginalne dwie dziesiąte,

15
00:00:29,337 --> 00:00:31,137
lecz nieco mniejsza wartość.

16
00:00:31,332 --> 00:00:33,609
Różnica jest z pozoru niezauważalna,

17
00:00:33,709 --> 00:00:35,401
ale potrafi się kumulować.

18
00:00:35,501 --> 00:00:37,716
Dlatego przy tworzeniu precyzyjnych symulacji

19
00:00:37,816 --> 00:00:39,392
wymagających wielu powtórzeń,

20
00:00:39,492 --> 00:00:41,472
trzeba zwrócić na to uwagę.

21
00:00:52,988 --> 00:00:55,453
Cześć! W tej wideolekcji opowiem ci

22
00:00:55,553 --> 00:00:58,184
o ułamkach dziesiętnych nieskończonych

23
00:00:58,284 --> 00:01:00,340
okresowych, które będę nazywał

24
00:01:00,440 --> 00:01:02,546
po prostu ułamkami okresowymi.

25
00:01:02,757 --> 00:01:04,768
Przygotujmy sobie kalkulator.

26
00:01:05,053 --> 00:01:07,280
Co otrzymamy, jeśli podzielimy

27
00:01:07,380 --> 00:01:09,142
jeden przez cztery?

28
00:01:09,242 --> 00:01:13,295
Zero, przecinek, dwa, pięć, czyli 25 setnych.

29
00:01:13,602 --> 00:01:16,634
Zapiszmy sobie, że 1 dzielone przez 4

30
00:01:16,734 --> 00:01:19,199
równa się zero, przecinek, dwa, pięć.

31
00:01:19,704 --> 00:01:22,669
A co dostaniemy, jeśli podzielimy 1 przez 3?

32
00:01:23,425 --> 00:01:26,526
0,333... i tak dalej.

33
00:01:26,764 --> 00:01:29,333
Kalkulator ma ograniczoną liczbę okienek,

34
00:01:29,433 --> 00:01:31,373
dlatego wyświetli tylko kilka

35
00:01:31,473 --> 00:01:33,099
bądź kilkanaście cyfr.

36
00:01:33,199 --> 00:01:35,099
W rzeczywistości mamy tych trójek

37
00:01:35,199 --> 00:01:36,766
nieskończenie wiele.

38
00:01:36,866 --> 00:01:39,755
Możemy napisać trzy kropki, które oznaczają,

39
00:01:39,855 --> 00:01:42,516
że cyfry ciągną się w nieskończoność,

40
00:01:42,663 --> 00:01:44,645
albo możemy wziąć powtarzające się

41
00:01:44,745 --> 00:01:46,517
sekwencje cyfr w nawias.

42
00:01:46,617 --> 00:01:48,907
Z tym zapisem spotkasz się najczęściej.

43
00:01:49,313 --> 00:01:51,977
Powtarzający się układ cyfr po przecinku

44
00:01:52,077 --> 00:01:54,817
nazywamy okresem, a ułamek, w którym

45
00:01:54,917 --> 00:01:57,936
taki układ występuje – ułamkiem okresowym.

46
00:01:58,279 --> 00:02:00,740
Czy wiesz, jak dokonać operacji odwrotnej,

47
00:02:00,840 --> 00:02:02,773
to znaczy zapisać ułamek okresowy

48
00:02:02,873 --> 00:02:04,327
w postaci ułamka zwykłego?

49
00:02:04,697 --> 00:02:05,963
Pokażę ci, jak to zrobić

50
00:02:06,063 --> 00:02:07,665
na przykładzie jednej trzeciej.

51
00:02:07,931 --> 00:02:11,189
Oznaczmy sobie ten ułamek okresowy literą x.

52
00:02:11,572 --> 00:02:14,011
Teraz obie strony pomnóżmy przez 10.

53
00:02:14,684 --> 00:02:17,396
Po lewej mamy 10x, a po prawej?

54
00:02:17,816 --> 00:02:20,491
Przy mnożeniu ułamków dziesiętnych przez 10

55
00:02:20,591 --> 00:02:22,131
musimy przesunąć przecinek

56
00:02:22,231 --> 00:02:23,787
o jedno miejsce w prawo.

57
00:02:24,023 --> 00:02:25,748
W ten sposób uzyskamy 3

58
00:02:25,848 --> 00:02:27,530
przecinek, 3 w okresie.

59
00:02:27,845 --> 00:02:29,448
Kontynuujemy przekształcanie

60
00:02:29,548 --> 00:02:31,235
prawej strony tego równania.

61
00:02:31,335 --> 00:02:33,120
3, przecinek, 3 w okresie

62
00:02:33,221 --> 00:02:35,246
możemy rozpisać jako 3

63
00:02:35,346 --> 00:02:37,716
dodać 0,3 w okresie.

64
00:02:38,210 --> 00:02:39,893
Zwróć uwagę, że ten ułamek

65
00:02:39,993 --> 00:02:41,478
jest po prostu naszym x.

66
00:02:41,696 --> 00:02:43,840
Podstawmy go zatem w to miejsce.

67
00:02:44,047 --> 00:02:45,753
Otrzymujemy proste równanie.

68
00:02:45,912 --> 00:02:47,936
Spróbuj rozwiązać je samodzielnie.

69
00:02:51,822 --> 00:02:53,940
x przenoszę na lewą stronę

70
00:02:54,040 --> 00:02:55,673
pamiętając o zmianie znaku

71
00:02:55,773 --> 00:02:57,488
i wykonuję odejmowanie.

72
00:02:57,910 --> 00:03:00,861
Otrzymuję, że 9x równe jest 3.

73
00:03:01,479 --> 00:03:03,278
Obie strony dzielę przez 9

74
00:03:03,378 --> 00:03:07,113
i otrzymuję, że x to 3/9, czyli 1/3.

75
00:03:07,312 --> 00:03:10,059
Dokładnie takiego wyniku się spodziewaliśmy,

76
00:03:10,413 --> 00:03:12,472
ale czy każdy ułamek okresowy

77
00:03:12,572 --> 00:03:14,563
można zamienić na ułamek zwykły?

78
00:03:15,006 --> 00:03:16,922
Schrup orzeszka, a za chwilę

79
00:03:17,022 --> 00:03:18,283
odpowiem na to pytanie.

80
00:03:22,478 --> 00:03:23,912
Każdy ułamek dziesiętny

81
00:03:24,012 --> 00:03:25,315
nieskończony okresowy

82
00:03:25,415 --> 00:03:26,586
jest liczbą wymierną.

83
00:03:26,757 --> 00:03:29,300
Jeśli nie pamiętasz, czym są liczby wymierne,

84
00:03:29,447 --> 00:03:31,550
to obejrzyj odpowiedni film.

85
00:03:32,202 --> 00:03:35,402
Pomyśl, jak liczbę 0,1 w okresie

86
00:03:35,502 --> 00:03:37,857
przedstawić w postaci ułamka zwykłego.

87
00:03:38,080 --> 00:03:39,786
Spróbuj zrobić to samodzielnie,

88
00:03:39,886 --> 00:03:42,401
wykorzystując metodę z poprzedniego przykładu.

89
00:03:45,860 --> 00:03:48,215
Na początku oznaczmy nasz ułamek

90
00:03:48,315 --> 00:03:50,452
dowolną literą, na przykład a.

91
00:03:50,678 --> 00:03:53,510
Po drugiej stronie równania zapisujemy 0

92
00:03:53,610 --> 00:03:55,413
i kilka jedynek po przecinku.

93
00:03:55,513 --> 00:03:58,243
Teraz obie strony pomnóżmy przez 10.

94
00:03:58,582 --> 00:04:00,933
Po lewej otrzymujemy 10a,

95
00:04:01,033 --> 00:04:04,092
a po prawej 1,11... i tak dalej.

96
00:04:04,192 --> 00:04:05,791
Prawą stronę równania możemy

97
00:04:05,891 --> 00:04:07,462
tak jak w poprzednim przykładzie

98
00:04:07,562 --> 00:04:08,890
rozbić na sumę:

99
00:04:08,990 --> 00:04:12,927
1 dodać 0,111... i tak dalej.

100
00:04:13,049 --> 00:04:15,232
Ten ułamek to nasza liczba a.

101
00:04:15,332 --> 00:04:19,174
Otrzymujemy więc, że 10a równa się 1 dodać a.

102
00:04:19,298 --> 00:04:20,774
Po przeniesieniu niewiadomej

103
00:04:20,874 --> 00:04:23,102
na lewą stronę i wykonaniu obliczeń

104
00:04:23,202 --> 00:04:25,986
otrzymujemy, że 9a równa się 1.

105
00:04:26,086 --> 00:04:27,482
Po podzieleniu obu stron

106
00:04:27,582 --> 00:04:30,489
przez 9 mamy a równe 1/9.

107
00:04:30,589 --> 00:04:32,090
Możemy zatem napisać,

108
00:04:32,190 --> 00:04:36,537
że 0,1 w okresie równe jest 1/9.

109
00:04:40,939 --> 00:04:43,202
Jeśli pomyślisz o dowolnej liczbie,

110
00:04:43,302 --> 00:04:45,451
to na pewno będzie to liczba rzeczywista.

111
00:04:45,551 --> 00:04:47,911
Zbiór liczb rzeczywistych możemy podzielić

112
00:04:48,011 --> 00:04:49,719
na dwa rozłączne zbiory:

113
00:04:49,867 --> 00:04:51,332
zbiór liczb wymiernych

114
00:04:51,432 --> 00:04:53,103
oznaczony wielką literą Q

115
00:04:53,204 --> 00:04:55,123
oraz zbiór liczb niewymiernych

116
00:04:55,223 --> 00:04:57,329
oznaczony jako R odjąć Q.

117
00:04:57,433 --> 00:04:59,007
Czym różnią się te zbiory?

118
00:04:59,370 --> 00:05:00,974
Otóż każdą liczbę wymierną

119
00:05:01,074 --> 00:05:02,249
możemy zawsze zapisać

120
00:05:02,349 --> 00:05:03,943
w postaci ułamka zwykłego.

121
00:05:04,137 --> 00:05:05,319
Ta zasada nie działa

122
00:05:05,419 --> 00:05:06,671
dla liczby niewymiernych,

123
00:05:06,771 --> 00:05:08,964
co udowodnili już starożytni Grecy

124
00:05:09,064 --> 00:05:10,479
ze szkoły Pitagorasa.

125
00:05:10,798 --> 00:05:12,379
Przykładem liczby niewymiernej

126
00:05:12,479 --> 00:05:13,720
jest pierwiastek z 2.

127
00:05:13,895 --> 00:05:15,453
Jego rozwinięcie dziesiętne

128
00:05:15,553 --> 00:05:17,015
jest co prawda nieskończone,

129
00:05:17,115 --> 00:05:19,302
ale nie ma w nim żadnego układu cyfr,

130
00:05:19,402 --> 00:05:21,133
który regularnie się powtarza.

131
00:05:21,317 --> 00:05:23,590
Jest to cecha, która pozwala nam

132
00:05:23,690 --> 00:05:25,292
na odróżnienie liczb wymiernych

133
00:05:25,392 --> 00:05:26,614
od niewymiernych.

134
00:05:30,935 --> 00:05:32,683
Zróbmy teraz nieco bardziej

135
00:05:32,783 --> 00:05:34,245
zaawansowany przykład.

136
00:05:34,549 --> 00:05:35,871
Polecenie brzmi:

137
00:05:36,072 --> 00:05:40,533
przedstaw liczbę 5,1 i 37 w okresie

138
00:05:40,747 --> 00:05:42,783
w postaci ułamka zwykłego.

139
00:05:42,883 --> 00:05:44,871
Jak w poprzednich przykładach,

140
00:05:44,971 --> 00:05:47,117
oznaczmy naszą liczbę jakąś literą,

141
00:05:47,217 --> 00:05:49,605
na przykład p, a po drugiej stronie

142
00:05:49,705 --> 00:05:51,315
znaku równości zapiszmy 5

143
00:05:51,415 --> 00:05:53,140
i kilka cyfr po przecinku.

144
00:05:53,243 --> 00:05:55,179
Widzisz, że cyfry 3 i 7

145
00:05:55,279 --> 00:05:56,659
powtarzają się cyklicznie.

146
00:05:57,079 --> 00:05:58,658
Żeby po przecinku zostały nam

147
00:05:58,758 --> 00:06:00,646
tylko te cyfry, pomnóżmy

148
00:06:00,746 --> 00:06:02,053
obie strony przez 10.

149
00:06:02,566 --> 00:06:04,820
Otrzymujemy: 10p równa się

150
00:06:04,920 --> 00:06:08,835
51,3737... i tak dalej.

151
00:06:09,193 --> 00:06:11,148
Przyjrzyjmy się temu rozwinięciu.

152
00:06:11,253 --> 00:06:13,823
Trójki występują na miejscach nieparzystych,

153
00:06:13,923 --> 00:06:16,176
natomiast siódemki na miejscach parzystych.

154
00:06:16,415 --> 00:06:18,436
Jak myślisz – przez jaką liczbę

155
00:06:18,536 --> 00:06:20,274
należy pomnożyć ten ułamek,

156
00:06:20,457 --> 00:06:23,713
aby układ tych cyfr pozostał taki sam?

157
00:06:27,160 --> 00:06:29,313
Po pomnożeniu naszej liczby przez 100

158
00:06:29,413 --> 00:06:31,248
będziemy musieli przesunąć przecinek

159
00:06:31,348 --> 00:06:33,719
o dwa miejsca w prawo. Po tej operacji

160
00:06:33,819 --> 00:06:35,516
trójka wciąż będzie występować

161
00:06:35,616 --> 00:06:37,081
w miejscach nieparzystych,

162
00:06:37,181 --> 00:06:39,102
a siódemka w miejscach parzystych.

163
00:06:39,637 --> 00:06:41,407
Mamy więc 1000p

164
00:06:41,507 --> 00:06:47,394
równa się 5137,3737... i tak dalej.

165
00:06:47,767 --> 00:06:49,885
Teraz prawą stronę równania

166
00:06:49,985 --> 00:06:52,504
musimy przedstawić w postaci sumy tego,

167
00:06:52,604 --> 00:06:56,645
czyli 51,3737... i tak dalej

168
00:06:56,745 --> 00:06:59,925
oraz tego, co pozostanie po odjęciu tego

169
00:07:00,220 --> 00:07:04,630
od tego. Jest to liczba 5086.

170
00:07:04,791 --> 00:07:06,625
Teraz pozostało nam już jedynie

171
00:07:06,725 --> 00:07:11,723
podstawić 10p pod 51,3737... i tak dalej

172
00:07:11,823 --> 00:07:13,663
oraz obliczyć to równanie.

173
00:07:13,763 --> 00:07:15,469
Spróbuj teraz samodzielnie podać

174
00:07:15,569 --> 00:07:17,008
rozwiązanie tego zadania.

175
00:07:20,673 --> 00:07:25,695
1000p równa się 10p dodać 5086.

176
00:07:26,206 --> 00:07:28,587
10p przenosimy na lewą stronę

177
00:07:28,687 --> 00:07:30,399
pamiętając o zmianie znaku

178
00:07:30,499 --> 00:07:32,229
i wykonujemy odejmowanie.

179
00:07:32,892 --> 00:07:37,984
Otrzymujemy: 990p równa się 5086.

180
00:07:38,112 --> 00:07:40,017
Obie strony dzielimy przez liczbę

181
00:07:40,117 --> 00:07:41,548
stojącą przy niewiadomej,

182
00:07:41,648 --> 00:07:44,777
czyli przez 990 i otrzymujemy,

183
00:07:44,877 --> 00:07:48,942
że p równa się 5086/990.

184
00:07:49,525 --> 00:07:52,153
Sprawdźmy nasze rozwiązanie na kalkulatorze.

185
00:07:52,463 --> 00:07:55,496
Dzielimy licznik przez mianownik i otrzymujemy

186
00:07:55,596 --> 00:07:57,891
dokładnie liczbę z treści zadania.

187
00:08:02,205 --> 00:08:04,373
Pokażę ci teraz użyteczną regułę.

188
00:08:04,560 --> 00:08:08,529
Jak myślisz, czemu jest równe 0,9 w okresie?

189
00:08:08,739 --> 00:08:11,774
Sprawdź to. Wynik może cię zaskoczyć!

190
00:08:15,110 --> 00:08:16,960
Podobnie jak w poprzednich zadaniach,

191
00:08:17,060 --> 00:08:19,966
oznaczamy sobie tę liczbę literą, na przykład m

192
00:08:20,066 --> 00:08:23,099
i piszemy kilka cyfr rozwinięcia po przecinku.

193
00:08:23,330 --> 00:08:26,337
Obie strony mnożymy przez 10 i otrzymujemy,

194
00:08:26,437 --> 00:08:31,088
że 10m równa się 9,999... i tak dalej.

195
00:08:31,855 --> 00:08:34,809
Rozbijamy tę liczbę na sumę dwóch składników:

196
00:08:34,957 --> 00:08:38,399
9 oraz 0,999 i tak dalej.

197
00:08:38,814 --> 00:08:40,865
Drugą liczbą jest, jak w poprzednich

198
00:08:40,965 --> 00:08:43,518
przykładach, nasz wyjściowy ułamek.

199
00:08:43,619 --> 00:08:45,370
Otrzymujemy proste równanie.

200
00:08:45,470 --> 00:08:47,546
Przenosimy m na lewą stronę

201
00:08:47,646 --> 00:08:50,431
i widzimy, że 9m równa się 9.

202
00:08:50,531 --> 00:08:52,376
Obie strony dzielimy przez 9

203
00:08:52,476 --> 00:08:55,807
i dostajemy odpowiedź: m jest równe 1.

204
00:08:56,274 --> 00:08:58,080
Choć pozornie to nielogiczne,

205
00:08:58,180 --> 00:08:59,740
nie jest to żadne przybliżenie.

206
00:09:00,035 --> 00:09:02,565
To po prostu różny zapis tej samej liczby,

207
00:09:02,665 --> 00:09:06,000
tak samo jak 0,3 w okresie równe jest 1/3.

208
00:09:06,350 --> 00:09:08,526
Zresztą każdy ułamek dziesiętny

209
00:09:08,626 --> 00:09:10,566
o okresie 9 możemy zastąpić

210
00:09:10,666 --> 00:09:12,385
ułamkiem dziesiętnym skończonym,

211
00:09:12,485 --> 00:09:15,519
na przykład 0,8 i 9 w okresie

212
00:09:15,619 --> 00:09:17,567
równe jest 9/10.

213
00:09:17,667 --> 00:09:20,127
1 i 9 w okresie równa się 2.

214
00:09:20,227 --> 00:09:24,690
a 0,1 i 9 w okresie równe jest 2/10.

215
00:09:28,907 --> 00:09:31,631
Na koniec jeszcze jeden przykład dla ciebie.

216
00:09:31,824 --> 00:09:36,149
Liczbę 1,21 i 032 w okresie

217
00:09:36,249 --> 00:09:38,815
przedstaw w postaci ułamka zwykłego.

218
00:09:39,002 --> 00:09:41,375
Czy potrafisz zrobić to samodzielnie?

219
00:09:44,963 --> 00:09:47,701
Na początku oznaczmy tę liczbę literą x

220
00:09:47,832 --> 00:09:50,193
i zapiszmy kilka cyfr po przecinku.

221
00:09:50,908 --> 00:09:53,169
Aby po przecinku zostały nam tylko cyfry,

222
00:09:53,269 --> 00:09:55,145
które powtarzają się regularnie,

223
00:09:55,245 --> 00:09:57,815
musimy obie strony pomnożyć przez 100.

224
00:09:58,236 --> 00:10:00,359
Mamy zatem: 100x równa się

225
00:10:00,459 --> 00:10:05,216
121,032032… i tak dalej.

226
00:10:05,531 --> 00:10:07,365
Przez jaką liczbę należy teraz

227
00:10:07,465 --> 00:10:10,016
pomnożyć tę wartość, aby bezpośrednio

228
00:10:10,116 --> 00:10:13,071
po przecinku otrzymać sekwencję 0, 3, 2?

229
00:10:13,563 --> 00:10:16,292
Przez 1000. Wtedy przecinek przesuwamy

230
00:10:16,392 --> 00:10:18,191
o trzy miejsca w prawo

231
00:10:18,291 --> 00:10:20,421
i bezpośrednio po przecinku

232
00:10:20,521 --> 00:10:23,609
dostajemy właściwą kolejność: 0, 3, 2.

233
00:10:23,882 --> 00:10:25,663
Po pomnożeniu otrzymujemy

234
00:10:25,763 --> 00:10:27,880
100000x równa się

235
00:10:27,980 --> 00:10:33,783
121032,032032 i tak dalej.

236
00:10:33,884 --> 00:10:35,955
Następnie prawą stroną należy

237
00:10:36,055 --> 00:10:37,614
zamienić na sumę tego,

238
00:10:37,714 --> 00:10:42,303
czyli 121,032032 i tak dalej

239
00:10:42,408 --> 00:10:44,322
oraz różnicy tego…

240
00:10:44,490 --> 00:10:48,779
i tego, czyli 120911.

241
00:10:49,515 --> 00:10:52,287
W to miejsce możemy podstawić 100x.

242
00:10:52,613 --> 00:10:54,527
Otrzymamy, że 100000x

243
00:10:54,627 --> 00:10:59,447
równa się 100x dodać 120911.

244
00:10:59,725 --> 00:11:01,977
100x przenosimy na lewą stronę,

245
00:11:02,077 --> 00:11:04,043
odejmujemy i dostajemy:

246
00:11:04,143 --> 00:11:10,206
99900x równa się 120911.

247
00:11:10,633 --> 00:11:13,137
Ostatnim krokiem będzie podzielenie obu stron

248
00:11:13,237 --> 00:11:15,464
równania przez liczbę stojącą przy iksie.

249
00:11:16,414 --> 00:11:17,925
Nasz x równa się zatem

250
00:11:18,025 --> 00:11:23,253
120911 dzielone przez 99900.

251
00:11:24,573 --> 00:11:27,016
Sprawdźmy to rozwiązanie na kalkulatorze.

252
00:11:27,529 --> 00:11:30,723
Dzielimy licznik przez mianownik

253
00:11:30,933 --> 00:11:34,360
I otrzymujemy liczbę z treści polecenia.

254
00:11:40,569 --> 00:11:42,636
Sprytny sposób na zamianę ułamka

255
00:11:42,736 --> 00:11:44,610
okresowego na ułamek zwykły:

256
00:11:45,112 --> 00:11:48,837
Zapisz ułamek okresowy biorąc okres w nawias.

257
00:11:49,524 --> 00:11:51,401
Zapisz jako jedną liczbę, cyfry

258
00:11:51,501 --> 00:11:53,179
znajdujące się po przecinku,

259
00:11:53,279 --> 00:11:55,093
a jako drugą liczbę, cyfry

260
00:11:55,193 --> 00:11:56,799
między przecinkiem a nawiasem.

261
00:11:57,416 --> 00:11:59,615
Odejmij drugą liczbę od pierwszej.

262
00:11:59,909 --> 00:12:02,865
Policz, ile jest cyfr w nawiasie (okresie),

263
00:12:02,965 --> 00:12:05,531
zapisz w mianowniku tyle samo dziewiątek,

264
00:12:05,631 --> 00:12:07,764
a na końcu tyle zer, ile jest cyfr

265
00:12:07,864 --> 00:12:09,856
pomiędzy przecinkiem a nawiasem.

266
00:12:10,107 --> 00:12:12,415
To jest mianownik twojego ułamka.

267
00:12:12,774 --> 00:12:14,975
Zapisz otrzymaną liczbę mieszaną.

268
00:12:19,428 --> 00:12:21,412
Jeśli ten film ci się spodobał,

269
00:12:21,512 --> 00:12:23,770
to nie zapomnij zostawić łapki w górę.

270
00:12:23,870 --> 00:12:25,291
Odwiedź również naszą stronę

271
00:12:25,391 --> 00:12:27,484
na Facebooku, Pistacja Matematyka,

272
00:12:27,584 --> 00:12:29,785
aby śledzić na bieżąco nasze poczynania.