1
00:00:00,272 --> 00:00:01,379
Czy wiesz do czego

2
00:00:01,379 --> 00:00:03,006
wykorzystuje się wielomiany?

3
00:00:03,006 --> 00:00:04,329
Fizycy używają ich

4
00:00:04,329 --> 00:00:06,483
przy modelowaniu zjawisk chaotycznych

5
00:00:06,483 --> 00:00:08,165
które pomagają nam zrozumieć

6
00:00:08,165 --> 00:00:10,248
procesy rządzące na przykład pogodą.

7
00:00:10,248 --> 00:00:12,438
Istnieją również specjalne wielomiany

8
00:00:12,438 --> 00:00:14,557
którymi naukowcy posługują się

9
00:00:14,557 --> 00:00:17,084
opisując cząsteczki materii.

10
00:00:27,648 --> 00:00:30,208
Na początku zajmijmy się takim problemem.

11
00:00:30,464 --> 00:00:32,493
Basen ma kształt prostopadłościanu

12
00:00:32,493 --> 00:00:33,563
o szerokości x.

13
00:00:33,633 --> 00:00:35,009
Jego długość jest

14
00:00:35,009 --> 00:00:36,628
2 razy dłuższa od szerokości

15
00:00:36,628 --> 00:00:38,717
a głębokość jest o 10 mniejsza

16
00:00:38,757 --> 00:00:39,900
od szerokości.

17
00:00:39,936 --> 00:00:41,728
Oblicz objętość basenu.

18
00:00:42,496 --> 00:00:44,800
Zacznijmy od rysunku pomocniczego.

19
00:00:45,056 --> 00:00:47,374
Oznaczymy szerokość prostopadłościanu

20
00:00:47,394 --> 00:00:48,384
literą x.

21
00:00:48,640 --> 00:00:51,246
Zatrzymaj film i spróbuj podpisać

22
00:00:51,246 --> 00:00:52,390
pozostałe boki.

23
00:00:56,064 --> 00:00:58,569
Długość jest 2 razy większa od szerokości

24
00:00:58,569 --> 00:01:00,888
dlatego przy tym boku piszemy 2x.

25
00:01:01,184 --> 00:01:03,659
Głębokość natomiast jest o 10 mniejsza

26
00:01:03,659 --> 00:01:05,933
od szerokości dlatego przy tym boku

27
00:01:05,933 --> 00:01:08,026
zapisujemy x odjąć 10.

28
00:01:08,608 --> 00:01:10,880
Objętość obliczamy mnożąc przez siebie

29
00:01:10,880 --> 00:01:12,448
wszystkie trzy wymiary.

30
00:01:12,704 --> 00:01:14,753
Otrzymujemy V równa się 2x

31
00:01:14,753 --> 00:01:16,417
do potęgi trzeciej

32
00:01:16,417 --> 00:01:18,080
odjąć 20x kwadrat.

33
00:01:18,848 --> 00:01:19,808
Zobacz.

34
00:01:19,808 --> 00:01:20,946
To, co otrzymaliśmy

35
00:01:20,946 --> 00:01:22,252
jest pewnym wyrażeniem

36
00:01:22,252 --> 00:01:23,890
które nazywamy wielomianem.

37
00:01:23,890 --> 00:01:25,206
W tej lekcji pokażę Ci

38
00:01:25,206 --> 00:01:26,760
jak rozpoznawać wielomiany

39
00:01:26,760 --> 00:01:27,629
i opowiem Ci

40
00:01:27,629 --> 00:01:29,688
o ich podstawowych własnościach.

41
00:01:32,928 --> 00:01:35,232
Na ekranie widzisz różne wyrażenia.

42
00:01:35,388 --> 00:01:37,227
Wszystkie wielomiany oznaczyłem

43
00:01:37,227 --> 00:01:38,218
kolorem zielonym.

44
00:01:38,304 --> 00:01:39,997
Jak myślisz, co odróżnia je

45
00:01:39,997 --> 00:01:41,906
od pozostałych wyrażeń?

46
00:01:44,704 --> 00:01:46,544
Zobacz, w każdym z wielomianów

47
00:01:46,544 --> 00:01:48,814
wykonujemy tylko podstawowe działania.

48
00:01:48,814 --> 00:01:50,651
Dodawanie, odejmowanie, mnożenie

49
00:01:50,651 --> 00:01:52,744
dzielenie i potęgowanie niewiadomych

50
00:01:52,744 --> 00:01:54,140
o wykładniku naturalnym.

51
00:01:54,176 --> 00:01:55,729
Tymczasem w takim wyrażeniu

52
00:01:55,729 --> 00:01:58,016
mamy liczbę podniesioną do potęgi x.

53
00:01:58,272 --> 00:02:00,064
W tym pierwiastek z x.

54
00:02:00,320 --> 00:02:02,070
W tym liczbę dzieloną przez x

55
00:02:02,070 --> 00:02:04,160
a w tym logarytm z niewiadomej.

56
00:02:04,672 --> 00:02:06,849
Takie wyrażenia nie są wielomianami

57
00:02:06,849 --> 00:02:08,872
ponieważ występują w nich działania

58
00:02:08,872 --> 00:02:11,396
z definicji niedozwolone dla wielomianów.

59
00:02:11,584 --> 00:02:13,888
Każdy wielomian jest sumą jednomianów.

60
00:02:14,144 --> 00:02:15,736
Czym jednak jest jednomian?

61
00:02:15,736 --> 00:02:18,008
Jest to iloczyn liczby oraz zmiennych.

62
00:02:18,008 --> 00:02:20,996
Na przykład minus 4x do szóstej

63
00:02:20,996 --> 00:02:22,345
3x, a nawet minus 1

64
00:02:22,345 --> 00:02:23,647
ponieważ w jednomianie

65
00:02:23,647 --> 00:02:25,552
nie muszą występować zmienne.

66
00:02:25,614 --> 00:02:27,165
Więcej na temat jednomianów

67
00:02:27,165 --> 00:02:28,518
możesz dowiedzieć się

68
00:02:28,518 --> 00:02:30,224
z odpowiedniej wideo lekcji.

69
00:02:30,224 --> 00:02:31,812
Nasze rozważania zaczęliśmy

70
00:02:31,812 --> 00:02:33,116
od przykładu z basenu.

71
00:02:33,116 --> 00:02:34,556
Jego objętość zapisaliśmy

72
00:02:34,556 --> 00:02:35,594
w formie wyrażenia

73
00:02:35,594 --> 00:02:37,394
które nazwaliśmy wielomianem.

74
00:02:37,440 --> 00:02:38,960
Zapiszmy je na ekranie.

75
00:02:38,976 --> 00:02:41,024
Czy potrafiłbyś wskazać jednomiany

76
00:02:41,024 --> 00:02:43,432
z których składa się ten wielomian?

77
00:02:46,400 --> 00:02:49,728
Ten wielomian składa się z 2x do trzeciej

78
00:02:49,984 --> 00:02:52,032
oraz minus 20x kwadrat.

79
00:02:52,800 --> 00:02:55,309
A spójrz na takie wyrażenie:

80
00:02:55,309 --> 00:02:56,384
xy dodać 3x.

81
00:02:56,640 --> 00:02:57,989
Jak myślisz, czy możemy

82
00:02:57,989 --> 00:02:59,856
nazwać je wielomianem?

83
00:03:02,528 --> 00:03:03,634
Tak, ponieważ jest to suma

84
00:03:03,634 --> 00:03:07,528
dwóch jednomianów: x razy y oraz 3x.

85
00:03:07,904 --> 00:03:09,486
Jest to przykład wielomianu

86
00:03:09,486 --> 00:03:11,132
dwóch zmiennych x i y.

87
00:03:11,488 --> 00:03:13,053
Od tej pory, jeśli będziemy

88
00:03:13,053 --> 00:03:14,180
mówić o wielomianie

89
00:03:14,180 --> 00:03:15,785
to będziemy mieli na myśli

90
00:03:15,785 --> 00:03:18,026
wielomian jednej zmiennej, czyli taki

91
00:03:18,026 --> 00:03:19,770
w którym występuje co najwyżej

92
00:03:19,770 --> 00:03:21,528
jedna litera.

93
00:03:23,776 --> 00:03:25,222
Dla każdego wielomianu

94
00:03:25,222 --> 00:03:26,962
możemy określić jego stopień.

95
00:03:26,962 --> 00:03:29,116
Jest to największa potęga zmiennej.

96
00:03:29,408 --> 00:03:30,933
Wróćmy do naszego basenu.

97
00:03:30,933 --> 00:03:33,248
Jego objętość wyraża się wzorem:

98
00:03:33,504 --> 00:03:35,371
V równa się 2x do trzeciej

99
00:03:35,371 --> 00:03:37,208
odjąć 20x kwadrat.

100
00:03:37,344 --> 00:03:39,886
Zatrzymaj film i samodzielnie określ

101
00:03:39,886 --> 00:03:41,630
stopień tego wielomianu.

102
00:03:44,768 --> 00:03:46,566
Zmienna występuje tu w dwóch

103
00:03:46,566 --> 00:03:48,884
różnych potęgach—trzeciej i drugiej.

104
00:03:49,120 --> 00:03:50,772
Większą jest liczba 3

105
00:03:50,772 --> 00:03:52,028
zatem nasz wielomian

106
00:03:52,028 --> 00:03:53,472
jest stopnia trzeciego.

107
00:03:53,472 --> 00:03:55,502
Spróbuj teraz samodzielnie określić

108
00:03:55,502 --> 00:03:57,536
stopnie poniższych wielomianów.

109
00:04:00,384 --> 00:04:01,664
Popatrzmy na pierwszy.

110
00:04:01,920 --> 00:04:03,298
Najwyższa potęga x

111
00:04:03,298 --> 00:04:05,074
występuje tutaj i wynosi 4

112
00:04:05,074 --> 00:04:06,781
dlatego jest to wielomian

113
00:04:06,781 --> 00:04:07,911
stopnia czwartego.

114
00:04:07,941 --> 00:04:09,344
A co z drugim?

115
00:04:09,344 --> 00:04:11,904
Tutaj największą potęgą przy a jest 6.

116
00:04:12,416 --> 00:04:14,464
Czyli stopień tego wielomianu to 6.

117
00:04:14,806 --> 00:04:16,263
W przedostatnim wyrażeniu

118
00:04:16,263 --> 00:04:18,492
największą potęgą ,do której podnosimy

119
00:04:18,492 --> 00:04:19,667
zmienną k jest 8.

120
00:04:19,667 --> 00:04:22,287
Dlatego stopień tego wielomianu wynosi 8.

121
00:04:22,399 --> 00:04:23,745
W ostatnim przykładzie

122
00:04:23,745 --> 00:04:25,232
największą potęgą jest 7

123
00:04:25,232 --> 00:04:26,612
zatem jest to wielomian

124
00:04:26,612 --> 00:04:27,983
stopnia siódmego.

125
00:04:28,287 --> 00:04:30,399
Przyjrzyjmy się takiemu wyrażeniu.

126
00:04:30,591 --> 00:04:31,871
Czy jest to wielomian?

127
00:04:32,383 --> 00:04:33,785
Tak, tyle że szczególny

128
00:04:33,785 --> 00:04:34,943
przykład wielomianu

129
00:04:34,943 --> 00:04:37,647
składający się tylko z jednego składnika.

130
00:04:37,759 --> 00:04:40,201
Jak myślisz, jakiego jest stopnia?

131
00:04:42,543 --> 00:04:44,167
Zauważ, że w tym przykładzie

132
00:04:44,167 --> 00:04:45,965
nie występuje żadna zmienna.

133
00:04:45,965 --> 00:04:48,264
Do jakiej potęgi musielibyśmy podnieść

134
00:04:48,264 --> 00:04:50,474
dowolną zmienną, aby można było

135
00:04:50,474 --> 00:04:51,985
ją pominąć w zapisie?

136
00:04:52,031 --> 00:04:53,229
Do potęgi zerowej.

137
00:04:53,285 --> 00:04:55,166
Po podniesieniu dowolnej liczby

138
00:04:55,166 --> 00:04:56,797
do potęgi zero otrzymamy 1.

139
00:04:56,959 --> 00:04:58,443
Jak możemy to wykorzystać

140
00:04:58,443 --> 00:05:00,867
do określenia stopnia naszego wielomianu?

141
00:05:00,867 --> 00:05:03,103
5 to to samo, co 5 razy 1.

142
00:05:03,359 --> 00:05:05,663
Czyli 5 razy x do potęgi zero.

143
00:05:06,175 --> 00:05:08,749
Stopień tego wielomianu wynosi więc zero.

144
00:05:08,991 --> 00:05:11,243
Schrup orzeszka, a za chwilę opowiem Ci

145
00:05:11,243 --> 00:05:12,783
jak porządkować wielomiany

146
00:05:12,783 --> 00:05:14,023
i po co się to robi.

147
00:05:17,695 --> 00:05:19,707
Przyjrzyjmy się takim wielomianom.

148
00:05:19,743 --> 00:05:21,827
Jak myślisz, czy mają one ze sobą

149
00:05:21,827 --> 00:05:23,375
coś wspólnego?

150
00:05:26,143 --> 00:05:27,641
Jeśli im się przyjrzysz

151
00:05:27,641 --> 00:05:29,627
to zauważysz, że składają się one

152
00:05:29,627 --> 00:05:31,011
z tych samych składników

153
00:05:31,011 --> 00:05:33,481
ale zapisanych w innej kolejności.

154
00:05:33,823 --> 00:05:35,615
Czy kolejność ma znaczenie?

155
00:05:35,871 --> 00:05:38,216
W zasadzie nie, ponieważ przy dodawaniu

156
00:05:38,216 --> 00:05:40,365
kolejność wyrazów nie ma znaczenia.

157
00:05:40,365 --> 00:05:41,571
Tę własność nazywamy

158
00:05:41,571 --> 00:05:43,157
przemiennością dodawania.

159
00:05:43,157 --> 00:05:44,404
Gdybyśmy w miejsce x

160
00:05:44,404 --> 00:05:45,868
podstawili dowolną liczbę

161
00:05:45,868 --> 00:05:47,616
to każde z tych wyrażeń da nam

162
00:05:47,616 --> 00:05:49,131
taką samą wartość.

163
00:05:49,183 --> 00:05:51,363
W naszym wielomianie mamy 3 składniki

164
00:05:51,363 --> 00:05:53,615
i możemy go zapisać na 6 sposobów.

165
00:05:54,047 --> 00:05:55,432
Gdyby wyrazów było 4

166
00:05:55,432 --> 00:05:57,283
to sposobów byłoby 24

167
00:05:57,483 --> 00:05:59,423
a przy pięciu aż 120.

168
00:05:59,679 --> 00:06:02,239
Dlatego matematycy porządkują wielomiany.

169
00:06:03,007 --> 00:06:05,284
Umówili się, że zapisujemy od składnika

170
00:06:05,284 --> 00:06:07,506
o najwyższym wykładniku przy zmiennej

171
00:06:07,506 --> 00:06:09,675
do składnika o najniższym wykładniku.

172
00:06:09,675 --> 00:06:11,965
W naszym przykładzie jest to ten zapis.

173
00:06:11,965 --> 00:06:14,057
Porządkowanie wielomianów jest ważne

174
00:06:14,057 --> 00:06:15,260
ponieważ pozwala nam

175
00:06:15,260 --> 00:06:17,739
na jednoznaczny zapis każdego wielomianu.

176
00:06:18,111 --> 00:06:20,185
Dzięki temu możemy szybko sprawdzić

177
00:06:20,185 --> 00:06:22,193
czy dwa wielomiany są równe.

178
00:06:25,791 --> 00:06:28,095
Wykorzystaj zdobytą wiedzę i spróbuj

179
00:06:28,095 --> 00:06:30,143
uporządkować pokazane wielomiany.

180
00:06:32,959 --> 00:06:35,007
Zacznijmy od pierwszego przykładu.

181
00:06:35,263 --> 00:06:37,435
Na początku szukamy największej potęgi

182
00:06:37,435 --> 00:06:39,077
do której podnosimy zmienną.

183
00:06:39,103 --> 00:06:41,373
Jest nią 4, dlatego pierwszym wyrazem

184
00:06:41,373 --> 00:06:43,455
będzie 3x do potęgi czwartej.

185
00:06:43,967 --> 00:06:46,783
Następnie mamy minus 2x do potęgi 3.

186
00:06:47,295 --> 00:06:50,387
Potem kolejno x do kwadratu

187
00:06:50,387 --> 00:06:51,647
x, oraz minus 6.

188
00:06:52,415 --> 00:06:53,492
Kolejny przykład.

189
00:06:53,492 --> 00:06:55,416
Największą potęgą jest tutaj 5

190
00:06:55,416 --> 00:06:57,054
dlatego zaczynamy od wyrazu

191
00:06:57,054 --> 00:06:58,719
minus 2y do potęgi piątej.

192
00:06:59,071 --> 00:07:00,606
Zauważ, że nasza zmienn

193
00:07:00,606 --> 00:07:02,684
nie występuje w potędze czwartej

194
00:07:02,684 --> 00:07:04,339
a kolejną potęgą jest 3

195
00:07:04,339 --> 00:07:07,073
dlatego piszemy 8y do potęgi trzeciej.

196
00:07:07,775 --> 00:07:10,847
Następnie minus 7y i wyraz wolny

197
00:07:10,847 --> 00:07:11,615
czyli 1.

198
00:07:12,799 --> 00:07:15,233
W ostatnim przykładzie największą potęgą

199
00:07:15,233 --> 00:07:17,503
do której podnosimy zmienną jest 10.

200
00:07:17,759 --> 00:07:22,879
Następnie 8, 4, 3, 1.

201
00:07:23,903 --> 00:07:26,141
Podaj teraz stopnie tych wielomianów.

202
00:07:29,023 --> 00:07:30,622
Stopień pierwszego to 4

203
00:07:30,622 --> 00:07:32,150
ponieważ największą potęgą

204
00:07:32,150 --> 00:07:34,559
do której podnosimy zmienną x jest 4.

205
00:07:34,655 --> 00:07:35,789
Idąc tym tropem

206
00:07:35,789 --> 00:07:38,229
stopień następnego wielomianu wynosi 5

207
00:07:38,229 --> 00:07:39,775
a ostatniego 10.

208
00:07:40,287 --> 00:07:42,613
Zauważ, że dzięki uporządkowaniu wyrazów

209
00:07:42,613 --> 00:07:44,533
zadanie to było dużo łatwiejsze

210
00:07:44,533 --> 00:07:46,229
ponieważ największy wykładnik

211
00:07:46,229 --> 00:07:48,245
zawsze stał na początku wielomianu.

212
00:07:48,245 --> 00:07:49,601
Wiesz już intuicyjnie

213
00:07:49,601 --> 00:07:50,799
czym jest wielomian

214
00:07:50,799 --> 00:07:52,187
i umiesz go porządkować.

215
00:07:52,187 --> 00:07:53,501
Za chwilę pokażę Ci

216
00:07:53,501 --> 00:07:55,023
wzór ogólny wielomianu.

217
00:07:58,719 --> 00:08:01,046
Wielomiany najczęściej przedstawiane są

218
00:08:01,046 --> 00:08:02,130
w taki sposób

219
00:08:02,130 --> 00:08:04,369
zwany postacią ogólną wielomianu.

220
00:08:04,607 --> 00:08:06,678
n jest stopniem wielomianu

221
00:08:06,678 --> 00:08:11,122
a an, an odjąć 1 aż do a1, a0

222
00:08:11,122 --> 00:08:12,627
to jego współczynniki.

223
00:08:12,799 --> 00:08:14,776
Jest to ogólny zapis wielomianu

224
00:08:14,776 --> 00:08:15,871
zmiennej x.

225
00:08:16,383 --> 00:08:17,722
Oczywiście zamiast x

226
00:08:17,722 --> 00:08:19,142
moglibyśmy użyć innej

227
00:08:19,142 --> 00:08:20,735
dowolnej litery alfabetu.

228
00:08:20,991 --> 00:08:22,346
Spróbuj podać wartości

229
00:08:22,346 --> 00:08:23,850
współczynników wielomianu

230
00:08:23,850 --> 00:08:26,073
dla naszego przykładu z basenem.

231
00:08:28,927 --> 00:08:30,463
Stopień tego wielomianu

232
00:08:30,719 --> 00:08:32,210
to jak pamiętasz 3

233
00:08:32,210 --> 00:08:33,535
więc n wynosi 3.

234
00:08:34,047 --> 00:08:35,839
Wzór ogólny wielomianu to:

235
00:08:36,351 --> 00:08:39,378
a3 razy x do trzeciej dodać a2 razy

236
00:08:39,378 --> 00:08:43,263
x kwadrat dodać a1 razy x dodać a0.

237
00:08:43,519 --> 00:08:45,567
Ile wynosi współczynnik a3?

238
00:08:46,079 --> 00:08:46,791
2

239
00:08:47,103 --> 00:08:48,127
A a2?

240
00:08:48,383 --> 00:08:49,663
To minus 20.

241
00:08:49,909 --> 00:08:51,725
Co z resztą współczynników?

242
00:08:51,725 --> 00:08:54,043
Jak możesz zauważyć w tym wielomianie

243
00:08:54,043 --> 00:08:56,099
nie występuje ani a1, ani a0.

244
00:08:56,575 --> 00:08:59,229
Możemy więc zapisać, że są one równe zeru.

245
00:08:59,391 --> 00:09:00,212
Dlaczego?

246
00:09:00,212 --> 00:09:02,463
Popatrz, mnożąc zmienną przez zero

247
00:09:02,463 --> 00:09:03,999
zawsze otrzymujemy zero.

248
00:09:04,255 --> 00:09:06,551
Dodawanie zer oczywiście nic nie zmienia

249
00:09:06,551 --> 00:09:08,395
dlatego pomijamy je w zapisie.

250
00:09:08,395 --> 00:09:10,279
Pomijamy, ale nie zapominamy

251
00:09:10,279 --> 00:09:11,423
że one tam są.

252
00:09:12,191 --> 00:09:13,887
Zróbmy sobie trochę miejsca.

253
00:09:14,239 --> 00:09:16,217
Spróbuj teraz samodzielnie wypisać

254
00:09:16,217 --> 00:09:18,275
współczynniki takiego wielomianu.

255
00:09:18,275 --> 00:09:20,373
Być może łatwiej Ci będzie to zrobić

256
00:09:20,373 --> 00:09:22,495
jeśli najpierw go uporządkujesz.

257
00:09:26,015 --> 00:09:27,698
Największą potęgą, a zarazem

258
00:09:27,698 --> 00:09:29,855
stopniem tego wielomianu jest 6.

259
00:09:30,111 --> 00:09:33,390
Poza tym mamy k w potędze piątej, trzeciej

260
00:09:33,390 --> 00:09:36,913
drugiej, pierwszej i zerowej.

261
00:09:37,791 --> 00:09:40,607
Pierwszym współczynnikiem jest a6

262
00:09:40,607 --> 00:09:42,399
i jest on równy -3.

263
00:09:43,167 --> 00:09:45,013
Przy piątej potędze zmiennej k

264
00:09:45,013 --> 00:09:46,349
stoi liczba minus 10

265
00:09:46,349 --> 00:09:47,971
i  to jest jej współczynnik.

266
00:09:48,501 --> 00:09:50,594
k w potędze czwartej nie występuje

267
00:09:50,684 --> 00:09:53,129
dlatego a4 równe jest zeru.

268
00:09:53,151 --> 00:09:54,363
Przy trzeciej potędze

269
00:09:54,363 --> 00:09:56,646
współczynnik wynosi minus 7

270
00:09:56,646 --> 00:09:59,521
przy drugiej 2, przy pierwszej minus 1.

271
00:10:00,063 --> 00:10:02,462
Zauważ, że mamy tu też wyraz wolny

272
00:10:02,462 --> 00:10:04,159
którym jest liczba 5.

273
00:10:04,415 --> 00:10:07,231
Współczynnik a0 to zatem 5.

274
00:10:07,999 --> 00:10:10,403
Udało się podać wszystkie współczynniki

275
00:10:10,403 --> 00:10:11,547
tego wielomianu.

276
00:10:11,583 --> 00:10:13,719
Jeśli twój wynik był taki sam jak mój

277
00:10:13,719 --> 00:10:14,849
to Ci gratuluję.

278
00:10:19,263 --> 00:10:20,796
Wielomiany jednej zmiennej

279
00:10:20,796 --> 00:10:22,819
możemy zapisać w postaci ogólnej

280
00:10:22,819 --> 00:10:24,883
którą przedstawiono na ekranie.

281
00:10:24,895 --> 00:10:27,299
Wielomiany porządkujemy, czyli zapisujemy

282
00:10:27,299 --> 00:10:29,621
wyrazy od składnika z największą potęgą

283
00:10:29,651 --> 00:10:32,493
do składnika o najmniejszej potędze.

284
00:10:37,439 --> 00:10:38,996
Film ten jest wprowadzeniem

285
00:10:38,996 --> 00:10:39,916
do wielomianów.

286
00:10:39,916 --> 00:10:42,263
Jeśli chcesz dowiedzieć się o nich więcej

287
00:10:42,263 --> 00:10:43,993
to zapraszam Cię do obejrzenia

288
00:10:43,993 --> 00:10:46,004
pozostałych filmów z tej playlisty.

289
00:10:46,004 --> 00:10:48,204
Nie zapomnij zostawić też łapki w górę

290
00:10:48,204 --> 00:10:50,004
jeśli ten film Ci się spodobał.