1
00:00:00,768 --> 00:00:03,216
Na pewno znasz już funkcje takie jak sinus

2
00:00:03,216 --> 00:00:05,244
cosinus, logarytm, czy tangens.

3
00:00:05,244 --> 00:00:07,254
Ale czy wiedziałeś, że każdą z nich

4
00:00:07,254 --> 00:00:09,286
można zapisać w postaci wielomianu

5
00:00:09,286 --> 00:00:11,131
o nieskończonej liczbie wyrazów

6
00:00:11,131 --> 00:00:12,810
tak zwanego szeregu Taylora?

7
00:00:13,056 --> 00:00:14,014
Pytasz po co?

8
00:00:14,080 --> 00:00:15,927
Po to, żeby zamiast zajmować się

9
00:00:15,927 --> 00:00:17,465
liczeniem ich na piechotę

10
00:00:17,465 --> 00:00:18,722
zadać to komputerowi.

11
00:00:18,722 --> 00:00:20,516
Komputery liczą takie szeregi

12
00:00:20,516 --> 00:00:22,934
bardzo sprawnie, ponieważ występują w nich

13
00:00:22,934 --> 00:00:24,802
wyłącznie elementarne działania

14
00:00:24,802 --> 00:00:26,798
dodawanie, mnożenie i potęgowanie.

15
00:00:26,798 --> 00:00:28,440
Im więcej wyrazów obliczy

16
00:00:28,440 --> 00:00:31,164
tym dokładniejszy wynik dostaniesz.

17
00:00:41,216 --> 00:00:42,795
Wielomiany możemy traktować

18
00:00:42,795 --> 00:00:44,629
jak wyrażenia algebraiczne

19
00:00:44,629 --> 00:00:45,828
albo jak funkcje.

20
00:00:46,080 --> 00:00:47,876
Pokażę Ci to na przykładzie.

21
00:00:47,876 --> 00:00:50,376
x do trzeciej odjąć 2x kwadrat

22
00:00:50,376 --> 00:00:51,992
odjąć x dodać 2.

23
00:00:52,480 --> 00:00:53,866
Jeśli chcemy podkreślić

24
00:00:53,866 --> 00:00:55,014
że jest to funkcja

25
00:00:55,014 --> 00:00:56,542
to zapisujemy to zazwyczaj

26
00:00:56,542 --> 00:00:57,950
jako W od x równa się

27
00:00:57,950 --> 00:00:59,828
i tutaj jest nasz wielomian.

28
00:01:00,160 --> 00:01:02,326
Wielkiej litery W używamy najczęściej

29
00:01:02,326 --> 00:01:04,376
ponieważ kojarzy się z wielomianem

30
00:01:04,376 --> 00:01:05,859
ale można używać dowolnej

31
00:01:05,859 --> 00:01:07,648
innej wielkiej litery alfabetu.

32
00:01:08,096 --> 00:01:10,007
Wielomian, tak jak każda funkcja

33
00:01:10,007 --> 00:01:11,680
posiada argumenty i wartości.

34
00:01:12,192 --> 00:01:14,447
Znając wzór, możemy w prosty sposób

35
00:01:14,457 --> 00:01:15,728
dla danego argumentu

36
00:01:15,728 --> 00:01:17,240
wyznaczyć jego wartość.

37
00:01:17,568 --> 00:01:20,075
Spróbujmy obliczyć wartość tego wielomianu

38
00:01:20,075 --> 00:01:22,024
dla argumentu równego 3.

39
00:01:22,432 --> 00:01:24,215
W miejsce x podstawiamy trójkę

40
00:01:24,215 --> 00:01:26,522
i obliczamy wartość takiego wyrażenia.

41
00:01:26,528 --> 00:01:28,865
W od 3 równa się 3 do trzeciej

42
00:01:28,865 --> 00:01:32,436
odjąć 2 razy 3 kwadrat odjąć 3 dodać 2.

43
00:01:32,928 --> 00:01:35,148
Wykonujemy obliczenia pamiętając

44
00:01:35,158 --> 00:01:37,078
o kolejności wykonywania działań.

45
00:01:37,280 --> 00:01:39,225
Najpierw potęgujemy i mamy

46
00:01:39,225 --> 00:01:42,852
27 odjąć 2 razy 9 odjąć 3 dodać 2.

47
00:01:43,424 --> 00:01:45,984
Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy 8.

48
00:01:46,752 --> 00:01:49,063
Zatem nasz wielomian dla argumentu 3

49
00:01:49,103 --> 00:01:51,052
przyjmuje wartość 8.

50
00:01:51,360 --> 00:01:53,146
Mam teraz zadanie dla Ciebie.

51
00:01:53,152 --> 00:01:55,542
Spróbuj obliczyć wartość tego wielomianu

52
00:01:55,542 --> 00:01:57,116
dla argumentu minus 2.

53
00:02:00,064 --> 00:02:02,147
Podobnie jak poprzednio w miejsce x

54
00:02:02,147 --> 00:02:04,034
podstawiamy minus 2 i zapisujemy.

55
00:02:04,416 --> 00:02:05,996
W od minus 2 równa się

56
00:02:05,996 --> 00:02:07,953
minus 2 do potęgi trzeciej

57
00:02:07,953 --> 00:02:10,563
odjąć 2 razy minus 2 do kwadratu

58
00:02:10,563 --> 00:02:12,872
odjąć minus 2 dodać 2.

59
00:02:13,120 --> 00:02:15,634
Zgodnie z kolejnością wykonywania działań

60
00:02:15,680 --> 00:02:16,934
najpierw potęgujemy.

61
00:02:16,960 --> 00:02:19,494
Minus 2 do trzeciej to minus 8.

62
00:02:19,520 --> 00:02:21,732
Od tego odejmujemy 2 razy 4

63
00:02:21,732 --> 00:02:24,036
bo minus 2 do kwadratu to 4.

64
00:02:24,384 --> 00:02:26,000
2 minusy dają plus dlatego

65
00:02:26,000 --> 00:02:28,224
piszemy dodać 2 i dodać 2.

66
00:02:28,736 --> 00:02:30,272
Otrzymujemy minus 12.

67
00:02:30,840 --> 00:02:32,534
W takim razie, nasz wielomian

68
00:02:32,534 --> 00:02:33,973
przyjmie wartość

69
00:02:33,973 --> 00:02:36,058
minus 12 dla argumentu minus 2.

70
00:02:36,416 --> 00:02:37,893
Spróbuj teraz obliczyć

71
00:02:37,893 --> 00:02:39,341
wartość tego wielomianu

72
00:02:39,341 --> 00:02:40,908
dla argumentu równego 1.

73
00:02:44,272 --> 00:02:46,279
Tak, jak w poprzednich przypadkach

74
00:02:46,279 --> 00:02:48,628
w miejsce x podstawiamy 1 i otrzymujemy:

75
00:02:48,704 --> 00:02:51,374
W od 1 równa się 1 do trzeciej

76
00:02:51,374 --> 00:02:53,679
odjąć 2 razy 1 do kwadratu

77
00:02:53,679 --> 00:02:55,098
odjąć 1 dodać 2.

78
00:02:55,616 --> 00:02:57,289
Niezależnie, do której potęgi

79
00:02:57,289 --> 00:02:59,726
podniesiemy jedynkę i tak otrzymamy 1.

80
00:02:59,968 --> 00:03:03,124
Mamy więc 1 odjąć 2 odjąć 1 dodać 2

81
00:03:03,144 --> 00:03:04,450
co jest równe zeru.

82
00:03:05,088 --> 00:03:06,992
Argumenty, dla których wielomian

83
00:03:06,992 --> 00:03:08,434
przyjmuje wartość zero

84
00:03:08,434 --> 00:03:11,150
nazywamy pierwiastkami wielomianu.

85
00:03:11,232 --> 00:03:13,349
Możemy zapisać, że to takie x

86
00:03:13,349 --> 00:03:16,076
dla których W od x równa się zero.

87
00:03:16,608 --> 00:03:18,736
W kolejnych filmach poznasz nie tylko

88
00:03:18,736 --> 00:03:21,029
sposoby szukania pierwiastków wielomianu

89
00:03:21,029 --> 00:03:22,231
ale zobaczysz również

90
00:03:22,231 --> 00:03:23,970
do czego się to przydaje.

91
00:03:24,288 --> 00:03:26,080
Wróćmy do naszego wielomianu.

92
00:03:26,592 --> 00:03:28,654
Sprawdź, czy jego pierwiastkami są

93
00:03:28,654 --> 00:03:30,176
zero lub minus 1.

94
00:03:33,760 --> 00:03:34,958
Dla argumentu zero

95
00:03:34,958 --> 00:03:36,622
otrzymujemy zero do trzeciej

96
00:03:36,622 --> 00:03:38,492
odjąć 2 razy zero kwadrat

97
00:03:38,492 --> 00:03:39,688
odjąć zero dodać 2.

98
00:03:39,904 --> 00:03:41,073
A to jest równe 2

99
00:03:41,073 --> 00:03:42,174
zatem zero nie jest

100
00:03:42,184 --> 00:03:44,018
pierwiastkiem tego wielomianu.

101
00:03:44,018 --> 00:03:46,230
Dla argumentu minus 1 otrzymujemy

102
00:03:46,230 --> 00:03:48,259
minus 1 do potęgi trzeciej

103
00:03:48,259 --> 00:03:51,217
odjąć 2 razy minus 1 do kwadratu

104
00:03:51,217 --> 00:03:52,788
odjąć minus 1 dodać 2.

105
00:03:53,216 --> 00:03:55,427
Po obliczeniach otrzymujemy

106
00:03:55,427 --> 00:03:56,655
minus 1 odjąć 2

107
00:03:56,755 --> 00:03:59,812
dodać 1 dodać 2, czyli zero.

108
00:04:00,384 --> 00:04:01,171
Zatem minus

109
00:04:01,171 --> 00:04:03,387
jest poszukiwanym pierwiastkiem

110
00:04:03,397 --> 00:04:05,294
tego wielomianu.

111
00:04:08,320 --> 00:04:10,624
Spróbujmy teraz zrobić takie zadanie:

112
00:04:10,880 --> 00:04:13,029
wyznacz parametry a i b wielomianu

113
00:04:13,029 --> 00:04:15,021
W od x równa się x do czwartej

114
00:04:15,021 --> 00:04:18,692
dodać ax do trzeciej odjąć 8ax kwadrat

115
00:04:18,692 --> 00:04:19,870
odjąć ax dodać b

116
00:04:19,870 --> 00:04:22,301
jeśli wiadomo, że dla argumentu zero

117
00:04:22,321 --> 00:04:23,988
przyjmie on wartość 15

118
00:04:23,988 --> 00:04:26,423
a jedynka jest jego pierwiastkiem.

119
00:04:27,007 --> 00:04:29,199
Przeanalizujmy znane informacje.

120
00:04:29,311 --> 00:04:30,940
Wiemy, że dla argumentu zero

121
00:04:30,940 --> 00:04:32,895
wielomian przyjmie wartość 15.

122
00:04:33,151 --> 00:04:34,664
Możemy zatem zapisać

123
00:04:34,664 --> 00:04:36,479
że W od 0 równe jest 15.

124
00:04:36,991 --> 00:04:38,826
Z treści zadania znamy również

125
00:04:38,826 --> 00:04:40,306
postać tego wielomianu

126
00:04:40,306 --> 00:04:43,169
dlatego w miejsce x możemy podstawić zero.

127
00:04:43,391 --> 00:04:45,416
Mamy więc zero do potęgi czwartej

128
00:04:45,416 --> 00:04:48,310
dodać a razy zero do potęgi trzeciej

129
00:04:48,310 --> 00:04:50,893
odjąć 8a razy zero do kwadratu

130
00:04:50,893 --> 00:04:52,873
odjąć a razy zero dodać b.

131
00:04:53,375 --> 00:04:55,144
Zwróć uwagę, że wszędzie tam

132
00:04:55,144 --> 00:04:56,434
gdzie występują zera

133
00:04:56,434 --> 00:04:58,629
w wyniku też otrzymamy zera.

134
00:04:58,751 --> 00:05:01,311
Pozostanie nam jedynie b równe 15.

135
00:05:02,079 --> 00:05:04,341
Znamy już pierwszy parametr, czyli b.

136
00:05:04,383 --> 00:05:05,627
A co z drugim?

137
00:05:05,663 --> 00:05:07,575
Spróbuj wyznaczyć go samodzielnie

138
00:05:07,575 --> 00:05:09,985
korzystając z informacji, że jedynka jest

139
00:05:09,985 --> 00:05:11,959
pierwiastkiem tego wielomianu.

140
00:05:14,623 --> 00:05:17,000
Skoro jedynka jest pierwiastkiem W od x

141
00:05:17,000 --> 00:05:18,110
to możemy zapisać

142
00:05:18,110 --> 00:05:19,743
że W od 1 równa się zero.

143
00:05:20,255 --> 00:05:22,275
W miejsce x podstawiamy jedynkę

144
00:05:22,275 --> 00:05:25,109
i otrzymujemy: 1 do potęgi czwartej

145
00:05:25,109 --> 00:05:27,611
dodać a razy 1 do potęgi trzeciej

146
00:05:27,611 --> 00:05:30,127
odjąć 8a razy 1 do kwadratu

147
00:05:30,127 --> 00:05:32,543
odjąć a razy 1 dodać 15.

148
00:05:33,055 --> 00:05:34,591
Jest to równanie liniowe.

149
00:05:35,103 --> 00:05:37,407
1 do jakiejkolwiek potęgi do nam 1.

150
00:05:37,919 --> 00:05:40,823
Mamy więc 1 dodać a odjąć 8a odjąć

151
00:05:40,823 --> 00:05:43,039
a dodać 15 równa się zero.

152
00:05:43,551 --> 00:05:45,491
Przenosimy liczby na prawą stronę

153
00:05:45,491 --> 00:05:46,933
i wykonujemy obliczenia.

154
00:05:47,135 --> 00:05:49,171
a się zredukuje i otrzymujemy

155
00:05:49,171 --> 00:05:51,231
minus 8a równa się minus 16.

156
00:05:51,743 --> 00:05:53,772
Dzielimy obie strony przez minus 8

157
00:05:53,772 --> 00:05:55,327
i dostajemy wartość a.

158
00:05:55,839 --> 00:05:57,887
Nasze a równe jest 2.

159
00:05:58,143 --> 00:05:59,789
Możemy już podać odpowiedź.

160
00:05:59,789 --> 00:06:01,983
Dla naszego wielomianu a równa się 2

161
00:06:02,239 --> 00:06:03,999
a b równa się 15.

162
00:06:07,615 --> 00:06:09,663
Zacznijmy od narysowania wykresu

163
00:06:09,663 --> 00:06:11,418
wielomianu z początku filmu

164
00:06:11,418 --> 00:06:13,379
czyli W od x równa się x do trzeciej

165
00:06:13,379 --> 00:06:16,150
odjąć 2x kwadrat odjąć x dodać 2.

166
00:06:16,150 --> 00:06:17,706
Nie będę Cię uczył

167
00:06:17,706 --> 00:06:19,089
jak go narysować

168
00:06:19,135 --> 00:06:20,775
ale pokażę Ci jak wygląda.

169
00:06:20,927 --> 00:06:23,481
Wykorzystamy do tego program matematyczny.

170
00:06:23,743 --> 00:06:25,473
To jest wykres tej funkcji.

171
00:06:25,791 --> 00:06:27,450
Jej dziedziną są wszystkie

172
00:06:27,450 --> 00:06:28,841
liczby rzeczywiste.

173
00:06:29,119 --> 00:06:30,376
Czy potrafisz wskazać

174
00:06:30,376 --> 00:06:32,575
gdzie na wykresie znajdują się punkty

175
00:06:32,575 --> 00:06:34,452
odpowiadające pierwiastkom

176
00:06:34,452 --> 00:06:35,607
tego wielomianu?

177
00:06:38,335 --> 00:06:39,262
Są to punkty

178
00:06:39,262 --> 00:06:41,655
dla których wartość wynosi zero

179
00:06:41,655 --> 00:06:43,711
czyli muszą leżeć na osi x.

180
00:06:44,223 --> 00:06:46,994
Zaczynając od lewej mamy minus 1

181
00:06:46,994 --> 00:06:48,575
następnie 1 oraz 2.

182
00:06:49,087 --> 00:06:50,756
Czy pamiętasz jak do tej pory

183
00:06:50,756 --> 00:06:52,559
nazywaliśmy takie punkty?

184
00:06:52,927 --> 00:06:54,889
Są to miejsca zerowe tej funkcji.

185
00:06:54,975 --> 00:06:57,137
Warto zapamiętać, że pierwiastki

186
00:06:57,137 --> 00:06:58,488
wielomianu są tym samym

187
00:06:58,488 --> 00:07:00,199
co jego miejsca zerowe.

188
00:07:00,607 --> 00:07:02,672
Na wykresie widać, że nasz wielomian

189
00:07:02,672 --> 00:07:04,191
ma 3 takie pierwiastki.

190
00:07:04,703 --> 00:07:07,127
Zauważ, że wcześniej znaleźliśmy 2 z nich.

191
00:07:07,263 --> 00:07:08,799
Minus 1 oraz 1.

192
00:07:09,311 --> 00:07:12,035
Dwójka natomiast umknęła naszej uwadze.

193
00:07:12,383 --> 00:07:14,103
Podstaw 2 do wzoru wielomianu

194
00:07:14,103 --> 00:07:15,628
i sprawdź czy faktycznie

195
00:07:15,628 --> 00:07:17,747
jest to jego miejsce zerowe.

196
00:07:21,087 --> 00:07:23,666
W od 2 równa się 2 do trzeciej

197
00:07:23,666 --> 00:07:26,348
odjąć 2 razy 2 do kwadratu

198
00:07:26,348 --> 00:07:27,999
odjąć 2 dodać 2.

199
00:07:28,255 --> 00:07:30,604
Z obliczeń dostajemy 2 do trzeciej

200
00:07:30,674 --> 00:07:33,430
czyli 8, odjąć 2 razy 4

201
00:07:33,430 --> 00:07:35,347
odjąć 2 dodać 2.

202
00:07:35,935 --> 00:07:37,289
Wynik to zero.

203
00:07:37,471 --> 00:07:39,594
Jak widzisz, dwójka rzeczywiście jest

204
00:07:39,594 --> 00:07:41,731
miejscem zerowym naszego wielomianu.

205
00:07:41,731 --> 00:07:42,956
Trudno byłoby jednak

206
00:07:42,956 --> 00:07:45,033
wywnioskować to z samego wzoru.

207
00:07:48,735 --> 00:07:51,278
Znasz już szczególny przypadek wielomianu

208
00:07:51,278 --> 00:07:52,434
funkcję kwadratową

209
00:07:52,434 --> 00:07:54,737
czyli wielomian stopnia drugiego.

210
00:07:54,879 --> 00:07:56,782
Na pewno wiesz, że taka funkcja

211
00:07:56,782 --> 00:07:58,209
może mieć dwa, jedno

212
00:07:58,209 --> 00:08:00,413
lub zero miejsc zerowych

213
00:08:00,453 --> 00:08:01,795
czyli pierwiastków.

214
00:08:02,559 --> 00:08:03,831
Przyjrzyjmy się teraz

215
00:08:03,831 --> 00:08:05,263
naszemu wielomianowi.

216
00:08:05,375 --> 00:08:07,541
Będziemy przesuwali znany nam wykres

217
00:08:07,541 --> 00:08:08,963
wzdłuż osi y.

218
00:08:09,471 --> 00:08:11,829
Na początku przesuńmy go do góry.

219
00:08:12,031 --> 00:08:14,591
Jeśli przesuwamy wykres wzdłuż osi y

220
00:08:14,847 --> 00:08:16,631
to dodajemy odpowiednią liczbę

221
00:08:16,631 --> 00:08:18,023
do wartości funkcji.

222
00:08:18,431 --> 00:08:20,707
Otrzymany wykres, również jest wykresem

223
00:08:20,707 --> 00:08:22,415
wielomianu stopnia trzeciego.

224
00:08:22,527 --> 00:08:24,791
Spójrz na niego i odczytaj

225
00:08:24,851 --> 00:08:27,027
ile ten wielomian ma pierwiastków.

226
00:08:29,951 --> 00:08:32,255
Nowy wielomian posiada dwa pierwiastki.

227
00:08:32,511 --> 00:08:35,071
Przesuwając wykres dalej w górę osi y

228
00:08:35,327 --> 00:08:37,337
zauważymy, że w pewnym momencie

229
00:08:37,337 --> 00:08:38,894
będzie on przecinał oś x

230
00:08:38,894 --> 00:08:40,491
tylko w jednym punkcie.

231
00:08:40,959 --> 00:08:42,729
Oznacza to, że nowy wielomian

232
00:08:42,729 --> 00:08:45,059
będzie posiadał tylko 1 pierwiastek.

233
00:08:45,567 --> 00:08:47,773
Jest to minimalna liczba pierwiastków

234
00:08:47,773 --> 00:08:50,139
dla wielomianów stopnia nieparzystego.

235
00:08:50,175 --> 00:08:53,086
Na przykład wielomiany stopnia pierwszego

236
00:08:53,136 --> 00:08:55,355
piątego i tak dalej.

237
00:08:56,319 --> 00:08:58,367
Zwróć uwagę na jeszcze jedną rzecz.

238
00:08:58,623 --> 00:09:00,932
Wartości funkcji pokrywają cały zbiór

239
00:09:00,932 --> 00:09:02,481
liczb rzeczywistych.

240
00:09:02,975 --> 00:09:04,690
A co w przypadku wielomianów

241
00:09:04,690 --> 00:09:06,317
stopnia parzystego?

242
00:09:06,815 --> 00:09:09,073
Sprawdźmy to na takim przykładzie.

243
00:09:09,375 --> 00:09:11,551
P od x równa się x do czwartej

244
00:09:11,551 --> 00:09:15,221
dodać 3x do trzeciej odjąć 8x kwadrat

245
00:09:15,371 --> 00:09:17,933
odjąć 12x dodać 16.

246
00:09:18,847 --> 00:09:20,767
Czy potrafisz odczytać z wykresu

247
00:09:20,767 --> 00:09:23,197
ile pierwiastków ma ten wielomian?

248
00:09:26,015 --> 00:09:28,783
Dokładnie 4, ponieważ wykres tej funkcji

249
00:09:28,783 --> 00:09:31,135
przecina oś x w czterech miejscach.

250
00:09:31,517 --> 00:09:33,924
Tak, jak poprzednio, spróbujmy ten wykres

251
00:09:33,924 --> 00:09:35,695
przesuwać w górę osi y.

252
00:09:35,743 --> 00:09:38,047
W pewnym momencie mamy 3 miejsca zerowe.

253
00:09:38,815 --> 00:09:40,799
Idąc dalej, dostajemy już tylko

254
00:09:40,799 --> 00:09:41,887
2 miejsca zerowe.

255
00:09:42,143 --> 00:09:44,110
Kontynuując przesuwanie w górę

256
00:09:44,110 --> 00:09:45,703
możemy zauważyć, że wykres

257
00:09:45,703 --> 00:09:47,378
będzie stykał się z osią x

258
00:09:47,378 --> 00:09:48,964
tylko w jednym punkcie

259
00:09:48,994 --> 00:09:50,692
czyli będzie miał tylko jedno

260
00:09:50,692 --> 00:09:52,733
miejsce zerowe, dokładnie tutaj.

261
00:09:53,663 --> 00:09:55,889
Przy dalszym przesuwaniu tego wykresu

262
00:09:55,889 --> 00:09:57,830
nasz wielomian nie będzie w ogóle

263
00:09:57,830 --> 00:09:59,589
posiadał żadnych pierwiastków.

264
00:09:59,589 --> 00:10:00,529
Wniosek?

265
00:10:00,575 --> 00:10:02,688
Wielomiany parzystego stopnia

266
00:10:02,688 --> 00:10:05,951
na przykład drugiego czy szóstego

267
00:10:06,463 --> 00:10:08,575
nie muszą posiadać pierwiastków.

268
00:10:08,767 --> 00:10:11,649
Ponadto zbiór wartości takich wielomianów

269
00:10:11,659 --> 00:10:13,791
jest ograniczony z jednej strony.

270
00:10:13,887 --> 00:10:15,534
Nie obejmuje on wszystkich

271
00:10:15,534 --> 00:10:16,927
liczb rzeczywistych.

272
00:10:17,215 --> 00:10:19,388
Co jeszcze możemy powiedzieć na temat

273
00:10:19,388 --> 00:10:20,987
pierwiastków wielomianów.

274
00:10:21,055 --> 00:10:23,118
Ich liczba nie może przekraczać

275
00:10:23,118 --> 00:10:24,743
stopnia wielomianu.

276
00:10:24,805 --> 00:10:26,759
Czyli wielomian stopnia trzeciego

277
00:10:26,759 --> 00:10:28,859
może posiadać najwyżej 3 pierwiastki

278
00:10:28,859 --> 00:10:31,093
wielomian stopnia czwartego najwyżej 4

279
00:10:31,093 --> 00:10:32,065
i tak dalej.

280
00:10:32,065 --> 00:10:33,251
Dolnym ograniczeniem

281
00:10:33,251 --> 00:10:35,298
liczby pierwiastków dla wielomianów

282
00:10:35,298 --> 00:10:37,056
stopnia nieparzystego jest 1

283
00:10:37,056 --> 00:10:39,753
a dla wielomianów stopnia parzystego zero.

284
00:10:40,255 --> 00:10:42,219
Te informacje są szczególnie cenne

285
00:10:42,219 --> 00:10:44,513
przy szukaniu miejsc zerowych wielomianu

286
00:10:44,513 --> 00:10:46,069
ponieważ dają nam wskazówkę

287
00:10:46,069 --> 00:10:47,429
na temat ich liczby.

288
00:10:50,495 --> 00:10:51,882
Pierwiastkami wielomianu

289
00:10:51,882 --> 00:10:53,320
nazywamy takie argumenty

290
00:10:53,320 --> 00:10:54,584
dla których wielomian

291
00:10:54,584 --> 00:10:55,975
przyjmuje wartość zero.

292
00:10:55,975 --> 00:10:57,800
Są to po prostu miejsca zerowe

293
00:10:57,800 --> 00:10:59,167
funkcji wielomianowych.

294
00:10:59,167 --> 00:11:00,872
Wielomiany parzystego stopnia

295
00:11:00,872 --> 00:11:02,724
nie muszą posiadać pierwiastka

296
00:11:02,724 --> 00:11:05,207
natomiast wielomiany nieparzystego stopnia

297
00:11:05,207 --> 00:11:07,053
zawsze mają przynajmniej jeden.

298
00:11:07,135 --> 00:11:08,812
Żaden wielomian nie może mieć

299
00:11:08,812 --> 00:11:10,095
więcej pierwiastków

300
00:11:10,095 --> 00:11:11,631
niż wynosi jego stopień.

301
00:11:15,583 --> 00:11:17,573
Więcej o wielomianach dowiesz się

302
00:11:17,573 --> 00:11:19,847
w pozostałych filmach z tej playlisty.

303
00:11:19,875 --> 00:11:21,805
Jeśli nie chcesz, aby ominęły Cię

304
00:11:21,805 --> 00:11:22,978
nasze nowe filmy

305
00:11:22,978 --> 00:11:25,528
to koniecznie zasubskrybuj nasz kanał.