1
00:00:00,256 --> 00:00:01,764
Istnieją takie wielomiany

2
00:00:01,764 --> 00:00:04,044
których wartościami są liczby pierwsze.

3
00:00:04,096 --> 00:00:07,936
Na przykład x kwadrat odjąć x dodać 41.

4
00:00:08,192 --> 00:00:10,378
Jeśli w miejsce x będziesz podstawiać

5
00:00:10,378 --> 00:00:12,800
liczby całkowite od zera do 40 włącznie

6
00:00:13,056 --> 00:00:14,718
to za każdym razem w wyniku

7
00:00:14,718 --> 00:00:16,242
otrzymasz liczbę pierwszą.

8
00:00:16,242 --> 00:00:18,742
Ten wielomian nosi nazwę formuły Eulera.

9
00:00:18,944 --> 00:00:21,022
Wyraz wolny tego wielomianu też jest

10
00:00:21,022 --> 00:00:23,308
liczbą pierwszą i określany jest mianem

11
00:00:23,308 --> 00:00:25,312
szczęśliwej liczby Eulera.

12
00:00:37,632 --> 00:00:39,540
W poprzednim filmie dodawaliśmy

13
00:00:39,540 --> 00:00:41,984
odejmowaliśmy i mnożyliśmy wielomiany.

14
00:00:42,496 --> 00:00:44,588
Zostało nam jeszcze jedno działanie.

15
00:00:44,588 --> 00:00:46,118
Mianowicie dzielenie.

16
00:00:46,336 --> 00:00:48,346
Co otrzymamy dzieląc przez siebie

17
00:00:48,346 --> 00:00:49,246
dwa wielomiany?

18
00:00:49,408 --> 00:00:50,616
Polecenie brzmi:

19
00:00:50,688 --> 00:00:52,691
podziel wielomian W od x równa się

20
00:00:52,691 --> 00:00:54,087
x kwadrat dodać 2x

21
00:00:54,087 --> 00:00:55,251
przez wielomian

22
00:00:55,251 --> 00:00:56,832
G od x równa się x.

23
00:00:57,600 --> 00:00:58,880
Zapisujemy W od x

24
00:00:59,136 --> 00:01:00,672
podzielić przez G od x.

25
00:01:00,928 --> 00:01:03,268
Ja to zapiszę używając kreski ułamkowej

26
00:01:03,268 --> 00:01:05,371
bo w tej postaci będzie nam prościej

27
00:01:05,371 --> 00:01:06,442
dokonać obliczeń.

28
00:01:06,442 --> 00:01:08,455
Mamy więc x kwadrat dodać 2x

29
00:01:08,485 --> 00:01:09,646
dzielone przez x.

30
00:01:10,144 --> 00:01:11,936
Czy x może być dowolne?

31
00:01:12,192 --> 00:01:14,496
Nie, bo przez zero dzielić nie można.

32
00:01:15,008 --> 00:01:17,405
Musimy zatem napisać, że x

33
00:01:17,405 --> 00:01:19,248
nie może być równy zeru.

34
00:01:19,360 --> 00:01:21,179
Nasz ułamek możemy teraz rozbić

35
00:01:21,179 --> 00:01:22,176
na dwa składniki.

36
00:01:22,688 --> 00:01:24,432
x kwadrat dzielone przez x

37
00:01:24,432 --> 00:01:26,512
dodać 2x dzielone przez x.

38
00:01:27,296 --> 00:01:28,980
Co będzie wynikiem dzielenia

39
00:01:28,980 --> 00:01:30,342
x kwadrat przez x?

40
00:01:30,624 --> 00:01:31,648
Po prostu x.

41
00:01:32,160 --> 00:01:34,107
W drugim składniku x się skrócą

42
00:01:34,107 --> 00:01:35,488
i zostanie nam dwójka.

43
00:01:35,744 --> 00:01:38,048
Wynikiem dzielenia wielomianu W od x

44
00:01:38,048 --> 00:01:39,328
przez wielomian G od x

45
00:01:39,584 --> 00:01:41,888
jest dwumian x dodać 2.

46
00:01:42,400 --> 00:01:44,576
A spróbujmy teraz wielomian G od x

47
00:01:44,576 --> 00:01:46,496
podzielić przez wielomian W od x.

48
00:01:47,008 --> 00:01:48,568
Sprawdźmy, co otrzymamy.

49
00:01:48,800 --> 00:01:50,255
Piszemy x dzielone przez

50
00:01:50,255 --> 00:01:52,102
x kwadrat dodać 2x.

51
00:01:52,570 --> 00:01:54,721
Podobnie jak w poprzednim przykładzie

52
00:01:54,721 --> 00:01:56,473
nie możemy dzielić przez zero

53
00:01:56,473 --> 00:01:57,942
czyli x kwadrat dodać 2x

54
00:01:57,942 --> 00:01:59,404
nie może równać się zeru.

55
00:01:59,484 --> 00:02:01,277
Żeby sprawdzić dla jakich x-ów

56
00:02:01,277 --> 00:02:02,555
mianownik jest zerem

57
00:02:02,555 --> 00:02:04,832
musimy rozwiązać to wyrażenie.

58
00:02:04,928 --> 00:02:06,900
x wyciągamy przed nawias.

59
00:02:07,232 --> 00:02:09,536
W nawiasie pozostaje nam x dodać 2.

60
00:02:09,792 --> 00:02:11,849
Ten iloczyn musi być różny od zera

61
00:02:11,979 --> 00:02:14,553
zatem zarówno x jak i x dodać 2

62
00:02:14,593 --> 00:02:16,216
muszą być różne od zera.

63
00:02:16,448 --> 00:02:18,396
Po przekształceniach otrzymujemy

64
00:02:18,396 --> 00:02:19,983
że x nie może się równać

65
00:02:19,983 --> 00:02:21,372
ani zero, ani minus 2.

66
00:02:21,824 --> 00:02:23,351
Wiemy już jakich wartości

67
00:02:23,351 --> 00:02:24,671
nie może przyjąć x

68
00:02:24,671 --> 00:02:26,432
więc zaczynamy liczenie.

69
00:02:26,944 --> 00:02:29,099
Tym razem dodawanie mamy w mianowniku

70
00:02:29,099 --> 00:02:30,474
a nie w liczniku ułamka

71
00:02:30,474 --> 00:02:32,213
dlatego nie możemy zapisać go

72
00:02:32,213 --> 00:02:33,838
jako sumę dwóch ułamków.

73
00:02:34,368 --> 00:02:36,932
Zastanówmy się, co innego można zrobić.

74
00:02:37,184 --> 00:02:39,432
W mianowniku wyciągamy x przed nawias

75
00:02:39,432 --> 00:02:41,280
otrzymując x razy x dodać 2.

76
00:02:41,536 --> 00:02:43,802
x możemy skrócić i otrzymujemy

77
00:02:43,802 --> 00:02:45,742
1 dzielone przez x dodać 2.

78
00:02:46,656 --> 00:02:49,280
Wynik tego dzielenia nie jest wielomianem.

79
00:02:49,728 --> 00:02:51,758
Jeśli nie pamiętasz czym różnią się

80
00:02:51,758 --> 00:02:53,502
wielomiany od nie wielomianów

81
00:02:53,568 --> 00:02:55,740
to obejrzyj odpowiedni film.

82
00:02:56,128 --> 00:02:57,408
Skąd ta różnica?

83
00:02:57,876 --> 00:02:59,927
W pierwszym przykładzie dzieliliśmy

84
00:02:59,927 --> 00:03:01,417
wielomian wyższego stopnia

85
00:03:01,417 --> 00:03:03,422
przez wielomian stopnia niższego.

86
00:03:03,422 --> 00:03:05,090
Otrzymaliśmy zgrabny dwumian.

87
00:03:05,090 --> 00:03:06,471
W drugim było odwrotnie

88
00:03:06,471 --> 00:03:08,202
wielomiany niższego stopnia

89
00:03:08,202 --> 00:03:09,613
dzieliliśmy przez taki

90
00:03:09,613 --> 00:03:11,100
o stopniu wyższym.

91
00:03:11,860 --> 00:03:13,943
Chciałbym w tym miejscu posłużyć się

92
00:03:13,943 --> 00:03:15,060
pewną analogią.

93
00:03:15,072 --> 00:03:16,947
Podzielmy 12 przez 3.

94
00:03:17,067 --> 00:03:18,284
Wynik to 4.

95
00:03:18,656 --> 00:03:20,422
Wszystkie liczby są całkowite.

96
00:03:20,448 --> 00:03:22,586
Podobnie w naszym pierwszym dzieleniu

97
00:03:22,586 --> 00:03:24,536
wszystkie wyrażenia to wielomiany.

98
00:03:24,544 --> 00:03:26,896
Natomiast jeśli podzielimy 3 przez 12

99
00:03:26,896 --> 00:03:28,544
otrzymamy 1/4.

100
00:03:28,640 --> 00:03:30,176
Czyli liczbę niecałkowitą.

101
00:03:30,432 --> 00:03:32,794
Podobnie w dzieleniu naszych wielomianów.

102
00:03:32,794 --> 00:03:34,760
Dzieląc wielomian niższego stopnia

103
00:03:34,760 --> 00:03:36,592
przez wyższego stopnia otrzymamy

104
00:03:36,592 --> 00:03:38,880
zawsze coś, co wielomianem nie jest.

105
00:03:39,392 --> 00:03:41,174
Aby wielomiany były podzielne

106
00:03:41,174 --> 00:03:43,193
stopień wielomianu, który dzielimy

107
00:03:43,193 --> 00:03:45,456
musi być większy od stopnia dzielnika.

108
00:03:45,792 --> 00:03:47,840
Tę analogie będę przytaczał nieraz

109
00:03:47,886 --> 00:03:49,994
ponieważ bardzo pomaga w zrozumieniu

110
00:03:49,994 --> 00:03:51,882
dzielenia wielomianów.

111
00:03:56,800 --> 00:03:59,104
Teorie już znasz, pora na przykłady.

112
00:03:59,616 --> 00:04:02,170
Sprawdź się i zrób je samodzielnie.

113
00:04:05,504 --> 00:04:07,194
Zacznijmy od pierwszego.

114
00:04:07,296 --> 00:04:08,826
Co trzeba zrobić najpierw?

115
00:04:09,088 --> 00:04:11,904
Sprawdź jakie wartości są zakazane dla x.

116
00:04:12,160 --> 00:04:13,684
Mianownik, czyli x dodać 2

117
00:04:13,684 --> 00:04:15,256
nie może być równy zeru.

118
00:04:15,488 --> 00:04:17,791
Zatem x nie może równać się minus 2.

119
00:04:18,303 --> 00:04:19,901
Tę kwestię mamy już za sobą

120
00:04:19,901 --> 00:04:21,509
więc zajmijmy się ilorazem.

121
00:04:21,631 --> 00:04:23,095
Wyciągamy x przed nawias

122
00:04:23,095 --> 00:04:25,471
a w nawiasie pozostaje nam x dodać 2.

123
00:04:25,727 --> 00:04:27,207
Mianownik przepisujemy.

124
00:04:27,775 --> 00:04:29,152
x dodać 2 się skróci

125
00:04:29,152 --> 00:04:31,359
zatem nasz wynik to po prostu x.

126
00:04:31,871 --> 00:04:34,170
W kolejnym przykładzie pierwszy krok

127
00:04:34,170 --> 00:04:35,349
jest identyczny.

128
00:04:35,455 --> 00:04:37,816
Mianownik, czyli x dodać 1

129
00:04:37,816 --> 00:04:39,369
nie może być zerem.

130
00:04:39,551 --> 00:04:41,599
Czyli x nie może być minus jedynką.

131
00:04:41,855 --> 00:04:44,037
Przechodzimy do ilorazu wielomianów.

132
00:04:44,415 --> 00:04:46,637
Zauważ, że w liczniku mamy wzór

133
00:04:46,637 --> 00:04:47,999
skróconego mnożenia.

134
00:04:48,255 --> 00:04:50,626
Otrzymujemy x dodać 1 do kwadratu

135
00:04:50,626 --> 00:04:52,351
dzielone przez x dodać 1.

136
00:04:52,607 --> 00:04:53,989
Jeden nawias z licznika

137
00:04:53,989 --> 00:04:55,723
możemy skrócić z mianownikiem.

138
00:04:55,723 --> 00:04:57,983
Otrzymujemy x dodać 1.

139
00:04:58,751 --> 00:05:01,459
Przejdźmy teraz do kolejnych przykładów.

140
00:05:05,407 --> 00:05:06,431
Zadanie brzmi.

141
00:05:06,687 --> 00:05:08,816
Podziel wielomian W od x równa się

142
00:05:08,816 --> 00:05:11,551
x do czwartej odjąć x kwadrat dodać 1

143
00:05:11,807 --> 00:05:13,657
przez wielomian G od x równa się

144
00:05:13,657 --> 00:05:14,607
x kwadrat.

145
00:05:14,623 --> 00:05:17,115
W od x dzielone przez G od x równa się

146
00:05:17,115 --> 00:05:19,822
x do czwartej odjąć x kwadrat dodać 1

147
00:05:19,822 --> 00:05:21,557
dzielone przez x kwadrat.

148
00:05:21,967 --> 00:05:23,949
Pamiętamy, że dzielenie przez zero

149
00:05:23,949 --> 00:05:25,679
jest niedozwolone, dlatego x

150
00:05:25,679 --> 00:05:27,131
nie może być równy zeru.

151
00:05:27,167 --> 00:05:29,128
Wyciągnijmy przed nawias x kwadrat

152
00:05:29,128 --> 00:05:31,433
z pierwszych dwóch wyrazów w liczniku.

153
00:05:31,519 --> 00:05:33,055
x kwadrat razy nawias

154
00:05:33,311 --> 00:05:36,104
x kwadrat odjąć 1 zamknąć nawias,

155
00:05:36,104 --> 00:05:36,961
dodać 1.

156
00:05:36,961 --> 00:05:39,126
Podobnie jak w pierwszym przykładzie

157
00:05:39,126 --> 00:05:41,196
możemy to wyrażenie zamienić na sumę

158
00:05:41,226 --> 00:05:42,101
dwóch ułamków.

159
00:05:42,101 --> 00:05:44,177
Dostajemy: x kwadrat razy x kwadrat

160
00:05:44,177 --> 00:05:46,730
odjąć 1 dzielone przez x kwadrat

161
00:05:46,730 --> 00:05:49,473
dodać 1 dzielone przez x kwadrat.

162
00:05:50,207 --> 00:05:52,606
W pierwszym ułamku skracamy x do kwadratu

163
00:05:52,606 --> 00:05:55,231
i otrzymujemy x kwadrat odjąć 1.

164
00:05:55,839 --> 00:05:57,871
Drugiego ułamka nie możemy skrócić

165
00:05:57,887 --> 00:06:00,325
dlatego pozostawiamy go w takiej postaci.

166
00:06:00,447 --> 00:06:02,854
Ale chwila, przecież dzieliliśmy wielomian

167
00:06:02,854 --> 00:06:05,190
o wyższym stopniu przez wielomian

168
00:06:05,190 --> 00:06:06,527
o niższym stopniu.

169
00:06:06,527 --> 00:06:09,257
Dlaczego więc wynikiem nie jest wielomian?

170
00:06:09,257 --> 00:06:11,513
Przypomnij sobie analogie z dzieleniem

171
00:06:11,513 --> 00:06:13,555
liczb całkowitych i zastanów się

172
00:06:13,555 --> 00:06:15,751
ile to jest 12 przez 7.

173
00:06:16,063 --> 00:06:17,599
1 i 5/7

174
00:06:17,855 --> 00:06:20,038
Pomimo, że dzieliliśmy większą liczbę

175
00:06:20,038 --> 00:06:21,806
przez mniejszą, to dostaliśmy

176
00:06:21,806 --> 00:06:24,299
liczbę całkowitą oraz ułamek.

177
00:06:24,767 --> 00:06:26,089
Popatrz teraz na wynik

178
00:06:26,089 --> 00:06:27,391
dzielenia wielomianów.

179
00:06:27,391 --> 00:06:29,314
To też jest mieszanka wielomianu

180
00:06:29,314 --> 00:06:31,431
oraz czegoś co wielomianem nie jest.

181
00:06:31,431 --> 00:06:32,938
Możemy wynik zapisać jako

182
00:06:32,938 --> 00:06:34,668
x kwadrat odjąć 1

183
00:06:34,668 --> 00:06:35,685
z resztą 1

184
00:06:36,031 --> 00:06:38,063
ponieważ jedynka występuje tutaj

185
00:06:38,079 --> 00:06:39,057
w liczniku.

186
00:06:39,139 --> 00:06:41,229
Osobiście często stosuję tę analogie

187
00:06:41,229 --> 00:06:42,975
dlatego dzielę się nią z tobą.

188
00:06:42,975 --> 00:06:44,626
Mam nadzieję, że dzięki niej

189
00:06:44,626 --> 00:06:46,997
dzielenie wielomianów nie będzie stanowić

190
00:06:46,997 --> 00:06:48,219
dla Ciebie problemu.

191
00:06:51,647 --> 00:06:53,951
Zróbmy teraz wspólnie taki przykład.

192
00:06:54,207 --> 00:06:55,629
Pamiętamy, że nie możemy

193
00:06:55,629 --> 00:06:56,849
dzielić przez zero.

194
00:06:56,849 --> 00:06:58,995
Zatem x nie może być równy minus 2.

195
00:06:59,327 --> 00:07:01,202
W liczniku naszego ułamka możemy

196
00:07:01,202 --> 00:07:02,756
z dwóch pierwszych wyrazów

197
00:07:02,756 --> 00:07:04,391
wyciągnąć x przed nawias.

198
00:07:04,447 --> 00:07:08,497
Mamy x razy x dodać 2 dodać 5

199
00:07:08,543 --> 00:07:10,931
i wszystko dzielone przez x dodać 2.

200
00:07:11,103 --> 00:07:13,741
Dokończ ten przykład samodzielnie.

201
00:07:16,735 --> 00:07:18,470
Wyrażenie to możemy rozdzielić

202
00:07:18,470 --> 00:07:20,031
na sumę dwóch ułamków.

203
00:07:20,063 --> 00:07:22,039
W pierwszym z nich możemy skrócić

204
00:07:22,039 --> 00:07:23,391
ze sobą x dodać 2.

205
00:07:23,647 --> 00:07:25,076
Otrzymujemy x dodać 5

206
00:07:25,076 --> 00:07:26,975
dzielone przez x dodać 2.

207
00:07:27,487 --> 00:07:30,256
Co możemy zapisać jako x i reszty 5

208
00:07:30,256 --> 00:07:32,279
ponieważ piątkę mamy tutaj.

209
00:07:32,351 --> 00:07:34,655
Wielomian w liczniku ma stopień 2

210
00:07:34,911 --> 00:07:36,285
a w mianowniku 1.

211
00:07:36,703 --> 00:07:38,883
Wynikiem tego dzielenia jest wielomian

212
00:07:38,883 --> 00:07:40,730
stopnia pierwszego oraz reszta

213
00:07:40,730 --> 00:07:42,349
której stopień wynosi zero.

214
00:07:42,983 --> 00:07:45,055
Stopień wielomianu, który otrzymamy

215
00:07:45,055 --> 00:07:47,131
w wyniku dzielenia dwóch wielomianów

216
00:07:47,131 --> 00:07:49,099
zawsze równy jest różnicy stopnia

217
00:07:49,099 --> 00:07:50,461
dzielnej i dzielnika.

218
00:07:50,527 --> 00:07:53,287
Reszta natomiast ma stopień mniejszy

219
00:07:53,303 --> 00:07:54,585
niż stopień wielomianu

220
00:07:54,585 --> 00:07:56,159
przez który dzieliliśmy.

221
00:07:56,159 --> 00:07:57,896
Te zależności są prawdziwe

222
00:07:57,896 --> 00:08:00,043
dla wszystkich ilorazów wielomianów,

223
00:08:00,255 --> 00:08:02,647
Nie tylko drugiego i pierwszego stopnia.

224
00:08:07,167 --> 00:08:09,249
Przejdźmy do ostatniego zadania.

225
00:08:09,471 --> 00:08:11,367
Znajdź wielomian W od x

226
00:08:11,367 --> 00:08:13,773
jeśli wiadomo, że w wyniku podzielenia go

227
00:08:13,773 --> 00:08:15,549
przez dwumian x odjąć 4

228
00:08:15,549 --> 00:08:17,681
otrzymano wielomian G od x

229
00:08:17,681 --> 00:08:20,281
równa się 3x kwadrat odjąć 4x

230
00:08:20,311 --> 00:08:22,623
dodać 1 i resztę minus 3.

231
00:08:23,551 --> 00:08:24,831
Zapiszmy to działanie.

232
00:08:25,343 --> 00:08:28,898
W od x dzielone przez x odjąć 4 równa się

233
00:08:28,898 --> 00:08:30,719
G od x i reszty minus 3.

234
00:08:30,975 --> 00:08:32,548
Standardowo przy dzieleniu

235
00:08:32,548 --> 00:08:34,219
mianownik nie może być zerem

236
00:08:34,219 --> 00:08:36,575
dlatego x nie może być równy 4.

237
00:08:36,607 --> 00:08:38,911
W jaki sposób znaleźć wielomian W od x?

238
00:08:39,167 --> 00:08:41,639
Spróbujmy potraktować nasze wyrażenie

239
00:08:41,639 --> 00:08:42,569
jak równanie.

240
00:08:42,751 --> 00:08:44,422
Żeby otrzymać W od x

241
00:08:44,422 --> 00:08:46,197
powinniśmy obie strony

242
00:08:46,197 --> 00:08:48,127
pomnożyć przez x odjąć 4.

243
00:08:48,383 --> 00:08:49,919
Ale co zrobić z resztą?

244
00:08:50,175 --> 00:08:52,447
Jej zapis możemy zamienić na taki:

245
00:08:52,735 --> 00:08:55,295
minus 3 dzielone przez x odjąć 4.

246
00:08:55,551 --> 00:08:57,889
Robiliśmy to już wcześniej w tej lekcji.

247
00:08:57,889 --> 00:09:00,194
Tyle, że tam przechodziliśmy od postaci

248
00:09:00,194 --> 00:09:01,955
ułamkowej do zapisu z resztą.

249
00:09:01,955 --> 00:09:04,455
Oba te zapisy oznaczają dokładnie to samo.

250
00:09:04,511 --> 00:09:06,431
Jednak zapisując w tej postaci

251
00:09:06,431 --> 00:09:08,351
pozbywamy się zapisu z resztą.

252
00:09:08,863 --> 00:09:11,190
Zauważ, że jeśli to wyrażenie pomnożymy

253
00:09:11,190 --> 00:09:13,471
przez mianownik, czyli x odjąć 4

254
00:09:13,727 --> 00:09:15,753
to po lewej dostaniemy W od x

255
00:09:15,753 --> 00:09:18,441
a po prawej G od x razy nawias

256
00:09:18,441 --> 00:09:21,567
x odjąć 4 zamykamy nawias, odjąć 3.

257
00:09:21,919 --> 00:09:24,317
Teraz wystarczy podstawić pod G od x

258
00:09:24,317 --> 00:09:26,413
wyrażenie podane w treści polecenia

259
00:09:26,413 --> 00:09:28,031
i wykonać działania.

260
00:09:28,063 --> 00:09:30,513
Zatrzymaj film i zrób to samodzielnie.

261
00:09:30,513 --> 00:09:32,703
Zaraz porównamy nasze wyniki.

262
00:09:35,487 --> 00:09:37,056
Mnożymy każdy składnik

263
00:09:37,056 --> 00:09:38,262
w pierwszym nawiasie

264
00:09:38,262 --> 00:09:40,503
przez każdy składnik w drugim nawiasie

265
00:09:40,503 --> 00:09:41,376
i dostajemy

266
00:09:41,376 --> 00:09:45,099
3x do trzeciej odjąć 4x kwadrat dodać x

267
00:09:45,215 --> 00:09:48,543
odjąć 12x kwadrat dodać 16x

268
00:09:49,055 --> 00:09:51,359
odjąć 4 i odjąć 3.

269
00:09:51,871 --> 00:09:53,663
x do trzeciej jest tylko tutaj

270
00:09:53,919 --> 00:09:56,406
zatem piszemy, że W od x równa się

271
00:09:56,406 --> 00:09:57,503
3x do trzeciej.

272
00:09:57,759 --> 00:09:59,551
x kwadrat mamy tutaj i tutaj.

273
00:09:59,807 --> 00:10:03,391
Minus 4 dodać minus 12 równa się minus 16.

274
00:10:03,903 --> 00:10:06,463
Do wyniku dopisujemy minus 16x kwadrat.

275
00:10:06,719 --> 00:10:07,717
x są tutaj.

276
00:10:07,999 --> 00:10:10,047
1 dodać 16 to 17.

277
00:10:10,559 --> 00:10:11,607
I wyrazy wolne.

278
00:10:11,607 --> 00:10:13,887
Minus 4 dodać minus 3 to minus 7.

279
00:10:14,655 --> 00:10:16,043
Umiejętność zapisywania

280
00:10:16,043 --> 00:10:18,255
dzielenia wielomianów w takiej postaci

281
00:10:18,255 --> 00:10:20,431
przydaje się przy rozwiązywaniu zadań

282
00:10:20,431 --> 00:10:22,619
których niewiadomą jest wielomian.

283
00:10:28,479 --> 00:10:29,705
Tak, jak w przypadku dzielenia

284
00:10:29,705 --> 00:10:32,193
liczb całkowitych wynik nie musi być

285
00:10:32,193 --> 00:10:34,622
liczbą całkowitą, tak w przypadku

286
00:10:34,622 --> 00:10:36,217
dzielenia dwóch wielomianów

287
00:10:36,217 --> 00:10:38,591
nie musimy otrzymać wielomianu.

288
00:10:41,535 --> 00:10:43,833
Ten film dotyczył dzielenia wielomianów.

289
00:10:43,839 --> 00:10:45,329
Temat ten nie jest łatwy.

290
00:10:45,375 --> 00:10:47,863
Dlatego chciałbym zaoferować naszą pomoc.

291
00:10:47,863 --> 00:10:49,354
Jeśli masz jakieś pytanie

292
00:10:49,354 --> 00:10:50,929
to zostaw je w komentarzu.

293
00:10:50,929 --> 00:10:53,103
Na pewno na nie odpowiemy.