1
00:00:00,256 --> 00:00:01,706
Nazwa schemat Hornera

2
00:00:01,706 --> 00:00:03,039
wzięła się od nazwiska

3
00:00:03,039 --> 00:00:04,754
XIX-wiecznego matematyka

4
00:00:04,754 --> 00:00:06,526
ale podobnej metody używali już

5
00:00:06,526 --> 00:00:07,960
Chińczycy w X wieku.

6
00:00:08,156 --> 00:00:09,931
Służyła im głównie do obliczania

7
00:00:09,931 --> 00:00:11,557
pierwiastków wielomianów drugiego

8
00:00:11,557 --> 00:00:12,964
i trzeciego stopnia.

9
00:00:13,056 --> 00:00:14,265
To niełatwa sztuka

10
00:00:14,265 --> 00:00:15,432
zwłaszcza bez pomocy

11
00:00:15,432 --> 00:00:17,010
komputerów i kalkulatorów.

12
00:00:17,152 --> 00:00:18,612
W tej lekcji zajmiemy się

13
00:00:18,612 --> 00:00:20,092
czymś znacznie prostszym.

14
00:00:20,092 --> 00:00:21,026
Udowodnię Ci

15
00:00:21,026 --> 00:00:23,052
dlaczego schemat Hornera działa.

16
00:00:35,072 --> 00:00:36,794
W jednym z filmów z tej playlisty

17
00:00:36,794 --> 00:00:38,206
uczyliśmy się wykorzystywania

18
00:00:38,206 --> 00:00:40,678
schematu Hornera do dzielenia wielomianów.

19
00:00:40,704 --> 00:00:42,022
W tym filmie pokażę Ci

20
00:00:42,022 --> 00:00:43,520
dlaczego ta metoda działa.

21
00:00:44,032 --> 00:00:45,710
Załóżmy, że wielomian W od x

22
00:00:45,710 --> 00:00:47,153
jest dowolnym wielomianem

23
00:00:47,153 --> 00:00:48,628
czwartego stopnia.

24
00:00:48,640 --> 00:00:50,432
Zapiszmy go w postaci ogólnej.

25
00:00:50,944 --> 00:00:54,455
W od x równa się a4 razy x do czwartej

26
00:00:54,455 --> 00:00:56,607
dodać a3 razy x do trzeciej

27
00:00:56,607 --> 00:00:59,038
dodać a2 razy x kwadrat

28
00:00:59,038 --> 00:01:01,575
dodać a1 razy x dodać a0

29
00:01:01,585 --> 00:01:04,981
gdzie a4, a3, a2, a1 i a0

30
00:01:04,981 --> 00:01:07,044
to współczynniki wielomianu.

31
00:01:07,584 --> 00:01:09,615
Schemat Hornera pozwala nam wykonać

32
00:01:09,615 --> 00:01:11,391
dzielenie tego wielomianu

33
00:01:11,391 --> 00:01:13,270
przez dwumian postaci x odjąć c.

34
00:01:13,728 --> 00:01:15,418
W wyniku dzielenia dostaniemy

35
00:01:15,418 --> 00:01:17,127
pewien wielomian G od x

36
00:01:17,127 --> 00:01:18,968
oraz resztę R od x.

37
00:01:19,616 --> 00:01:22,030
Resztę możemy zapisać jako R od x

38
00:01:22,030 --> 00:01:24,122
podzielić przez x odjąć c.

39
00:01:24,736 --> 00:01:26,784
Co wiemy o wielomianach G oraz R?

40
00:01:26,880 --> 00:01:28,667
Czy jesteś w stanie powiedzieć

41
00:01:28,667 --> 00:01:29,990
jakiego są stopnia?

42
00:01:33,440 --> 00:01:34,716
Przy dzieleniu wielomianów

43
00:01:34,716 --> 00:01:36,571
stopień w wyniku jest różnicą stopnia

44
00:01:36,571 --> 00:01:38,032
dzielnej i dzielnika.

45
00:01:38,108 --> 00:01:39,677
Mówiłem o tym w innym filmie

46
00:01:39,677 --> 00:01:40,998
z tej playlisty.

47
00:01:41,120 --> 00:01:43,268
Skoro W jest stopnia czwartego

48
00:01:43,374 --> 00:01:45,422
a x odjąć c stopnia pierwszego

49
00:01:45,728 --> 00:01:47,677
to G musi być stopnia trzeciego

50
00:01:47,727 --> 00:01:50,004
bo 4 odjąć 1 równa się 3.

51
00:01:50,848 --> 00:01:53,257
Wielomian G od x możemy zapisać w postaci

52
00:01:53,317 --> 00:01:55,981
b3 razy x do trzeciej dodać b2

53
00:01:55,991 --> 00:01:59,858
razy x kwadrat dodać b1 razy x i dodać b0.

54
00:02:00,320 --> 00:02:01,856
Pozostało nam jeszcze określić

55
00:02:01,856 --> 00:02:03,054
stopień reszty.

56
00:02:03,136 --> 00:02:05,413
Wiesz, że jej stopień musi być mniejszy

57
00:02:05,413 --> 00:02:06,674
od stopnia dzielnika.

58
00:02:06,720 --> 00:02:09,002
W naszym przypadku mniejszy od 1.

59
00:02:09,280 --> 00:02:11,306
Wielomian stopnia zerowego to po prostu

60
00:02:11,306 --> 00:02:12,885
pewna liczba rzeczywista

61
00:02:12,885 --> 00:02:14,461
dlatego możemy napisać

62
00:02:14,461 --> 00:02:15,972
że R od x, równa się r.

63
00:02:16,960 --> 00:02:18,796
Wartość reszty nie zależy zatem

64
00:02:18,796 --> 00:02:20,092
od wartości x.

65
00:02:20,544 --> 00:02:22,710
Zróbmy sobie krótką przerwę.

66
00:02:26,688 --> 00:02:27,826
Rozpatrzmy równanie

67
00:02:27,826 --> 00:02:29,504
które ułożyliśmy poprzednio.

68
00:02:30,016 --> 00:02:32,505
W od x podzielić przez x odjąć c

69
00:02:32,505 --> 00:02:34,832
równa się G od x dodać R od x

70
00:02:34,842 --> 00:02:36,570
podzielić przez x odjąć c.

71
00:02:37,184 --> 00:02:39,531
Jeśli obie strony pomnożymy przez dwumian

72
00:02:39,531 --> 00:02:40,619
x odjąć c

73
00:02:40,619 --> 00:02:43,039
to otrzymamy W od x równa się

74
00:02:43,119 --> 00:02:46,250
G od x razy x odjąć c dodać R od x.

75
00:02:46,912 --> 00:02:49,216
Wyznaczmy współczynniki wielomianu W.

76
00:02:49,728 --> 00:02:51,752
Po prawej stronie zastąpmy G

77
00:02:51,752 --> 00:02:53,151
wzorem wielomianu

78
00:02:53,151 --> 00:02:54,632
a w miejsce R od x

79
00:02:54,662 --> 00:02:56,510
wpiszmy r i wykonajmy mnożenie.

80
00:02:57,152 --> 00:02:59,029
Mnożymy każdy wyraz z każdym

81
00:02:59,029 --> 00:03:02,088
i otrzymujemy: b3 razy x do czwartej

82
00:03:02,088 --> 00:03:04,058
dodać b2 razy x do trzeciej

83
00:03:04,058 --> 00:03:06,359
dodać b1 razy x kwadrat

84
00:03:06,359 --> 00:03:08,073
dodać b0 razy x

85
00:03:08,073 --> 00:03:10,887
odjąć b3 razy c razy x do trzeciej

86
00:03:10,887 --> 00:03:13,629
odjąć b2 razy c razy x kwadrat

87
00:03:13,629 --> 00:03:15,909
odjąć b1 razy c razy x

88
00:03:15,909 --> 00:03:17,772
i odjąć b0 razy c

89
00:03:17,772 --> 00:03:19,242
a resztę przepisujemy.

90
00:03:19,936 --> 00:03:21,852
Uporządkujmy ten wielomian.

91
00:03:22,240 --> 00:03:24,813
x w potędze czwartej jest tylko tutaj

92
00:03:24,813 --> 00:03:26,532
więc po znaku równości zapiszmy

93
00:03:26,532 --> 00:03:28,302
b3 razy x do czwartej.

94
00:03:28,896 --> 00:03:31,254
x do trzeciej jest tutaj i tutaj.

95
00:03:31,456 --> 00:03:33,488
Po dodaniu współczynników otrzymujemy

96
00:03:33,488 --> 00:03:36,912
b2 odjąć b3 razy c razy x do trzeciej.

97
00:03:37,344 --> 00:03:39,526
Teraz szukamy x-ów w potędze drugiej.

98
00:03:39,526 --> 00:03:40,726
Są one tutaj.

99
00:03:41,184 --> 00:03:43,438
Dodajemy je i dopisujemy do wyniku

100
00:03:43,438 --> 00:03:47,232
b1 odjąć b2 razy c razy x kwadrat.

101
00:03:48,096 --> 00:03:50,986
x w potędze pierwszej znajdują się tutaj.

102
00:03:51,680 --> 00:03:52,960
Po dodaniu otrzymujemy:

103
00:03:53,216 --> 00:03:56,544
b0 odjąć b1 razy c razy x.

104
00:03:57,056 --> 00:03:59,056
Zostały jeszcze wyrazy wolne

105
00:03:59,056 --> 00:04:00,128
czyli te bez x.

106
00:04:00,384 --> 00:04:01,868
Zapiszę je w nawiasie

107
00:04:01,868 --> 00:04:04,072
aby łatwo można było je zauważyć.

108
00:04:04,224 --> 00:04:06,978
Zróbmy sobie trochę miejsca na tablicy.

109
00:04:07,296 --> 00:04:09,649
Lewa strona musi być równa prawej

110
00:04:09,649 --> 00:04:12,038
zatem to, co otrzymaliśmy musi być równe

111
00:04:12,038 --> 00:04:12,928
W od x.

112
00:04:13,440 --> 00:04:15,488
A kiedy dwa wielomiany są sobie równe?

113
00:04:15,900 --> 00:04:17,731
Kiedy współczynniki przy odpowiednich

114
00:04:17,731 --> 00:04:19,839
potęgach niewiadomej są takie same.

115
00:04:20,095 --> 00:04:21,788
Możemy zatem napisać

116
00:04:21,788 --> 00:04:23,397
że a4 równa się b3.

117
00:04:23,679 --> 00:04:26,495
a3 równa się b2 odjąć b3 razy c.

118
00:04:27,263 --> 00:04:30,079
a2 równa się b1 odjąć b2 razy c.

119
00:04:31,103 --> 00:04:34,175
a1 równa się b0 odjąć b1 razy c.

120
00:04:34,431 --> 00:04:37,247
I a0 równa się r odjąć b0 razy c.

121
00:04:38,271 --> 00:04:40,575
Wyznaczyliśmy współczynniki wielomianu W

122
00:04:40,831 --> 00:04:43,135
względem współczynników wielomianu G.

123
00:04:43,903 --> 00:04:45,929
Zrobiliśmy to nie wykorzystując

124
00:04:45,929 --> 00:04:46,975
schematu Hornera.

125
00:04:47,231 --> 00:04:48,403
Z niego skorzystamy

126
00:04:48,403 --> 00:04:50,141
w kolejnej części dowodu

127
00:04:50,141 --> 00:04:51,661
po krótkiej przerwie.

128
00:04:55,679 --> 00:04:57,441
Celem tych wszystkich operacji

129
00:04:57,441 --> 00:04:58,565
jest udowodnienie

130
00:04:58,565 --> 00:05:00,175
że schemat Hornera działa.

131
00:05:00,287 --> 00:05:02,669
Chcemy pokazać, że korzystając z niego

132
00:05:02,669 --> 00:05:04,547
otrzymamy takie same współczynniki

133
00:05:04,547 --> 00:05:07,259
wielomianu G od x, jak poprzednią metodą.

134
00:05:08,223 --> 00:05:10,387
Skorzystajmy z tabeli i wykonajmy

135
00:05:10,387 --> 00:05:12,095
dzielenie wielomianu W od x

136
00:05:12,095 --> 00:05:13,879
przez dwumian x odjąć c.

137
00:05:14,389 --> 00:05:15,723
Będziemy robić to tak samo

138
00:05:15,723 --> 00:05:17,449
jak robiliśmy to w innej lekcji

139
00:05:17,455 --> 00:05:18,854
tyle, że zamiast liczb

140
00:05:18,874 --> 00:05:20,539
wykorzystamy symbole.

141
00:05:20,767 --> 00:05:23,683
Rysujemy tabelkę i wpisujemy współczynniki

142
00:05:23,683 --> 00:05:25,243
wielomianu W od x.

143
00:05:25,275 --> 00:05:26,573
Jeśli chcemy wykonać

144
00:05:26,573 --> 00:05:28,488
dzielenie przez dwumian x odjąć c

145
00:05:28,488 --> 00:05:29,824
to w pierwszej kolumnie

146
00:05:29,824 --> 00:05:30,951
musimy wpisać c.

147
00:05:31,263 --> 00:05:32,287
Dlaczego c?

148
00:05:32,543 --> 00:05:34,317
Bo żeby wykorzystać schemat Hornera

149
00:05:34,317 --> 00:05:36,910
musimy obliczyć wartość wielomianu W od x

150
00:05:36,910 --> 00:05:39,511
dla argumentu, który jest liczbą przeciwną

151
00:05:39,511 --> 00:05:41,036
do wyrazu wolnego w dwumianie

152
00:05:41,036 --> 00:05:42,623
przez który dzielimy.

153
00:05:42,623 --> 00:05:44,188
Po przeprowadzeniu obliczeń

154
00:05:44,188 --> 00:05:46,194
w kolejnych kolumnach tego wiersza

155
00:05:46,194 --> 00:05:47,929
znalazłyby się współczynniki

156
00:05:47,929 --> 00:05:49,795
wielomianu G oraz reszta r.

157
00:05:49,951 --> 00:05:53,193
Pod a4 byłoby b3, pod a3 b2

158
00:05:53,535 --> 00:05:57,119
pod a2 byłoby b1, pod a1 byłoby b0

159
00:05:57,631 --> 00:05:59,935
a pod a0 zapisalibyśmy naszą resztę.

160
00:06:00,959 --> 00:06:02,501
Jednak nic tym nie osiągniemy

161
00:06:02,501 --> 00:06:05,159
ponieważ już wiemy, że wielomian G od x

162
00:06:05,189 --> 00:06:06,931
właśnie tak wygląda.

163
00:06:07,103 --> 00:06:08,827
Zróbmy to nieco inaczej

164
00:06:08,827 --> 00:06:11,203
ale najpierw zrobię sobie trochę miejsca.

165
00:06:11,711 --> 00:06:13,423
Obliczmy te współczynniki

166
00:06:13,423 --> 00:06:15,731
korzystając ze schematu Hornera właśnie.

167
00:06:16,063 --> 00:06:17,447
a4 przepisujemy.

168
00:06:17,599 --> 00:06:19,895
Zwróć uwagę, że dwie ostatnie komórki

169
00:06:19,895 --> 00:06:21,695
w tej kolumnie są sobie równe.

170
00:06:21,951 --> 00:06:23,943
Czyli b3 równa się a4.

171
00:06:23,999 --> 00:06:25,279
Zapiszmy to niżej.

172
00:06:26,047 --> 00:06:28,107
Teraz b3 mnożymy przez c

173
00:06:28,147 --> 00:06:29,861
i dodajemy do tego a3.

174
00:06:30,143 --> 00:06:32,703
Otrzymujemy b3 razy c dodać a3.

175
00:06:33,471 --> 00:06:35,007
To z kolei równa się b2.

176
00:06:35,775 --> 00:06:38,085
Idąc tym tropem, kolejny współczynnik

177
00:06:38,085 --> 00:06:40,383
to b2 razy c dodać a2.

178
00:06:41,071 --> 00:06:42,836
Zgodnie z naszą tabelą to wyrażenie

179
00:06:42,836 --> 00:06:44,825
równe jest współczynnikowi b1.

180
00:06:45,503 --> 00:06:48,047
Następnie mamy b1 razy c dodać a1.

181
00:06:48,505 --> 00:06:49,647
To wyrażenie jest równe

182
00:06:49,647 --> 00:06:51,255
współczynnikowi b0.

183
00:06:51,903 --> 00:06:53,422
Kolejny współczynnik wynosi

184
00:06:53,422 --> 00:06:55,617
b0 razy c dodać a0.

185
00:06:55,999 --> 00:06:58,414
I jest on równy r, czyli naszej reszcie

186
00:06:58,414 --> 00:07:00,199
co również napiszę poniżej.

187
00:07:00,351 --> 00:07:02,095
Odetchnijmy chwilkę.

188
00:07:06,149 --> 00:07:07,842
Przypomnijmy sobie zależności

189
00:07:07,842 --> 00:07:10,115
między współczynnikami, które otrzymaliśmy

190
00:07:10,115 --> 00:07:12,035
korzystając ze schematu Hornera.

191
00:07:12,087 --> 00:07:13,530
Porównamy je z wynikami

192
00:07:13,530 --> 00:07:15,370
które otrzymaliśmy bezpośrednio

193
00:07:15,370 --> 00:07:16,707
mnożąc wielomiany.

194
00:07:16,735 --> 00:07:19,040
Jeśli te wyniki są identyczne

195
00:07:19,040 --> 00:07:20,934
to znaczy, że schemat Hornera

196
00:07:20,934 --> 00:07:22,734
działa dla dowolnego wielomianu

197
00:07:22,734 --> 00:07:24,755
czwartego stopnia, który podzielimy

198
00:07:24,755 --> 00:07:27,029
przez dwumian postaci x odjąć c.

199
00:07:27,487 --> 00:07:29,535
Przekształćmy równania po prawej stronie.

200
00:07:29,977 --> 00:07:31,523
Pierwszego równania nie ruszamy

201
00:07:31,523 --> 00:07:33,032
ponieważ jest identyczne z tym

202
00:07:33,032 --> 00:07:34,087
po lewej stronie.

203
00:07:34,399 --> 00:07:36,068
W czterech kolejnych przenieśmy

204
00:07:36,068 --> 00:07:37,650
b razy c na lewą stronę

205
00:07:37,660 --> 00:07:39,723
pamiętając o zmianie znaku.

206
00:07:39,895 --> 00:07:42,177
Zauważ, że to, co otrzymaliśmy

207
00:07:42,177 --> 00:07:44,127
z bezpośredniego mnożenia wielomianów

208
00:07:44,383 --> 00:07:45,527
i ze schematu Hornera

209
00:07:45,527 --> 00:07:46,943
jest dokładnie takie samo.

210
00:07:47,455 --> 00:07:48,985
I to jest koniec dowodu.

211
00:07:49,097 --> 00:07:50,639
Oczywiście podobne rozumowanie

212
00:07:50,639 --> 00:07:52,432
można przeprowadzić dla wielomianów

213
00:07:52,432 --> 00:07:53,577
innego stopnia.

214
00:07:53,589 --> 00:07:55,375
Zachęcam Cię do przeprowadzenia

215
00:07:55,375 --> 00:07:57,056
takiego dowodu dla wielomianu

216
00:07:57,056 --> 00:07:58,903
trzeciego lub piątego stopnia.

217
00:08:04,607 --> 00:08:06,054
Dowód schematu Hornera

218
00:08:06,054 --> 00:08:07,294
polega na znalezieniu

219
00:08:07,294 --> 00:08:08,788
współczynników wielomianu

220
00:08:08,788 --> 00:08:10,971
otrzymanego w wyniku dzielenia W od x

221
00:08:10,971 --> 00:08:13,245
przez x odjąć c dwoma sposobami.

222
00:08:13,311 --> 00:08:15,359
Jednym z nich jest schemat Hornera.

223
00:08:15,615 --> 00:08:17,747
Jeśli współczynniki w obu metodach

224
00:08:17,747 --> 00:08:20,013
są identyczne, to udowodniliśmy

225
00:08:20,023 --> 00:08:22,449
skuteczność schematu Hornera.

226
00:08:26,367 --> 00:08:28,304
Który z etapów dowodu sprawił Ci

227
00:08:28,304 --> 00:08:29,523
największą trudność?

228
00:08:29,523 --> 00:08:31,635
A może wszystko było dla Ciebie proste?

229
00:08:31,635 --> 00:08:33,272
Podziel się tym w komentarzu

230
00:08:33,272 --> 00:08:34,876
i nie zapomnij rzucić okiem

231
00:08:34,876 --> 00:08:36,523
na naszą stronę pi-stacja.tv

232
00:08:36,523 --> 00:08:37,741
na której znajdziesz

233
00:08:37,741 --> 00:08:39,029
wszystkie nasze filmy.