1
00:00:00,768 --> 00:00:02,991
Z motywacją do nauki jest trochę

2
00:00:03,091 --> 00:00:05,832
jak z wyprawą w góry. Na początku rośnie

3
00:00:05,932 --> 00:00:08,247
tak jak my wspinamy się po zboczu.

4
00:00:08,347 --> 00:00:11,088
Potem zatrzymuje się na pewnym poziomie 

5
00:00:11,188 --> 00:00:14,142
tak jak gdy podczas wędrówki idziemy granią

6
00:00:14,242 --> 00:00:15,890
i podziwiamy widoki.

7
00:00:16,384 --> 00:00:18,974
W każdej górskiej wyprawie przychodzi jednak

8
00:00:19,074 --> 00:00:20,224
czas powrotu na dół.

9
00:00:20,480 --> 00:00:22,089
W matematyce są elementy 

10
00:00:22,189 --> 00:00:24,063
które zachowują się podobnie.

11
00:00:24,320 --> 00:00:25,824
Obejrzyj z nami film

12
00:00:25,924 --> 00:00:28,671
a motywacja do nauki Ci nie spadnie.

13
00:00:40,192 --> 00:00:42,960
Jeśli oglądasz nasze filmy, na pewno wiesz

14
00:00:43,060 --> 00:00:44,771
jak wygląda wykres funkcji 

15
00:00:44,871 --> 00:00:47,102
czyli jej graficzna interpretacja.

16
00:00:47,360 --> 00:00:49,994
Może on przyjmować postać punktów lub linii

17
00:00:50,094 --> 00:00:52,479
umieszczonych w układzie współrzędnych.

18
00:00:52,736 --> 00:00:54,549
Z wykresu możemy odczytać 

19
00:00:54,649 --> 00:00:56,319
własności danej funkcji.

20
00:00:56,576 --> 00:00:59,136
O jednej z nich powiemy w tym filmie.

21
00:00:59,437 --> 00:01:01,083
Popatrz na ten wykres.

22
00:01:01,440 --> 00:01:03,900
Można by go opisać na przykład tak:

23
00:01:04,000 --> 00:01:07,137
Funkcja opada, później unosi się trochę 

24
00:01:07,237 --> 00:01:10,803
później znów opada, a następnie biegnie prosto

25
00:01:10,903 --> 00:01:12,446
w prawo i tak dalej.

26
00:01:13,216 --> 00:01:15,327
Taka informacja opisuje jedną 

27
00:01:15,427 --> 00:01:16,696
z własności funkcji

28
00:01:16,796 --> 00:01:18,907
choć w mało precyzyjny sposób.

29
00:01:19,360 --> 00:01:22,432
Jaka to własność i jak ją opisać poprawnie

30
00:01:22,688 --> 00:01:24,804
tego nauczymy Cię w tym filmie.

31
00:01:24,992 --> 00:01:27,757
Matematycy, aby opisać zachowanie funkcji

32
00:01:27,857 --> 00:01:30,072
używają pojęcia "monotoniczność".

33
00:01:30,368 --> 00:01:32,395
Można powiedzieć, że określając 

34
00:01:32,495 --> 00:01:35,186
monotoniczność funkcji, dokładnie określamy

35
00:01:35,286 --> 00:01:37,263
jej przebieg w całej dziedzinie 

36
00:01:37,363 --> 00:01:39,325
lub w określonych przedziałach.

37
00:01:39,840 --> 00:01:42,207
Ważne, żeby posługiwać się przy tym

38
00:01:42,307 --> 00:01:44,191
matematycznymi określeniami.

39
00:01:44,448 --> 00:01:47,694
Zatem funkcja już nie idzie do góry, tylko...

40
00:01:47,794 --> 00:01:50,747
jest rosnąca, w jakimś zakresie lub cała.

41
00:01:50,848 --> 00:01:52,378
Jak w tym przypadku.

42
00:01:52,640 --> 00:01:54,127
Dlaczego rosnąca?

43
00:01:54,432 --> 00:01:56,868
Weź kilka wybranych argumentów x

44
00:01:56,968 --> 00:01:58,783
i odczytaj ich wartości.

45
00:01:59,296 --> 00:02:04,928
Dla x równego -1 mamy f(x), czyli y, równe 1.

46
00:02:05,440 --> 00:02:09,538
dla x równego 0 mamy y równe 2

47
00:02:11,584 --> 00:02:15,424
a dla x równego 1 mamy y równe 3.

48
00:02:16,192 --> 00:02:18,608
Widzisz, że dla każdego kolejnego 

49
00:02:18,708 --> 00:02:20,543
argumentu funkcji, czyli x

50
00:02:20,800 --> 00:02:23,616
wartość funkcji jest większa od poprzedniej.

51
00:02:23,872 --> 00:02:26,032
Na wykresie, niczym na wycieczce

52
00:02:26,132 --> 00:02:28,223
oznacza to wspinaczkę ku górze.

53
00:02:28,480 --> 00:02:29,827
Nasza funkcja rośnie 

54
00:02:29,927 --> 00:02:32,010
z każdym kolejnym argumentem.

55
00:02:36,928 --> 00:02:39,232
Weźmy teraz wykres innej funkcji.

56
00:02:39,488 --> 00:02:42,048
Spójrzmy na trzy punkty z naszego wykresu.

57
00:02:42,560 --> 00:02:47,680
Dla x równego -1 f(x), czyli y, wynosi 2

58
00:02:48,960 --> 00:02:52,800
dla x równego 1 mamy y równe 1

59
00:02:54,592 --> 00:02:58,688
a dla x równego 3, y jest równe zeru.

60
00:02:59,200 --> 00:03:01,880
Widzisz, że z każdym kolejnym argumentem

61
00:03:01,980 --> 00:03:04,319
wartości funkcji są coraz mniejsze.

62
00:03:04,576 --> 00:03:07,007
Porównując to do górskiej wycieczki 

63
00:03:07,107 --> 00:03:08,159
zmierzamy w dół.

64
00:03:08,416 --> 00:03:10,414
Przedstawiona funkcja maleje 

65
00:03:10,514 --> 00:03:12,512
z każdym kolejnym argumentem.

66
00:03:16,864 --> 00:03:19,791
Opisaliśmy już funkcję rosnącą i malejącą.

67
00:03:19,891 --> 00:03:21,471
Co nam jeszcze zostało?

68
00:03:21,984 --> 00:03:24,288
A, tak, podziwianie widoków.

69
00:03:24,544 --> 00:03:26,129
Popatrz na ten wykres. 

70
00:03:26,229 --> 00:03:28,191
Choć kolejne argumenty rosną 

71
00:03:28,291 --> 00:03:30,943
wartości funkcji pozostają niezmienne.

72
00:03:31,200 --> 00:03:35,040
Dla każdego argumentu f(x) = 2

73
00:03:35,552 --> 00:03:38,070
Możemy to zapisać w ten sposób.

74
00:03:38,880 --> 00:03:41,280
Czyli, mimo iż argumenty rosną 

75
00:03:41,380 --> 00:03:44,255
wartości funkcji pozostają bez zmian.

76
00:03:44,512 --> 00:03:47,584
Taką funkcję nazywamy funkcją stałą.

77
00:03:48,096 --> 00:03:50,912
I to już w zasadzie cała monotoniczność.

78
00:03:51,168 --> 00:03:54,175
Co nam pozostało? Schrup orzeszka, a po nim

79
00:03:54,275 --> 00:03:57,303
będziemy łączyć poznane wcześniej określenia

80
00:03:57,403 --> 00:03:59,770
tak jak etapy w górskiej wędrówce.

81
00:04:03,968 --> 00:04:05,852
W matematyce funkcje też często 

82
00:04:05,952 --> 00:04:08,319
wyglądają różnie w różnych przedziałach.

83
00:04:08,576 --> 00:04:10,624
Jak określisz tę funkcję?

84
00:04:11,136 --> 00:04:15,744
Rosnąca, stała, rosnąca, rosnąca, stała...

85
00:04:16,256 --> 00:04:17,791
Czy da się jakoś krócej?

86
00:04:18,303 --> 00:04:20,880
Może udało Ci się zauważyć, że w naszym

87
00:04:20,980 --> 00:04:23,422
opisie nie użyliśmy słowa "malejąca".

88
00:04:23,679 --> 00:04:26,495
Wykres funkcji nigdy nie idzie w dół.

89
00:04:26,751 --> 00:04:29,823
Na ogół wspina się lub nie zmienia wysokości

90
00:04:30,335 --> 00:04:32,481
czyli funkcja w pewnych przedziałach 

91
00:04:32,581 --> 00:04:34,718
jest rosnąca, a w pewnych stała.

92
00:04:35,199 --> 00:04:37,247
Jak zatem można by ją określić?

93
00:04:37,503 --> 00:04:38,722
Możemy powiedzieć

94
00:04:38,822 --> 00:04:41,086
że jest to funkcja niemalejąca.

95
00:04:41,599 --> 00:04:44,178
W takiej funkcji każda kolejna wartość

96
00:04:44,278 --> 00:04:46,718
jest większa bądź równa poprzedniej.

97
00:04:47,487 --> 00:04:49,791
A jak określisz taką funkcję?

98
00:04:50,303 --> 00:04:54,143
Malejąca, stała, malejąca, stała...

99
00:04:54,655 --> 00:04:56,973
W tym opisie, podobnie jak poprzednio

100
00:04:57,073 --> 00:04:58,893
też nie użyliśmy jednego słowa

101
00:04:58,993 --> 00:05:01,567
jednak tym razem jest to słowo "rosnąca".

102
00:05:02,079 --> 00:05:05,663
Naszą funkcję możemy nazwać... Jak myślisz?

103
00:05:07,199 --> 00:05:09,247
Tak, funkcją nierosnącą.

104
00:05:09,503 --> 00:05:12,439
Każda kolejna odczytywana wartość tej funkcji

105
00:05:12,539 --> 00:05:14,878
jest mniejsza lub równa poprzedniej.

106
00:05:15,135 --> 00:05:16,703
Nigdy nie urośnie.

107
00:05:20,767 --> 00:05:22,825
Znasz już wszystkie określenia 

108
00:05:22,925 --> 00:05:25,119
opisujące monotoniczność funkcji.

109
00:05:25,375 --> 00:05:26,655
Pora je przećwiczyć.

110
00:05:27,167 --> 00:05:28,703
Nazwij tę funkcję.

111
00:05:32,031 --> 00:05:35,822
To funkcja rosnąca, jasne. A ta?

112
00:05:38,943 --> 00:05:42,271
Tym razem to funkcja nierosnąca. Brawo!

113
00:05:43,039 --> 00:05:44,319
A kolejny przykład?

114
00:05:47,903 --> 00:05:49,183
To funkcja stała.

115
00:05:50,719 --> 00:05:53,279
To może opisz jeszcze taki wykres?

116
00:05:56,607 --> 00:05:58,399
To funkcja niemalejąca.

117
00:05:58,655 --> 00:06:00,792
Twoje odpowiedzi są takie, jak nasze?

118
00:06:00,892 --> 00:06:02,354
 Gratulujemy!

119
00:06:02,495 --> 00:06:05,268
Mam nadzieję, że bez problemu opisujesz już

120
00:06:05,368 --> 00:06:07,369
monotoniczność funkcji słowami. 

121
00:06:07,469 --> 00:06:10,192
Czas przejść na wyższy poziom i nauczyć się

122
00:06:10,292 --> 00:06:12,474
opisywać ją za pomocą przedziałów.

123
00:06:12,735 --> 00:06:14,912
Zobaczysz, że to nic trudnego.

124
00:06:19,135 --> 00:06:21,288
Wróćmy do pierwszego wykresu. 

125
00:06:21,388 --> 00:06:23,932
Czy tę funkcję możemy opisać jednym 

126
00:06:24,032 --> 00:06:26,699
z poznanych określeń monotoniczności?

127
00:06:30,143 --> 00:06:33,281
Nie. W pewnych przedziałach maleje

128
00:06:34,254 --> 00:06:39,529
w pewnych rośnie, a w pewnych jest stała.

129
00:06:41,151 --> 00:06:44,316
Jako całość nie jest więc ani rosnąca

130
00:06:44,416 --> 00:06:48,226
ani malejąca, ani nierosnąca, ani niemalejąca

131
00:06:48,326 --> 00:06:50,622
ani - tym bardziej - stała.

132
00:06:50,879 --> 00:06:52,457
O takiej funkcji mówimy

133
00:06:52,557 --> 00:06:54,206
że jest niemonotoniczna.

134
00:06:54,719 --> 00:06:58,303
A więc o poznanych możemy powiedzieć, że są

135
00:07:00,095 --> 00:07:01,887
Tak, monotoniczne.

136
00:07:02,399 --> 00:07:04,546
Funkcje monotoniczne to takie

137
00:07:04,646 --> 00:07:07,274
których monotoniczność możemy opisać

138
00:07:07,374 --> 00:07:10,533
jednym słowem, co nie znaczy, że nie możemy

139
00:07:10,633 --> 00:07:12,932
opisać przebiegu i tej funkcji.

140
00:07:13,151 --> 00:07:15,888
Nie będziemy się jednak odnosić do całości

141
00:07:15,988 --> 00:07:18,526
a do jej fragmentów, czyli przedziałów.

142
00:07:19,551 --> 00:07:21,599
Jak to jest na naszym wykresie?

143
00:07:21,855 --> 00:07:25,086
Mówiliśmy już, że w tej funkcji są fragmenty

144
00:07:25,186 --> 00:07:28,367
w których jest ona rosnąca, takie, w których

145
00:07:28,467 --> 00:07:31,325
malejąca i takie, w których jest stała.

146
00:07:31,583 --> 00:07:33,052
Jak to zapisać?

147
00:07:33,631 --> 00:07:35,563
Najłatwiej odczytywać wykres

148
00:07:35,663 --> 00:07:37,238
od lewej do prawej.

149
00:07:37,471 --> 00:07:41,692
Dla iksów od -7 do -6, czyli w przedziale

150
00:07:41,792 --> 00:07:46,430
od minus 7 do minus 6, funkcja jest malejąca.

151
00:07:46,687 --> 00:07:49,934
Zapisujemy to w ten sposób: funkcja

152
00:07:50,034 --> 00:07:54,644
czyli f od x, jest malejąca dla iksów z przedziału

153
00:07:54,744 --> 00:07:57,897
od minus siedmiu do minus sześciu.

154
00:07:58,463 --> 00:08:01,279
Przedział ten jest obustronnie domknięty.

155
00:08:01,535 --> 00:08:04,476
Dlaczego? Z lewej strony mamy zamalowane

156
00:08:04,576 --> 00:08:08,190
kółko, czyli ten punkt należy do wykresu funkcji.

157
00:08:08,447 --> 00:08:10,344
Ten punkt też, ale w miejscu 

158
00:08:10,444 --> 00:08:12,542
gdzie zmienia się monotoniczność

159
00:08:12,799 --> 00:08:16,383
Jednak tu funkcja ma mniejszą wartość niż tu

160
00:08:16,639 --> 00:08:18,943
co spełnia wymóg funkcji malejącej.

161
00:08:19,199 --> 00:08:21,348
Zaliczamy go więc do przedziału.

162
00:08:22,271 --> 00:08:24,847
Kiedy spojrzymy na drugi fragment funkcji

163
00:08:24,947 --> 00:08:28,571
widzimy, że w przedziale od -6 do -4

164
00:08:28,671 --> 00:08:31,743
jest ona rosnąca. A co z końcami?

165
00:08:32,255 --> 00:08:34,719
Tak, jak w poprzednim przypadku, zaliczamy je

166
00:08:34,819 --> 00:08:37,114
do przedziału, gdyż tylko tak podamy 

167
00:08:37,214 --> 00:08:40,113
cały fragment, w którym funkcja jest rosnąca

168
00:08:40,237 --> 00:08:43,382
czyli zapisujemy: funkcja jest rosnąca 

169
00:08:43,482 --> 00:08:45,840
dla iksa należącego do przedziału 

170
00:08:45,940 --> 00:08:50,683
obustronnie domkniętego, od -6 do -4.

171
00:08:54,015 --> 00:08:56,894
Teraz Ty spróbuj w ten sam sposób zapisać

172
00:08:56,994 --> 00:09:00,158
pozostałe przedziały, używając takiego zapisu

173
00:09:00,415 --> 00:09:02,975
dla przedziałów, w których funkcja jest stała.

174
00:09:07,327 --> 00:09:10,106
Masz tak, jak ja? Przyjrzyj się dokładnie 

175
00:09:10,206 --> 00:09:13,204
zwłaszcza ostatniemu przedziałowi. Czy jest on

176
00:09:13,304 --> 00:09:16,285
otwarty z prawej strony, tak jak na wykresie?

177
00:09:18,335 --> 00:09:20,642
Mamy to! Jednak podawanie każdego

178
00:09:20,742 --> 00:09:23,499
przedziału oddzielnie jest mało czytelne

179
00:09:23,599 --> 00:09:25,856
a często musimy podać tylko jeden

180
00:09:25,956 --> 00:09:27,549
rodzaj monotoniczności.

181
00:09:27,807 --> 00:09:29,754
Przykładowo, w jakich przedziałach

182
00:09:29,854 --> 00:09:31,390
nasza funkcja jest rosnąca.

183
00:09:31,647 --> 00:09:34,669
Dlatego przedziały, w których funkcja rośnie

184
00:09:34,769 --> 00:09:37,391
podajemy w jednej linii, oddzielając je

185
00:09:37,491 --> 00:09:39,326
przecinkami lub średnikami.

186
00:09:39,583 --> 00:09:42,339
Podobnie porządkujemy przedziały, w których

187
00:09:42,439 --> 00:09:45,652
funkcja maleje i te, w których funkcja jest stała.

188
00:09:50,591 --> 00:09:53,873
Czas na Ciebie. Określ, w jakich przedziałach

189
00:09:53,973 --> 00:09:56,909
funkcja pokazana na planszy jest malejąca

190
00:09:57,009 --> 00:09:59,550
w jakich rosnąca, a w jakich stała.

191
00:10:03,647 --> 00:10:06,463
Masz tak, jak my? Gratulacje!

192
00:10:10,815 --> 00:10:13,780
Z poprzednich naszych filmów wiesz, że funkcję

193
00:10:13,880 --> 00:10:16,190
można przedstawiać na różne sposoby.

194
00:10:16,447 --> 00:10:19,085
Monotoniczność najłatwiej jest określić 

195
00:10:19,185 --> 00:10:21,823
z wykresu, jednak co, jeśli go nie mamy?

196
00:10:22,079 --> 00:10:24,383
Czy musimy za każdym razem go rysować?

197
00:10:24,639 --> 00:10:27,344
Do określania monotoniczności funkcji

198
00:10:27,444 --> 00:10:28,734
wystarczy tabelka.

199
00:10:28,991 --> 00:10:31,807
Znasz ją już, ale dla szybkiego przypomnienia:

200
00:10:32,063 --> 00:10:35,156
górny wiersz tabelki odpowiada argumentom

201
00:10:35,256 --> 00:10:38,093
czyli iksom, za to dolny wiersz tabelki 

202
00:10:38,193 --> 00:10:42,558
to wartości funkcji, czyli f(x) = y.

203
00:10:42,815 --> 00:10:45,133
Tabelkę porządkujemy od najmniejszych

204
00:10:45,233 --> 00:10:47,167
do największych wartości iksów.

205
00:10:47,423 --> 00:10:49,781
Określiliśmy już słownie każdy rodzaj

206
00:10:49,881 --> 00:10:51,993
monotoniczności, dlatego zobaczmy 

207
00:10:52,093 --> 00:10:54,010
jak przedstawiać się to będzie 

208
00:10:54,110 --> 00:10:55,441
w tym przypadku.

209
00:10:56,127 --> 00:10:58,546
Funkcja rosnąca: wartość funkcji 

210
00:10:58,646 --> 00:11:00,990
dla kolejnych argumentów rośnie.

211
00:11:01,759 --> 00:11:04,346
Funkcja malejąca: wartość funkcji 

212
00:11:04,446 --> 00:11:06,878
dla kolejnych argumentów maleje.

213
00:11:07,647 --> 00:11:08,927
Funkcja stała:

214
00:11:09,183 --> 00:11:11,999
wartość funkcji jest zawsze taka sama.

215
00:11:12,255 --> 00:11:14,445
Czyli za każdym razem nasza funkcja

216
00:11:14,545 --> 00:11:16,237
zachowuje się dokładnie tak 

217
00:11:16,337 --> 00:11:18,143
jak jej nazwa na to wskazuje.

218
00:11:18,399 --> 00:11:20,515
Oczywiście podobnie mamy z: 

219
00:11:20,615 --> 00:11:23,377
funkcja nierosnąca - wartość funkcji 

220
00:11:23,477 --> 00:11:26,626
dla każdego argumentu maleje lub jest taka

221
00:11:26,726 --> 00:11:29,566
jak poprzednia; funkcja niemalejąca - 

222
00:11:29,666 --> 00:11:33,124
- wartość funkcji dla każdego argumentu rośnie

223
00:11:33,224 --> 00:11:35,804
lub jest taka sama jak poprzednia.

224
00:11:36,319 --> 00:11:38,598
Jak widzisz, jest to jeszcze prostsze 

225
00:11:38,698 --> 00:11:40,670
niż określenie funkcji z wykresu.

226
00:11:40,927 --> 00:11:43,575
Pamiętaj jednak o uporządkowaniu

227
00:11:43,675 --> 00:11:45,177
argumentów - iksów 

228
00:11:45,277 --> 00:11:47,672
bo często w tym tkwi pułapka.

229
00:11:51,935 --> 00:11:54,248
Monotoniczność funkcji to określenie

230
00:11:54,348 --> 00:11:57,054
jej zachowania w zależności od argumentów.

231
00:11:57,311 --> 00:12:00,965
Funkcja może być rosnąca, malejąca, stała

232
00:12:01,065 --> 00:12:03,454
niemalejąca lub nierosnąca.

233
00:12:03,967 --> 00:12:06,855
Dodając kolejne przedziały monotoniczności

234
00:12:06,955 --> 00:12:09,793
używaj przecinków lub średników i pamiętaj

235
00:12:09,893 --> 00:12:12,311
że opisując zmiany kierunku funkcji 

236
00:12:12,411 --> 00:12:15,229
posługujemy się przedziałami domkniętymi.

237
00:12:17,535 --> 00:12:20,351
Funkcja, jeśli rośnie, to nie może być stała.

238
00:12:20,607 --> 00:12:23,645
Za to liczba filmów na pistacji stale rośnie

239
00:12:23,745 --> 00:12:24,958
i to nie paradoks.

240
00:12:25,215 --> 00:12:30,388
Sprawdź nas wchodząc na pistacja.tv