1
00:00:00,768 --> 00:00:03,503
Może zdarza Ci się, że musisz skorzystać

2
00:00:03,603 --> 00:00:06,706
z drabiny. Nawet jeśli tylko obserwujesz kogoś

3
00:00:06,806 --> 00:00:08,656
kto to robi, możesz poczynić

4
00:00:08,756 --> 00:00:10,238
 użyteczne obserwacje.

5
00:00:10,496 --> 00:00:14,049
Widzisz, o ile szczebli do góry trzeba się wspiąć

6
00:00:14,149 --> 00:00:17,407
albo o ile zejść w dół, by osiągnąć swój cel.

7
00:00:17,664 --> 00:00:19,911
W matematyce funkcje również czasem

8
00:00:20,011 --> 00:00:21,880
poruszają się jak po drabinie.

9
00:00:21,980 --> 00:00:23,455
W tym filmie pokażemy Ci

10
00:00:23,555 --> 00:00:25,342
jak to robią w górę i w dół.

11
00:00:25,600 --> 00:00:27,868
I jaką funkcję pełni w tym ruchu

12
00:00:27,968 --> 00:00:29,439
 układ współrzędnych.

13
00:00:41,216 --> 00:00:43,669
Może pamiętasz z innych lekcji o funkcji

14
00:00:43,769 --> 00:00:45,233
 że jej wykresy rysujemy 

15
00:00:45,333 --> 00:00:46,847
w układzie współrzędnych.

16
00:00:47,104 --> 00:00:50,176
W pionie mamy oś Y w poziomie oś X.

17
00:00:50,432 --> 00:00:51,983
Dziś będziemy omawiać 

18
00:00:52,083 --> 00:00:54,676
jedno z przekształceń geometrycznych.

19
00:00:54,776 --> 00:00:57,855
Przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż osi OY.

20
00:00:58,112 --> 00:01:00,160
Oś OY przebiega?...

21
00:01:00,416 --> 00:01:02,208
Tak, z dołu do góry.

22
00:01:02,464 --> 00:01:04,371
Funkcje możemy więc przesuwać 

23
00:01:04,471 --> 00:01:05,791
tylko w tym kierunku.

24
00:01:06,048 --> 00:01:07,620
Zaczniemy od przesuwania

25
00:01:07,720 --> 00:01:09,631
tworzących ją punktów w górę.

26
00:01:09,888 --> 00:01:11,372
Powiedzmy o 3.

27
00:01:12,192 --> 00:01:19,794
Ten punkt znajdzie się wtedy tu, ten tu, ten tu

28
00:01:20,275 --> 00:01:29,087
ten tu, ten tu, a ten koniec funkcji tu.

29
00:01:29,856 --> 00:01:33,184
Łączymy punkty i otrzymujemy nową funkcję.

30
00:01:35,232 --> 00:01:37,353
Nazwijmy ją g od x.

31
00:01:38,048 --> 00:01:40,096
Porównajmy te oba wykresy.

32
00:01:40,352 --> 00:01:43,936
Oba zaczynają się dla argumentu równego -7.

33
00:01:44,192 --> 00:01:45,601
Na białym wykresie 

34
00:01:45,701 --> 00:01:48,031
wartość dla tego argumentu to 2

35
00:01:48,544 --> 00:01:51,360
czyli f od -7 to 2.

36
00:01:51,616 --> 00:01:56,736
Po przesunięciu punktu, dla x -7 wartość to 5

37
00:01:57,248 --> 00:02:00,320
czyli g od -7 to 5.

38
00:02:00,576 --> 00:02:02,533
Podobnie jest z wartościami 

39
00:02:02,633 --> 00:02:04,159
dla innych argumentów.

40
00:02:04,416 --> 00:02:07,020
Dla każdego wartość po przesunięciu

41
00:02:07,120 --> 00:02:09,420
jest o 3 większa od wyjściowej.

42
00:02:11,072 --> 00:02:14,337
Możemy więc zapisać, że wartość funkcji g od x

43
00:02:14,437 --> 00:02:17,557
obliczamy dodając do wartości funkcji f od x

44
00:02:17,657 --> 00:02:18,744
liczbę trzy.

45
00:02:19,520 --> 00:02:21,568
Odczytajmy teraz dziedzinę.

46
00:02:21,824 --> 00:02:25,408
Jak widać, dla obu funkcji zaczyna się ona w -7

47
00:02:25,664 --> 00:02:27,456
a kończy na ośmiu.

48
00:02:28,992 --> 00:02:30,528
A zbiór wartości?

49
00:02:30,784 --> 00:02:34,880
Dla funkcji f od x to przedział od -2 do 5.

50
00:02:35,392 --> 00:02:39,106
Dla g od x - od 1 do 8.

51
00:02:39,744 --> 00:02:43,058
Widzisz, że i dolny, i górny koniec przedziału

52
00:02:43,158 --> 00:02:44,863
jest przesunięty o trzy.

53
00:02:51,264 --> 00:02:53,731
Gdy do pierwotnej wartości funkcji

54
00:02:53,831 --> 00:02:55,582
dodajemy liczbę dodatnią 

55
00:02:55,682 --> 00:02:58,618
efektem jest przesunięcie wykresu funkcji

56
00:02:58,718 --> 00:03:00,223
w górę wzdłuż osi OY.

57
00:03:03,040 --> 00:03:05,088
Dziedzina funkcji nie uległa zmianie.

58
00:03:06,368 --> 00:03:08,977
Zbiór wartości zmienił się poprzez dodanie

59
00:03:09,077 --> 00:03:10,939
do początku i końca przedziału 

60
00:03:11,039 --> 00:03:12,255
liczby przesunięcia.

61
00:03:13,280 --> 00:03:15,895
Schrup orzeszka, a po nim zajmiemy się

62
00:03:15,995 --> 00:03:18,399
przesuwaniem wykresu funkcji w dół.

63
00:03:22,752 --> 00:03:25,796
Już wiesz, z czym wiąże się przesunięcie 

64
00:03:25,896 --> 00:03:28,639
wykresu funkcji w górę wzdłuż osi OY.

65
00:03:28,896 --> 00:03:31,106
Jak myślisz, czy przesunięcie w dół 

66
00:03:31,206 --> 00:03:32,314
bardzo się różni?

67
00:03:32,480 --> 00:03:34,528
Sama idea jest bardzo podobna.

68
00:03:34,784 --> 00:03:37,654
A różnice? Zobaczmy je na przykładzie

69
00:03:37,754 --> 00:03:40,337
naszego podstawowego wykresu f(x).

70
00:03:40,437 --> 00:03:43,257
Tym razem chcemy przesunąć ten wykres

71
00:03:43,357 --> 00:03:44,416
o dwa w dół.

72
00:03:45,280 --> 00:03:54,714
Ten punkt znajdzie się tu, ten tu, ten tu, ten tu

73
00:03:54,887 --> 00:03:59,158
 ten tu, a ten otwarty koniec funkcji tu.

74
00:04:00,128 --> 00:04:03,150
Łączymy punkty i otrzymujemy wykres 

75
00:04:03,250 --> 00:04:06,357
kolejnej funkcji. Nazwijmy ją h od x.

76
00:04:08,320 --> 00:04:10,665
Odczytajmy i tym razem współrzędne

77
00:04:10,765 --> 00:04:12,637
charakterystycznych punktów.

78
00:04:12,737 --> 00:04:15,998
Dla funkcji f od x już to wcześniej zrobiliśmy.

79
00:04:16,256 --> 00:04:19,296
Funkcja h od x dla argumentu -7 

80
00:04:19,396 --> 00:04:21,374
ma wartość równą zeru

81
00:04:21,887 --> 00:04:25,659
czyli h od -7 równa się zeru.

82
00:04:25,983 --> 00:04:30,079
Dla argumentu -5 wartość to 3

83
00:04:30,335 --> 00:04:34,431
czyli h od -5 jest równe trzem.

84
00:04:34,687 --> 00:04:36,685
Odczytując wartości dla innych

85
00:04:36,785 --> 00:04:38,596
charakterystycznych punktów 

86
00:04:38,696 --> 00:04:40,987
dostrzegasz może, że dla każdego

87
00:04:41,087 --> 00:04:42,792
wartość po przesunięciu 

88
00:04:42,892 --> 00:04:45,182
jest o 2 mniejsza od wyjściowej.

89
00:04:45,439 --> 00:04:49,023
Możemy więc zapisać, że wartość funkcji h od x

90
00:04:49,279 --> 00:04:50,880
obliczamy odejmując

91
00:04:50,980 --> 00:04:53,899
od wartości funkcji f(x) liczbę 2.

92
00:04:54,655 --> 00:04:57,417
Dziedzina i w tym przypadku jest taka sama

93
00:04:57,517 --> 00:04:59,006
jak wyjściowej funkcji.

94
00:04:59,263 --> 00:05:03,103
Zaczyna się w -7, kończy zaś na 8.

95
00:05:03,359 --> 00:05:04,895
A zbiór wartości?

96
00:05:05,151 --> 00:05:08,541
Przypomnijmy: dla funkcji f od x był to

97
00:05:08,641 --> 00:05:12,383
przedział obustronnie domknięty od -2 do 5.

98
00:05:12,831 --> 00:05:17,695
Dla funkcji h od x to przedział od -4 do 3.

99
00:05:17,951 --> 00:05:20,978
Jego zakres przesunął się o dwie jednostki tak

100
00:05:21,078 --> 00:05:23,838
jak każdy z punktów należących do funkcji.

101
00:05:30,495 --> 00:05:33,442
Przesunięcie funkcji w dół wzdłuż osi OY

102
00:05:33,542 --> 00:05:36,638
oznacza, że od pierwotnej wartości funkcji

103
00:05:36,895 --> 00:05:38,160
odejmujemy liczbę

104
00:05:38,260 --> 00:05:40,222
o którą przesuwamy wykres.

105
00:05:40,479 --> 00:05:42,924
Dziedzina funkcji nie ulega zmianie.

106
00:05:43,024 --> 00:05:44,864
Zbiór wartości zmienia się. 

107
00:05:44,964 --> 00:05:48,052
Zarówno od początku, jak i od końca przedziału

108
00:05:48,152 --> 00:05:49,230
odejmujemy liczbę

109
00:05:49,330 --> 00:05:51,081
o którą przesuwamy wykres.

110
00:05:51,487 --> 00:05:54,328
To już cała teoria dotycząca przesunięć.

111
00:05:54,428 --> 00:05:57,630
Jeśli coś nadal jest dla Ciebie niezrozumiałe

112
00:05:57,887 --> 00:06:00,940
warto cofnąć się i puścić sobie ten fragment

113
00:06:01,040 --> 00:06:02,914
jeszcze raz, bo po orzeszku 

114
00:06:03,014 --> 00:06:04,797
będzie zadanie dla Ciebie.

115
00:06:08,895 --> 00:06:12,223
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f od x.

116
00:06:12,479 --> 00:06:15,348
Która z funkcji g od x jest przedstawiona

117
00:06:15,448 --> 00:06:17,599
wzorem: f od x odjąć 2?

118
00:06:21,439 --> 00:06:23,855
Masz tak, jak my? Super!

119
00:06:28,863 --> 00:06:31,592
Przy przesuwaniu wykresu wzdłuż osi OY

120
00:06:31,692 --> 00:06:33,713
dziedzina nie ulega zmianie. 

121
00:06:33,813 --> 00:06:36,492
Zmienia się natomiast zbiór wartości. 

122
00:06:36,592 --> 00:06:38,393
Pokazujemy to na planszy. 

123
00:06:38,493 --> 00:06:41,391
Dla utrwalenia informacji możesz ją sobie

124
00:06:41,491 --> 00:06:43,708
wydrukować i wkleić do zeszytu.

125
00:06:45,759 --> 00:06:47,947
Zbiór wartości funkcji zmienia się 

126
00:06:48,047 --> 00:06:50,688
przy jej przesunięciu w układzie współrzędnych

127
00:06:50,788 --> 00:06:54,146
ale na pi-stacji zbiór filmów tylko się powiększa.

128
00:06:54,257 --> 00:06:56,010
Warto przesunąć myszkę 

129
00:06:56,110 --> 00:06:58,788
i kliknąć nam łapkę w górę.