1
00:00:00,512 --> 00:00:01,869
Pękiem prostych

2
00:00:01,869 --> 00:00:04,267
nazywamy zbiór wszystkich prostych

3
00:00:04,267 --> 00:00:06,584
które przechodzą przez dany punkt.

4
00:00:06,912 --> 00:00:09,728
Punkt taki zwany jest środkiem pęku.

5
00:00:10,240 --> 00:00:12,084
Jak zapewne się domyślasz

6
00:00:12,084 --> 00:00:14,011
prostych wchodzących w skład

7
00:00:14,011 --> 00:00:17,152
takiego zbioru jest nieskończenie wiele.

8
00:00:29,184 --> 00:00:30,502
Co tu widzisz?

9
00:00:30,720 --> 00:00:32,812
Wszystkie narysowane proste

10
00:00:32,812 --> 00:00:34,814
przecinają się w jednym punkcie

11
00:00:34,814 --> 00:00:37,008
o współrzędnych 0, 2.

12
00:00:37,120 --> 00:00:38,451
Jak pamiętasz

13
00:00:38,451 --> 00:00:40,851
wzór ogólny funkcji liniowej

14
00:00:40,851 --> 00:00:44,054
to y równa się ax plus b.

15
00:00:44,288 --> 00:00:47,036
Wszystkie punkty leżące na osi rzędnych

16
00:00:47,036 --> 00:00:48,896
mają pierwszą współrzędną

17
00:00:49,152 --> 00:00:51,968
czyli współrzędną x równą zeru.

18
00:00:52,736 --> 00:00:54,706
Podstawiając do wzoru funkcji

19
00:00:54,706 --> 00:00:57,344
w miejscu argumentu x, 0

20
00:00:57,600 --> 00:01:01,440
otrzymamy y równa się a razy 0 plus b

21
00:01:01,626 --> 00:01:03,822
czyli y równa się b.

22
00:01:04,256 --> 00:01:06,304
Możemy sformułować wniosek.

23
00:01:06,816 --> 00:01:08,437
Każda funkcja liniowa

24
00:01:08,437 --> 00:01:10,177
przechodzi przez punkt

25
00:01:10,177 --> 00:01:11,840
o współrzędnych 0, b.

26
00:01:11,936 --> 00:01:14,314
Własność tę możemy wykorzystywać

27
00:01:14,314 --> 00:01:16,544
przy rysowaniu wykresu funkcji

28
00:01:16,800 --> 00:01:19,218
ale także przy ustalaniu jej wzoru

29
00:01:19,218 --> 00:01:21,120
na podstawie wykresu.

30
00:01:21,152 --> 00:01:23,042
W naszym przypadku wiemy

31
00:01:23,042 --> 00:01:24,446
że wyraz wolny

32
00:01:24,446 --> 00:01:27,296
każdej z przedstawionych funkcji to 2

33
00:01:27,552 --> 00:01:29,600
bo przecinamy pionową oś

34
00:01:29,856 --> 00:01:31,892
w punkcie 0, 2.

35
00:01:35,052 --> 00:01:36,912
Spójrzmy teraz na wykresy

36
00:01:36,912 --> 00:01:38,894
takich funkcji liniowych.

37
00:01:38,894 --> 00:01:40,792
Co możemy zaobserwować?

38
00:01:40,864 --> 00:01:42,477
Widzimy, że proste te

39
00:01:42,477 --> 00:01:44,704
są względem siebie równoległe.

40
00:01:44,960 --> 00:01:46,801
A skoro są równoległe

41
00:01:46,801 --> 00:01:48,800
to biegną w tym samym kierunku.

42
00:01:49,312 --> 00:01:51,591
To, w jakim kierunku biegnie funkcja

43
00:01:51,591 --> 00:01:53,408
zależy od współczynnika a.

44
00:01:53,920 --> 00:01:56,171
Nic dziwnego, że współczynnik a

45
00:01:56,171 --> 00:01:58,784
nazywamy współczynnikiem kierunkowym.

46
00:01:59,040 --> 00:02:01,220
Wartość tego współczynnika

47
00:02:01,220 --> 00:02:03,904
możemy odczytać także z wykresu.

48
00:02:04,160 --> 00:02:05,544
Pokażę Ci jak.

49
00:02:08,256 --> 00:02:13,120
Mamy funkcję f od x równa się 2x minus 1.

50
00:02:13,632 --> 00:02:16,105
Z dowolnego punktu na wykresie

51
00:02:16,105 --> 00:02:18,496
narysujmy odcinek jednostkowy

52
00:02:18,752 --> 00:02:20,980
równoległy do osi OX.

53
00:02:21,824 --> 00:02:23,991
Następnie na jego końcu

54
00:02:23,991 --> 00:02:27,200
narysujmy odcinek do niego prostopadły.

55
00:02:27,968 --> 00:02:30,204
Powstał nam tu trójkąt.

56
00:02:30,272 --> 00:02:33,512
Wzrost argumentu o jedną jednostkę

57
00:02:33,512 --> 00:02:35,485
odpowiada zmianie wartości

58
00:02:35,485 --> 00:02:37,486
o dwie jednostki.

59
00:02:37,486 --> 00:02:40,023
Ta zmiana wartości funkcji, to właśnie

60
00:02:40,023 --> 00:02:42,560
wartość współczynnika kierunkowego.

61
00:02:43,072 --> 00:02:44,119
Możemy powiedzieć

62
00:02:44,119 --> 00:02:45,924
że dla każdej funkcji liniowej

63
00:02:45,924 --> 00:02:48,448
wzrost dowolnego argumentu o 1

64
00:02:48,704 --> 00:02:51,008
powoduje zmianę wartości funkcji

65
00:02:51,008 --> 00:02:53,312
równą współczynnikowi kierunkowemu.

66
00:02:54,080 --> 00:02:55,872
Możemy to udowodnić.

67
00:02:57,664 --> 00:03:01,248
Jeśli f od x równa się ax plus b

68
00:03:01,504 --> 00:03:04,154
to dla argumentu większego o 1

69
00:03:04,154 --> 00:03:06,624
mamy f od x plus 1

70
00:03:06,880 --> 00:03:10,464
równa się ax plus 1 plus b.

71
00:03:11,232 --> 00:03:13,499
Obliczmy teraz różnicę wartości

72
00:03:13,499 --> 00:03:16,818
f od x plus 1 i f od x.

73
00:03:17,376 --> 00:03:18,880
Co otrzymujemy?

74
00:03:18,912 --> 00:03:21,984
f od x plus 1 minus f od x

75
00:03:22,496 --> 00:03:23,520
równa się

76
00:03:24,032 --> 00:03:28,896
a razy x plus 1 plus b minus ax plus b.

77
00:03:29,710 --> 00:03:31,074
Piszemy dalej.

78
00:03:31,456 --> 00:03:37,850
ax plus a plus b minus ax minus b.

79
00:03:38,880 --> 00:03:41,184
Skracamy teraz to, co możemy

80
00:03:41,440 --> 00:03:44,768
i widzimy, że w wyniku otrzymujemy a.

81
00:03:45,536 --> 00:03:48,096
Spójrz teraz na kolejny przykład.

82
00:03:51,168 --> 00:03:53,984
Tutaj mamy wykres funkcji g od x.

83
00:03:54,240 --> 00:03:55,456
Zatrzymaj film

84
00:03:55,456 --> 00:03:58,080
i spróbuj samodzielnie na jego podstawie

85
00:03:58,096 --> 00:03:59,770
podać wzór.

86
00:04:02,468 --> 00:04:03,726
Spójrzmy.

87
00:04:03,726 --> 00:04:06,497
Wzrost argumentu o jedną jednostkę

88
00:04:06,497 --> 00:04:08,600
odpowiada zmianie wartości

89
00:04:08,600 --> 00:04:10,356
o minus 3 jednostki.

90
00:04:10,730 --> 00:04:11,559
Oznacza to

91
00:04:11,559 --> 00:04:14,208
że wartość współczynnika kierunkowego a

92
00:04:14,464 --> 00:04:16,256
wynosi tu -3.

93
00:04:16,768 --> 00:04:18,303
A współczynnik b?

94
00:04:18,815 --> 00:04:21,281
Widzimy, że nasz wykres nie przechodzi

95
00:04:21,281 --> 00:04:23,423
przez środek układu współrzędnych

96
00:04:23,679 --> 00:04:25,824
tylko jest przesunięty w górę

97
00:04:25,824 --> 00:04:27,357
o dwie jednostki.

98
00:04:27,519 --> 00:04:30,847
Oznacza to, że współczynnik b wynosi 2.

99
00:04:31,615 --> 00:04:33,990
Teraz już bez problemu możemy napisać

100
00:04:33,990 --> 00:04:39,039
że wzór funkcji g od x to -3x plus 2.

101
00:04:43,391 --> 00:04:45,393
Wartość współczynnika a

102
00:04:45,393 --> 00:04:47,057
pozwala nam określić

103
00:04:47,057 --> 00:04:49,685
na ile funkcja liniowa jest stroma.

104
00:04:49,791 --> 00:04:51,173
Im większa wartość

105
00:04:51,173 --> 00:04:53,125
bezwzględna współczynnika

106
00:04:53,125 --> 00:04:55,935
tym wykres szybciej pnie się do góry

107
00:04:56,191 --> 00:04:57,689
lub spada w dół.

108
00:04:57,983 --> 00:04:59,297
Możemy zauważyć tutaj

109
00:04:59,297 --> 00:05:01,319
jeszcze jedną zależność.

110
00:05:01,567 --> 00:05:04,383
Funkcja f od x jest funkcją rosnącą

111
00:05:04,639 --> 00:05:07,455
funkcja g od x jest funkcją malejącą

112
00:05:07,711 --> 00:05:10,783
a h od x jest funkcją stałą, prawda?

113
00:05:11,551 --> 00:05:13,023
W pierwszym przypadku a

114
00:05:13,023 --> 00:05:14,495
jest większe od zera.

115
00:05:14,495 --> 00:05:17,439
W drugim przypadku a jest mniejsze od zera

116
00:05:17,695 --> 00:05:20,511
a w trzecim a jest równe zeru.

117
00:05:21,023 --> 00:05:23,839
Możemy zatem sformułować kolejny wniosek.

118
00:05:25,119 --> 00:05:27,824
Jeśli wartość współczynnika kierunkowego

119
00:05:27,824 --> 00:05:28,993
jest dodatnia

120
00:05:28,993 --> 00:05:31,174
to wraz ze wzrostem argumentów

121
00:05:31,174 --> 00:05:32,799
rosną wartości funkcji.

122
00:05:33,055 --> 00:05:35,615
Czyli mamy do czynienia z funkcją rosnącą.

123
00:05:36,127 --> 00:05:37,663
Na tej samej zasadzie

124
00:05:37,919 --> 00:05:40,475
jeśli współczynnik a jest równy zeru

125
00:05:40,475 --> 00:05:43,053
to mamy do czynienia z funkcją stałą.

126
00:05:43,053 --> 00:05:44,680
Natomiast jeśli wartość

127
00:05:44,680 --> 00:05:47,391
współczynnika kierunkowego a jest ujemna

128
00:05:47,647 --> 00:05:49,700
to na pewno mamy do czynienia

129
00:05:49,700 --> 00:05:51,665
z funkcją malejącą.

130
00:05:54,559 --> 00:05:56,668
Na podstawie wykresu funkcji

131
00:05:56,668 --> 00:05:59,842
f od x równa się ax plus b

132
00:05:59,842 --> 00:06:02,495
określ monotoniczność funkcji

133
00:06:03,007 --> 00:06:06,079
współrzędne punktu przecięcia z osią OY

134
00:06:06,335 --> 00:06:09,151
i wartości współczynników a i b.

135
00:06:10,175 --> 00:06:11,839
Zacznijmy od określenia

136
00:06:11,839 --> 00:06:13,503
monotoniczności funkcji.

137
00:06:13,759 --> 00:06:15,938
Widzimy, że w całej dziedzinie

138
00:06:15,938 --> 00:06:17,855
dla coraz większych x-ów

139
00:06:18,111 --> 00:06:19,903
y i są coraz mniejsze.

140
00:06:20,415 --> 00:06:21,826
Możemy stwierdzić

141
00:06:21,826 --> 00:06:24,767
że f od x jest funkcją malejącą.

142
00:06:25,535 --> 00:06:27,670
Skoro funkcja jest malejąca

143
00:06:27,670 --> 00:06:28,804
wiemy na pewno

144
00:06:28,804 --> 00:06:32,191
że wartość współczynnika a jest ujemna.

145
00:06:32,959 --> 00:06:35,527
Teraz spróbujmy odczytać współrzędne

146
00:06:35,527 --> 00:06:38,847
punktu przecięcia wykresu z osią OY.

147
00:06:39,615 --> 00:06:41,492
Tym punktem jest punkt

148
00:06:41,492 --> 00:06:43,895
o współrzędnych 0, 3.

149
00:06:43,967 --> 00:06:45,994
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

150
00:06:45,994 --> 00:06:48,831
samodzielnie określić na podstawie wykresu

151
00:06:49,087 --> 00:06:52,213
wartości współczynników a i b.

152
00:06:55,231 --> 00:06:57,482
Jak pamiętasz, druga współrzędna

153
00:06:57,482 --> 00:07:00,028
punktu przecięcia z pionową osią

154
00:07:00,028 --> 00:07:02,402
informuje nas jaka jest wartość

155
00:07:02,402 --> 00:07:03,627
współczynnika b.

156
00:07:03,679 --> 00:07:06,751
Wiemy już zatem, że b równa się 3.

157
00:07:07,263 --> 00:07:09,013
A ile wynosi a?

158
00:07:09,311 --> 00:07:10,819
Wykorzystajmy metodę

159
00:07:10,819 --> 00:07:13,169
o której przed chwilą się uczyliśmy.

160
00:07:13,169 --> 00:07:16,171
Z dowolnego punktu rysujemy odcinek

161
00:07:16,171 --> 00:07:18,585
o długości jednej jednostki

162
00:07:18,585 --> 00:07:21,185
równoległy do osi OX.

163
00:07:21,343 --> 00:07:22,863
Teraz na jego końcu

164
00:07:22,863 --> 00:07:25,919
narysujmy odcinek do niego prostopadły.

165
00:07:26,207 --> 00:07:28,321
Widzimy, że wzrost argumentu

166
00:07:28,321 --> 00:07:29,874
o jedną jednostkę

167
00:07:29,874 --> 00:07:31,751
odpowiada zmianie wartości

168
00:07:31,751 --> 00:07:34,101
o minus dwie jednostki.

169
00:07:34,143 --> 00:07:37,215
Oznacza to, że a równa się -2.

170
00:07:38,029 --> 00:07:38,979
Świetnie.

171
00:07:38,979 --> 00:07:40,602
Zapiszmy jeszcze na koniec

172
00:07:40,602 --> 00:07:42,353
pełny wzór funkcji.

173
00:07:42,353 --> 00:07:44,639
Wiemy, że a równa się -2

174
00:07:44,895 --> 00:07:46,621
a b równa się 3.

175
00:07:46,687 --> 00:07:49,247
Zatem nasz wzór będzie miał postać

176
00:07:49,503 --> 00:07:53,599
f od x równa się -2x plus 3.

177
00:07:57,695 --> 00:08:00,767
Jaką liczbę należy wstawić w miejsce m

178
00:08:01,023 --> 00:08:03,327
aby wykres funkcji g od x

179
00:08:03,583 --> 00:08:07,167
równy -3x plus m minus 2

180
00:08:07,423 --> 00:08:10,751
przecinał oś Y w punkcie 0,10?

181
00:08:11,519 --> 00:08:13,114
Odpowiedz na to pytanie

182
00:08:13,114 --> 00:08:14,847
ale najpierw zastanów się

183
00:08:15,103 --> 00:08:17,407
ile wynosi wartość parametru a

184
00:08:17,663 --> 00:08:20,431
a ile wartość parametru b.

185
00:08:23,295 --> 00:08:26,879
Widzimy, że przy naszym x stoi -3.

186
00:08:27,135 --> 00:08:29,951
To wartość współczynnika kierunkowego a.

187
00:08:30,207 --> 00:08:33,279
A ile wynosi wartość wyrazu wolnego b?

188
00:08:34,047 --> 00:08:37,975
Nasze b równe jest wyrażeniu m minus 2.

189
00:08:38,911 --> 00:08:40,638
Z treści zadania wiemy

190
00:08:40,638 --> 00:08:41,658
w jakim punkcie

191
00:08:41,658 --> 00:08:44,799
wykres funkcji przecina pionową oś OY.

192
00:08:45,311 --> 00:08:47,871
Tym punktem jest punkt 0, 10.

193
00:08:48,383 --> 00:08:50,789
Z tej informacji możemy wywnioskować

194
00:08:50,789 --> 00:08:52,991
że wartość współczynnika b

195
00:08:52,997 --> 00:08:54,531
wynosi 10.

196
00:08:55,295 --> 00:08:57,171
Zatrzymaj teraz film.

197
00:08:57,171 --> 00:08:59,903
Ułóż odpowiednie równanie i oblicz

198
00:08:59,903 --> 00:09:02,719
jaka liczba kryje się pod literą m.

199
00:09:06,303 --> 00:09:08,095
Otrzymamy takie równanie:

200
00:09:08,351 --> 00:09:11,167
m minus 2 równa się 10.

201
00:09:11,423 --> 00:09:14,015
Po przeniesieniu dwójki na drugą stronę

202
00:09:14,015 --> 00:09:15,732
i wykonaniu obliczeń

203
00:09:15,732 --> 00:09:18,591
dostaniemy m równa się 12.

204
00:09:22,431 --> 00:09:24,634
Określ współczynnik kierunkowy

205
00:09:24,634 --> 00:09:28,575
funkcji f od x równa się ax minus 2

206
00:09:28,831 --> 00:09:30,929
wiedząc, że do wykresu tej funkcji

207
00:09:30,929 --> 00:09:33,951
należy punkt -2, -3.

208
00:09:34,463 --> 00:09:37,755
Spróbujmy narysować wykres funkcji f od x.

209
00:09:38,303 --> 00:09:40,130
Wiemy, że leży na nim

210
00:09:40,130 --> 00:09:42,655
punkt -2, -3.

211
00:09:42,911 --> 00:09:44,415
Zaznaczmy go.

212
00:09:44,447 --> 00:09:45,657
Z podanego wzoru

213
00:09:45,657 --> 00:09:47,125
możemy także odczytać

214
00:09:47,125 --> 00:09:50,335
że wartość współczynnika b wynosi -2.

215
00:09:51,103 --> 00:09:52,040
Jak już wiesz

216
00:09:52,040 --> 00:09:53,697
wykres funkcji liniowej

217
00:09:53,697 --> 00:09:55,294
zawsze przechodzi przez punkt

218
00:09:55,294 --> 00:09:57,481
o współrzędnych 0, b.

219
00:09:57,503 --> 00:09:59,700
Czyli w naszym przypadku przez punkt

220
00:09:59,700 --> 00:10:02,351
o współrzędnych 0, -2.

221
00:10:02,367 --> 00:10:04,253
Zaznaczmy ten punkt.

222
00:10:04,927 --> 00:10:06,642
Poprowadźmy teraz prostą

223
00:10:06,642 --> 00:10:07,999
przez te dwa punkty.

224
00:10:08,255 --> 00:10:11,185
Ta prosta to wykres funkcji f od x.

225
00:10:11,839 --> 00:10:13,150
Ale w treści zadania

226
00:10:13,150 --> 00:10:14,949
poproszono nas o określenie

227
00:10:14,949 --> 00:10:17,215
współczynnika kierunkowego funkcji.

228
00:10:17,727 --> 00:10:19,450
Zatrzymaj film i spróbuj

229
00:10:19,450 --> 00:10:20,914
samodzielnie odczytać

230
00:10:20,914 --> 00:10:23,615
wartość tego współczynnika z wykresu.

231
00:10:26,943 --> 00:10:29,384
Narysujmy odcinek jednostkowy

232
00:10:29,384 --> 00:10:33,027
rozpoczynający się w punkcie -2, -3

233
00:10:33,027 --> 00:10:35,229
równoległy do osi OX.

234
00:10:35,391 --> 00:10:37,725
Na jego końcu narysujmy odcinek

235
00:10:37,725 --> 00:10:39,231
do niego prostopadły.

236
00:10:40,767 --> 00:10:43,369
Niestety z wykresu ciężko byłoby nam

237
00:10:43,369 --> 00:10:45,020
w tym przypadku odczytać

238
00:10:45,020 --> 00:10:46,911
dokładną zmianę wartości.

239
00:10:47,423 --> 00:10:49,209
A co, gdybyśmy narysowali

240
00:10:49,209 --> 00:10:51,079
równoległy do poziomej osi

241
00:10:51,079 --> 00:10:53,567
odcinek rozpoczynający się w punkcie

242
00:10:53,643 --> 00:10:57,919
-2, -3 ale o długości dwóch jednostek?

243
00:10:58,687 --> 00:11:00,016
Jeśli na jego końcu

244
00:11:00,016 --> 00:11:02,731
narysujemy odcinek do niego prostopadły

245
00:11:02,731 --> 00:11:04,611
bez problemu odczytamy

246
00:11:04,611 --> 00:11:07,135
że wzrost argumentu o dwie jednostki

247
00:11:07,647 --> 00:11:09,462
odpowiada zmianie wartości

248
00:11:09,462 --> 00:11:11,189
o jedną jednostkę.

249
00:11:12,767 --> 00:11:14,702
Skoro przesunęliśmy się poziomo

250
00:11:14,702 --> 00:11:16,076
o dwie jednostki

251
00:11:16,076 --> 00:11:18,098
to otrzymaną zmianę wartości

252
00:11:18,098 --> 00:11:20,119
musimy podzielić przez 2.

253
00:11:20,191 --> 00:11:23,469
1 podzielić przez 2 da nam 1/2.

254
00:11:23,469 --> 00:11:25,965
Oznacza to, że wartość współczynnika

255
00:11:25,965 --> 00:11:29,407
kierunkowego a także wynosi 1/2.

256
00:11:30,175 --> 00:11:32,743
Możemy jeszcze sprawdzić nasz wynik.

257
00:11:32,991 --> 00:11:34,212
Podstawmy do wzoru

258
00:11:34,212 --> 00:11:37,783
współrzędne punktu -2, -3.

259
00:11:37,855 --> 00:11:38,953
Otrzymamy:

260
00:11:38,953 --> 00:11:44,767
-3 równa się 1/2 razy -2 minus 2

261
00:11:45,023 --> 00:11:46,815
a to wynosi -3.

262
00:11:47,327 --> 00:11:50,393
Widzimy, że lewa strona równa się prawej.

263
00:11:50,393 --> 00:11:51,994
Nasz punkt znajduje się

264
00:11:51,994 --> 00:11:54,017
w tym miejscu na wykresie.

265
00:11:54,017 --> 00:11:56,761
Widzimy, że nigdzie się nie pomyliliśmy

266
00:11:56,761 --> 00:11:58,591
a nasz wynik jest poprawny.

267
00:12:04,479 --> 00:12:07,131
W dzisiejszej lekcji powiedzieliśmy sobie

268
00:12:07,131 --> 00:12:09,569
jaki wpływ ma współczynnik kierunkowy

269
00:12:09,569 --> 00:12:12,671
funkcji liniowej na wykres tej funkcji.

270
00:12:12,927 --> 00:12:15,417
Umiemy też wskazać go we wzorze

271
00:12:15,417 --> 00:12:17,523
lub wyznaczyć z wykresu.

272
00:12:17,535 --> 00:12:19,870
Jest to bardzo przydatna umiejętność

273
00:12:19,870 --> 00:12:22,399
która może Ci się przydać w przyszłości.

274
00:12:25,727 --> 00:12:28,095
Obejrzyj pozostałe filmy o funkcji

275
00:12:28,095 --> 00:12:30,433
liniowej, a po więcej materiałów

276
00:12:30,433 --> 00:12:34,323
zajrzyj na naszą stronę pi-stacja.tv