1
00:00:00,256 --> 00:00:03,081
Jedną z dostępnych form opodatkowania

2
00:00:03,081 --> 00:00:04,608
jest podatek liniowy.

3
00:00:04,864 --> 00:00:07,055
Zakłada on, że wszyscy podatnicy

4
00:00:07,055 --> 00:00:09,636
płacą taką samą część swoich dochodów

5
00:00:09,636 --> 00:00:11,022
w formie podatku

6
00:00:11,022 --> 00:00:13,056
niezależnie od ich wysokości.

7
00:00:13,568 --> 00:00:15,616
To nie oznacza, że płacą tyle samo.

8
00:00:16,128 --> 00:00:17,536
Jeśli dochód Kowalskiego

9
00:00:17,536 --> 00:00:20,083
to 40 000 złotych rocznie

10
00:00:20,083 --> 00:00:22,272
to przy stawce 19%

11
00:00:22,528 --> 00:00:25,870
odda on państwu 7 600 złotych.

12
00:00:26,112 --> 00:00:29,952
Zarabiający 96 000 złotych rocznie Nowak

13
00:00:30,208 --> 00:00:34,654
zapłaci zaś 18 240 złotych.

14
00:00:46,592 --> 00:00:48,667
W tej lekcji nauczymy się rysować

15
00:00:48,667 --> 00:00:50,676
wykresy funkcji liniowych.

16
00:00:50,688 --> 00:00:51,981
Nasze rozważania

17
00:00:51,981 --> 00:00:54,000
zaczniemy od takich funkcji:

18
00:00:54,272 --> 00:00:57,088
f od x równa się 2x minus 1

19
00:00:57,600 --> 00:01:01,300
g od x równa się -3x plus 2

20
00:01:01,300 --> 00:01:06,062
oraz h od x równa się -5x plus 4.

21
00:01:06,304 --> 00:01:08,818
Narysujmy wykres funkcji f od x.

22
00:01:09,120 --> 00:01:11,186
Wykorzystamy do tego tabelkę

23
00:01:11,186 --> 00:01:13,011
pokrótce przypominając sobie

24
00:01:13,011 --> 00:01:14,484
jak to zrobić.

25
00:01:14,496 --> 00:01:16,468
W pierwszym rzędzie tabeli umieszczamy

26
00:01:16,468 --> 00:01:19,208
kolejne wybrane przez nas argumenty

27
00:01:19,208 --> 00:01:20,388
czyli x.

28
00:01:20,388 --> 00:01:21,972
W drugim rzędzie umieszczamy

29
00:01:21,972 --> 00:01:24,224
natomiast y, czyli wartości

30
00:01:24,480 --> 00:01:25,949
które będą odpowiadały

31
00:01:25,949 --> 00:01:27,882
poszczególnym argumentom.

32
00:01:28,320 --> 00:01:30,536
Na nasze argumenty wybierzmy

33
00:01:30,536 --> 00:01:35,708
na przykład -2, -1, 0, 1 i 2.

34
00:01:36,256 --> 00:01:38,456
Gdy do wzoru funkcji f od x

35
00:01:38,456 --> 00:01:42,144
za x podstawimy -2, to otrzymamy:

36
00:01:42,400 --> 00:01:46,752
y równa się 2 razy -2 minus 1

37
00:01:47,264 --> 00:01:50,592
co daje nam -4 minus 1

38
00:01:50,848 --> 00:01:52,896
a to równa się -5.

39
00:01:53,920 --> 00:01:56,702
Gdy za x podstawimy -1

40
00:01:56,702 --> 00:01:58,286
to otrzymamy:

41
00:01:58,286 --> 00:02:02,624
y równa się 2 razy -1 minus 1.

42
00:02:03,392 --> 00:02:06,464
To równa się -2 minus 1

43
00:02:06,976 --> 00:02:10,304
i ostatecznie otrzymujemy wynik -3.

44
00:02:11,328 --> 00:02:14,114
Zatrzymaj teraz film i oblicz wartości

45
00:02:14,114 --> 00:02:15,690
jakie przyjmuje funkcja

46
00:02:15,690 --> 00:02:18,600
dla pozostałych argumentów z tabeli.

47
00:02:21,568 --> 00:02:24,640
Powinniśmy otrzymać następujące wyniki:

48
00:02:24,896 --> 00:02:28,515
dla x równego zeru, -1

49
00:02:28,515 --> 00:02:31,808
dla x równego jednemu, 1

50
00:02:32,064 --> 00:02:35,066
a dla x równego dwóm, 3.

51
00:02:35,392 --> 00:02:38,045
Odpowiednie x oraz y w tabeli

52
00:02:38,045 --> 00:02:39,948
to współrzędne tylko kilku

53
00:02:39,948 --> 00:02:41,806
z bardzo wielu punktów

54
00:02:41,806 --> 00:02:44,280
leżących na wykresie naszej funkcji.

55
00:02:44,352 --> 00:02:46,358
Umieśćmy pierwszy z tych punktów

56
00:02:46,358 --> 00:02:47,934
na wykresie.

57
00:02:47,936 --> 00:02:50,226
Widzimy, że ma on współrzędne

58
00:02:50,226 --> 00:02:52,482
-2, -5.

59
00:02:52,544 --> 00:02:55,836
Żeby trafić na x równe minus dwóm

60
00:02:55,872 --> 00:02:57,443
przesuńmy się z początku

61
00:02:57,443 --> 00:02:58,752
układu współrzędnych

62
00:02:58,752 --> 00:03:00,484
o dwie jednostki w lewo.

63
00:03:00,736 --> 00:03:04,018
Teraz przesuńmy się o 5 jednostek w dół

64
00:03:04,018 --> 00:03:06,880
żeby trafić na y równe minus pięciu.

65
00:03:07,142 --> 00:03:09,152
Zaznaczmy nasz punkt.

66
00:03:09,440 --> 00:03:11,135
Analogicznie postępujemy

67
00:03:11,135 --> 00:03:13,360
w przypadku pozostałych punktów

68
00:03:13,360 --> 00:03:15,834
których współrzędne ustaliliśmy.

69
00:03:16,096 --> 00:03:18,056
Drugi punkt o współrzędnych

70
00:03:18,056 --> 00:03:20,448
-1, -3 będzie tu.

71
00:03:20,960 --> 00:03:23,520
Trzeci 0, -1 tu.

72
00:03:23,776 --> 00:03:25,024
I tak dalej.

73
00:03:25,056 --> 00:03:26,271
Teraz poprowadźmy

74
00:03:26,271 --> 00:03:28,128
przez nasze punkty prostą.

75
00:03:28,896 --> 00:03:29,702
Świetnie.

76
00:03:29,702 --> 00:03:32,840
Otrzymaliśmy wykres funkcji f od x.

77
00:03:33,760 --> 00:03:37,122
Narysujmy teraz wykres funkcji g od x.

78
00:03:37,344 --> 00:03:38,740
Na poprzednim przykładzie

79
00:03:38,740 --> 00:03:40,976
na pewno udało Ci się zauważyć

80
00:03:40,976 --> 00:03:43,488
że aby narysować odpowiednią prostą

81
00:03:43,744 --> 00:03:46,468
nie musimy wyznaczać aż tylu punktów.

82
00:03:46,560 --> 00:03:48,320
Wystarczą nam dwa.

83
00:03:48,352 --> 00:03:49,742
Spróbujmy w pamięci

84
00:03:49,742 --> 00:03:51,936
obliczyć wartości funkcji g od x

85
00:03:52,192 --> 00:03:53,333
dla przykładowego

86
00:03:53,333 --> 00:03:56,800
x równe zeru oraz x równe jednemu.

87
00:04:00,640 --> 00:04:03,437
Po podstawieniu za x liczby 0

88
00:04:03,437 --> 00:04:07,040
otrzymamy -3 razy 0 plus 2

89
00:04:07,296 --> 00:04:08,600
co da nam 2.

90
00:04:08,600 --> 00:04:11,648
Mamy zatem punkt o współrzędnych 0, 2.

91
00:04:11,904 --> 00:04:14,464
Zaznaczmy go w układzie współrzędnych.

92
00:04:15,488 --> 00:04:18,172
Teraz obliczamy wartość funkcji

93
00:04:18,172 --> 00:04:20,705
dla x równego jednemu.

94
00:04:20,863 --> 00:04:24,191
Otrzymamy -3 razy 1 plus 2

95
00:04:24,447 --> 00:04:26,473
równa się -1.

96
00:04:26,495 --> 00:04:30,079
Mamy punkt o współrzędnych 1, -1.

97
00:04:30,591 --> 00:04:32,587
Umieśćmy go w odpowiednim miejscu

98
00:04:32,587 --> 00:04:34,505
w układzie współrzędnych.

99
00:04:34,505 --> 00:04:35,525
Spójrz.

100
00:04:35,525 --> 00:04:37,357
Możemy teraz przeprowadzić

101
00:04:37,357 --> 00:04:39,039
przez te punkty prostą.

102
00:04:39,295 --> 00:04:40,959
Otrzymamy w ten sposób

103
00:04:40,959 --> 00:04:42,953
wykres funkcji g od x.

104
00:04:43,391 --> 00:04:44,986
Znacznie skróciło to czas

105
00:04:44,986 --> 00:04:47,665
rysowania wykresu, prawda?

106
00:04:47,999 --> 00:04:50,335
Na przykładzie funkcji h od x

107
00:04:50,335 --> 00:04:52,264
pokażę Ci jeszcze jeden sposób

108
00:04:52,264 --> 00:04:54,911
rysowania wykresów funkcji liniowych.

109
00:04:55,167 --> 00:04:58,111
Jak wiesz, wyraz wolny we wzorze funkcji

110
00:04:58,111 --> 00:05:00,105
mówi nam o miejscu przecięcia

111
00:05:00,105 --> 00:05:02,955
jej wykresu z osią OY.

112
00:05:03,145 --> 00:05:06,175
W naszym przypadku wyraz wolny wynosi 4.

113
00:05:06,431 --> 00:05:08,479
Zatem wykres funkcji h od x

114
00:05:08,735 --> 00:05:10,732
przecina się z pionową osią

115
00:05:10,732 --> 00:05:12,393
w punkcie 0, 4.

116
00:05:12,575 --> 00:05:14,215
Zaznaczmy ten punkt.

117
00:05:14,879 --> 00:05:15,938
Wiemy także

118
00:05:15,938 --> 00:05:18,518
że współczynnik kierunkowy naszej funkcji

119
00:05:18,518 --> 00:05:20,143
wynosi -5.

120
00:05:20,255 --> 00:05:22,570
Oznacza to, że wzrost argumentu

121
00:05:22,570 --> 00:05:23,839
o jedną jednostkę

122
00:05:24,095 --> 00:05:26,155
odpowiada zmianie wartości

123
00:05:26,155 --> 00:05:28,375
o minus 5 jednostek.

124
00:05:28,447 --> 00:05:31,263
Jak wykorzystać to przy rysowaniu wykresu?

125
00:05:31,775 --> 00:05:34,399
Mamy nasz punkt 0, 4.

126
00:05:34,591 --> 00:05:36,953
Przesuńmy się teraz o jedną jednostkę

127
00:05:36,953 --> 00:05:39,905
w prawo, na x równe jednemu.

128
00:05:39,967 --> 00:05:41,569
Skoro współczynnik kierunkowy

129
00:05:41,569 --> 00:05:44,697
wynosi -5, to teraz musimy jeszcze

130
00:05:44,697 --> 00:05:47,691
przesunąć się o 5 jednostek w dół.

131
00:05:47,691 --> 00:05:50,463
Mamy kolejny punkt leżący na wykresie.

132
00:05:50,975 --> 00:05:54,047
Ma on współrzędne 1, -1.

133
00:05:54,303 --> 00:05:56,819
Oczywiście, gdyby współczynnik kierunkowy

134
00:05:56,819 --> 00:05:59,335
był dodatni, to po przesunięciu się

135
00:05:59,335 --> 00:06:01,377
o jedną jednostkę w prawo

136
00:06:01,377 --> 00:06:03,009
w poszukiwaniu wartości

137
00:06:03,009 --> 00:06:04,557
musielibyśmy przesunąć się

138
00:06:04,557 --> 00:06:07,359
o odpowiednią liczbę jednostek w górę.

139
00:06:07,871 --> 00:06:09,807
A gdyby współczynnik kierunkowy

140
00:06:09,807 --> 00:06:11,233
był równy zeru

141
00:06:11,233 --> 00:06:13,252
to mimo wzrostu argumentu

142
00:06:13,252 --> 00:06:15,951
wartość pozostała by taka sama.

143
00:06:19,647 --> 00:06:21,687
Wiemy już bardzo dużo na temat

144
00:06:21,687 --> 00:06:24,189
rysowania wykresu funkcji liniowych.

145
00:06:24,511 --> 00:06:26,249
Rysujemy je oczywiście

146
00:06:26,249 --> 00:06:28,223
w układzie współrzędnych.

147
00:06:28,223 --> 00:06:30,393
Dlatego warto powiedzieć sobie trochę

148
00:06:30,393 --> 00:06:33,471
z czego właściwie się taki układ składa.

149
00:06:34,239 --> 00:06:37,295
Jak pamiętasz, osie układu współrzędnych

150
00:06:37,295 --> 00:06:39,871
dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki

151
00:06:40,127 --> 00:06:42,571
które numerujemy w kierunku odwrotnym

152
00:06:42,571 --> 00:06:44,653
do ruchu wskazówek zegara.

153
00:06:44,735 --> 00:06:46,714
Pierwsza ćwiartka to część

154
00:06:46,714 --> 00:06:48,890
gdzie x jest większe od zera

155
00:06:48,890 --> 00:06:50,827
oraz y większe od zera.

156
00:06:50,879 --> 00:06:53,951
W drugiej ćwiartce x jest mniejsze od zera

157
00:06:54,207 --> 00:06:56,349
a y większe od zera.

158
00:06:56,511 --> 00:06:59,067
Trzecia ćwiartka to część płaszczyzny

159
00:06:59,067 --> 00:07:01,153
gdzie x jest mniejsze od zera

160
00:07:01,153 --> 00:07:03,423
oraz y jest mniejsze od zera.

161
00:07:03,679 --> 00:07:05,351
A w czwartej ćwiartce

162
00:07:05,351 --> 00:07:07,014
x jest większe od zera

163
00:07:07,014 --> 00:07:09,055
ale y mniejsze od zera.

164
00:07:09,823 --> 00:07:12,700
Spójrzmy teraz na wykres funkcji h od x

165
00:07:12,700 --> 00:07:14,655
z poprzedniego zadania.

166
00:07:14,687 --> 00:07:15,906
Przez które ćwiartki

167
00:07:15,906 --> 00:07:17,647
przechodzi ten wykres?

168
00:07:21,087 --> 00:07:22,853
Przechodzi on przez drugą

169
00:07:22,853 --> 00:07:25,695
pierwszą oraz czwartą ćwiartkę.

170
00:07:26,463 --> 00:07:28,153
A przez jakie ćwiartki

171
00:07:28,153 --> 00:07:30,476
przechodzi wykres funkcji i od x

172
00:07:30,476 --> 00:07:34,861
równe 2 minus pierwiastek z dwóch x

173
00:07:34,861 --> 00:07:35,891
minus pierwiastek

174
00:07:35,891 --> 00:07:38,231
z siedemdziesięciu siedmiu?

175
00:07:41,055 --> 00:07:42,714
Zacznijmy od zaznaczenia

176
00:07:42,714 --> 00:07:45,407
punktu przecięcia z osią OY.

177
00:07:45,919 --> 00:07:48,707
Wiemy, że wyraz wolny wynosi minus

178
00:07:48,707 --> 00:07:51,039
pierwiastek z siedemdziesięciu siedmiu

179
00:07:51,551 --> 00:07:54,661
czyli nasz punkt przecięcia z pionową osią

180
00:07:54,661 --> 00:07:57,740
będzie miał współrzędne 0, minus

181
00:07:57,740 --> 00:08:00,383
pierwiastek z siedemdziesięciu siedmiu.

182
00:08:00,511 --> 00:08:03,427
Stojący przy x-ie pierwiastek z dwóch

183
00:08:03,583 --> 00:08:05,887
to około 1,41.

184
00:08:06,143 --> 00:08:10,239
Zatem wyrażenie 2 minus 1,41

185
00:08:10,495 --> 00:08:12,833
da nam liczbę większą od zera.

186
00:08:13,055 --> 00:08:15,027
Jak pamiętasz, gdy wartość

187
00:08:15,027 --> 00:08:16,557
współczynnika kierunkowego

188
00:08:16,557 --> 00:08:18,319
jest większa od zera

189
00:08:18,319 --> 00:08:20,397
to wartości funkcji rosną.

190
00:08:20,479 --> 00:08:23,295
Otrzymamy zatem mniej więcej taki wykres.

191
00:08:24,319 --> 00:08:27,327
Teraz bez problemu odpowiadamy na pytanie

192
00:08:27,327 --> 00:08:29,848
przez które ćwiartki przechodzi.

193
00:08:29,848 --> 00:08:31,953
Wykres funkcji i od x

194
00:08:31,999 --> 00:08:34,249
przechodzi przez pierwszą, trzecią

195
00:08:34,249 --> 00:08:37,009
oraz czwartą ćwiartkę.

196
00:08:40,703 --> 00:08:43,519
Na koniec zmierzymy się z takim zadaniem.

197
00:08:43,555 --> 00:08:45,341
Przez które ćwiartki przechodzi

198
00:08:45,341 --> 00:08:46,928
wykres funkcji liniowej

199
00:08:46,928 --> 00:08:49,407
y równa się ax plus b

200
00:08:49,663 --> 00:08:52,223
 jeśli wiemy, że a jest mniejsza od zera

201
00:08:52,223 --> 00:08:54,159
i b jest większe od zera?

202
00:08:54,271 --> 00:08:56,526
Zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie

203
00:08:56,526 --> 00:08:58,111
odpowiedzieć na to pytanie

204
00:08:58,367 --> 00:08:59,766
a później sprawdź

205
00:08:59,766 --> 00:09:01,951
czy Twój wynik zgadza się z moim.

206
00:09:05,791 --> 00:09:07,839
Wykonajmy rysunek pomocniczy.

207
00:09:08,351 --> 00:09:10,655
Wiemy, że b jest większe od zera

208
00:09:10,911 --> 00:09:12,293
zatem punkt przecięcia się

209
00:09:12,293 --> 00:09:14,489
wykresu z osią OY

210
00:09:14,495 --> 00:09:16,250
musi leżeć gdzieś na tym

211
00:09:16,250 --> 00:09:18,591
dodatnim fragmencie pionowej osi.

212
00:09:19,103 --> 00:09:21,919
Wiemy również, że a jest mniejsze od zera.

213
00:09:22,431 --> 00:09:24,735
Oznacza to, że nasza funkcja maleje

214
00:09:25,247 --> 00:09:27,368
czyli jej przebieg będzie wyglądał

215
00:09:27,368 --> 00:09:28,959
mniej więcej tak.

216
00:09:29,087 --> 00:09:31,675
Możemy podać teraz odpowiedź.

217
00:09:31,675 --> 00:09:33,807
Wykres tej funkcji liniowej

218
00:09:33,807 --> 00:09:36,255
przechodzi przez pierwszą, drugą

219
00:09:36,511 --> 00:09:38,557
oraz czwartą ćwiartkę.

220
00:09:45,727 --> 00:09:48,193
Całą dzisiejszą lekcję ćwiczyliśmy

221
00:09:48,193 --> 00:09:50,079
rysowanie wykresów funkcji.

222
00:09:50,335 --> 00:09:52,529
Opowiedzieliśmy sobie też trochę

223
00:09:52,529 --> 00:09:54,205
o układzie współrzędnych

224
00:09:54,205 --> 00:09:56,523
w którym te wykresy rysujemy.

225
00:09:56,735 --> 00:09:57,821
Mam nadzieję, że teraz

226
00:09:57,821 --> 00:10:00,319
już nie sprawi Ci to żadnej trudności.

227
00:10:03,547 --> 00:10:06,015
Obejrzyj pozostałe filmy o funkcji

228
00:10:06,015 --> 00:10:08,203
liniowej, a po więcej materiałów

229
00:10:08,203 --> 00:10:11,327
zajrzyj na naszą stronę pistacja.tv.