1
00:00:00,512 --> 00:00:03,204
Każdy, kto myśli o zdawaniu prawa jazdy

2
00:00:03,204 --> 00:00:04,654
musi liczyć się z tym

3
00:00:04,654 --> 00:00:06,286
że na egzaminie będzie musiał

4
00:00:06,286 --> 00:00:08,426
zaparkować prostopadle.

5
00:00:08,426 --> 00:00:10,694
Jeżeli na chodniku narysowalibyśmy

6
00:00:10,694 --> 00:00:13,286
jedną prostą, a na aucie drugą

7
00:00:13,312 --> 00:00:15,226
to przy idealnym parkowaniu

8
00:00:15,226 --> 00:00:17,920
w tym miejscu znalazłby się kąt prosty.

9
00:00:18,432 --> 00:00:19,878
W tej lekcji dowiesz się

10
00:00:19,878 --> 00:00:21,739
jaki jest warunek na to

11
00:00:21,739 --> 00:00:23,394
aby dwie takie proste

12
00:00:23,394 --> 00:00:25,344
były do siebie prostopadłe.

13
00:00:36,864 --> 00:00:38,454
W tym filmie pokażę Ci

14
00:00:38,454 --> 00:00:40,027
jaka zależność występuje

15
00:00:40,027 --> 00:00:41,961
pomiędzy wzorami kierunkowymi

16
00:00:41,961 --> 00:00:43,498
prostych prostopadłych.

17
00:00:43,520 --> 00:00:45,896
Narysujmy trójkąt prostokątny

18
00:00:45,896 --> 00:00:49,152
o przyprostokątnych 2 i 5 jednostek.

19
00:00:49,408 --> 00:00:52,736
Nazwijmy jego kąty ostre alfa i beta.

20
00:00:53,248 --> 00:00:56,414
Co wiemy o kątach ostrych w tym trójkącie?

21
00:00:56,832 --> 00:00:59,812
Ich suma musi wynieść 90 stopni

22
00:00:59,904 --> 00:01:01,571
bo razem z kątem prostym

23
00:01:01,571 --> 00:01:02,634
dają przecież

24
00:01:02,634 --> 00:01:06,388
jak w każdym trójkącie, 180 stopni.

25
00:01:06,816 --> 00:01:08,432
Narysujmy teraz trójkąt

26
00:01:08,432 --> 00:01:10,400
przystający do tego trójkąta

27
00:01:10,656 --> 00:01:12,052
i ustawmy go tak

28
00:01:12,052 --> 00:01:14,496
by kąt alfa jednego trójkąta

29
00:01:14,752 --> 00:01:17,056
przylegał do kąta beta drugiego.

30
00:01:18,336 --> 00:01:19,906
Jaki kąt tworzą

31
00:01:19,906 --> 00:01:22,366
przeciwprostokątne obu trójkątów?

32
00:01:23,200 --> 00:01:25,760
Oczywiście są do siebie prostopadłe.

33
00:01:26,016 --> 00:01:28,035
Wiemy to, bo suma kątów

34
00:01:28,035 --> 00:01:31,136
alfa i beta wynosi 90 stopni.

35
00:01:31,392 --> 00:01:33,011
Umieśćmy nasz rysunek

36
00:01:33,011 --> 00:01:34,840
w układzie współrzędnych.

37
00:01:34,976 --> 00:01:36,573
Teraz narysujmy proste

38
00:01:36,573 --> 00:01:38,058
w których zawarte są

39
00:01:38,058 --> 00:01:40,140
nasze przeciwprostokątne.

40
00:01:41,120 --> 00:01:43,680
Nazwijmy je k i l

41
00:01:43,936 --> 00:01:46,510
oraz opiszmy każdą z nich wzorem.

42
00:01:46,902 --> 00:01:48,975
Niech k wyraża się wzorem:

43
00:01:48,975 --> 00:01:52,640
y równa się a1 razy x dodać b1

44
00:01:52,896 --> 00:01:54,203
a l wzorem:

45
00:01:54,203 --> 00:01:57,504
y równa się a2 razy x dodać b2.

46
00:01:58,016 --> 00:01:59,679
Oczywiście proste te

47
00:01:59,679 --> 00:02:01,494
są do siebie prostopadłe.

48
00:02:01,722 --> 00:02:04,932
Zastanów się jak można obliczyć

49
00:02:04,932 --> 00:02:07,716
współczynniki kierunkowe tych prostych.

50
00:02:08,000 --> 00:02:10,397
Współczynnik kierunkowy prostej k

51
00:02:10,397 --> 00:02:12,576
możemy policzyć dzieląc przyrost

52
00:02:12,576 --> 00:02:14,197
wartości funkcji przez

53
00:02:14,197 --> 00:02:16,034
przyrost argumentów.

54
00:02:16,448 --> 00:02:17,892
Czyli w naszym przypadku

55
00:02:17,892 --> 00:02:21,097
a1 równa się 5/2.

56
00:02:21,727 --> 00:02:23,616
Podobnie możemy obliczyć

57
00:02:23,662 --> 00:02:26,326
współczynnik kierunkowy drugiej prostej.

58
00:02:26,688 --> 00:02:30,878
a2 równa się w tym przypadku -2/5.

59
00:02:31,296 --> 00:02:33,344
Zauważ, że w prostej l

60
00:02:33,600 --> 00:02:36,160
przyrost wartości funkcji jest ujemny

61
00:02:36,416 --> 00:02:39,366
dlatego wstawiamy minus przed ułamkiem.

62
00:02:40,512 --> 00:02:43,328
Przyjrzyjmy się obliczonym współczynnikom.

63
00:02:43,840 --> 00:02:45,876
Pierwszy wynosi 5/2

64
00:02:45,906 --> 00:02:48,060
a drugi -2/5.

65
00:02:48,192 --> 00:02:50,208
Co możesz o nich powiedzieć?

66
00:02:50,752 --> 00:02:52,620
Nie są to liczby przeciwne.

67
00:02:52,620 --> 00:02:55,104
Nie są to też liczby odwrotne

68
00:02:55,170 --> 00:02:56,676
ale w jakiś sposób

69
00:02:56,676 --> 00:02:58,656
są dla siebie szczególne.

70
00:02:58,944 --> 00:03:00,331
Nie ma dla nich w matematyce

71
00:03:00,331 --> 00:03:01,504
osobnej nazwy.

72
00:03:01,760 --> 00:03:03,351
Możemy za to wykazać

73
00:03:03,351 --> 00:03:06,368
że ich iloczyn wynosi -1.

74
00:03:07,136 --> 00:03:08,949
Zauważ, że podobne rozważania

75
00:03:08,949 --> 00:03:10,374
mogliśmy przeprowadzić

76
00:03:10,374 --> 00:03:12,512
dla każdego trójkąta prostokątnego

77
00:03:12,768 --> 00:03:14,816
o dowolnej długości boków.

78
00:03:15,072 --> 00:03:16,597
Możemy więc uogólnić

79
00:03:16,597 --> 00:03:18,656
nasze spostrzeżenie i napisać

80
00:03:18,912 --> 00:03:20,521
że dowolne dwie proste

81
00:03:20,521 --> 00:03:24,288
o współczynnikach kierunkowych a1 i a2

82
00:03:24,324 --> 00:03:25,594
są prostopadłe

83
00:03:25,594 --> 00:03:27,373
gdy ich współczynniki kierunkowe

84
00:03:27,373 --> 00:03:29,085
spełniają zależność

85
00:03:29,085 --> 00:03:32,736
a1 razy a2 równa się -1.

86
00:03:34,016 --> 00:03:35,666
Chciałabym zwrócić Ci uwagę

87
00:03:35,666 --> 00:03:37,136
na jedną rzecz.

88
00:03:37,136 --> 00:03:38,708
Warunek jest spełniony

89
00:03:38,708 --> 00:03:40,811
gdy dwie proste można opisać

90
00:03:40,811 --> 00:03:42,784
równaniami kierunkowym.

91
00:03:42,976 --> 00:03:44,573
Ale czy wszystkie proste

92
00:03:44,573 --> 00:03:46,584
da się w ten sposób opisać?

93
00:03:46,816 --> 00:03:48,352
Oczywiście, że nie.

94
00:03:48,608 --> 00:03:51,168
Proste równoległe do osi OY

95
00:03:51,424 --> 00:03:53,896
opiszemy wzorem x równa się

96
00:03:53,896 --> 00:03:55,706
na przykład 5.

97
00:03:55,706 --> 00:03:57,112
Ten wzór nie zawiera

98
00:03:57,112 --> 00:03:58,848
współczynnika kierunkowego

99
00:03:59,104 --> 00:04:00,256
ale to nie oznacza

100
00:04:00,256 --> 00:04:02,273
że nie możemy do takiej prostej

101
00:04:02,273 --> 00:04:04,954
wyznaczyć prostej prostopadłej.

102
00:04:04,992 --> 00:04:06,843
Musimy po prostu pamiętać

103
00:04:06,843 --> 00:04:09,027
że proste do niej prostopadłe

104
00:04:09,027 --> 00:04:12,184
będą jednocześnie równoległe do osi OX

105
00:04:12,416 --> 00:04:14,720
czyli opisywać je będą wzory postaci

106
00:04:14,976 --> 00:04:16,256
y równa się b.

107
00:04:16,512 --> 00:04:18,778
Na przykład y równa się 3

108
00:04:18,778 --> 00:04:20,863
lub y równa się -1.

109
00:04:21,631 --> 00:04:23,282
Przećwiczmy teraz wykorzystanie

110
00:04:23,282 --> 00:04:25,861
tej informacji w zadaniach.

111
00:04:29,055 --> 00:04:30,660
Równanie prostej k

112
00:04:30,660 --> 00:04:34,687
to y równa się -3x minus 3.

113
00:04:35,199 --> 00:04:37,157
Wyznacz równanie prostej l

114
00:04:37,157 --> 00:04:39,039
prostopadłej do prostej k

115
00:04:39,295 --> 00:04:41,156
i przechodzącej przez punkt D

116
00:04:41,156 --> 00:04:43,647
o współrzędnych -2, 1.

117
00:04:44,159 --> 00:04:46,271
Rozwiąż ten przykład samodzielnie

118
00:04:46,271 --> 00:04:47,471
a potem sprawdź

119
00:04:47,487 --> 00:04:49,791
czy uzyskałeś taki wynik jak ja.

120
00:04:53,375 --> 00:04:54,882
Zacznijmy od zapisania

121
00:04:54,882 --> 00:04:57,703
wzoru opisującego prostą l.

122
00:04:57,703 --> 00:05:00,607
y równa się ax plus b.

123
00:05:00,799 --> 00:05:02,784
Zauważ, że musimy obliczyć

124
00:05:02,784 --> 00:05:05,151
współczynniki a i b tej prostej.

125
00:05:05,407 --> 00:05:07,130
Wykorzystajmy na początek

126
00:05:07,130 --> 00:05:09,421
informacje o prostopadłości.

127
00:05:09,651 --> 00:05:13,167
-3 razy a równa się -1

128
00:05:13,599 --> 00:05:15,674
Dzielimy obustronnie nasze równanie

129
00:05:15,674 --> 00:05:19,542
przez -3 i otrzymujemy, że współczynnik a

130
00:05:19,542 --> 00:05:21,279
równa się 1/3.

131
00:05:21,791 --> 00:05:23,802
Wstawmy zatem otrzymany wynik

132
00:05:23,802 --> 00:05:25,529
do naszego równania.

133
00:05:25,887 --> 00:05:27,700
Teraz skorzystamy z tego

134
00:05:27,700 --> 00:05:30,943
że prosta l przechodzi przez punkt D.

135
00:05:30,943 --> 00:05:34,591
Wstawiamy jego współrzędną x i y

136
00:05:34,847 --> 00:05:36,327
do równania.

137
00:05:36,327 --> 00:05:37,478
Otrzymujemy:

138
00:05:37,478 --> 00:05:42,271
1 równa się 1/3 razy -2 plus b.

139
00:05:43,039 --> 00:05:45,331
Teraz przekształcamy to równanie

140
00:05:45,331 --> 00:05:49,951
i zapisujemy b równa się 1 dodać 2/3.

141
00:05:50,463 --> 00:05:53,535
Zamieńmy jedynkę na ułamek 3/3

142
00:05:53,791 --> 00:05:56,475
i dodajmy do niego 2/3.

143
00:05:56,607 --> 00:06:01,347
Widzimy, że współczynnik b wynosi 5/3.

144
00:06:01,471 --> 00:06:03,735
Nie pozostało nam już nic innego

145
00:06:03,735 --> 00:06:05,182
jak tylko wstawić go

146
00:06:05,182 --> 00:06:07,557
do wzoru naszej funkcji l.

147
00:06:07,557 --> 00:06:09,877
I oto proszę Państwa, mamy wynik.

148
00:06:09,919 --> 00:06:12,395
Funkcja l opisana jest wzorem

149
00:06:12,395 --> 00:06:16,965
y równa się 1/3x plus 5/3.

150
00:06:20,159 --> 00:06:21,951
Kolejne zadanie dla Ciebie.

151
00:06:22,207 --> 00:06:24,672
Miejscem zerowym funkcji liniowej

152
00:06:24,672 --> 00:06:26,287
jest liczba 3

153
00:06:26,303 --> 00:06:28,509
a jej wykresem jest prosta l

154
00:06:28,509 --> 00:06:30,399
prostopadła do prostej k.

155
00:06:30,911 --> 00:06:34,239
y równa się -4x plus 2

156
00:06:34,751 --> 00:06:37,565
Wyznacz równanie prostej l.

157
00:06:40,383 --> 00:06:41,932
Mimo, że treść zadania

158
00:06:41,932 --> 00:06:43,622
jest inna niż poprzednio

159
00:06:43,622 --> 00:06:45,759
to rozwiązujemy je analogicznie.

160
00:06:46,271 --> 00:06:48,744
Zapisujemy sobie wzór funkcji l

161
00:06:48,744 --> 00:06:51,647
jako y równa się ax plus b

162
00:06:51,903 --> 00:06:53,951
i korzystamy z prostopadłości.

163
00:06:54,463 --> 00:06:58,559
Mamy a razy -4 równa się -1.

164
00:06:58,815 --> 00:07:01,786
A po podzieleniu obustronnie przez -4

165
00:07:01,786 --> 00:07:05,235
otrzymujemy, że a równa się 1/4.

166
00:07:05,817 --> 00:07:07,007
Fantastycznie!

167
00:07:07,007 --> 00:07:10,591
Podstawmy za a w naszej funkcji 1/4.

168
00:07:11,103 --> 00:07:13,169
Teraz współczynnik b.

169
00:07:14,687 --> 00:07:17,090
Skorzystamy tutaj oczywiście z informacji

170
00:07:17,090 --> 00:07:20,663
że miejsce zerowe prostej l to 3.

171
00:07:20,663 --> 00:07:23,016
Oznacza to, jak już dobrze wiesz

172
00:07:23,016 --> 00:07:26,719
że prosta przechodzi przez punkt 3, 0.

173
00:07:27,231 --> 00:07:29,769
Podstawmy zatem współrzędne tego punktu

174
00:07:29,769 --> 00:07:31,611
do wzoru naszej prostej.

175
00:07:31,611 --> 00:07:36,191
Mamy 0 równa się 1/4 razy 3 plus b.

176
00:07:37,215 --> 00:07:39,190
b przenosimy na lewą stronę

177
00:07:39,190 --> 00:07:41,311
a liczby zostawiamy po prawej.

178
00:07:41,823 --> 00:07:45,151
Wynik to b równe -3/4.

179
00:07:45,919 --> 00:07:46,837
I gotowe.

180
00:07:46,837 --> 00:07:48,505
Nasza prosta ma wzór:

181
00:07:48,505 --> 00:07:53,087
y równa się 1/4 razy x minus 3/4

182
00:07:53,343 --> 00:07:54,684
Idzie nam tak dobrze

183
00:07:54,684 --> 00:07:56,399
że nie możemy odpuścić.

184
00:07:56,415 --> 00:07:59,479
Przed Tobą ostatnie zadanie w tej lekcji.

185
00:08:02,815 --> 00:08:05,901
Jaką wartość należy wstawić w miejsce m

186
00:08:05,901 --> 00:08:10,239
aby proste y równa się 3x plus 3m

187
00:08:10,495 --> 00:08:15,301
i y równa się 2m plus 1 razy x plus 6

188
00:08:15,301 --> 00:08:17,857
były do siebie prostopadłe?

189
00:08:20,735 --> 00:08:22,527
Gdzie w tych wzorach prostych

190
00:08:22,527 --> 00:08:24,319
mamy współczynniki kierunkowe?

191
00:08:25,343 --> 00:08:26,919
W przypadku pierwszej prostej

192
00:08:26,919 --> 00:08:29,695
będzie on tutaj i wynosi 3

193
00:08:29,951 --> 00:08:31,464
a w przypadku drugiej

194
00:08:31,464 --> 00:08:33,533
znajduje się w tym miejscu

195
00:08:33,533 --> 00:08:36,595
i wynosi 2m plus 1.

196
00:08:36,607 --> 00:08:38,911
Twórcy tego zadania chcieli Cię zmylić

197
00:08:38,977 --> 00:08:41,561
wstawiając w tym miejscu 3m.

198
00:08:41,561 --> 00:08:42,739
Ale my już umiemy

199
00:08:42,739 --> 00:08:44,617
rozwiązywać takie zadania.

200
00:08:45,055 --> 00:08:47,368
Piszemy, korzystając oczywiście

201
00:08:47,368 --> 00:08:49,115
z prostopadłości

202
00:08:49,151 --> 00:08:53,587
że 3 razy 2m plus 1 równa się -1.

203
00:08:53,759 --> 00:08:56,414
Najpierw musimy wymnożyć przez 3

204
00:08:56,414 --> 00:08:59,033
wszystko, co znajduje się w nawiasie.

205
00:08:59,135 --> 00:09:03,231
Mamy zatem 6m plus 3 równa się -1.

206
00:09:03,743 --> 00:09:06,303
Teraz m pozostawiamy po lewej

207
00:09:06,559 --> 00:09:09,375
a liczby przenosimy na prawą stronę.

208
00:09:09,887 --> 00:09:12,959
Mamy 6m równa się -4.

209
00:09:13,471 --> 00:09:15,257
Po podzieleniu przez 6

210
00:09:15,257 --> 00:09:17,797
otrzymujemy -4/6

211
00:09:17,797 --> 00:09:20,383
a to równa się -2/3.

212
00:09:20,895 --> 00:09:23,227
Oto poszukiwana niewiadoma.

213
00:09:27,551 --> 00:09:29,409
Aby wykresy funkcji liniowej

214
00:09:29,409 --> 00:09:31,135
były do siebie prostopadłe

215
00:09:31,391 --> 00:09:33,309
należy pamiętać o zależności

216
00:09:33,309 --> 00:09:34,441
jaką spełniają

217
00:09:34,441 --> 00:09:36,605
ich współczynniki kierunkowe.

218
00:09:36,767 --> 00:09:39,839
Ich iloraz musi być równy minus jednemu.

219
00:09:44,959 --> 00:09:47,327
Obejrzyj pozostałe filmy o funkcji

220
00:09:47,327 --> 00:09:49,515
liniowej, a po więcej materiałów

221
00:09:49,515 --> 00:09:52,383
zajrzyj na naszą stronę pistacja.tv