1
00:00:00,016 --> 00:00:01,790
Wielkie twierdzenie Fermata

2
00:00:01,840 --> 00:00:05,013
zostało udowodnione po 358 latach

3
00:00:05,073 --> 00:00:07,588
wysiłków matematyków z całego świata.

4
00:00:07,618 --> 00:00:09,412
Wygląda ono w ten sposób:

5
00:00:09,458 --> 00:00:10,575
x do potęgi n

6
00:00:10,575 --> 00:00:12,208
dodać y do potęgi n

7
00:00:12,288 --> 00:00:14,123
równa się z do potęgi n.

8
00:00:14,163 --> 00:00:16,306
Ma ono 3 niewiadome: x, y, z.

9
00:00:16,342 --> 00:00:19,124
W tym filmie pokażę Ci, jak wyglądają

10
00:00:19,124 --> 00:00:21,760
równania z dwiema niewiadomymi.

11
00:00:34,872 --> 00:00:37,076
Mamy tutaj 5 równań

12
00:00:37,126 --> 00:00:40,960
z dwiema niewiadomymi: y oraz x.

13
00:00:41,332 --> 00:00:44,873
Za chwilę pokażę Ci ich wykresy

14
00:00:45,543 --> 00:00:48,039
na podstawie których nauczymy się

15
00:00:48,089 --> 00:00:51,892
rozpoznawać równania pierwszego stopnia.

16
00:00:51,984 --> 00:00:53,710
Spójrzmy na początku

17
00:00:53,750 --> 00:00:56,190
na wykres zielonej funkcji.

18
00:00:57,044 --> 00:01:00,628
Wykres ten ma postać prostej.

19
00:01:01,476 --> 00:01:05,527
Warto też zauważyć, że x w tym równaniu

20
00:01:05,567 --> 00:01:08,684
występuje w potędze pierwszej.

21
00:01:09,200 --> 00:01:11,458
Równaniem pierwszego stopnia

22
00:01:11,458 --> 00:01:13,627
nazywamy takie równanie

23
00:01:13,627 --> 00:01:15,809
w którym niewiadome występują

24
00:01:15,809 --> 00:01:17,314
w pierwszej potędze.

25
00:01:17,740 --> 00:01:19,737
Wykresem takiego równania

26
00:01:19,737 --> 00:01:22,982
z dwiema niewiadomymi jest linia prosta.

27
00:01:23,482 --> 00:01:25,446
Dlatego takie równania

28
00:01:25,446 --> 00:01:29,208
nazywamy czasem równaniami liniowymi.

29
00:01:29,208 --> 00:01:30,798
Wykres kolejnej

30
00:01:30,798 --> 00:01:33,273
tym razem pomarańczowej funkcji

31
00:01:33,273 --> 00:01:35,398
wygląda następująco.

32
00:01:35,594 --> 00:01:38,358
Od razu widzimy, że nie jest to prosta

33
00:01:38,408 --> 00:01:39,886
zatem nie jest to też

34
00:01:39,896 --> 00:01:41,974
równanie pierwszego stopnia.

35
00:01:42,466 --> 00:01:44,730
Do podobnych wniosków doszlibyśmy

36
00:01:44,730 --> 00:01:47,405
analizując do jakiej potęgi

37
00:01:47,405 --> 00:01:48,961
podniesiony jest y

38
00:01:48,961 --> 00:01:51,586
oraz do jakiej potęgi podniesiony jest x.

39
00:01:51,978 --> 00:01:54,413
Widzimy, że y podniesiony jest

40
00:01:54,433 --> 00:01:56,070
do potęgi pierwszej

41
00:01:56,090 --> 00:01:58,072
zatem warunek spełniony.

42
00:01:58,278 --> 00:02:00,047
Ale nasz x

43
00:02:00,047 --> 00:02:01,990
podniesiony jest do potęgi drugiej

44
00:02:01,990 --> 00:02:03,957
zatem w tym przypadku

45
00:02:03,957 --> 00:02:05,967
warunek nie został spełniony

46
00:02:05,967 --> 00:02:07,481
czyli o tym równaniu

47
00:02:07,521 --> 00:02:09,145
nie możemy powiedzieć

48
00:02:09,145 --> 00:02:11,142
że jest pierwszego stopnia.

49
00:02:11,198 --> 00:02:14,014
Przeanalizujmy teraz takie równanie.

50
00:02:14,436 --> 00:02:17,686
Wiemy, że pierwiastek z x

51
00:02:17,686 --> 00:02:18,498
to to samo

52
00:02:18,498 --> 00:02:21,056
co x podniesiony do potęgi 1/2.

53
00:02:21,644 --> 00:02:23,968
Czy jesteś w stanie stwierdzić

54
00:02:24,018 --> 00:02:26,864
czy jest to równanie pierwszego stopnia

55
00:02:26,920 --> 00:02:29,112
zanim zobaczymy jego wykres?

56
00:02:32,770 --> 00:02:34,038
Tak, masz rację.

57
00:02:34,484 --> 00:02:36,790
Nie jest to równanie pierwszego stopnia

58
00:02:36,830 --> 00:02:41,186
bo x znajduje się tutaj w potędze 1/2

59
00:02:41,216 --> 00:02:43,448
a nie w potędze pierwszej.

60
00:02:43,710 --> 00:02:45,750
Dla pewności sprawdźmy jeszcze

61
00:02:45,860 --> 00:02:47,676
wykres tej funkcji.

62
00:02:48,760 --> 00:02:51,320
Prezentuje się on w ten sposób.

63
00:02:51,436 --> 00:02:53,683
Jak widzimy, nie jest to prosta

64
00:02:53,753 --> 00:02:55,794
zatem nie jest to też

65
00:02:55,794 --> 00:02:57,476
równanie pierwszego stopnia

66
00:02:57,476 --> 00:02:59,878
czyli nasz wniosek był poprawny.

67
00:03:01,816 --> 00:03:04,912
Skupmy się teraz na takim równaniu.

68
00:03:05,214 --> 00:03:06,028
Jak myślisz

69
00:03:06,028 --> 00:03:08,910
czy jest ono równaniem pierwszego stopnia?

70
00:03:08,910 --> 00:03:10,456
I jaką postać przyjmie

71
00:03:10,456 --> 00:03:11,744
wykres tej funkcji?

72
00:03:12,026 --> 00:03:13,796
Zastanów się chwilę.

73
00:03:17,166 --> 00:03:20,238
y występuje tu w potędze pierwszej.

74
00:03:21,064 --> 00:03:24,018
x także występuje w potędze pierwszej.

75
00:03:24,826 --> 00:03:27,020
Zatem powinno być to równanie

76
00:03:27,020 --> 00:03:28,410
pierwszego stopnia.

77
00:03:29,018 --> 00:03:31,066
Spójrzmy jeszcze na wykres.

78
00:03:31,472 --> 00:03:33,350
Jest on prostą.

79
00:03:33,542 --> 00:03:35,688
Zatem mamy potwierdzenie.

80
00:03:35,818 --> 00:03:37,959
To równanie także jest równaniem

81
00:03:37,979 --> 00:03:41,416
pierwszego stopnia z dwoma niewiadomymi.

82
00:03:41,948 --> 00:03:44,528
Zostało nam już tylko jedno równanie

83
00:03:44,558 --> 00:03:46,175
do przeanalizowania.

84
00:03:46,225 --> 00:03:49,405
Na pierwszy rzut oka mogłoby się wydawać

85
00:03:49,435 --> 00:03:53,448
że y oraz x są w potędze pierwszej.

86
00:03:53,704 --> 00:03:56,071
Co oznaczałoby, że jest to równanie

87
00:03:56,091 --> 00:03:57,468
pierwszego stopnia.

88
00:03:57,514 --> 00:03:59,983
Jednak zawsze chcemy doprowadzić

89
00:03:59,983 --> 00:04:02,527
do postaci, gdy y jest po jednej stronie

90
00:04:02,537 --> 00:04:04,980
a x i liczba po drugiej stronie.

91
00:04:05,360 --> 00:04:06,393
Aby to zrobić

92
00:04:06,423 --> 00:04:09,274
musimy stronami podzielić przez x.

93
00:04:09,536 --> 00:04:13,632
Co da nam y równa się 1 przez x.

94
00:04:14,234 --> 00:04:17,607
Co jest równoważne z zapisem

95
00:04:17,637 --> 00:04:21,507
y równa się x do potęgi minus pierwszej

96
00:04:21,533 --> 00:04:24,007
bo gdy x znajduje się w mianowniku

97
00:04:24,007 --> 00:04:25,938
i jest w potędze pierwszej

98
00:04:25,938 --> 00:04:28,031
możemy to zapisać w ten sposób.

99
00:04:28,117 --> 00:04:30,321
Razy 1.

100
00:04:30,321 --> 00:04:33,117
Czyli ostatecznie otrzymamy, że y

101
00:04:33,173 --> 00:04:36,781
jest równy x do potęgi minus pierwszej.

102
00:04:36,781 --> 00:04:41,032
Podsumowując, mamy y w potędze pierwszej

103
00:04:41,042 --> 00:04:44,106
oraz x w potędze minus pierwszej

104
00:04:44,126 --> 00:04:47,969
zatem żółte równanie nie jest równaniem

105
00:04:48,005 --> 00:04:49,541
pierwszego stopnia.

106
00:04:49,551 --> 00:04:51,938
Oczywiście, upewnijmy się jeszcze

107
00:04:51,988 --> 00:04:53,860
że mamy rację i zobaczmy

108
00:04:53,860 --> 00:04:56,697
jak wygląda wykres takiej funkcji.

109
00:04:56,697 --> 00:04:57,824
Ta struktura

110
00:04:57,824 --> 00:05:00,475
zdecydowanie nie przypomina prostej.

111
00:05:00,475 --> 00:05:02,406
Zatem mieliśmy rację

112
00:05:02,406 --> 00:05:04,805
nie jest to równanie pierwszego stopnia.

113
00:05:10,051 --> 00:05:12,621
W tej części lekcji pokażę Ci

114
00:05:12,681 --> 00:05:14,516
jak rozwiązywać równania

115
00:05:14,516 --> 00:05:18,213
pierwszego stopnia z dwoma niewiadomymi.

116
00:05:18,685 --> 00:05:21,927
Na początku zawsze staramy się

117
00:05:21,927 --> 00:05:24,078
doprowadzić nasze wyrażenie

118
00:05:24,078 --> 00:05:27,492
do postaci, gdzie y znajduje się

119
00:05:27,492 --> 00:05:29,244
po jednej stronie równania

120
00:05:29,244 --> 00:05:31,318
a po drugiej stronie równania

121
00:05:31,380 --> 00:05:34,597
mamy liczbę oraz naszego x.

122
00:05:34,597 --> 00:05:36,776
Niekiedy ten krok możesz pominąć

123
00:05:36,776 --> 00:05:38,862
gdy w zadaniu taka postać

124
00:05:38,932 --> 00:05:40,815
jest nam dana od razu.

125
00:05:40,931 --> 00:05:44,309
Jednak w naszym przypadku musimy to x

126
00:05:44,339 --> 00:05:46,185
przenieść na drugą stronę.

127
00:05:46,785 --> 00:05:49,647
Aby to zrobić, dodamy stronami x.

128
00:05:50,213 --> 00:05:51,982
Co da nam y

129
00:05:51,982 --> 00:05:54,361
znak równości x plus 1

130
00:05:54,361 --> 00:05:57,034
czyli otrzymaliśmy taką postać

131
00:05:57,064 --> 00:05:58,676
jakiej poszukiwaliśmy.

132
00:05:58,706 --> 00:06:01,063
To znaczy, po jednej stronie mamy y

133
00:06:01,133 --> 00:06:04,247
a po drugiej stronie x oraz liczbę.

134
00:06:04,579 --> 00:06:06,041
Narysujemy teraz wykres

135
00:06:06,061 --> 00:06:07,665
dla naszej funkcji.

136
00:06:08,173 --> 00:06:10,871
Do tego celu posłużymy się

137
00:06:10,931 --> 00:06:13,513
niezawodną tabelką.

138
00:06:14,021 --> 00:06:16,119
Teraz przypomnę tylko krótko

139
00:06:16,119 --> 00:06:17,093
jak to zrobić.

140
00:06:17,419 --> 00:06:19,467
Wybieramy sobie dwa x

141
00:06:19,573 --> 00:06:22,277
na przykład może być to x zero

142
00:06:22,323 --> 00:06:23,859
oraz x 2.

143
00:06:24,075 --> 00:06:27,007
Następnie podstawiamy te liczby

144
00:06:27,027 --> 00:06:30,867
do naszego wzoru i obliczamy wartość y.

145
00:06:31,755 --> 00:06:34,339
Gdy za x podstawimy zero

146
00:06:34,359 --> 00:06:38,949
otrzymamy, że y to zero plus 1, czyli 1.

147
00:06:39,015 --> 00:06:42,203
A gdy za x podstawimy 2

148
00:06:42,203 --> 00:06:47,997
otrzymamy, że y to 2 plus 1, czyli 3.

149
00:06:48,377 --> 00:06:50,725
W ten sposób wyznaczyliśmy

150
00:06:50,755 --> 00:06:53,259
współrzędne dwóch punktów

151
00:06:53,631 --> 00:06:56,202
i jesteśmy w stanie narysować teraz

152
00:06:56,242 --> 00:06:58,389
wykres badanej funkcji.

153
00:06:58,575 --> 00:07:01,907
Aby to zrobić, musimy otrzymane punkty

154
00:07:01,977 --> 00:07:05,045
zaznaczyć w układzie współrzędnych.

155
00:07:05,121 --> 00:07:07,559
Pierwszy punkt ma współrzędne

156
00:07:07,589 --> 00:07:10,873
x zero oraz y 1.

157
00:07:11,077 --> 00:07:13,257
Czyli znajdzie się tutaj.

158
00:07:13,769 --> 00:07:16,123
A drugi punkt ma współrzędne

159
00:07:16,163 --> 00:07:19,015
x 2 oraz y 3.

160
00:07:19,251 --> 00:07:21,299
Czyli znajdzie się tutaj.

161
00:07:21,921 --> 00:07:25,524
Aby narysować teraz wykres naszej funkcji

162
00:07:25,574 --> 00:07:27,782
musimy przez te dwa punkty

163
00:07:27,842 --> 00:07:29,455
poprowadzić prostą.

164
00:07:29,707 --> 00:07:30,559
Świetnie.

165
00:07:30,559 --> 00:07:32,417
Wykres naszej zielonej funkcji

166
00:07:32,443 --> 00:07:33,807
jest już gotowy.

167
00:07:34,651 --> 00:07:37,433
Pokażę Ci teraz jkak wyznaczyć

168
00:07:37,513 --> 00:07:40,014
rozwiązanie naszego równania.

169
00:07:40,014 --> 00:07:41,374
Pierwszy sposób

170
00:07:41,374 --> 00:07:44,379
to odczytanie rozwiązania z wykresu.

171
00:07:44,695 --> 00:07:47,108
Rozwiązaniem będą współrzędne

172
00:07:47,118 --> 00:07:50,629
każdego punktu, który leży na tej prostej.

173
00:07:50,915 --> 00:07:52,898
Co oznacza, że mamy

174
00:07:52,898 --> 00:07:54,769
nieskończenie wiele rozwiązań

175
00:07:54,769 --> 00:07:57,076
bo możemy w nieskończoność

176
00:07:57,076 --> 00:07:58,875
wyznaczać kolejne punkty

177
00:07:58,895 --> 00:08:01,003
które leżą na prostej.

178
00:08:01,003 --> 00:08:03,212
Zwróć uwagę, że wyznaczyliśmy już

179
00:08:03,212 --> 00:08:05,297
wcześniej dwa takie rozwiązania.

180
00:08:05,357 --> 00:08:09,667
Był to punkt o współrzędnych x zero, y 1

181
00:08:09,743 --> 00:08:12,164
oraz drugi punkt o współrzędnych

182
00:08:12,204 --> 00:08:14,281
x 2 oraz y 3.

183
00:08:14,647 --> 00:08:17,137
Możemy oczywiście wyznaczyć

184
00:08:17,137 --> 00:08:18,702
kolejne takie punkty

185
00:08:18,702 --> 00:08:21,512
na przykład dla x równego 1

186
00:08:21,602 --> 00:08:24,676
mamy punkt w tym miejscu

187
00:08:24,736 --> 00:08:28,529
które odpowiada y o wartości 2.

188
00:08:28,595 --> 00:08:31,445
Zatem rozwiązaniem jest punkt

189
00:08:31,461 --> 00:08:34,501
o współrzędnych x 1 oraz y 2.

190
00:08:34,531 --> 00:08:36,150
Pokażę Ci teraz

191
00:08:36,150 --> 00:08:39,104
jak wyznaczyć to samo rozwiązanie

192
00:08:39,104 --> 00:08:40,703
w sposób algebraiczny.

193
00:08:40,789 --> 00:08:43,200
y przypisujemy bez zmian.

194
00:08:43,200 --> 00:08:44,883
Znak równości

195
00:08:44,883 --> 00:08:46,716
i za x podstawiamy

196
00:08:46,716 --> 00:08:48,536
wybraną przez nas liczbę

197
00:08:48,536 --> 00:08:51,049
w tym przypadku było to 1.

198
00:08:51,155 --> 00:08:54,227
Dodać 1, bo tak mówi wzór.

199
00:08:54,363 --> 00:08:57,961
I otrzymamy, że y równa się 2 .

200
00:08:58,007 --> 00:09:03,783
Zatem mamy rozwiązanie, że dla x równego 1

201
00:09:04,025 --> 00:09:06,271
mamy y równy 2.

202
00:09:06,327 --> 00:09:08,237
Co zgadza się z wykresem

203
00:09:08,407 --> 00:09:11,423
bo ten punkt leży na naszej prostej.

204
00:09:11,499 --> 00:09:13,427
Możemy również wyznaczyć

205
00:09:13,457 --> 00:09:15,339
te wartości na odwrót.

206
00:09:15,555 --> 00:09:17,859
To znaczy podstawiamy coś za y

207
00:09:17,915 --> 00:09:19,937
i wyznaczamy x.

208
00:09:20,319 --> 00:09:21,562
Na przykład

209
00:09:21,562 --> 00:09:25,177
weźmy sobie y o wartości minus 1

210
00:09:25,539 --> 00:09:29,141
równa się x plus 1.

211
00:09:29,379 --> 00:09:32,240
Z tego równania otrzymamy

212
00:09:32,240 --> 00:09:34,297
że x to minus 2

213
00:09:34,297 --> 00:09:37,087
bo odejmujemy stronami 1.

214
00:09:37,087 --> 00:09:39,986
Zatem otrzymamy x równa się

215
00:09:39,986 --> 00:09:41,967
minus 1 minus 1

216
00:09:41,967 --> 00:09:43,911
co da nam łącznie minus 2.

217
00:09:44,411 --> 00:09:46,451
Czyli kolejne rozwiązanie

218
00:09:46,451 --> 00:09:53,333
to dla x minus 2,mamy y równy minus 1.

219
00:09:53,669 --> 00:09:56,229
Czy punkt o takich współrzędnych

220
00:09:56,289 --> 00:09:58,849
leży na wykresie naszej funkcji?

221
00:09:58,925 --> 00:10:00,053
Sprawdźmy.

222
00:10:00,159 --> 00:10:05,791
Mamy x minus 2 oraz y minus 1.

223
00:10:06,163 --> 00:10:08,723
Czyli ten punkt leży na naszej prostej.

224
00:10:09,281 --> 00:10:10,213
Zobacz.

225
00:10:10,565 --> 00:10:12,234
Każda para liczb

226
00:10:12,234 --> 00:10:15,369
która spełnia nasze równanie

227
00:10:15,369 --> 00:10:19,092
reprezentuje współrzędne punktu

228
00:10:19,092 --> 00:10:23,539
który leży na wykresie takiej funkcji.

229
00:10:23,667 --> 00:10:27,251
Co możemy powiedzieć na temat tego punktu?

230
00:10:27,697 --> 00:10:30,769
Nie leży on na naszej prostej.

231
00:10:30,985 --> 00:10:33,548
Zatem zgodnie z tym

232
00:10:33,548 --> 00:10:35,631
co powiedzieliśmy sobie przed chwilą

233
00:10:35,631 --> 00:10:37,165
gdy podstawimy

234
00:10:37,165 --> 00:10:40,892
współrzędne tego punktu do naszego wzoru

235
00:10:40,892 --> 00:10:44,182
powinniśmy otrzymać sprzeczność

236
00:10:44,252 --> 00:10:46,132
bo przypomnę

237
00:10:46,132 --> 00:10:49,149
nie leży on na naszym wykresie.

238
00:10:49,327 --> 00:10:53,530
Współrzędna odczytana z osi pionowej y

239
00:10:53,530 --> 00:10:54,893
to 1.

240
00:10:55,149 --> 00:10:58,979
Zatem w miejsce y wpisujemy 1.

241
00:10:59,539 --> 00:11:00,859
Znak równości.

242
00:11:01,705 --> 00:11:06,633
W miejsce x wpisujemy współrzędną x-ową

243
00:11:06,729 --> 00:11:09,799
która w tym przypadku wynosi 3.

244
00:11:10,971 --> 00:11:13,531
I dodajemy jeszcze 1.

245
00:11:13,853 --> 00:11:16,793
Sprawdzamy, czy ta równość zachodzi .

246
00:11:16,849 --> 00:11:19,817
Zatem dopiszmy nad znakiem równości

247
00:11:19,917 --> 00:11:21,813
jeszcze znak zapytania.

248
00:11:22,807 --> 00:11:25,879
Otrzymamy 1 równa się 4.

249
00:11:25,945 --> 00:11:28,253
Co oczywiście nie jest prawdą.

250
00:11:28,399 --> 00:11:31,983
Zatem otrzymaliśmy równanie sprzeczne.

251
00:11:32,069 --> 00:11:35,319
Podsumowując, każdą parę liczb

252
00:11:35,319 --> 00:11:38,208
która spełnia dane równanie

253
00:11:38,208 --> 00:11:41,315
nazywamy rozwiązaniem takiego równania.

254
00:11:41,621 --> 00:11:44,379
A interpretacją pary liczb

255
00:11:44,379 --> 00:11:45,904
która spełnia równanie

256
00:11:45,904 --> 00:11:48,733
jest punkt leżący na wykresie.

257
00:11:49,957 --> 00:11:52,185
Natomiast para liczb

258
00:11:52,185 --> 00:11:55,305
która nie spełnia danego równania

259
00:11:55,305 --> 00:11:57,680
to współrzędne punktu

260
00:11:57,680 --> 00:12:01,041
który nie leży na naszym wykresie.

261
00:12:07,231 --> 00:12:09,251
Z tej lekcji zapamiętaj

262
00:12:09,251 --> 00:12:11,156
że równaniem pierwszego stopnia

263
00:12:11,156 --> 00:12:13,023
nazywamy takie równanie

264
00:12:13,023 --> 00:12:15,377
w którym niewiadome występują

265
00:12:15,407 --> 00:12:16,934
w pierwszej potędze

266
00:12:16,934 --> 00:12:18,485
oraz, że każda para liczb

267
00:12:18,485 --> 00:12:19,854
która po podstawieniu

268
00:12:19,854 --> 00:12:22,218
do danego równania da równość prawdziwą

269
00:12:22,218 --> 00:12:24,181
reprezentuje współrzędne punktu

270
00:12:24,241 --> 00:12:26,705
leżącego na wykresie tej funkcji.

271
00:12:32,083 --> 00:12:34,056
Zachęcam Cię do obejrzenia

272
00:12:34,056 --> 00:12:37,374
pozostałych filmów z playlisty układy równań

273
00:12:37,374 --> 00:12:39,269
oraz do odwiedzenia naszej strony

274
00:12:39,269 --> 00:12:40,929
pi-stacja.tv