1
00:00:00,256 --> 00:00:02,633
Galileusz, pochodzący z Włoch

2
00:00:02,733 --> 00:00:04,708
fizyk i astronom sądził

3
00:00:04,864 --> 00:00:06,786
że gdy zamocujemy na końcach

4
00:00:06,786 --> 00:00:08,804
łańcuch tak, aby wisiał

5
00:00:09,116 --> 00:00:11,208
to otrzymany kształt paraboli.

6
00:00:11,520 --> 00:00:13,421
Dopiero później udowodniono

7
00:00:13,421 --> 00:00:15,739
że to inny kształt, który nazwano

8
00:00:15,739 --> 00:00:17,452
krzywą łańcuchową.

9
00:00:28,336 --> 00:00:29,768
W tej lekcji pokażę Ci

10
00:00:29,868 --> 00:00:31,676
jaka postać funkcji kwadratowej

11
00:00:31,776 --> 00:00:34,560
powstanie po przesunięciu wykresu funkcji

12
00:00:34,716 --> 00:00:37,476
określonej wzorem a razy x do kwadratu.

13
00:00:37,788 --> 00:00:39,581
Zanim jednak do tego przejdziemy

14
00:00:39,681 --> 00:00:41,816
przypomnijmy sobie, jak przesuwa się

15
00:00:41,916 --> 00:00:44,032
w układzie współrzędnych wykres

16
00:00:44,048 --> 00:00:45,256
dowolnej funkcji.

17
00:00:45,568 --> 00:00:47,532
Niech f od x będzie dowolnym

18
00:00:47,532 --> 00:00:48,824
wzorem funkcji.

19
00:00:48,896 --> 00:00:50,276
Nie wiemy, jaki to wzór.

20
00:00:50,432 --> 00:00:53,704
Wiemy jedynie, że zmienną jest litera x.

21
00:00:54,016 --> 00:00:56,096
Przesuwając funkcję f od x

22
00:00:56,196 --> 00:00:57,785
o q jednostek w górę

23
00:00:57,885 --> 00:01:00,269
otrzymamy nowy wzór poprzez dodanie

24
00:01:00,369 --> 00:01:03,276
do formuły f od x liczby q.

25
00:01:03,488 --> 00:01:05,198
W takim przypadku możemy zapisać

26
00:01:05,298 --> 00:01:08,039
wektor przesunięcia jako 0, q.

27
00:01:08,352 --> 00:01:10,245
Przesuwając funkcję f od x

28
00:01:10,345 --> 00:01:11,905
o q jednostek w dół

29
00:01:11,905 --> 00:01:14,290
otrzymamy nowy wzór poprzez odjęcie

30
00:01:14,390 --> 00:01:17,100
od wzoru f od x liczby q.

31
00:01:17,212 --> 00:01:20,684
Wektor przesunięcia to 0, –q.

32
00:01:20,896 --> 00:01:22,866
Przesuwając funkcję f od x

33
00:01:22,966 --> 00:01:24,548
o p jednostek w prawo

34
00:01:24,648 --> 00:01:26,022
otrzymamy nowy wzór

35
00:01:26,122 --> 00:01:28,127
odejmując od każdego argumentu

36
00:01:28,127 --> 00:01:31,436
we wzorze f od x, liczbę p.

37
00:01:31,648 --> 00:01:33,832
Wektor przesunięcia w takim przypadku

38
00:01:33,832 --> 00:01:35,532
to p, 0.

39
00:01:35,744 --> 00:01:36,494
A co robimy

40
00:01:36,594 --> 00:01:38,435
przesuwając funkcję f od x

41
00:01:38,535 --> 00:01:40,140
o p jednostek w lewo?

42
00:01:40,352 --> 00:01:43,980
Do każdego argumentu dodajemy liczbę p.

43
00:01:44,192 --> 00:01:47,820
Wektor przesunięcia to –p, 0.

44
00:01:51,726 --> 00:01:54,079
Za chwilę poprzesuwamy sobie funkcję

45
00:01:54,179 --> 00:01:57,804
y równa się 2x kwadrat na różne sposoby.

46
00:01:58,172 --> 00:02:00,326
Tak wygląda wykres funkcji

47
00:02:00,426 --> 00:02:02,980
y równa się 2x do kwadratu.

48
00:02:03,136 --> 00:02:04,919
Wiesz już, że jej wierzchołek

49
00:02:04,919 --> 00:02:06,820
jest punkcie 0, 0.

50
00:02:06,976 --> 00:02:09,130
Co się stanie, gdy przesuniemy wykres

51
00:02:09,130 --> 00:02:11,784
tej funkcji o jedną jednostkę w górę?

52
00:02:12,096 --> 00:02:14,856
Jak będzie wyglądał wzór po przesunięciu?

53
00:02:15,068 --> 00:02:17,079
Jakie będą współrzędne wierzchołka

54
00:02:17,179 --> 00:02:18,796
przesuniętej paraboli?

55
00:02:19,264 --> 00:02:21,448
Przesuwając funkcję f od x

56
00:02:21,548 --> 00:02:23,432
o jedną jednostkę w górę

57
00:02:23,532 --> 00:02:27,144
do wzoru na f od x dodajemy liczbę 1.

58
00:02:27,456 --> 00:02:30,572
Otrzymujemy 2x do kwadratu dodać 1.

59
00:02:31,040 --> 00:02:32,572
Przesuńmy teraz wykres

60
00:02:32,572 --> 00:02:34,312
o jedną jednostkę w górę.

61
00:02:34,624 --> 00:02:37,454
Wierzchołek, który był w punkcie 0, 0

62
00:02:37,554 --> 00:02:39,844
znalazł się w punkcie 0, 1.

63
00:02:40,000 --> 00:02:42,254
Po przesunięciu funkcji f od x

64
00:02:42,354 --> 00:02:43,940
o dwie jednostki w górę

65
00:02:44,096 --> 00:02:46,600
do wzoru na f od x dodajemy 2.

66
00:02:46,812 --> 00:02:49,672
Otrzymujemy 2x do kwadratu dodać 2.

67
00:02:49,984 --> 00:02:51,698
Wierzchołek paraboli opisanej

68
00:02:51,698 --> 00:02:54,692
tym wzorem jest w punkcie 0, 2.

69
00:02:54,848 --> 00:02:56,467
Analogiczne zmiany zajdą

70
00:02:56,567 --> 00:02:58,952
po przesunięciu funkcji 2x kwadrat

71
00:02:59,052 --> 00:03:00,580
o 3 jednostki w górę.

72
00:03:00,736 --> 00:03:03,507
Wzór takiej funkcji to 2x do kwadratu

73
00:03:03,507 --> 00:03:04,520
dodać 3.

74
00:03:04,732 --> 00:03:06,387
Wierzchołek paraboli opisanej

75
00:03:06,387 --> 00:03:08,760
wzorem 2x kwadrat dodać 3

76
00:03:08,760 --> 00:03:10,920
jest w punkcie 0, 3.

77
00:03:11,232 --> 00:03:14,192
Wróćmy do funkcji 2x do kwadratu.

78
00:03:14,716 --> 00:03:18,227
Jak będzie wyglądał wzór tej funkcji po

79
00:03:18,227 --> 00:03:21,828
przesunięciu f od x o 1 jednostkę w dół?

80
00:03:21,984 --> 00:03:24,176
Spróbuj odpowiedzieć samodzielnie.

81
00:03:27,606 --> 00:03:30,532
Od wzoru na f od x odejmujemy 1.

82
00:03:30,688 --> 00:03:33,804
Otrzymujemy 2x do kwadratu odjąć 1.

83
00:03:34,016 --> 00:03:35,384
Gdzie będzie wierzchołek

84
00:03:35,384 --> 00:03:37,388
funkcji opisanej tym wzorem?

85
00:03:40,472 --> 00:03:42,793
Tak wygląda wykres paraboli opisanej

86
00:03:42,793 --> 00:03:45,180
wzorem 2x kwadrat odjąć 1.

87
00:03:45,436 --> 00:03:48,964
Jej wierzchołek jest w punkcie 0, –1.

88
00:03:49,276 --> 00:03:50,725
A jaki wzór otrzymamy

89
00:03:50,825 --> 00:03:52,630
przesuwając funkcję f od x

90
00:03:52,730 --> 00:03:54,284
o 2 miejsca w dół?

91
00:03:57,568 --> 00:04:00,072
2x do kwadratu odjąć 2.

92
00:04:00,284 --> 00:04:02,101
Gdzie jest wierzchołek paraboli

93
00:04:02,201 --> 00:04:03,756
opisanej tym wzorem?

94
00:04:07,336 --> 00:04:09,582
Wierzchołek paraboli opisanej wzorem

95
00:04:09,582 --> 00:04:11,510
2x kwadrat odjąć 2

96
00:04:11,549 --> 00:04:13,860
jest w punkcie 0, –2.

97
00:04:14,008 --> 00:04:16,854
Analogiczne zmiany zajdą, gdy przesuniemy

98
00:04:16,854 --> 00:04:19,583
2x do kwadratu o 3 jednostki w dół.

99
00:04:19,839 --> 00:04:22,455
Wzór nowej funkcji to 2x do kwadratu

100
00:04:22,455 --> 00:04:23,623
odjąć 3.

101
00:04:23,935 --> 00:04:25,771
Wierzchołek paraboli opisanej

102
00:04:25,771 --> 00:04:28,843
tą formułą jest w punkcie 0 i –3.

103
00:04:29,311 --> 00:04:32,715
Teraz poprzesuwamy funkcję 2x do kwadratu

104
00:04:32,815 --> 00:04:34,319
w lewo i w prawo.

105
00:04:34,687 --> 00:04:37,291
Najpierw w prawo o jedną jednostkę.

106
00:04:37,503 --> 00:04:40,363
Jaki będzie wzór funkcji po przesunięciu?

107
00:04:40,831 --> 00:04:42,979
Aby otrzymać wzór nowej funkcji

108
00:04:43,135 --> 00:04:45,383
należy od argumentu odjąć 1.

109
00:04:45,595 --> 00:04:50,147
Otrzymamy 2 razy, w nawiasie x odjąć 1

110
00:04:50,303 --> 00:04:52,651
zamykamy nawias, do kwadratu.

111
00:04:53,119 --> 00:04:54,981
Wierzchołek paraboli opisanej

112
00:04:55,081 --> 00:04:57,771
tym wzorem jest w punkcie 1 i 0.

113
00:04:57,983 --> 00:04:59,469
A jaki wzór otrzymamy

114
00:04:59,569 --> 00:05:01,495
przesuwając 2x do kwadratu

115
00:05:01,595 --> 00:05:03,403
o dwie jednostki w prawo?

116
00:05:06,551 --> 00:05:09,942
Od argumentu x we wzorze na f od x

117
00:05:09,942 --> 00:05:13,052
odejmujemy 2, otrzymując 2 razy

118
00:05:13,052 --> 00:05:15,350
w nawiasie x odjąć 2

119
00:05:15,350 --> 00:05:17,583
zamykamy nawias, do kwadratu.

120
00:05:17,851 --> 00:05:19,577
Gdzie będzie wierzchołek paraboli

121
00:05:19,677 --> 00:05:21,223
opisanej tym wzorem?

122
00:05:24,351 --> 00:05:26,187
W punkcie 2 i 0.

123
00:05:26,399 --> 00:05:28,149
Analogicznie postępujemy

124
00:05:28,249 --> 00:05:31,124
przesuwając funkcję 2x do kwadratu

125
00:05:31,124 --> 00:05:32,743
o 3 jednostki w prawo.

126
00:05:32,955 --> 00:05:35,289
Wzór funkcji po przesunięciu

127
00:05:35,289 --> 00:05:38,459
to 2 razy, w nawiasie x odjąć 3

128
00:05:38,459 --> 00:05:40,523
zamykamy nawias, do kwadratu.

129
00:05:40,735 --> 00:05:42,454
Wierzchołek paraboli opisanej

130
00:05:42,554 --> 00:05:45,287
tym wzorem jest w punkcie 3 i 0.

131
00:05:45,855 --> 00:05:48,393
Wróćmy do naszej oryginalnej funkcji

132
00:05:48,493 --> 00:05:51,531
czyli tej opisanej wzorem 2x kwadrat.

133
00:05:52,055 --> 00:05:53,749
Jaki wzór otrzymamy

134
00:05:53,849 --> 00:05:56,186
przesuwając funkcję f od x

135
00:05:56,286 --> 00:05:58,187
o jedną jednostkę w lewo?

136
00:05:58,399 --> 00:06:00,067
Aby otrzymać ten wzór

137
00:06:00,167 --> 00:06:01,990
należy do argumentu we wzorze

138
00:06:02,090 --> 00:06:04,231
na f od x dodać 1.

139
00:06:04,543 --> 00:06:08,483
Dostaniemy 2 razy, w nawiasie x dodać 1

140
00:06:08,639 --> 00:06:10,831
zamykamy nawias, do kwadratu.

141
00:06:11,199 --> 00:06:13,004
Wierzchołek paraboli opisanej

142
00:06:13,004 --> 00:06:15,807
tym wzorem jest w punkcie –1 i 0.

143
00:06:16,585 --> 00:06:17,946
A jaki wzór otrzymamy

144
00:06:18,046 --> 00:06:20,272
przesuwając funkcję f od x

145
00:06:20,272 --> 00:06:21,895
o dwie jednostki w lewo?

146
00:06:22,463 --> 00:06:25,887
Do argumentu x we wzorze na f od x

147
00:06:25,887 --> 00:06:28,195
dodajemy 2 i otrzymujemy

148
00:06:28,351 --> 00:06:31,373
2 razy, w nawiasie x dodać 2

149
00:06:31,373 --> 00:06:33,715
zamykamy nawias, do kwadratu.

150
00:06:34,139 --> 00:06:35,846
Wierzchołek paraboli opisanej

151
00:06:35,946 --> 00:06:39,203
tym wzorem znajdzie się w punkcie –2 i 0.

152
00:06:39,615 --> 00:06:41,371
Analogicznie postępujemy

153
00:06:41,471 --> 00:06:44,055
przesuwając funkcję 2x do kwadratu

154
00:06:44,155 --> 00:06:45,703
o 3 jednostki w lewo.

155
00:06:45,915 --> 00:06:48,071
Wzór funkcji po przesunięciu

156
00:06:48,171 --> 00:06:51,187
to 2 razy, w nawiasie x dodać 3

157
00:06:51,187 --> 00:06:53,683
zamykamy nawias, do kwadratu.

158
00:06:54,107 --> 00:06:56,823
Wierzchołek paraboli opisanej tym wzorem

159
00:06:56,823 --> 00:06:58,859
jest w punkcie –3 i 0.

160
00:06:59,839 --> 00:07:02,048
Pomyślmy teraz, co się stanie

161
00:07:02,148 --> 00:07:04,058
gdy naszą funkcję przesuniemy

162
00:07:04,158 --> 00:07:05,993
zarówno wzdłuż osi x

163
00:07:05,993 --> 00:07:07,721
jak i osi y.

164
00:07:11,545 --> 00:07:14,558
Jaki wzór otrzymamy przesuwając ją o dwie

165
00:07:14,558 --> 00:07:17,247
jednostki do góry i jedną w prawo?

166
00:07:17,503 --> 00:07:18,671
Jak myślisz?

167
00:07:21,811 --> 00:07:23,937
Po przesunięciu funkcji f od x

168
00:07:24,037 --> 00:07:26,463
o dwie jednostki do góry otrzymamy wzór

169
00:07:26,619 --> 00:07:28,867
2x do kwadratu dodać 2.

170
00:07:29,279 --> 00:07:31,171
Zostało przesunięcie w prawo.

171
00:07:31,327 --> 00:07:33,361
By zapisać je we wzorze

172
00:07:33,361 --> 00:07:36,547
od argumentu x powinniśmy odjąć 1

173
00:07:36,703 --> 00:07:37,818
bo o tyle jednostek

174
00:07:37,918 --> 00:07:40,131
przesuwamy wykres wzdłuż osi x.

175
00:07:40,443 --> 00:07:42,635
Ostateczny wzór to zatem:

176
00:07:42,847 --> 00:07:45,866
2 razy, w nawiasie x odjąć 1

177
00:07:45,866 --> 00:07:48,025
zamykamy nawias, do kwadratu

178
00:07:48,025 --> 00:07:49,391
dodać 2.

179
00:07:49,899 --> 00:07:51,661
Jak myślisz, gdzie będzie

180
00:07:51,661 --> 00:07:52,739
wierzchołek paraboli

181
00:07:52,739 --> 00:07:54,411
opisanej tym wzorem?

182
00:07:57,851 --> 00:08:00,398
Przesuwamy wykres funkcji 2x kwadrat

183
00:08:00,398 --> 00:08:02,583
o dwie jednostki do góry i o jedną

184
00:08:02,583 --> 00:08:03,969
jednostkę w prawo.

185
00:08:04,095 --> 00:08:07,367
Wierzchołek paraboli jest w punkcie 1 i 2.

186
00:08:07,579 --> 00:08:11,007
Zauważ, że pierwsza współrzędna, czyli 1

187
00:08:11,163 --> 00:08:13,889
jest taka sama, jak liczba oznaczająca

188
00:08:13,989 --> 00:08:16,839
przesunięcie o jedną jednostkę w prawo.

189
00:08:17,151 --> 00:08:19,264
Druga współrzędna, czyli 2

190
00:08:19,364 --> 00:08:21,978
jest taka sama, jak liczba oznaczająca

191
00:08:22,078 --> 00:08:24,619
przesunięcie o dwie jednostki do góry.

192
00:08:25,087 --> 00:08:27,435
Ostatnie zadanie jest dla Ciebie.

193
00:08:27,647 --> 00:08:28,998
Jaki wzór otrzymamy

194
00:08:29,098 --> 00:08:31,629
przesuwając naszą pierwotną funkcję

195
00:08:31,729 --> 00:08:33,123
czyli 2x kwadrat

196
00:08:33,279 --> 00:08:36,239
o 3 jednostki w dół i dwie w lewo?

197
00:08:39,569 --> 00:08:41,639
Po przesunięciu funkcji f od x

198
00:08:41,739 --> 00:08:44,106
o 3 jednostki w dół otrzymamy wzór

199
00:08:44,206 --> 00:08:46,423
2x do kwadratu odjąć 3.

200
00:08:46,747 --> 00:08:48,895
Przesuwając o dwie jednostki w lewo

201
00:08:49,051 --> 00:08:52,679
do argumentu x w tym wzorze dodajemy 2.

202
00:08:52,891 --> 00:08:56,963
Nowy wzór to 2 razy, w nawiasie x dodać 2

203
00:08:56,963 --> 00:08:59,364
zamykamy nawias, do kwadratu

204
00:08:59,364 --> 00:09:00,815
odjąć 3.

205
00:09:01,083 --> 00:09:02,859
Gdzie będzie wierzchołek paraboli

206
00:09:02,859 --> 00:09:04,555
opisanej tym wzorem?

207
00:09:07,539 --> 00:09:10,379
Przesuwamy wykres funkcji 2x kwadrat

208
00:09:10,379 --> 00:09:12,171
o 3 jednostki w dół i o dwie

209
00:09:12,171 --> 00:09:13,259
jednostki w lewo.

210
00:09:13,471 --> 00:09:14,920
Wierzchołek tej paraboli

211
00:09:15,020 --> 00:09:17,823
znajduje się w punkcie –2 i –3.

212
00:09:18,535 --> 00:09:20,894
Zauważ, że pierwsza współrzędna

213
00:09:20,894 --> 00:09:23,963
czyli –2, jest taka sama, jak liczba

214
00:09:23,963 --> 00:09:25,643
oznaczająca przesunięcie o dwie

215
00:09:25,643 --> 00:09:26,983
jednostki w lewo.

216
00:09:27,295 --> 00:09:29,699
Druga współrzędna, czyli –3

217
00:09:29,855 --> 00:09:32,426
jest taka sama, jak liczba oznaczająca

218
00:09:32,426 --> 00:09:34,763
przesunięcie o 3 jednostki w dół.

219
00:09:38,515 --> 00:09:42,327
Niech f od x równa się a x do kwadratu

220
00:09:42,327 --> 00:09:45,059
gdzie a to współczynnik różny od zera.

221
00:09:45,271 --> 00:09:47,844
Wierzchołek paraboli opisanej tym wzorem

222
00:09:47,944 --> 00:09:50,339
niezależnie od współczynnika a

223
00:09:50,339 --> 00:09:52,839
jest zawsze w punkcie 0, 0.

224
00:09:53,151 --> 00:09:55,306
Niech p oznacza liczbę jednostek

225
00:09:55,406 --> 00:09:57,361
o którą przesuwamy wykres funkcji

226
00:09:57,461 --> 00:09:59,395
f od x w prawo lub w lewo

227
00:09:59,551 --> 00:10:01,909
a q liczbę jednostek, o którą przesuwamy

228
00:10:01,909 --> 00:10:05,027
wykres funkcji f od x w górę lub w dół.

229
00:10:05,439 --> 00:10:07,887
Wektor przesunięcia to p i q.

230
00:10:08,579 --> 00:10:10,677
Wzór, który otrzymamy po przesunięciu

231
00:10:10,777 --> 00:10:12,963
funkcji ax do kwadratu to:

232
00:10:13,175 --> 00:10:16,052
a razy, w nawiasie x odjąć p

233
00:10:16,052 --> 00:10:18,209
zamykamy nawias, do kwadratu

234
00:10:18,209 --> 00:10:19,607
dodać q.

235
00:10:19,775 --> 00:10:21,901
Taka postać funkcji kwadratowej

236
00:10:22,001 --> 00:10:24,327
nazywa się postacią kanoniczną.

237
00:10:24,695 --> 00:10:26,484
Z poprzednich przykładów można

238
00:10:26,484 --> 00:10:29,844
wywnioskować, że p i q to współrzędne

239
00:10:29,844 --> 00:10:32,875
wierzchołka paraboli opisanej tym wzorem.

240
00:10:33,143 --> 00:10:35,692
Współczynnik a jest taki sam jak

241
00:10:35,692 --> 00:10:38,563
współczynnik a funkcji, którą przesuwamy

242
00:10:38,719 --> 00:10:40,555
czyli ax do kwadratu.

243
00:10:41,023 --> 00:10:42,817
W kolejnej lekcji poćwiczymy

244
00:10:42,817 --> 00:10:44,851
obcowanie z tą postacią.

245
00:10:50,299 --> 00:10:52,318
Jeżeli przesuniemy wykres funkcji

246
00:10:52,418 --> 00:10:55,377
y równa się a razy x do kwadratu

247
00:10:55,377 --> 00:10:57,203
o wektor p i q

248
00:10:57,203 --> 00:10:59,661
to otrzymamy wykres funkcji kwadratowej

249
00:10:59,761 --> 00:11:03,183
o wzorze y równa się a razy, w nawiasie

250
00:11:03,183 --> 00:11:06,127
x odjąć p zamknąć nawias, do kwadratu

251
00:11:06,227 --> 00:11:07,279
dodać q.

252
00:11:07,391 --> 00:11:08,839
Taką formułę nazywamy

253
00:11:08,939 --> 00:11:12,043
postacią kanoniczną funkcji kwadratowej.

254
00:11:15,297 --> 00:11:17,768
Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych

255
00:11:17,768 --> 00:11:20,027
lekcji z tego działu oraz do polubienia

256
00:11:20,027 --> 00:11:22,267
naszej strony na Facebooku.