1
00:00:00,156 --> 00:00:05,006
192–metrowy łuk wjazdowy Gateway Arch

2
00:00:05,106 --> 00:00:07,267
znajduje się w Saint Louis.

3
00:00:07,424 --> 00:00:08,689
To najwyższy pomnik

4
00:00:08,689 --> 00:00:10,220
w Stanach Zjednoczonych

5
00:00:10,320 --> 00:00:12,132
wykonany przez człowieka.

6
00:00:12,288 --> 00:00:15,204
Na pierwszy rzut oka przypomina parabolę.

7
00:00:15,360 --> 00:00:17,535
W rzeczywistości jest to jednak

8
00:00:17,535 --> 00:00:18,988
krzywa łańcuchowa.

9
00:00:30,008 --> 00:00:32,712
Polecenie, z którym zaczynamy brzmi:

10
00:00:32,924 --> 00:00:34,560
narysuj wykres funkcji

11
00:00:34,816 --> 00:00:37,955
2 razy, w nawiasie x odjąć 3

12
00:00:37,955 --> 00:00:41,516
zamykamy nawias, do kwadratu odjąć 2.

13
00:00:41,728 --> 00:00:43,620
Jak ugryźć to zadanie?

14
00:00:43,776 --> 00:00:45,256
Masz jakiś pomysł?

15
00:00:48,440 --> 00:00:51,812
Liczba 2 w tym wzorze to współczynnik a.

16
00:00:51,968 --> 00:00:53,659
Możemy zacząć od narysowania

17
00:00:53,659 --> 00:00:55,968
funkcji 2x do kwadratu

18
00:00:55,968 --> 00:00:58,912
której wierzchołek jest w punkcie 0 i 0.

19
00:00:59,038 --> 00:01:00,905
Jak przesunięto tę funkcję

20
00:01:01,005 --> 00:01:02,920
że otrzymano tę formułę?

21
00:01:03,488 --> 00:01:06,404
Skoro od argumentu x odjęto liczbę 3

22
00:01:06,560 --> 00:01:07,940
to p wynosi 3

23
00:01:08,096 --> 00:01:10,471
a to oznacza, że 2 do kwadratu

24
00:01:10,571 --> 00:01:13,004
przesunięto o 3 jednostki w prawo.

25
00:01:13,472 --> 00:01:15,726
Po przesunięciu funkcji 2x kwadrat

26
00:01:15,826 --> 00:01:18,280
o 3 jednostki w prawo mamy taki wzór.

27
00:01:18,592 --> 00:01:20,679
Po przesunięciu wykresu tej funkcji

28
00:01:20,679 --> 00:01:22,176
o dwie jednostki w dół

29
00:01:22,432 --> 00:01:25,512
q równa się –2, otrzymamy formułę

30
00:01:25,512 --> 00:01:27,552
którą mamy w treści zadania.

31
00:01:28,064 --> 00:01:30,768
p to 3, a q to –2.

32
00:01:31,036 --> 00:01:33,880
Wiesz już, że wierzchołek funkcji opisanej

33
00:01:33,980 --> 00:01:37,124
tym wzorem to punkt o współrzędnych p i q

34
00:01:37,280 --> 00:01:39,016
czyli 3 i –2.

35
00:01:39,328 --> 00:01:41,625
a jest dodatnie, więc ramiona

36
00:01:41,625 --> 00:01:43,368
są skierowane do góry.

37
00:01:43,580 --> 00:01:45,656
Oczywiście nie trzeba za każdym razem

38
00:01:45,756 --> 00:01:48,232
wychodzić od funkcji ax do kwadratu.

39
00:01:48,544 --> 00:01:51,716
Można ten sam wykres narysować sprytniej.

40
00:01:51,992 --> 00:01:54,731
Wystarczy, że dobrze przyjrzymy się

41
00:01:54,731 --> 00:01:57,704
tej formule i odczytamy od razu p i q.

42
00:01:58,016 --> 00:01:59,084
Najpierw p.

43
00:01:59,296 --> 00:02:02,212
Patrzymy na to, co odejmujemy w nawiasie.

44
00:02:02,368 --> 00:02:04,104
Mamy x odjąć 3.

45
00:02:04,316 --> 00:02:07,076
Oznacza to, że p wynosi 3.

46
00:02:07,342 --> 00:02:10,040
Warto zapamiętać, że wartość p

47
00:02:10,040 --> 00:02:13,320
to liczba z nawiasu ze zmienionym znakiem.

48
00:02:13,632 --> 00:02:17,316
Poza nawiasem znajduje się q, czyli –2.

49
00:02:17,628 --> 00:02:19,501
Mając p i q możemy na układzie

50
00:02:19,501 --> 00:02:22,024
współrzędnych narysować wierzchołek.

51
00:02:22,336 --> 00:02:23,816
Teraz patrzymy na a.

52
00:02:24,384 --> 00:02:25,708
Jest dodatnie.

53
00:02:25,920 --> 00:02:28,168
Rysujemy zatem ramiona do góry.

54
00:02:28,380 --> 00:02:30,756
Jeśli nie trafisz w odpowiednie punkty

55
00:02:30,856 --> 00:02:33,544
należące do wykresu, to się nie przejmuj.

56
00:02:33,756 --> 00:02:35,806
Wykres pomocniczy zawierający

57
00:02:35,906 --> 00:02:37,577
poprawne ułożenie ramion

58
00:02:37,676 --> 00:02:39,600
oraz wierzchołek, wystarczy

59
00:02:39,756 --> 00:02:41,686
aby opisać kilka własności funkcji

60
00:02:41,686 --> 00:02:44,808
kwadratowej o danej postaci kanonicznej.

61
00:02:45,120 --> 00:02:46,890
Ten temat zgłębimy w jednym

62
00:02:46,890 --> 00:02:48,136
z kolejnych filmów.

63
00:02:48,448 --> 00:02:50,582
W tym poćwiczymy sobie obycie

64
00:02:50,682 --> 00:02:52,488
z postacią kanoniczną.

65
00:02:56,596 --> 00:02:59,712
Tym razem mamy narysować wykres funkcji

66
00:02:59,868 --> 00:03:04,320
minus, w nawiasie x dodać 1, zamknąć nawias

67
00:03:04,476 --> 00:03:06,468
do kwadratu, dodać 3.

68
00:03:06,930 --> 00:03:09,791
Weź kartkę, najlepiej w kratkę, długopis

69
00:03:09,891 --> 00:03:12,456
i narysuj układ współrzędnych.

70
00:03:12,668 --> 00:03:15,365
Następnie spróbuj samodzielnie narysować

71
00:03:15,465 --> 00:03:17,732
parabolę opisaną tym wzorem.

72
00:03:17,888 --> 00:03:19,554
Podpowiem, że chodzi tutaj

73
00:03:19,654 --> 00:03:22,358
o poprawne zaznaczenie jej wierzchołka

74
00:03:22,458 --> 00:03:24,932
i odpowiednie narysowanie ramion.

75
00:03:28,084 --> 00:03:30,079
Tym razem najpierw odczytam

76
00:03:30,179 --> 00:03:32,168
wartość współczynnika a.

77
00:03:32,324 --> 00:03:34,654
Wynosi –1, bo przed nawiasem

78
00:03:34,654 --> 00:03:36,164
jest sam minus.

79
00:03:36,320 --> 00:03:37,800
A ile wynosi p?

80
00:03:38,112 --> 00:03:40,622
Skoro w nawiasie mamy x dodać 1

81
00:03:40,622 --> 00:03:42,308
to p wynosi –1.

82
00:03:42,720 --> 00:03:44,444
A ile wynosi q?

83
00:03:44,444 --> 00:03:45,144
3

84
00:03:45,536 --> 00:03:48,243
Wierzchołek paraboli opisanej tą formułą

85
00:03:48,343 --> 00:03:50,856
ma współrzędne –1 i 3.

86
00:03:51,168 --> 00:03:53,828
Możemy go nanieść na układ współrzędnych.

87
00:03:54,240 --> 00:03:55,308
To ten punkt.

88
00:03:55,520 --> 00:03:56,744
A co z ramionami?

89
00:03:56,956 --> 00:03:58,592
Skoro a jest ujemne

90
00:03:58,748 --> 00:04:00,840
to ramiona są skierowane w dół.

91
00:04:01,052 --> 00:04:03,144
Tak wygląda wykres tej funkcji.

92
00:04:03,456 --> 00:04:05,548
Przejdźmy do kolejnego zadania.

93
00:04:09,390 --> 00:04:11,925
Wykres funkcji g otrzymamy poprzez

94
00:04:11,925 --> 00:04:15,332
przesunięcie f od x równa się x kwadrat

95
00:04:15,488 --> 00:04:16,996
o 3 jednostki w prawo

96
00:04:16,996 --> 00:04:18,503
i dwie jednostki w górę.

97
00:04:18,815 --> 00:04:22,443
Narysuj wykres funkcji g i podaj jej wzór.

98
00:04:22,655 --> 00:04:25,159
Najpierw stwórzmy wzór funkcji g.

99
00:04:25,471 --> 00:04:27,110
Spróbuj samodzielnie podać

100
00:04:27,110 --> 00:04:28,943
ile wynosi p i q.

101
00:04:32,273 --> 00:04:34,871
Skoro funkcję f od x przesunięto

102
00:04:34,971 --> 00:04:37,959
o 3 jednostki w prawo, to p równa się 3.

103
00:04:38,271 --> 00:04:40,620
Przesunięto ją również o dwie jednostki

104
00:04:40,620 --> 00:04:43,004
w górę, więc q to 2.

105
00:04:43,174 --> 00:04:45,149
Wiemy, że wierzchołek funkcji g

106
00:04:45,249 --> 00:04:47,175
jest w punkcie 3 i 2.

107
00:04:47,487 --> 00:04:49,229
Formuła funkcji kwadratowej

108
00:04:49,329 --> 00:04:51,071
oparta na współczynniku a

109
00:04:51,227 --> 00:04:53,495
oraz współrzędnych wierzchołka

110
00:04:53,595 --> 00:04:55,267
to postać kanoniczna.

111
00:04:55,423 --> 00:04:57,235
Czy pamiętasz, jak wygląda wzór

112
00:04:57,235 --> 00:04:58,283
tej postaci?

113
00:05:01,481 --> 00:05:03,593
Wzór funkcji kwadratowej w postaci

114
00:05:03,593 --> 00:05:06,519
kanonicznej to f od x równa się a razy

115
00:05:06,519 --> 00:05:08,485
w nawiasie x minus p

116
00:05:08,485 --> 00:05:11,751
zamykamy nawias, do kwadratu dodać q.

117
00:05:12,063 --> 00:05:13,287
Mamy p i q.

118
00:05:13,399 --> 00:05:14,823
Ile wynosi a?

119
00:05:15,035 --> 00:05:16,955
To ten sam współczynnik

120
00:05:17,055 --> 00:05:19,075
co a we wzorze funkcji f

121
00:05:19,231 --> 00:05:22,603
czyli 1, bo mamy 1x do kwadratu.

122
00:05:22,871 --> 00:05:24,912
Przesuwanie funkcji nie ma wpływu

123
00:05:25,012 --> 00:05:27,367
na wartość współczynnika a.

124
00:05:27,679 --> 00:05:30,191
Wstawiając w miejsce a w tym wzorze

125
00:05:30,191 --> 00:05:33,423
liczbę 1, w miejsce litery p — trójkę

126
00:05:33,579 --> 00:05:35,203
a w miejsce q — dwójkę

127
00:05:35,359 --> 00:05:37,763
otrzymujemy g od x równa się

128
00:05:37,919 --> 00:05:41,480
1 razy, w nawiasie x odjąć 3

129
00:05:41,480 --> 00:05:44,563
zamykamy nawias, do kwadratu dodać 2.

130
00:05:45,087 --> 00:05:46,723
Teraz narysujemy wykres.

131
00:05:46,879 --> 00:05:49,383
Znam współrzędne wierzchołka.

132
00:05:49,695 --> 00:05:51,616
Punkt o współrzędnych 3 i 2

133
00:05:51,616 --> 00:05:52,967
jest w tym miejscu.

134
00:05:53,279 --> 00:05:55,356
a jest dodatnie, więc ramiona

135
00:05:55,356 --> 00:05:56,931
są skierowane do góry.

136
00:05:57,031 --> 00:05:58,299
Gotowe!

137
00:05:58,399 --> 00:06:00,465
Przejdźmy do kolejnego zadania.

138
00:06:04,739 --> 00:06:06,812
Podaj wzór funkcji kwadratowej

139
00:06:06,912 --> 00:06:08,725
której wierzchołek jest w punkcie

140
00:06:08,725 --> 00:06:10,743
o współrzędnych 2 i 4

141
00:06:10,799 --> 00:06:12,955
a do jej wykresu należy punkt A

142
00:06:12,955 --> 00:06:15,601
o współrzędnych 5 i 22.

143
00:06:16,063 --> 00:06:17,955
Co wiemy z treści zadania?

144
00:06:18,111 --> 00:06:21,539
Znamy współrzędne wierzchołka, to 2 i 4.

145
00:06:21,951 --> 00:06:23,843
Znamy zatem p i q.

146
00:06:23,999 --> 00:06:26,247
p to 2, a q to 4.

147
00:06:26,459 --> 00:06:28,083
Postać funkcji kwadratowej

148
00:06:28,183 --> 00:06:30,516
która zawiera współrzędne wierzchołka

149
00:06:30,616 --> 00:06:32,135
to postać kanoniczna.

150
00:06:32,447 --> 00:06:35,654
Jej wzór to: y równa się a

151
00:06:35,654 --> 00:06:38,251
razy, w nawiasie x odjąć p

152
00:06:38,251 --> 00:06:41,651
zamknąć nawias, do kwadratu dodać q.

153
00:06:41,919 --> 00:06:44,067
Wstawmy w miejsce p liczbę 2

154
00:06:44,223 --> 00:06:45,959
a w miejsce q — 4.

155
00:06:46,427 --> 00:06:48,342
Otrzymamy: y równa się a

156
00:06:48,442 --> 00:06:50,861
razy w nawiasie x odjąć 2

157
00:06:50,961 --> 00:06:54,663
zamykamy nawias, do kwadratu dodać 4.

158
00:06:54,975 --> 00:06:57,027
Do kompletnego wzoru brakuje nam

159
00:06:57,027 --> 00:06:58,503
współczynnika a.

160
00:06:58,715 --> 00:07:00,195
Jak go znaleźć?

161
00:07:00,507 --> 00:07:02,133
W treści zadania jest podana

162
00:07:02,233 --> 00:07:03,779
jeszcze jedna informacja.

163
00:07:03,935 --> 00:07:06,077
Do wykresu funkcji należy punkt

164
00:07:06,177 --> 00:07:08,999
o współrzędnych 5 i 22.

165
00:07:09,311 --> 00:07:12,134
Pierwsza współrzędna to współrzędna x

166
00:07:12,134 --> 00:07:13,507
a druga y.

167
00:07:13,663 --> 00:07:16,323
Skoro do wzoru funkcji należy ten punkt

168
00:07:16,479 --> 00:07:19,480
to w miejsce litery x możemy wstawić 5

169
00:07:19,580 --> 00:07:21,843
a w miejsce y — 22.

170
00:07:22,111 --> 00:07:24,259
Otrzymamy 22 równa się

171
00:07:24,415 --> 00:07:25,795
a razy, w nawiasie

172
00:07:25,951 --> 00:07:28,308
5 odjąć 2, zamykamy nawias

173
00:07:28,408 --> 00:07:30,403
do kwadratu, dodać 4.

174
00:07:30,559 --> 00:07:31,965
Otrzymaliśmy równanie

175
00:07:32,065 --> 00:07:33,987
w którym niewiadomą jest a.

176
00:07:34,143 --> 00:07:35,807
Aby obliczyć jej wartość

177
00:07:35,907 --> 00:07:37,827
należy rozwiązać to równanie.

178
00:07:37,983 --> 00:07:40,075
Spróbuj to zrobić samodzielnie.

179
00:07:43,315 --> 00:07:45,507
5 odjąć 2 to 3

180
00:07:45,663 --> 00:07:47,555
a 3 do kwadratu to 9.

181
00:07:47,711 --> 00:07:52,263
Otrzymujemy 22 równa się 9a dodać 4.

182
00:07:52,475 --> 00:07:54,734
Odejmując od obu stron tego równania

183
00:07:54,734 --> 00:07:59,119
liczbę 4, otrzymujemy 18 równa się 9a.

184
00:07:59,487 --> 00:08:02,288
Dzieląc to równanie obustronnie przez 9

185
00:08:02,388 --> 00:08:04,139
mamy 2 równa się a.

186
00:08:04,351 --> 00:08:06,699
Wstawmy tę wartość do formuły.

187
00:08:06,911 --> 00:08:08,547
Rozwiązaliśmy zadanie.

188
00:08:08,703 --> 00:08:10,392
Wzór funkcji kwadratowej

189
00:08:10,492 --> 00:08:12,643
o wierzchołku w punkcie 2 i 4

190
00:08:12,799 --> 00:08:15,203
oraz przechodzącej przez punkt A

191
00:08:15,359 --> 00:08:16,870
to y równa się 2 razy

192
00:08:16,970 --> 00:08:19,178
w nawiasie x odjąć 2

193
00:08:19,178 --> 00:08:22,671
zamykamy nawias, do kwadratu dodać 4.

194
00:08:22,783 --> 00:08:23,651
Gotowe!

195
00:08:23,807 --> 00:08:25,467
Wykonaliśmy wszystkie zadania

196
00:08:25,467 --> 00:08:26,211
w tej lekcji.

197
00:08:26,311 --> 00:08:27,479
Gratuluję!

198
00:08:31,955 --> 00:08:34,400
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

199
00:08:34,500 --> 00:08:36,540
jest opisana wzorem a razy

200
00:08:36,540 --> 00:08:38,499
w nawiasie x odjąć p

201
00:08:38,655 --> 00:08:41,515
zamknąć nawias, do kwadratu, dodać q.

202
00:08:41,727 --> 00:08:43,506
Współczynnik a mówi nam

203
00:08:43,506 --> 00:08:45,517
czy ramiona paraboli są skierowane

204
00:08:45,617 --> 00:08:46,947
w górę czy w dół.

205
00:08:47,103 --> 00:08:50,219
p i q to współrzędne wierzchołka paraboli.

206
00:08:53,559 --> 00:08:55,401
Ta playlista wprowadza Cię

207
00:08:55,501 --> 00:08:57,443
w świat funkcji kwadratowej.

208
00:08:57,599 --> 00:08:59,547
Wszystkie działy znajdziesz na naszej

209
00:08:59,547 --> 00:09:02,637
stronie internetowej pistacja.tv