1
00:00:00,156 --> 00:00:02,896
Malarze i rzeźbiarze tworzą swoje dzieła

2
00:00:02,996 --> 00:00:05,220
kierując się kanonem piękna.

3
00:00:05,632 --> 00:00:08,069
Muzyczny kanon to najstarsza technika

4
00:00:08,069 --> 00:00:10,981
polifoniczna, w której melodię głosu

5
00:00:10,981 --> 00:00:13,668
prowadzącego powtarzają kolejne głosy

6
00:00:13,824 --> 00:00:15,816
z opóźnieniem lub bez.

7
00:00:16,128 --> 00:00:18,807
Matematykom kanon kojarzy się na pewno

8
00:00:18,907 --> 00:00:20,680
z funkcją kwadratową.

9
00:00:20,892 --> 00:00:22,794
O jej postaci kanonicznej

10
00:00:22,794 --> 00:00:24,620
opowiem Ci w tej lekcji.

11
00:00:36,146 --> 00:00:38,113
Pewną funkcję kwadratową

12
00:00:38,113 --> 00:00:40,036
zapisano w postaci kanonicznej.

13
00:00:40,192 --> 00:00:41,572
Jej wzór to:

14
00:00:41,728 --> 00:00:45,139
w nawiasie x dodać 3, zamykamy nawias

15
00:00:45,239 --> 00:00:47,304
do kwadratu, dodać 1.

16
00:00:47,416 --> 00:00:49,900
Spróbuj przekształcić to wyrażenie

17
00:00:50,000 --> 00:00:53,192
zapisując je w postaci sumy algebraicznej.

18
00:00:53,504 --> 00:00:55,908
Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia.

19
00:00:56,064 --> 00:00:58,156
Tutaj masz ściągawkę.

20
00:01:01,652 --> 00:01:05,536
x dodać 3 w nawiasie, do kwadratu

21
00:01:05,792 --> 00:01:08,970
to x do kwadratu dodać 2 razy x

22
00:01:08,970 --> 00:01:11,696
razy 3 dodać 3 do kwadratu

23
00:01:11,696 --> 00:01:13,832
i do tego dodajemy jeszcze 1.

24
00:01:13,984 --> 00:01:15,668
Po uproszczeniu otrzymujemy:

25
00:01:15,768 --> 00:01:19,916
x do kwadratu dodać 6x dodać 10.

26
00:01:20,128 --> 00:01:22,118
Oba wyrażenia opisują dokładnie

27
00:01:22,118 --> 00:01:23,812
tę samą funkcję.

28
00:01:24,224 --> 00:01:25,596
Narysujmy jej wykres

29
00:01:25,696 --> 00:01:28,264
korzystając z postaci kanonicznej.

30
00:01:28,476 --> 00:01:32,296
p to –3, q to 1, więc wierzchołek

31
00:01:32,296 --> 00:01:35,176
znajduje się w punkcie –3 i 1.

32
00:01:35,488 --> 00:01:37,636
Współczynnik a wynosi 1

33
00:01:37,792 --> 00:01:40,588
czyli jest dodatni, więc ramiona paraboli

34
00:01:40,588 --> 00:01:42,088
są skierowane do góry.

35
00:01:42,400 --> 00:01:45,038
Zaletą postaci kanonicznej jest to

36
00:01:45,038 --> 00:01:46,622
że od razu możemy odczytać

37
00:01:46,722 --> 00:01:49,000
z niej współrzędne wierzchołka.

38
00:01:49,212 --> 00:01:51,758
Po przekształceniach otrzymaliśmy postać

39
00:01:51,858 --> 00:01:53,764
z której tego nie odczytamy.

40
00:01:54,176 --> 00:01:55,912
Spójrz jak wygląda.

41
00:01:56,224 --> 00:01:59,001
Mamy 1x w drugiej potędze

42
00:01:59,101 --> 00:02:02,412
6 x–ów pierwszej potędze i 10.

43
00:02:02,780 --> 00:02:04,450
Zapis funkcji kwadratowej

44
00:02:04,550 --> 00:02:06,976
w postaci sumy algebraicznej postaci:

45
00:02:07,488 --> 00:02:10,093
a razy x do kwadratu dodać b razy

46
00:02:10,093 --> 00:02:11,371
x dodać c

47
00:02:11,371 --> 00:02:13,576
nazywa się postacią ogólną.

48
00:02:13,888 --> 00:02:16,942
Liczby a, b i c są współczynnikami

49
00:02:16,942 --> 00:02:19,464
funkcji kwadratowej w postaci ogólnej.

50
00:02:19,776 --> 00:02:22,439
Współczynnik a, który znajduje się przy

51
00:02:22,439 --> 00:02:24,840
x kwadrat nie może być zerem.

52
00:02:25,152 --> 00:02:28,836
Gdyby był, zostałoby tylko bx dodać c

53
00:02:28,992 --> 00:02:31,084
a to postać funkcji liniowej.

54
00:02:31,552 --> 00:02:33,956
Dla naszej funkcji a równa się 1

55
00:02:34,112 --> 00:02:36,872
b równa się 6, a c równa się 10.

56
00:02:37,184 --> 00:02:39,613
Zauważ, że litera a pojawia się

57
00:02:39,613 --> 00:02:42,142
i we wzorze na postać kanoniczną

58
00:02:42,142 --> 00:02:44,196
i w tym na postać ogólną.

59
00:02:44,352 --> 00:02:46,609
Dla tego przykładu w obu postaciach

60
00:02:46,609 --> 00:02:48,704
funkcji, a równa się 1.

61
00:02:49,216 --> 00:02:51,308
Mam teraz zadanie dla Ciebie.

62
00:02:51,776 --> 00:02:54,034
Spróbuj samodzielnie przedstawić wzór

63
00:02:54,034 --> 00:02:57,196
tej funkcji kwadratowej w postaci ogólnej.

64
00:03:00,436 --> 00:03:02,628
Mamy do czynienia z funkcją:

65
00:03:02,784 --> 00:03:06,450
x odjąć 5 w nawiasie, do kwadratu

66
00:03:06,450 --> 00:03:07,592
dodać 2.

67
00:03:07,904 --> 00:03:10,308
Korzystam ze wzoru na kwadrat różnicy.

68
00:03:10,464 --> 00:03:13,636
Otrzymuję x do kwadratu odjąć 2

69
00:03:13,736 --> 00:03:17,008
razy x razy 5 dodać 5 do kwadratu

70
00:03:17,120 --> 00:03:19,112
do tego dodaję jeszcze 2.

71
00:03:19,424 --> 00:03:22,366
Po uproszczeniu otrzymuję x do kwadratu

72
00:03:22,466 --> 00:03:25,512
odjąć 10x dodać 27.

73
00:03:25,824 --> 00:03:28,172
To jest postać ogólna tej funkcji.

74
00:03:28,640 --> 00:03:30,069
Teraz wypisz samodzielnie

75
00:03:30,069 --> 00:03:31,700
jej współczynniki.

76
00:03:34,740 --> 00:03:36,403
Współczynnik a to liczba

77
00:03:36,503 --> 00:03:39,080
przez którą mnożymy x do kwadratu.

78
00:03:39,392 --> 00:03:40,872
W tym przypadku to 1.

79
00:03:41,340 --> 00:03:42,865
Współczynnik b to liczba

80
00:03:42,965 --> 00:03:45,892
przez którą mnożymy x, czyli –10.

81
00:03:46,360 --> 00:03:50,544
Współczynnik c to liczba bez x, czyli 27.

82
00:03:50,912 --> 00:03:53,004
A oto wykres tej funkcji.

83
00:03:53,496 --> 00:03:56,968
Pamiętaj! Postać kanoniczna ma tę zaletę

84
00:03:57,068 --> 00:03:58,568
że łatwo z niej odczytać

85
00:03:58,568 --> 00:04:00,528
współrzędne wierzchołka.

86
00:04:00,640 --> 00:04:02,884
Z postaci ogólnej możemy jedynie

87
00:04:02,884 --> 00:04:05,548
wywnioskować kierunek ułożenia ramion.

88
00:04:10,052 --> 00:04:11,938
Wiesz już jak przechodzić

89
00:04:12,038 --> 00:04:14,664
z postaci kanonicznej do ogólnej.

90
00:04:14,976 --> 00:04:17,380
Teraz pokażę Ci przejście odwrotne

91
00:04:17,536 --> 00:04:20,139
z postaci ogólnej do kanonicznej.

92
00:04:20,607 --> 00:04:22,479
Polecenie brzmi następująco:

93
00:04:22,655 --> 00:04:25,397
przedstaw funkcję x do kwadratu

94
00:04:25,497 --> 00:04:28,287
odjąć 10x dodać 27

95
00:04:28,443 --> 00:04:30,023
w postaci kanonicznej.

96
00:04:30,335 --> 00:04:32,995
Wzór ogólny postaci kanonicznej to:

97
00:04:33,307 --> 00:04:36,067
a razy, w nawiasie x odjąć p

98
00:04:36,223 --> 00:04:39,339
zamykamy nawias, do kwadratu dodać q.

99
00:04:39,807 --> 00:04:43,079
Taką postać możemy otrzymać na 2 sposoby.

100
00:04:43,391 --> 00:04:45,517
Pierwszy wymaga skorzystania

101
00:04:45,617 --> 00:04:47,843
ze wzorów skróconego mnożenia

102
00:04:47,999 --> 00:04:50,503
kwadratu sumy lub kwadratu różnicy.

103
00:04:50,815 --> 00:04:52,707
Musimy wybrać z którego

104
00:04:52,863 --> 00:04:55,111
ale nie będziemy rzucać monetą.

105
00:04:55,323 --> 00:04:57,601
Wystarczy spojrzeć na znak między

106
00:04:57,601 --> 00:04:59,726
pierwszym, a drugim elementem

107
00:04:59,726 --> 00:05:00,899
postaci ogólnej.

108
00:05:01,211 --> 00:05:02,947
U nas to minus.

109
00:05:03,359 --> 00:05:04,822
Łatwiej będzie zatem zwijać

110
00:05:04,922 --> 00:05:07,243
to wyrażenie do kwadratu różnicy.

111
00:05:07,967 --> 00:05:10,105
Pod sumą algebraiczną zapisujemy

112
00:05:10,105 --> 00:05:12,283
postać ogólną i porównujemy

113
00:05:12,283 --> 00:05:13,899
po kolei elementy.

114
00:05:14,367 --> 00:05:16,092
Tutaj mamy x do kwadratu

115
00:05:16,192 --> 00:05:17,895
a tutaj pik do kwadratu.

116
00:05:18,207 --> 00:05:19,856
Aby otrzymać ten zapis

117
00:05:19,956 --> 00:05:23,271
wystarczy zatem w miejsce pika wstawić x.

118
00:05:23,583 --> 00:05:25,319
Teraz kolejne elementy.

119
00:05:25,631 --> 00:05:29,146
Tutaj mamy –2 razy pik razy krzyż

120
00:05:29,246 --> 00:05:31,719
a tutaj –10 razy x.

121
00:05:32,031 --> 00:05:34,279
Oba zapisy mają być takie same.

122
00:05:34,591 --> 00:05:36,583
Wiemy, że pik to x.

123
00:05:36,895 --> 00:05:42,215
Wiemy zatem, że –2x razy krzyż to –10 x.

124
00:05:42,527 --> 00:05:45,187
To co należy wstawić w miejsce krzyża?

125
00:05:45,343 --> 00:05:48,871
5. Pik to x, a krzyż to 5.

126
00:05:49,183 --> 00:05:52,314
Wstawiając te elementy do wzoru dostaniemy

127
00:05:52,314 --> 00:05:55,627
x odjąć 5 w nawiasie, do kwadratu.

128
00:05:56,095 --> 00:05:57,967
Teraz rozwijamy ten zapis

129
00:05:58,067 --> 00:06:00,100
aby sprawdzić, czy to równa się

130
00:06:00,200 --> 00:06:03,875
x do kwadratu odjąć 10x dodać 27

131
00:06:04,031 --> 00:06:06,791
czyli tyle, ile mamy w postaci ogólnej.

132
00:06:07,359 --> 00:06:09,530
Otrzymujemy: x do kwadratu

133
00:06:09,530 --> 00:06:12,623
odjąć 10x dodać 25.

134
00:06:12,991 --> 00:06:14,829
Nie mamy zatem takiego samego

135
00:06:14,829 --> 00:06:16,157
zapisu jak tutaj.

136
00:06:16,219 --> 00:06:17,966
Widzisz, że zgadzają się tylko

137
00:06:18,066 --> 00:06:19,947
2 pierwsze elementy.

138
00:06:20,159 --> 00:06:21,895
Trzeci już nie.

139
00:06:22,207 --> 00:06:25,223
Tutaj mamy 25, a tutaj 27.

140
00:06:25,535 --> 00:06:27,541
Co należy zatem dodać do wyniku

141
00:06:27,541 --> 00:06:31,479
tego nawiasu, aby otrzymać 27 i tym samym

142
00:06:31,479 --> 00:06:33,971
aby otrzymać wzór tej funkcji?

143
00:06:33,971 --> 00:06:34,761
2.

144
00:06:35,163 --> 00:06:39,653
x odjąć 5 w nawiasie, do kwadratu dodać 2

145
00:06:39,753 --> 00:06:44,111
to x do kwadratu odjąć 10x dodać 27.

146
00:06:44,379 --> 00:06:46,871
Widzisz, że nowy zapis to nic innego

147
00:06:46,971 --> 00:06:49,899
jak postać kanoniczna funkcji kwadratowej.

148
00:06:50,367 --> 00:06:52,849
Łatwo zauważyć, że a wynosi 1

149
00:06:52,849 --> 00:06:55,875
p 5, a q 2.

150
00:06:56,255 --> 00:06:57,891
Oto wykres tej funkcji.

151
00:06:58,047 --> 00:06:59,327
Wierzchołek znajduje się

152
00:06:59,427 --> 00:07:01,554
w punkcie o współrzędnych 5 i 2

153
00:07:01,654 --> 00:07:03,578
a ramiona są skierowane do góry

154
00:07:03,678 --> 00:07:06,283
ponieważ współczynnik a jest dodatni.

155
00:07:07,263 --> 00:07:08,687
Teraz drugi sposób.

156
00:07:08,799 --> 00:07:10,535
Jest on nieco szybszy.

157
00:07:10,847 --> 00:07:12,939
Do otrzymania konkretnej postaci

158
00:07:12,939 --> 00:07:16,679
kanonicznej należy znaleźć a, p i q.

159
00:07:16,991 --> 00:07:19,391
Współczynnik a w postaci kanonicznej

160
00:07:19,391 --> 00:07:21,687
jest taki sam jak współczynnik a

161
00:07:21,687 --> 00:07:22,979
w postaci ogólnej.

162
00:07:23,391 --> 00:07:25,639
Mamy zatem a równe jednemu.

163
00:07:25,951 --> 00:07:29,055
Istnieją wzory, które pozwalają obliczyć

164
00:07:29,055 --> 00:07:31,568
p i q korzystając ze wzoru

165
00:07:31,568 --> 00:07:33,163
w postaci ogólnej.

166
00:07:33,375 --> 00:07:35,502
W postaci ogólnej naszej funkcji

167
00:07:35,602 --> 00:07:39,519
a to 1, b to –10, a c to 27.

168
00:07:40,031 --> 00:07:41,411
p obliczamy ze wzoru:

169
00:07:41,567 --> 00:07:44,427
–b podzielić przez 2a.

170
00:07:44,639 --> 00:07:48,943
Otrzymujemy zatem minus, w nawiasie –10

171
00:07:48,943 --> 00:07:51,410
zamykamy nawias, podzielić przez 2

172
00:07:51,410 --> 00:07:52,619
a to jest 5.

173
00:07:53,087 --> 00:07:54,411
Wzór na q to:

174
00:07:54,523 --> 00:07:57,832
minus, w nawiasie b kwadrat odjąć 4ac

175
00:07:57,832 --> 00:07:59,943
 zamnąć nawias, podzielić przez 4a.

176
00:08:00,511 --> 00:08:01,423
Uwaga!

177
00:08:01,535 --> 00:08:02,816
W kolejnych lekcjach

178
00:08:02,916 --> 00:08:04,928
dotyczących funkcji kwadratowej

179
00:08:05,028 --> 00:08:07,879
będziesz często spotykać się z tą formułą!

180
00:08:08,191 --> 00:08:10,292
Matematycy postanowili oznaczyć

181
00:08:10,392 --> 00:08:13,767
ten zapis wielką grecką literą delta.

182
00:08:14,079 --> 00:08:15,503
To taki trójką.

183
00:08:16,127 --> 00:08:18,509
Wzór na q można zatem zapisać

184
00:08:18,509 --> 00:08:21,291
jako minus delta przez 4a.

185
00:08:21,759 --> 00:08:24,107
Spróbuj samodzielnie obliczyć q.

186
00:08:27,773 --> 00:08:29,439
Najpierw liczymy deltę.

187
00:08:29,851 --> 00:08:32,323
b kwadrat odjąć 4ac

188
00:08:32,423 --> 00:08:35,595
to –10 w nawiasie, do kwadratu

189
00:08:35,695 --> 00:08:38,543
odjąć 4 razy 1 razy 27.

190
00:08:38,911 --> 00:08:42,183
Mamy 100 odjąć 108, czyli –8.

191
00:08:42,495 --> 00:08:45,155
Minus, w nawiasie –8

192
00:08:45,311 --> 00:08:48,909
zamykamy nawias, podzielić przez 4, razy 1

193
00:08:49,009 --> 00:08:50,675
to +2.

194
00:08:50,943 --> 00:08:52,011
q to 2.

195
00:08:52,223 --> 00:08:54,727
Znamy wartości a, p i q.

196
00:08:54,939 --> 00:08:56,775
Wstawiamy je do tego wzoru.

197
00:08:57,087 --> 00:09:00,300
Postać kanoniczna tej funkcji to 1 razy

198
00:09:00,400 --> 00:09:02,563
w nawiasie x odjąć 5

199
00:09:02,719 --> 00:09:05,991
zamykamy nawias, do kwadratu dodać 2.

200
00:09:06,303 --> 00:09:07,215
Gotowe!

201
00:09:07,327 --> 00:09:10,167
Jak widzisz, postać ogólną można zamieniać

202
00:09:10,267 --> 00:09:12,391
na kanoniczną na 2 sposoby.

203
00:09:12,603 --> 00:09:14,553
Częściej wykorzystuje się jednak

204
00:09:14,553 --> 00:09:16,231
wzory na p i q.

205
00:09:16,543 --> 00:09:18,379
Warto je zapamiętać!

206
00:09:22,301 --> 00:09:24,223
Mam teraz zadanie dla Ciebie.

207
00:09:24,535 --> 00:09:27,295
Zamień na postać kanoniczną funkcję

208
00:09:27,451 --> 00:09:31,397
f od x równa się – x do kwadratu

209
00:09:31,497 --> 00:09:33,895
dodać 4x odjąć 3.

210
00:09:34,107 --> 00:09:35,988
Skorzystaj ze wzorów widocznych

211
00:09:35,988 --> 00:09:36,967
na tablicy.

212
00:09:40,491 --> 00:09:42,983
Najpierw wypisujemy współczynniki

213
00:09:42,983 --> 00:09:44,191
postaci ogólnej.

214
00:09:44,447 --> 00:09:48,743
a to –1, b to 4, a c to –3.

215
00:09:49,311 --> 00:09:51,559
Znamy już współczynnik a.

216
00:09:51,871 --> 00:09:53,963
Teraz obliczamy p i q.

217
00:09:54,331 --> 00:09:57,347
p to –b podzielić przez 2a

218
00:09:57,503 --> 00:10:00,163
czyli –4 podzielić przez –2

219
00:10:00,319 --> 00:10:01,799
a to równa się 2.

220
00:10:02,435 --> 00:10:05,895
q to minus delta podzielić przez 4a.

221
00:10:06,207 --> 00:10:09,070
Liczymy deltę, czyli b do kwadratu

222
00:10:09,070 --> 00:10:11,271
odjąć 4 razy a razy c.

223
00:10:11,583 --> 00:10:15,116
Otrzymujemy 4 do kwadratu odjąć 4 razy

224
00:10:15,116 --> 00:10:17,827
–1 razy –3

225
00:10:17,983 --> 00:10:21,255
czyli 16 odjąć 12, a to daje 4.

226
00:10:21,863 --> 00:10:25,752
q równa się zatem –4 podzielić przez

227
00:10:25,752 --> 00:10:28,935
4 razy –1, czyli +1.

228
00:10:29,387 --> 00:10:33,343
Postać kanoniczna tej funkcji to -1 razy

229
00:10:33,599 --> 00:10:37,328
w nawiasie x odjąć 2, zamykamy nawias

230
00:10:37,428 --> 00:10:39,687
do kwadratu, dodać 1.

231
00:10:39,999 --> 00:10:41,067
Gotowe!

232
00:10:46,183 --> 00:10:48,631
Postać ogólna funkcji kwadratowej

233
00:10:48,631 --> 00:10:51,619
to ax kwadrat dodać bx dodać c.

234
00:10:51,875 --> 00:10:54,691
Istnieją wzory, które pozwalają z postaci

235
00:10:54,691 --> 00:10:57,095
ogólnej otrzymać postać kanoniczną.

236
00:10:57,307 --> 00:10:59,145
Pierwszą współrzędną wierzchołka

237
00:10:59,245 --> 00:11:02,040
liczymy ze wzoru –b podzielić przez 2a

238
00:11:02,140 --> 00:11:04,284
drugą współrzędną ze wzoru

239
00:11:04,284 --> 00:11:06,523
minus delta podzielić przez 4a

240
00:11:06,679 --> 00:11:09,359
gdzie delta jest liczona ze wzoru

241
00:11:09,459 --> 00:11:11,743
b kwadrat odjąć 4ac.

242
00:11:11,999 --> 00:11:13,635
Skąd się biorą te wzory?

243
00:11:13,791 --> 00:11:16,395
Wyjaśnienie znajduje się na tej planszy.

244
00:11:21,893 --> 00:11:24,115
Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych

245
00:11:24,115 --> 00:11:26,834
lekcji z tego działu oraz do polubienia

246
00:11:26,834 --> 00:11:29,254
naszej strony na Facebooku.