1
00:00:00,256 --> 00:00:02,662
Funkcje kwadratowe służą rozwiązywaniu

2
00:00:02,762 --> 00:00:05,048
wielu praktycznych problemów.

3
00:00:05,148 --> 00:00:06,702
Na przykład możesz dzięki nim

4
00:00:06,802 --> 00:00:08,484
obliczyć w jakim tempie

5
00:00:08,584 --> 00:00:10,089
musisz czytać lekturę

6
00:00:10,189 --> 00:00:12,700
żeby zdążyć przed klasówką.

7
00:00:12,800 --> 00:00:15,188
Już 2000 lat przed naszą erą

8
00:00:15,288 --> 00:00:16,859
pierwsze funkcje kwadratowe

9
00:00:16,959 --> 00:00:19,356
służyły matematykom babilońskim

10
00:00:19,456 --> 00:00:21,189
do rozwiązywania praktycznych

11
00:00:21,289 --> 00:00:23,413
problemów geometrycznych.

12
00:00:34,304 --> 00:00:36,806
Wiesz już, że miejsce zerowe funkcji

13
00:00:36,906 --> 00:00:38,929
to argument, dla którego funkcja

14
00:00:39,029 --> 00:00:41,372
przyjmuje wartość równą zeru.

15
00:00:41,472 --> 00:00:43,824
Potrafisz także odczytać z wykresu

16
00:00:43,924 --> 00:00:46,916
ile miejsc zerowych ma dana funkcja.

17
00:00:47,016 --> 00:00:48,796
W tej lekcji sprawdzimy

18
00:00:48,896 --> 00:00:50,038
ile miejsc zerowych

19
00:00:50,138 --> 00:00:52,380
może mieć funkcja kwadratowa.

20
00:00:52,480 --> 00:00:54,940
Posłużymy się do tego wykresami.

21
00:00:55,040 --> 00:00:57,500
Oto wykres pierwszej funkcji.

22
00:00:57,600 --> 00:00:59,804
Ile ma miejsc zerowych?

23
00:00:59,904 --> 00:01:02,620
Wierzchołek jest pod osią x

24
00:01:02,720 --> 00:01:04,948
a ramiona są skierowane do góry

25
00:01:05,048 --> 00:01:06,946
zatem wykres przecina oś x

26
00:01:07,046 --> 00:01:08,802
w dwóch miejscach.

27
00:01:08,902 --> 00:01:10,386
To pierwsze miejsce zerowe

28
00:01:10,486 --> 00:01:11,816
a to drugie.

29
00:01:11,916 --> 00:01:14,652
Przesuńmy wykres tej funkcji w górę.

30
00:01:14,752 --> 00:01:17,937
Ile miejsc zerowych ma wykres tej funkcji?

31
00:01:18,848 --> 00:01:21,920
Wykres dotyka osi x w jednym punkcie

32
00:01:22,020 --> 00:01:24,329
którego współrzędne są takie same

33
00:01:24,429 --> 00:01:26,684
jak współrzędne wierzchołka.

34
00:01:26,784 --> 00:01:29,703
Ta funkcja ma jedno miejsce zerowe.

35
00:01:29,856 --> 00:01:32,511
A co się stanie gdy przesuniemy wykres

36
00:01:32,611 --> 00:01:35,460
tej funkcji jeszcze bardziej w górę?

37
00:01:35,744 --> 00:01:38,756
Tym razem wierzchołek leży nad osią x.

38
00:01:39,072 --> 00:01:40,323
Skoro ramiona paraboli

39
00:01:40,423 --> 00:01:42,078
są skierowane do góry

40
00:01:42,178 --> 00:01:44,162
to wykres nie przecina osi x

41
00:01:44,262 --> 00:01:45,862
w żadnym miejscu.

42
00:01:45,984 --> 00:01:47,430
Ta funkcja kwadratowa

43
00:01:47,530 --> 00:01:49,724
nie ma miejsc zerowych.

44
00:01:49,824 --> 00:01:51,226
A gdyby ramiona paraboli

45
00:01:51,326 --> 00:01:52,976
były skierowane w dół?

46
00:01:53,076 --> 00:01:54,076
Zobacz.

47
00:01:54,176 --> 00:01:56,636
Wierzchołek jest nad osią x.

48
00:01:56,736 --> 00:01:58,582
W tej sytuacji ramiona paraboli

49
00:01:58,682 --> 00:02:01,756
przecinają oś x w dwóch miejscach

50
00:02:01,856 --> 00:02:04,828
więc ta funkcja ma dwa miejsca zerowe.

51
00:02:04,928 --> 00:02:07,607
Przesuńmy teraz wykres tej funkcji w dół

52
00:02:07,707 --> 00:02:11,484
tak, aby wierzchołek znalazł się na osi x.

53
00:02:11,584 --> 00:02:14,260
Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?

54
00:02:14,761 --> 00:02:15,938
Ta funkcja ma dokładnie

55
00:02:16,038 --> 00:02:18,485
jedno miejsce zerowe i jest nim

56
00:02:18,585 --> 00:02:21,042
pierwsza współrzędna wierzchołka.

57
00:02:21,568 --> 00:02:24,284
Przesuńmy tę funkcję jeszcze w dół.

58
00:02:24,384 --> 00:02:27,029
Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?

59
00:02:27,456 --> 00:02:29,916
Wierzchołek jest pod osią x.

60
00:02:30,016 --> 00:02:31,894
Ramiona są skierowane w dół.

61
00:02:32,320 --> 00:02:35,292
Wykres tej funkcji nie przecina osi x

62
00:02:35,392 --> 00:02:38,146
więc funkcja nie ma miejsc zerowych.

63
00:02:38,464 --> 00:02:39,650
Podsumujmy.

64
00:02:39,750 --> 00:02:41,002
Funkcja kwadratowa

65
00:02:41,102 --> 00:02:42,972
może mieć dwa miejsca zerowe

66
00:02:43,072 --> 00:02:46,491
jedno, bądź może nie mieć ich wcale.

67
00:02:46,656 --> 00:02:48,790
Omawiając liczbę miejsc zerowych

68
00:02:48,890 --> 00:02:50,984
funkcji kwadratowej na podstawie wykresu

69
00:02:51,084 --> 00:02:53,758
mówiłem, że zależy ona od znaku

70
00:02:53,858 --> 00:02:56,185
współczynnika a oraz drugiej

71
00:02:56,285 --> 00:02:58,210
współrzędnej wierzchołka.

72
00:02:58,310 --> 00:02:59,399
Obie liczby da się

73
00:02:59,499 --> 00:03:01,881
od razu odczytać z postaci kanonicznej

74
00:03:01,981 --> 00:03:04,656
czyli ze wzoru: a razy, w nawiasie

75
00:03:04,756 --> 00:03:08,182
 x odjąć p zamknąć nawias, do kwadratu

76
00:03:08,282 --> 00:03:09,728
dodać q.

77
00:03:09,828 --> 00:03:12,751
Liczbę miejsc zerowych funkcji kwadratowej

78
00:03:12,851 --> 00:03:14,638
zapisanej w postaci kanonicznej

79
00:03:14,738 --> 00:03:16,296
da się zatem określić

80
00:03:16,396 --> 00:03:19,901
przy pomocy współczynnika a oraz q.

81
00:03:20,001 --> 00:03:21,404
Kiedy funkcja kwadratowa

82
00:03:21,504 --> 00:03:23,351
ma dwa miejsca zerowe?

83
00:03:24,032 --> 00:03:25,724
W dwóch przypadkach.

84
00:03:25,824 --> 00:03:27,296
Gdy q jest dodatnie

85
00:03:27,396 --> 00:03:29,769
czyli wierzchołek jest nad osią x

86
00:03:29,869 --> 00:03:32,124
a współczynnik a jest ujemny

87
00:03:32,224 --> 00:03:34,696
ramiona są wtedy skierowane w dół.

88
00:03:34,796 --> 00:03:36,543
Drugi przypadek jest taki

89
00:03:36,643 --> 00:03:38,149
gdy q jest ujemne

90
00:03:38,249 --> 00:03:41,084
czyli wierzchołek znajduje się pod osią x

91
00:03:41,184 --> 00:03:43,388
a współczynnik a jest dodatni

92
00:03:43,488 --> 00:03:46,046
ramiona są skierowane do góry.

93
00:03:46,146 --> 00:03:47,773
Kiedy funkcja kwadratowa

94
00:03:47,873 --> 00:03:49,788
ma jedno miejsce zerowe?

95
00:03:49,888 --> 00:03:52,286
Tylko wtedy, gdy q wynosi 0

96
00:03:52,386 --> 00:03:54,167
bo wtedy wierzchołek znajduje się

97
00:03:54,267 --> 00:03:56,444
dokładnie na osi x.

98
00:03:56,544 --> 00:03:59,946
Wartość współczynnika a nie ma znaczenia.

99
00:04:00,128 --> 00:04:02,946
Funkcja w każdym przypadku dotyka osi x

100
00:04:03,046 --> 00:04:05,148
dokładnie w jednym miejscu

101
00:04:05,248 --> 00:04:07,584
więc ma jedno miejsce zerowe.

102
00:04:07,808 --> 00:04:09,407
A kiedy funkcja kwadratowa

103
00:04:09,507 --> 00:04:11,340
nie ma miejsc zerowych?

104
00:04:11,594 --> 00:04:13,596
Też w dwóch przypadkach.

105
00:04:13,696 --> 00:04:16,194
Gdy wierzchołek jest nad osią x

106
00:04:16,294 --> 00:04:17,947
czyli q jest dodatnie

107
00:04:18,047 --> 00:04:20,251
a ramiona są skierowane do góry

108
00:04:20,351 --> 00:04:22,555
czyli, gdy a jest dodatnie.

109
00:04:22,655 --> 00:04:24,329
Drugi przypadek to taki

110
00:04:24,429 --> 00:04:26,721
gdy wierzchołek jest pod osią x

111
00:04:26,821 --> 00:04:28,443
czyli q jest ujemne

112
00:04:28,543 --> 00:04:30,747
a ramiona są skierowane w dół

113
00:04:30,847 --> 00:04:32,539
czyli a jest ujemne.

114
00:04:32,639 --> 00:04:35,657
Ważne jest tylko, aby a było różne od zera

115
00:04:35,757 --> 00:04:36,806
bo inaczej wzór

116
00:04:36,906 --> 00:04:39,653
nie opisywałby funkcji kwadratowej.

117
00:04:40,575 --> 00:04:43,020
Do określania liczby miejsc zerowych

118
00:04:43,120 --> 00:04:45,447
możemy wykorzystać także deltę.

119
00:04:45,695 --> 00:04:48,155
Wiesz, że q obliczamy ze wzoru:

120
00:04:48,255 --> 00:04:51,079
minus delta podzielić przez 4a.

121
00:04:51,327 --> 00:04:53,054
Wyznaczmy z niego deltę

122
00:04:53,154 --> 00:04:56,092
mnożąc obie strony przez -4a.

123
00:04:56,447 --> 00:05:01,046
Delta równa się -4 razy a razy q.

124
00:05:01,311 --> 00:05:04,137
Funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe

125
00:05:04,237 --> 00:05:06,843
gdy a jest dodatnie, a q ujemne.

126
00:05:06,943 --> 00:05:09,138
Jaki znak będzie mieć wynik mnożenia

127
00:05:09,238 --> 00:05:12,429
liczby ujemnej przez dodatnią i ujemną?

128
00:05:12,831 --> 00:05:14,011
Dodatni.

129
00:05:14,111 --> 00:05:15,772
Funkcja kwadratowa ma także

130
00:05:15,872 --> 00:05:17,204
dwa miejsca zerowe

131
00:05:17,304 --> 00:05:19,899
gdy a jest ujemne, a q dodatnie.

132
00:05:19,999 --> 00:05:24,059
Mnożąc -4 przez ujemne a i dodatnie q

133
00:05:24,159 --> 00:05:27,067
delta też przyjmie wartość dodatnią.

134
00:05:27,167 --> 00:05:29,593
Oznacza to, że jeśli funkcja kwadratowa

135
00:05:29,693 --> 00:05:30,985
ma dwa miejsca zerowe

136
00:05:31,085 --> 00:05:33,041
to delta jest dodatnia.

137
00:05:34,145 --> 00:05:35,542
Kiedy funkcja kwadratowa

138
00:05:35,642 --> 00:05:37,563
ma jedno miejsce zerowe?

139
00:05:37,663 --> 00:05:40,123
Tylko wtedy, gdy q to 0.

140
00:05:40,223 --> 00:05:42,360
Znak a nie ma znaczenia.

141
00:05:42,460 --> 00:05:45,810
Delta to -4 razy a razy q.

142
00:05:45,910 --> 00:05:48,871
Mnożąc -4 przez dowolną liczbę

143
00:05:48,971 --> 00:05:50,417
oraz przez 0

144
00:05:50,517 --> 00:05:52,459
zawsze otrzymamy 0.

145
00:05:52,767 --> 00:05:54,987
Oznacza to, że jeśli funkcja kwadratowa

146
00:05:55,087 --> 00:05:56,376
ma jedno miejsce zerowe

147
00:05:56,476 --> 00:05:58,372
to delta wynosi 0.

148
00:05:58,814 --> 00:06:00,239
A kiedy funkcja kwadratowa

149
00:06:00,339 --> 00:06:02,139
nie ma miejsc zerowych?

150
00:06:02,239 --> 00:06:04,699
Gdy a i q to liczby dodatnie

151
00:06:04,799 --> 00:06:07,771
oraz gdy a i q to liczby ujemne.

152
00:06:07,871 --> 00:06:09,707
Jaki znak przyjmie delta

153
00:06:09,807 --> 00:06:11,436
gdy -4 pomnożymy

154
00:06:11,536 --> 00:06:14,171
przez dodatnie a i dodatnie q?

155
00:06:14,271 --> 00:06:15,625
Będzie ujemna.

156
00:06:15,829 --> 00:06:18,254
A jaki znak przyjmie, gdy -4

157
00:06:18,354 --> 00:06:21,595
pomnożymy przez ujemne a i ujemne q?

158
00:06:21,695 --> 00:06:23,445
Również minus.

159
00:06:23,743 --> 00:06:26,460
Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych

160
00:06:26,560 --> 00:06:28,507
gdy delta jest ujemna.

161
00:06:28,607 --> 00:06:30,792
Jak widzisz, każda liczba rozwiązań

162
00:06:30,892 --> 00:06:33,255
jest dla innego znaku delty

163
00:06:33,355 --> 00:06:34,387
stąd po znaku delty

164
00:06:34,487 --> 00:06:36,699
można jednoznacznie stwierdzić

165
00:06:36,799 --> 00:06:37,888
ile miejsc zerowych

166
00:06:37,988 --> 00:06:39,975
ma dana funkcja kwadratowa.

167
00:06:40,895 --> 00:06:43,029
Delta przydaje się do określania

168
00:06:43,129 --> 00:06:45,672
liczby miejsc zerowych funkcji kwadratowej

169
00:06:45,772 --> 00:06:48,058
zapisanej w postaci ogólnej

170
00:06:48,158 --> 00:06:49,755
y równa się

171
00:06:49,855 --> 00:06:53,545
ax kwadrat dodać bx dodać c

172
00:06:53,780 --> 00:06:55,333
Wzór na deltę to

173
00:06:55,433 --> 00:06:58,715
b kwadrat odjąć 4 razy a razy c.

174
00:06:58,815 --> 00:07:00,518
Poćwiczymy teraz określanie

175
00:07:00,618 --> 00:07:03,579
liczby miejsc zerowych funkcji kwadratowej

176
00:07:03,679 --> 00:07:05,781
zapisanej w postaci ogólnej.

177
00:07:09,704 --> 00:07:12,492
Ile miejsc zerowych ma funkcja kwadratowa

178
00:07:12,592 --> 00:07:16,929
y równa się x kwadrat odjąć x odjąć 2?

179
00:07:17,029 --> 00:07:18,207
Najpierw samodzielnie

180
00:07:18,307 --> 00:07:21,243
odczytaj współczynniki postaci ogólnej

181
00:07:21,343 --> 00:07:23,770
czyli a, b i c.

182
00:07:27,231 --> 00:07:31,833
a to 1, b to -1, a c to -2.

183
00:07:31,933 --> 00:07:34,653
Teraz samodzielnie oblicz deltę.

184
00:07:37,471 --> 00:07:41,055
Delta to b kwadrat odjąć 4ac

185
00:07:41,155 --> 00:07:43,099
czyli -1 do kwadratu

186
00:07:43,199 --> 00:07:46,331
odjąć 4 razy 1 razy -2

187
00:07:46,431 --> 00:07:49,403
czyli 1 dodać 8, a to wynosi 9.

188
00:07:49,503 --> 00:07:51,224
Delta jest dodatnia

189
00:07:51,324 --> 00:07:54,084
więc ile miejsc zerowych ma ta funkcja?

190
00:07:54,184 --> 00:07:55,489
2.

191
00:07:59,392 --> 00:08:01,473
A ile miejsc zerowych ma funkcja

192
00:08:01,573 --> 00:08:06,233
y równa się x kwadrat odjąć x dodać 2?

193
00:08:09,727 --> 00:08:13,723
a to 1, b to -1, a c to 2.

194
00:08:13,823 --> 00:08:17,051
Delta równa się -1 do kwadratu

195
00:08:17,151 --> 00:08:21,147
odjąć 4 razy 1 razy 2, czyli -7.

196
00:08:21,247 --> 00:08:22,683
Delta jest ujemna

197
00:08:22,783 --> 00:08:25,755
więc ta funkcja nie ma miejsc zerowych.

198
00:08:29,439 --> 00:08:31,387
Kolejne zadanie dla Ciebie.

199
00:08:31,487 --> 00:08:33,982
Ile miejsc zerowych ma funkcja:

200
00:08:34,082 --> 00:08:39,378
y równa się x kwadrat odjąć 4x dodać 4?

201
00:08:42,495 --> 00:08:46,615
a to 1, b to -4, c to 4.

202
00:08:46,715 --> 00:08:50,075
Delta to -4 do kwadratu

203
00:08:50,175 --> 00:08:54,211
odjąć 4 razy 1 razy 4, czyli 0.

204
00:08:54,683 --> 00:08:56,186
Skoro delta to 0

205
00:08:56,286 --> 00:08:58,929
to ta funkcja ma jedno miejsce zerowe.

206
00:08:59,607 --> 00:09:02,261
Z tej lekcji nauczyliśmy się określać

207
00:09:02,361 --> 00:09:04,979
ile miejsc zerowych ma funkcja kwadratowa

208
00:09:05,079 --> 00:09:06,844
niezależnie od postaci

209
00:09:06,944 --> 00:09:08,926
w której jest zapisana.

210
00:09:09,026 --> 00:09:11,093
W kolejnych lekcjach dowiesz się

211
00:09:11,193 --> 00:09:12,881
jak obliczać miejsca zerowe

212
00:09:12,981 --> 00:09:14,529
funkcji kwadratowej.

213
00:09:14,629 --> 00:09:16,121
Do usłyszenia.

214
00:09:20,986 --> 00:09:22,173
Jak sprawdzić

215
00:09:22,273 --> 00:09:25,025
ile miejsc zerowych ma funkcja kwadratowa?

216
00:09:25,125 --> 00:09:27,773
Jeżeli mamy do czynienia z postacią ogólną

217
00:09:27,873 --> 00:09:29,637
możemy wykorzystać deltę

218
00:09:29,737 --> 00:09:31,296
którą liczymy ze wzoru:

219
00:09:31,396 --> 00:09:33,403
b kwadrat minus 4ac.

220
00:09:33,503 --> 00:09:35,332
Jeżeli delta jest mniejsza od zera

221
00:09:35,432 --> 00:09:36,733
to funkcja kwadratowa

222
00:09:36,833 --> 00:09:38,207
nie ma miejsc zerowych.

223
00:09:38,307 --> 00:09:39,483
Jeżeli delta to 0

224
00:09:39,583 --> 00:09:41,191
to ma jedno miejsce zerowe

225
00:09:41,291 --> 00:09:43,129
a jeżeli delta jest większa od zera

226
00:09:43,229 --> 00:09:45,108
to ma dwa miejsca zerowe.

227
00:09:45,208 --> 00:09:46,718
Jeżeli mamy do czynienia

228
00:09:46,818 --> 00:09:48,192
z postacią kanoniczną

229
00:09:48,292 --> 00:09:49,758
najpierw należy odczytać

230
00:09:49,858 --> 00:09:51,519
współrzędne wierzchołka

231
00:09:51,619 --> 00:09:54,199
a następnie odpowiednio zinterpretować

232
00:09:54,299 --> 00:09:56,802
wykres pomocniczy, który jest narysowany

233
00:09:56,902 --> 00:09:58,939
w oparciu o te współrzędne

234
00:09:59,039 --> 00:10:01,680
oraz o wartość współczynnika a.

235
00:10:05,695 --> 00:10:07,910
Ten dział wprowadzi Cię w świat

236
00:10:08,010 --> 00:10:11,171
równań kwadratowych i postaci iloczynowej.

237
00:10:11,271 --> 00:10:13,759
Wszystkie działy znajdziesz na naszej

238
00:10:13,859 --> 00:10:16,395
stronie internetowej pistacja.tv.