1
00:00:00,256 --> 00:00:03,136
Około czterysetnego roku przed naszą erą

2
00:00:03,136 --> 00:00:06,060
babilońscy oraz chińscy matematycy

3
00:00:06,060 --> 00:00:08,206
niezależnie od siebie znaleźli sposób

4
00:00:08,206 --> 00:00:10,745
na rozwiązywanie równań kwadratowych

5
00:00:10,771 --> 00:00:12,860
metodą dopełniania do kwadratu

6
00:00:12,860 --> 00:00:15,634
którą poznasz w jednej z kolejnych lekcji.

7
00:00:15,872 --> 00:00:17,564
W obliczeniach pomagało im

8
00:00:17,564 --> 00:00:20,558
starożytne liczydło abakus.

9
00:00:31,488 --> 00:00:33,036
Tę lekcję zaczniemy od

10
00:00:33,036 --> 00:00:34,584
następującego pytania:

11
00:00:34,584 --> 00:00:37,159
ile miejsc zerowych ma funkcja kwadratowa

12
00:00:37,159 --> 00:00:38,524
opisana wzorem

13
00:00:38,564 --> 00:00:42,496
y równa się 2x kwadrat dodać 8x?

14
00:00:42,752 --> 00:00:45,230
Spróbuj odpowiedzieć samodzielnie.

15
00:00:48,640 --> 00:00:51,200
To jest postać ogólna funkcji kwadratowej.

16
00:00:51,456 --> 00:00:53,490
Wypisujemy jej współczynniki.

17
00:00:53,872 --> 00:00:57,344
a to 2, b to 8, a c to 0.

18
00:00:57,344 --> 00:00:59,446
Teraz liczymy deltę ze wzoru

19
00:00:59,446 --> 00:01:02,464
b kwadrat odjąć 4 razy a razy c

20
00:01:02,976 --> 00:01:03,714
Otrzymujemy:

21
00:01:03,714 --> 00:01:07,468
8 do kwadratu odjąć 4 razy 2 razy 0

22
00:01:07,468 --> 00:01:09,374
czyli 64.

23
00:01:09,376 --> 00:01:11,182
Delta jest dodatnia

24
00:01:11,182 --> 00:01:13,728
więc funkcja kwadratowa opisana wzorem

25
00:01:13,984 --> 00:01:16,095
2x kwadrat dodać 8x

26
00:01:16,095 --> 00:01:17,568
ma dwa miejsca zerowe.

27
00:01:17,824 --> 00:01:20,128
Pokażę Ci teraz wykres tej funkcji.

28
00:01:20,384 --> 00:01:21,612
Oto on.

29
00:01:21,664 --> 00:01:23,170
Widzisz, że parabola

30
00:01:23,170 --> 00:01:25,504
przecina oś x w dwóch miejscach.

31
00:01:25,760 --> 00:01:28,073
Pierwsze miejsce zerowe to 0

32
00:01:28,073 --> 00:01:30,624
co zapisujemy x1 równa się 0

33
00:01:30,880 --> 00:01:33,118
a drugie miejsce zerowe to -4

34
00:01:33,118 --> 00:01:36,256
co zapisujemy x2 równa się -4.

35
00:01:36,768 --> 00:01:38,720
Ale jak obliczyć miejsca zerowe

36
00:01:38,720 --> 00:01:40,625
gdy nie mamy wykresu funkcji

37
00:01:40,625 --> 00:01:41,871
lub nie da się ich

38
00:01:41,871 --> 00:01:44,170
jednoznacznie z niego odczytać?

39
00:01:44,192 --> 00:01:46,676
Miejsca zerowe funkcji to argumenty

40
00:01:46,752 --> 00:01:47,880
czyli x

41
00:01:47,880 --> 00:01:49,271
dla których dana funkcja

42
00:01:49,271 --> 00:01:51,900
przyjmuje wartość równą zeru.

43
00:01:51,900 --> 00:01:53,550
Aby znaleźć takie argumenty

44
00:01:53,550 --> 00:01:55,198
należy do wzoru funkcji

45
00:01:55,198 --> 00:01:57,776
w miejsce y wstawić liczbę 0

46
00:01:57,776 --> 00:02:00,072
i rozwiązać powstałe równanie.

47
00:02:00,072 --> 00:02:02,558
W naszym przypadku otrzymujemy równanie:

48
00:02:02,624 --> 00:02:06,464
0 równa się 2x kwadrat dodać 8x.

49
00:02:06,720 --> 00:02:08,852
Teraz wystarczy je rozwiązać.

50
00:02:09,024 --> 00:02:10,691
Najprościej przekształcić

51
00:02:10,691 --> 00:02:12,022
jego prawą stronę

52
00:02:12,022 --> 00:02:14,144
wyłączając x przed nawias.

53
00:02:14,400 --> 00:02:15,548
Otrzymujemy:

54
00:02:15,680 --> 00:02:19,415
0 równa się x razy, otwieramy nawias

55
00:02:19,415 --> 00:02:22,564
2x dodać 8, zamykamy nawias.

56
00:02:22,592 --> 00:02:24,974
Mamy tutaj iloczyn dwóch czynników

57
00:02:24,974 --> 00:02:28,224
x oraz wyrażenia 2x dodać 8.

58
00:02:28,736 --> 00:02:30,408
Kiedy iloczyn dwóch czynników

59
00:02:30,408 --> 00:02:31,796
jest równy zeru?

60
00:02:31,808 --> 00:02:34,176
Wtedy, gdy jeden z nich to 0.

61
00:02:34,368 --> 00:02:37,222
Pierwszy czynnik, czyli x będzie zerem

62
00:02:37,222 --> 00:02:38,575
gdy w jego miejsce

63
00:02:38,575 --> 00:02:40,380
wstawimy po prostu 0.

64
00:02:40,512 --> 00:02:42,304
0 razy cokolwiek to 0.

65
00:02:42,816 --> 00:02:44,608
Mamy pierwsze miejsce zerowe.

66
00:02:44,864 --> 00:02:47,166
x1 równa się 0.

67
00:02:47,168 --> 00:02:48,856
Teraz musimy znaleźć liczbę

68
00:02:48,856 --> 00:02:50,898
która po wstawieniu w miejsce x

69
00:02:50,898 --> 00:02:52,710
w drugim czynniku sprawi

70
00:02:52,710 --> 00:02:54,806
że cały nawias będzie zerem.

71
00:02:54,848 --> 00:02:56,810
Rozwiązujemy zatem równanie

72
00:02:56,810 --> 00:02:58,944
2x dodać 8 równa się 0.

73
00:02:59,316 --> 00:03:01,360
To zadanie dla Ciebie.

74
00:03:04,320 --> 00:03:06,986
Przerzucamy 8 na drugą stronę równania

75
00:03:06,986 --> 00:03:10,498
otrzymując 2x równa się -8.

76
00:03:10,720 --> 00:03:12,850
Teraz dzielimy równanie obustronnie

77
00:03:12,850 --> 00:03:16,676
przez 2 i mamy x równa się -4.

78
00:03:16,676 --> 00:03:18,217
Drugie miejsce zerowe

79
00:03:18,217 --> 00:03:20,704
czyli x2 to -4.

80
00:03:21,216 --> 00:03:23,659
Widzisz, że te same miejsca zerowe

81
00:03:23,659 --> 00:03:25,312
odczytaliśmy z wykresu.

82
00:03:25,824 --> 00:03:27,201
Mieliśmy tutaj do czynienia

83
00:03:27,201 --> 00:03:28,579
z funkcją kwadratową

84
00:03:28,579 --> 00:03:31,200
której współczynnik c wynosił 0.

85
00:03:31,456 --> 00:03:33,231
Miejsca zerowe tej funkcji

86
00:03:33,231 --> 00:03:35,552
wyznaczyliśmy rozwiązując równanie

87
00:03:35,854 --> 00:03:38,538
w którym wyłączyliśmy x przed nawias.

88
00:03:38,748 --> 00:03:41,552
Mogliśmy to zrobić w łatwy sposób dlatego

89
00:03:41,552 --> 00:03:44,043
że nie było w nim współczynnika c

90
00:03:44,043 --> 00:03:45,538
który jest liczbą.

91
00:03:45,792 --> 00:03:47,717
Rozwiązując takie równanie

92
00:03:47,717 --> 00:03:48,847
trzeba pamiętać

93
00:03:48,847 --> 00:03:51,872
aby nie podzielić całego równania przez x

94
00:03:51,872 --> 00:03:53,506
mimo, że to kusi.

95
00:03:53,506 --> 00:03:54,927
Gdybyśmy to zrobili

96
00:03:54,927 --> 00:03:57,472
najprawdopodobniej zgubiłoby się nam

97
00:03:57,472 --> 00:03:59,242
jedno z rozwiązań.

98
00:04:02,944 --> 00:04:04,736
Mam teraz zadanie dla Ciebie.

99
00:04:05,248 --> 00:04:06,442
Znajdź miejsca zerowe

100
00:04:06,442 --> 00:04:08,992
funkcji kwadratowej opisanej wzorem:

101
00:04:09,344 --> 00:04:12,416
5x do kwadratu dodać 10x.

102
00:04:16,256 --> 00:04:18,351
Aby znaleźć miejsca zerowe funkcji

103
00:04:18,351 --> 00:04:19,834
opisanej tym wzorem

104
00:04:19,834 --> 00:04:21,887
należy znaleźć argumenty

105
00:04:21,933 --> 00:04:23,579
dla których funkcja przyjmuje

106
00:04:23,579 --> 00:04:25,419
wartość równą zeru.

107
00:04:25,629 --> 00:04:28,175
Należy zatem rozwiązać takie równanie:

108
00:04:28,287 --> 00:04:31,871
0 równa się 5x kwadrat dodać 10x.

109
00:04:32,383 --> 00:04:34,405
Wyłączamy x przed nawias.

110
00:04:34,687 --> 00:04:35,655
Otrzymujemy:

111
00:04:35,711 --> 00:04:39,807
0 równa się x razy, otwieramy nawias

112
00:04:40,063 --> 00:04:43,391
5x dodać 10, zamykamy nawias.

113
00:04:43,903 --> 00:04:46,355
Mamy tutaj iloczyn dwóch czynników.

114
00:04:46,463 --> 00:04:48,561
Przyjmuje on wartość 0

115
00:04:48,561 --> 00:04:52,103
gdy pierwszy lub drugi czynnik jest zerem.

116
00:04:52,103 --> 00:04:54,375
Pierwsze miejsce zerowe jest proste

117
00:04:54,375 --> 00:04:56,191
x1 równa się 0.

118
00:04:56,703 --> 00:04:57,931
A drugie?

119
00:04:57,983 --> 00:04:59,505
Aby znaleźć x

120
00:04:59,505 --> 00:05:01,311
dla którego nawias będzie zerem

121
00:05:01,567 --> 00:05:03,359
wystarczy rozwiązać równanie

122
00:05:03,615 --> 00:05:06,891
5x dodać 10 równa się zeru.

123
00:05:06,943 --> 00:05:09,479
Przerzucamy 10 na drugą stronę równania

124
00:05:09,479 --> 00:05:10,559
ze zmienionym znakiem

125
00:05:10,559 --> 00:05:14,391
i mamy: 5x równa się -10.

126
00:05:14,623 --> 00:05:17,351
Dzielimy równanie obustronnie przez 5

127
00:05:17,351 --> 00:05:20,239
i mamy: x równa się -2.

128
00:05:20,255 --> 00:05:21,827
Drugie miejsce zerowe

129
00:05:21,827 --> 00:05:23,839
czyli x2 to -2.

130
00:05:24,607 --> 00:05:26,327
Zastanów się chwilę.

131
00:05:26,399 --> 00:05:28,447
Żeby znaleźć miejsca zerowe

132
00:05:28,447 --> 00:05:30,495
wyłączaliśmy x przed nawias

133
00:05:30,751 --> 00:05:31,975
ale czy można to równanie

134
00:05:31,975 --> 00:05:33,311
rozwiązać inaczej?

135
00:05:33,567 --> 00:05:34,335
Można.

136
00:05:34,591 --> 00:05:37,151
Wyciągając 5x przed nawias.

137
00:05:37,407 --> 00:05:38,894
Otrzymamy wtedy:

138
00:05:38,894 --> 00:05:43,811
0 równa się 5x razy, w nawiasie x dodać 2.

139
00:05:44,063 --> 00:05:47,485
5x będzie równa zeru, gdy x to 0

140
00:05:47,485 --> 00:05:49,513
a x dodać 2 będzie zerem

141
00:05:49,513 --> 00:05:51,999
gdy w miejsce x wstawimy -2.

142
00:05:52,255 --> 00:05:53,755
To tak na marginesie.

143
00:05:54,047 --> 00:05:56,401
Jak widzisz, sposób rozwiązywania

144
00:05:56,401 --> 00:05:58,545
możesz wybrać według uznania

145
00:05:58,545 --> 00:06:00,375
ale musi być poprawny.

146
00:06:00,703 --> 00:06:03,071
Pokażę Ci jeszcze wykres tej funkcji.

147
00:06:03,263 --> 00:06:04,345
Oto on.

148
00:06:04,345 --> 00:06:06,695
Widzisz, że wykres przecina oś x

149
00:06:06,695 --> 00:06:08,895
w miejscu gdzie x to 0

150
00:06:09,151 --> 00:06:10,943
i gdzie x to -2.

151
00:06:11,199 --> 00:06:12,829
Wszystko się zgadza.

152
00:06:12,991 --> 00:06:14,575
Przejdźmy dalej.

153
00:06:17,855 --> 00:06:19,907
Mam dla Ciebie jeszcze jedno zadanie.

154
00:06:20,477 --> 00:06:22,839
Wyznacz miejsce zerowe funkcji:

155
00:06:22,839 --> 00:06:26,939
y równa się 2x kwadrat odjąć 11x.

156
00:06:30,655 --> 00:06:32,413
Zapisujemy równanie:

157
00:06:32,413 --> 00:06:36,287
0 równa się 2x kwadrat odjąć 11x.

158
00:06:36,543 --> 00:06:38,591
Wyłączamy x przed nawias.

159
00:06:38,847 --> 00:06:42,525
Mamy 0 równa się x razy, otwieramy nawias

160
00:06:42,525 --> 00:06:45,759
2x odjąć 11, zamykamy nawias.

161
00:06:46,015 --> 00:06:48,309
Iloczyn po prawej stronie będzie zerem

162
00:06:48,309 --> 00:06:50,695
gdy pierwszy czynnik będzie zerem

163
00:06:50,695 --> 00:06:52,319
lub gdy wyrażenie w nawiasie

164
00:06:52,319 --> 00:06:54,415
przyjmie wartość 0.

165
00:06:54,463 --> 00:06:56,344
Pierwszy czynnik będzie zerem

166
00:06:56,344 --> 00:06:58,559
gdy w miejsce x wstawimy 0.

167
00:06:58,881 --> 00:07:01,203
To jest pierwsze miejsce zerowe.

168
00:07:01,375 --> 00:07:03,272
Drugi czynnik będzie zerem

169
00:07:03,272 --> 00:07:06,645
gdy 2x odjąć 11 przyjmuje wartość 0.

170
00:07:06,937 --> 00:07:08,567
Przerzucamy -11

171
00:07:08,567 --> 00:07:09,905
na drugą stronę równania

172
00:07:09,905 --> 00:07:11,683
ze zmienionym znakiem.

173
00:07:11,683 --> 00:07:13,341
Dzielimy stronami przez 2

174
00:07:13,341 --> 00:07:15,199
i mamy drugie miejsce zerowe.

175
00:07:15,455 --> 00:07:17,489
x2 to 11/2

176
00:07:17,489 --> 00:07:19,233
czyli 5,5.

177
00:07:22,623 --> 00:07:24,541
Może udało Ci się zauważyć

178
00:07:24,541 --> 00:07:26,987
że w przypadku gdy szukamy miejsc

179
00:07:26,987 --> 00:07:28,676
zerowych funkcji kwadratowej

180
00:07:28,676 --> 00:07:31,330
w postaci ogólnej, a współczynnik c

181
00:07:31,330 --> 00:07:33,960
jest równy zeru, jednym z rozwiązań

182
00:07:33,960 --> 00:07:35,677
jest zawsze 0.

183
00:07:35,679 --> 00:07:37,983
Pokażę Ci, dlaczego tak jest.

184
00:07:38,751 --> 00:07:39,881
Funkcja kwadratowa

185
00:07:39,881 --> 00:07:42,409
zapisana w tej postacie wygląda tak:

186
00:07:42,591 --> 00:07:46,175
y równa się ax kwadrat dodać bx.

187
00:07:46,431 --> 00:07:49,353
Szukając miejsc zerowych takiej funkcji

188
00:07:49,353 --> 00:07:51,215
w miejsce y wstawiamy 0

189
00:07:51,215 --> 00:07:53,365
i rozwiązujemy równanie.

190
00:07:53,365 --> 00:07:57,167
0 równa się ax kwadrat dodać bx

191
00:07:57,167 --> 00:07:58,165
Możemy wyłączyć

192
00:07:58,165 --> 00:08:00,299
wspólny czynnik przed nawias.

193
00:08:00,511 --> 00:08:03,327
Otrzymamy 0 równa się x razy

194
00:08:03,583 --> 00:08:06,611
otwieramy nawias ax dodać b.

195
00:08:06,611 --> 00:08:09,143
Mamy tutaj iloczyn dwóch czynników.

196
00:08:09,215 --> 00:08:10,751
Jeden z nich to x.

197
00:08:11,007 --> 00:08:13,879
Całe wyrażenie będzie zawsze równe zeru

198
00:08:13,879 --> 00:08:16,635
gdy w miejsce x wstawimy liczbę 0.

199
00:08:16,815 --> 00:08:17,973
Zapamiętaj.!

200
00:08:17,973 --> 00:08:20,516
0 będzie zawsze miejscem zerowym

201
00:08:20,516 --> 00:08:22,026
funkcji kwadratowej

202
00:08:22,026 --> 00:08:24,063
zapisanej w postaci ogólnej

203
00:08:24,319 --> 00:08:26,367
o zerowym współczynniku c.

204
00:08:32,511 --> 00:08:34,452
Jeżeli w równaniu kwadratowym

205
00:08:34,452 --> 00:08:36,467
współczynnik c wynosi 0

206
00:08:36,467 --> 00:08:37,973
to aby je rozwiązać

207
00:08:37,973 --> 00:08:41,179
najprościej jest wyłączyć x przed nawias.

208
00:08:46,927 --> 00:08:48,513
Zapraszam Cię do obejrzenia

209
00:08:48,513 --> 00:08:50,285
pozostałych lekcji z tego działu

210
00:08:50,285 --> 00:08:52,072
oraz do polubienia naszej strony

211
00:08:52,072 --> 00:08:53,972
na Facebooku.