1
00:00:00,256 --> 00:00:02,206
Pitagoras i Euklides

2
00:00:02,206 --> 00:00:04,417
już około trzechsetnego roku

3
00:00:04,417 --> 00:00:06,514
przed naszą erą, nauczyli się

4
00:00:06,514 --> 00:00:08,177
wykorzystywać geometrię

5
00:00:08,177 --> 00:00:10,752
do rozwiązywania równań kwadratowych.

6
00:00:11,008 --> 00:00:12,800
Ten drugi wiedział przy tym

7
00:00:13,056 --> 00:00:15,128
że rozwiązaniami takich równań

8
00:00:15,128 --> 00:00:17,408
mogą być także liczby niewymierne.

9
00:00:29,184 --> 00:00:32,000
Na początek zmierz się z takim zadaniem.

10
00:00:32,256 --> 00:00:33,671
Ile miejsc zerowych

11
00:00:33,671 --> 00:00:36,539
ma funkcja kwadratowa opisana wzorem:

12
00:00:36,539 --> 00:00:39,680
y równa się x kwadrat odjąć 4?

13
00:00:40,192 --> 00:00:42,022
Widzimy, że to postać ogólna

14
00:00:42,022 --> 00:00:43,574
funkcji kwadratowej.

15
00:00:43,776 --> 00:00:45,878
Wypiszmy jej współczynniki.

16
00:00:46,080 --> 00:00:49,758
a to 1, b to 0, a c to -4.

17
00:00:49,920 --> 00:00:51,842
Teraz liczymy deltę ze wzoru

18
00:00:51,842 --> 00:00:55,193
b kwadrat odjąć 4 razy a razy c.

19
00:00:55,193 --> 00:00:57,279
Otrzymujemy: 0 do kwadratu

20
00:00:57,279 --> 00:01:01,734
odjąć 4 razy 1 razy -4, czyli 16.

21
00:01:01,734 --> 00:01:03,853
Funkcja kwadratowa opisana wzorem

22
00:01:03,853 --> 00:01:06,816
x kwadrat odjąć 4 ma dwa miejsca zerowe.

23
00:01:07,328 --> 00:01:09,376
Pokażę Ci teraz wykres tej funkcji.

24
00:01:10,144 --> 00:01:11,549
Widzisz, że parabola

25
00:01:11,549 --> 00:01:13,728
przecina oś x w dwóch miejscach.

26
00:01:13,984 --> 00:01:16,288
W tym przypadku łatwo je odczytać.

27
00:01:16,544 --> 00:01:17,711
Pierwsze to 2

28
00:01:17,711 --> 00:01:20,128
co zapisujemy x1 równa się 2.

29
00:01:20,384 --> 00:01:21,825
A drugie to -2

30
00:01:21,825 --> 00:01:24,480
co zapisujemy x2 równa się -2.

31
00:01:24,992 --> 00:01:28,064
Wróćmy do wzoru funkcji x kwadrat odjąć 4.

32
00:01:28,320 --> 00:01:29,877
Można w tym wzorze

33
00:01:29,877 --> 00:01:32,023
dostrzec także postać kanoniczną

34
00:01:32,023 --> 00:01:33,440
funkcji kwadratowej.

35
00:01:33,952 --> 00:01:35,788
Wykres tej funkcji otrzymamy

36
00:01:35,788 --> 00:01:38,560
przesuwając wykres funkcji x kwadrat

37
00:01:38,816 --> 00:01:40,504
 której wierzchołkiem jest punkt

38
00:01:40,504 --> 00:01:42,700
o współrzędnych 0 i 0

39
00:01:42,700 --> 00:01:44,672
o 4 jednostki w dół.

40
00:01:44,704 --> 00:01:47,183
Otrzymamy funkcję, której wierzchołek

41
00:01:47,183 --> 00:01:49,568
będzie w punkcie 0 i -4.

42
00:01:49,850 --> 00:01:52,222
Widzimy, że tak jest dokładnie

43
00:01:52,222 --> 00:01:53,858
na tym wykresie.

44
00:01:53,920 --> 00:01:54,927
Wiesz już

45
00:01:54,927 --> 00:01:57,687
że aby znaleźć miejsca zerowe funkcji

46
00:01:57,687 --> 00:01:59,101
czyli argumenty

47
00:01:59,101 --> 00:02:01,750
dla których funkcja przyjmuje wartość 0

48
00:02:01,856 --> 00:02:03,400
należy do wzoru funkcji

49
00:02:03,400 --> 00:02:05,624
w miejsce y wstawić 0.

50
00:02:05,696 --> 00:02:07,231
Otrzymujemy równanie:

51
00:02:07,231 --> 00:02:10,560
0 równa się x kwadrat odjąć 4.

52
00:02:10,966 --> 00:02:13,274
Spróbuj rozwiązać to równanie.

53
00:02:16,704 --> 00:02:19,776
Mamy tutaj x z drugą potęgą i liczbę.

54
00:02:19,942 --> 00:02:22,421
Przerzućmy liczbę na drugą stronę równania

55
00:02:22,421 --> 00:02:23,896
ze zmienionym znakiem.

56
00:02:23,896 --> 00:02:26,944
Otrzymujemy 4 równa się x do kwadratu.

57
00:02:27,456 --> 00:02:30,428
Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu

58
00:02:30,428 --> 00:02:31,808
aby otrzymać 4?

59
00:02:32,320 --> 00:02:34,112
Istnieją dwie takie liczby.

60
00:02:34,368 --> 00:02:35,904
2 i -2.

61
00:02:36,416 --> 00:02:38,053
Widzisz, że to zgadza się

62
00:02:38,053 --> 00:02:39,722
z naszym wykresem.

63
00:02:39,744 --> 00:02:41,796
Te dwie liczby to miejsca zerowe

64
00:02:41,796 --> 00:02:44,656
funkcji x kwadrat odjąć 4.

65
00:02:44,864 --> 00:02:47,168
Spójrz raz jeszcze na wyrażenie

66
00:02:47,424 --> 00:02:49,216
x kwadrat odjąć 4.

67
00:02:49,728 --> 00:02:51,315
Czy da się je przekształcić

68
00:02:51,315 --> 00:02:54,336
korzystając ze wzorów skróconego mnożenia?

69
00:02:54,848 --> 00:02:57,250
Jeśli tak, zrób to.

70
00:03:00,480 --> 00:03:02,529
4 to 2 do kwadratu

71
00:03:02,529 --> 00:03:05,172
więc mamy tutaj różnicę kwadratów.

72
00:03:05,344 --> 00:03:07,904
Zamieniamy x kwadrat odjąć 4 na:

73
00:03:08,160 --> 00:03:10,754
w nawiasie x odjąć 2

74
00:03:10,754 --> 00:03:12,192
zamykamy nawias

75
00:03:12,192 --> 00:03:15,072
razy w nawiasie x dodać 2.

76
00:03:15,328 --> 00:03:16,413
Ponieważ poszukujemy

77
00:03:16,413 --> 00:03:18,357
miejsc zerowych funkcji

78
00:03:18,357 --> 00:03:19,304
musimy sprawdzić

79
00:03:19,304 --> 00:03:21,786
kiedy te czynniki będą zerem.

80
00:03:21,786 --> 00:03:24,056
Mamy tutaj iloczyn dwóch czynników.

81
00:03:24,544 --> 00:03:27,234
Co należy wstawić w miejsce tego x

82
00:03:27,234 --> 00:03:29,416
aby ten czynnik był zerem?

83
00:03:29,426 --> 00:03:30,456
2.

84
00:03:30,688 --> 00:03:33,364
A co należy wstawić w miejsce tego x

85
00:03:33,364 --> 00:03:35,596
aby ten nawias był równy zeru?

86
00:03:35,808 --> 00:03:37,006
-2.

87
00:03:37,088 --> 00:03:39,183
Całe wyrażenie przyjmie zatem

88
00:03:39,183 --> 00:03:40,373
wartość równą zeru

89
00:03:40,373 --> 00:03:41,946
dla dwóch argumentów

90
00:03:41,952 --> 00:03:43,488
2 i -2.

91
00:03:44,000 --> 00:03:45,914
W kolejnych lekcjach dowiesz się

92
00:03:45,914 --> 00:03:47,359
jak wygląda taka postać

93
00:03:47,359 --> 00:03:48,971
funkcji kwadratowej

94
00:03:48,971 --> 00:03:51,168
zapisana jako iloczyn czynników.

95
00:03:51,936 --> 00:03:53,534
Widzisz, że tą metodą

96
00:03:53,534 --> 00:03:55,763
otrzymaliśmy takie same miejsca zerowe

97
00:03:55,763 --> 00:03:57,568
jak poprzednimi metodami.

98
00:03:57,920 --> 00:04:00,272
Przejdźmy do kolejnego równania.

99
00:04:03,968 --> 00:04:07,250
x kwadrat dodać 4 równa się 0.

100
00:04:07,808 --> 00:04:10,040
Ile rozwiązań ma to równanie?

101
00:04:10,624 --> 00:04:12,845
Liczbę rozwiązań możemy określić

102
00:04:12,845 --> 00:04:14,488
korzystając z delty.

103
00:04:14,720 --> 00:04:17,856
a to 1, b to 0, a c to 4.

104
00:04:18,303 --> 00:04:21,209
Delta wynosi zatem: 0 kwadrat odjąć 4

105
00:04:21,209 --> 00:04:24,887
razy 1 razy 4, czyli -16.

106
00:04:25,727 --> 00:04:27,914
Delta jest ujemna, co oznacza

107
00:04:27,914 --> 00:04:30,335
że to równanie nie ma rozwiązań.

108
00:04:31,359 --> 00:04:33,407
W tym wzorze możemy dostrzec

109
00:04:33,407 --> 00:04:35,453
też postać kanoniczną.

110
00:04:35,455 --> 00:04:37,898
Funkcję x kwadrat dodać 4

111
00:04:37,898 --> 00:04:40,989
otrzymamy przesuwając funkcję x kwadrat

112
00:04:40,989 --> 00:04:43,135
o wierzchołku w punkcie 0 i 0

113
00:04:43,391 --> 00:04:45,439
oraz ramionach skierowanych w górę

114
00:04:45,695 --> 00:04:47,231
o 4 miejsca do góry.

115
00:04:47,487 --> 00:04:49,151
Widzisz, że ta funkcja

116
00:04:49,151 --> 00:04:50,815
nie ma miejsc zerowych.

117
00:04:50,831 --> 00:04:52,355
Co za tym idzie?

118
00:04:52,355 --> 00:04:55,483
Równanie x kwadrat dodać 4 równa się 0

119
00:04:55,483 --> 00:04:57,083
nie ma rozwiązań.

120
00:04:57,083 --> 00:04:59,134
Pokażę Ci teraz inny sposób

121
00:04:59,134 --> 00:05:00,962
który pozwoli określić

122
00:05:00,962 --> 00:05:03,352
liczbę rozwiązań tego równania.

123
00:05:04,562 --> 00:05:07,232
To równanie, w którym współczynnik b

124
00:05:07,232 --> 00:05:09,601
czyli ten przy x z pierwszą potęgą

125
00:05:09,601 --> 00:05:10,867
wynosi 0.

126
00:05:11,039 --> 00:05:13,109
Takie równanie możemy rozwiązać

127
00:05:13,109 --> 00:05:15,907
przerzucając 4 na drugą stronę równania

128
00:05:15,907 --> 00:05:17,623
ze zmienionym znakiem.

129
00:05:17,623 --> 00:05:21,067
Otrzymamy x kwadrat równa się -4.

130
00:05:21,279 --> 00:05:22,925
Ale czy istnieje liczba

131
00:05:22,925 --> 00:05:24,415
która podniesiona do kwadratu

132
00:05:24,415 --> 00:05:26,347
da nam -4?

133
00:05:26,399 --> 00:05:27,441
Nie.

134
00:05:27,441 --> 00:05:29,978
To równanie nie ma zatem rozwiązań

135
00:05:29,978 --> 00:05:32,475
a funkcja x kwadrat dodać 4

136
00:05:32,475 --> 00:05:34,335
nie ma miejsc zerowych.

137
00:05:35,103 --> 00:05:36,973
Spójrz raz jeszcze na wyrażenie

138
00:05:36,973 --> 00:05:38,943
x kwadrat dodać 4.

139
00:05:39,199 --> 00:05:40,713
Czy da się je przekształcić

140
00:05:40,713 --> 00:05:43,551
korzystając ze wzorów skróconego mnożenia?

141
00:05:43,807 --> 00:05:45,959
Jeśli tak, zrób to.

142
00:05:49,951 --> 00:05:52,183
4 to 2 do kwadratu.

143
00:05:52,255 --> 00:05:54,474
Mamy tutaj sumę kwadratów.

144
00:05:54,524 --> 00:05:56,351
Wiesz, że nie istnieje

145
00:05:56,351 --> 00:05:58,105
wzór skróconego mnożenia

146
00:05:58,105 --> 00:05:59,713
na sumę kwadratów.

147
00:05:59,893 --> 00:06:02,243
Tego wyrażenia nie da się zatem zapisać

148
00:06:02,243 --> 00:06:05,113
w postaci iloczynu dwóch czynników.

149
00:06:05,311 --> 00:06:07,151
To tak na marginesie.

150
00:06:10,773 --> 00:06:12,735
Kolejne zadanie jest dla Ciebie.

151
00:06:12,991 --> 00:06:14,388
Mamy tutaj funkcję

152
00:06:14,388 --> 00:06:17,343
y równa się 2x kwadrat odjąć 10.

153
00:06:17,855 --> 00:06:19,364
Czy potrafisz powiedzieć

154
00:06:19,364 --> 00:06:21,439
ile miejsce zerowych ma ta funkcja?

155
00:06:21,951 --> 00:06:25,129
Podpowiem, że możesz skorzystać z delty

156
00:06:25,129 --> 00:06:27,064
przeanalizować wykres tej funkcji

157
00:06:27,064 --> 00:06:29,569
na podstawie współrzędnych wierzchołka

158
00:06:29,569 --> 00:06:32,091
albo zbadać liczbę rozwiązań równania

159
00:06:32,091 --> 00:06:35,271
2x kwadrat odjąć 10 równa się 0.

160
00:06:38,079 --> 00:06:40,537
Ja wykorzystam tę ostatnią metodę.

161
00:06:40,639 --> 00:06:42,683
Zwróć uwagę, że w tym równaniu

162
00:06:42,683 --> 00:06:45,179
współczynnik b wynosi 0.

163
00:06:45,247 --> 00:06:46,950
Takie równanie rozwiązujemy

164
00:06:46,950 --> 00:06:48,200
przerzucając liczbę

165
00:06:48,200 --> 00:06:49,611
na drugą stronę równania

166
00:06:49,611 --> 00:06:51,143
ze zmienionym znakiem.

167
00:06:51,143 --> 00:06:54,407
Otrzymujemy 2x kwadrat równa się 10.

168
00:06:54,719 --> 00:06:55,701
Teraz podzielmy

169
00:06:55,701 --> 00:06:57,535
obie strony równania przez 2.

170
00:06:57,791 --> 00:06:59,839
Mamy x kwadrat równa się 5.

171
00:07:00,351 --> 00:07:01,631
Zastanawiamy się

172
00:07:01,887 --> 00:07:04,273
jaką liczbę należy podnieść do kwadratu

173
00:07:04,273 --> 00:07:06,187
aby otrzymać 5.

174
00:07:06,239 --> 00:07:08,031
Istnieją dwie takie liczby.

175
00:07:08,287 --> 00:07:09,845
Pierwiastek z pięciu

176
00:07:09,845 --> 00:07:11,785
i minus pierwiastek z pięciu.

177
00:07:12,127 --> 00:07:13,955
To równanie ma dwa rozwiązania

178
00:07:13,955 --> 00:07:16,553
więc ta funkcja ma dwa miejsca zerowe.

179
00:07:16,991 --> 00:07:20,363
Metoda, z której skorzystałem oprócz tego

180
00:07:20,363 --> 00:07:22,230
że pozwala określić liczbę miejsc

181
00:07:22,230 --> 00:07:24,584
zerowych funkcji, to jeszcze je

182
00:07:24,584 --> 00:07:25,951
konkretnie podaje.

183
00:07:26,463 --> 00:07:29,023
Daje nam zatem więcej informacji.

184
00:07:29,535 --> 00:07:30,661
Poćwiczymy teraz

185
00:07:30,661 --> 00:07:32,614
rozwiązywanie równań kwadratowych

186
00:07:32,614 --> 00:07:35,467
w których współczynnik b wynosi o.

187
00:07:39,519 --> 00:07:41,055
Rozwiąż równanie.

188
00:07:41,311 --> 00:07:44,803
2x kwadrat dodać 10 równa się zero.

189
00:07:48,991 --> 00:07:51,398
Po lewej stronie mamy postać ogólną

190
00:07:51,398 --> 00:07:53,599
w której współczynnik b wynosi 0.

191
00:07:54,111 --> 00:07:56,563
Przerzucamy 10 na drugą stronę równania

192
00:07:56,563 --> 00:07:58,215
ze zmienionym znakiem.

193
00:07:58,215 --> 00:08:01,233
Mamy 2x kwadrat równa się -10.

194
00:08:01,791 --> 00:08:03,583
Dzielimy obustronnie przez 2.

195
00:08:04,095 --> 00:08:07,251
Otrzymujemy x kwadrat równa się -5.

196
00:08:07,669 --> 00:08:08,951
Czy istnieje liczba

197
00:08:08,951 --> 00:08:10,710
która po podniesieniu do kwadratu

198
00:08:10,710 --> 00:08:12,391
daje -5?

199
00:08:12,543 --> 00:08:13,485
Nie.

200
00:08:13,567 --> 00:08:14,411
Oznacza to

201
00:08:14,411 --> 00:08:16,477
że równanie nie ma rozwiązania.

202
00:08:20,479 --> 00:08:22,491
Kolejny przykład dla Ciebie.

203
00:08:22,783 --> 00:08:26,581
-50 dodać 2x kwadrat równa się 0.

204
00:08:29,951 --> 00:08:32,119
W tym równaniu po prawej stronie mamy 0

205
00:08:32,119 --> 00:08:35,587
a po lewej -50 dodać 2x kwadrat.

206
00:08:35,839 --> 00:08:37,769
Żeby po lewej stronie zobaczyć postać

207
00:08:37,769 --> 00:08:39,824
ogólna funkcji kwadratowej

208
00:08:39,824 --> 00:08:42,473
wystarczy zamienić liczby miejscami.

209
00:08:42,495 --> 00:08:46,317
Otrzymasz 2x kwadrat odjąć 50 równa się 0.

210
00:08:46,317 --> 00:08:47,837
Teraz przerzucamy liczbę

211
00:08:47,837 --> 00:08:49,406
na drugą stronę równania.

212
00:08:49,406 --> 00:08:51,689
Oczywiście ze zmienionym znakiem.

213
00:08:51,711 --> 00:08:54,777
Otrzymujemy 2x kwadrat równa się 50.

214
00:08:55,039 --> 00:08:57,087
Dzielimy obustronnie przez 2.

215
00:08:57,599 --> 00:09:00,671
Otrzymujemy x kwadrat równa się 25.

216
00:09:01,183 --> 00:09:03,015
Jaka liczba podniesiona do kwadratu

217
00:09:03,015 --> 00:09:04,255
daje 25?

218
00:09:04,767 --> 00:09:06,047
Są dwie takie liczby.

219
00:09:06,481 --> 00:09:08,175
5 i -5.

220
00:09:08,351 --> 00:09:10,143
To równanie ma dwa rozwiązania.

221
00:09:10,399 --> 00:09:12,081
Masz już podstawową wiedzę

222
00:09:12,081 --> 00:09:13,451
o równaniach kwadratowych

223
00:09:13,451 --> 00:09:14,693
w postaci ogólnej

224
00:09:14,693 --> 00:09:16,923
gdy współczynnik b wynosi 0.

225
00:09:17,311 --> 00:09:18,619
Gratuluję!

226
00:09:22,943 --> 00:09:24,788
Jeżeli w równaniu kwadratowym

227
00:09:24,788 --> 00:09:27,143
współczynnik b wynosi 0

228
00:09:27,143 --> 00:09:28,295
to aby je rozwiązać

229
00:09:28,295 --> 00:09:31,454
wyliczamy x kwadrat i pierwiastkujemy

230
00:09:31,454 --> 00:09:33,808
pamiętając o ujemnym wyniku.

231
00:09:33,808 --> 00:09:36,157
Takie równanie może być sprzeczne

232
00:09:36,157 --> 00:09:38,171
i może nie mieć rozwiązań.

233
00:09:42,399 --> 00:09:44,202
Zapraszam Cię do obejrzenia

234
00:09:44,202 --> 00:09:46,508
pozostałych lekcji z tej playlisty

235
00:09:46,508 --> 00:09:48,823
oraz do zasubskrybowania naszego kanału

236
00:09:48,823 --> 00:09:50,665
aby być na bieżąco.