1
00:00:00,675 --> 00:00:02,638
Słowo "optymalny" oznacza 

2
00:00:02,738 --> 00:00:04,608
"najlepszy w danych warunkach"

3
00:00:05,120 --> 00:00:08,694
ale co znaczy "najlepszy" i dla kogo? 

4
00:00:08,794 --> 00:00:09,983
Zastanów się.

5
00:00:10,240 --> 00:00:13,176
Możesz szukać optymalnej równowagi 

6
00:00:13,276 --> 00:00:16,930
między nauką a rozrywką, między potrzebą snu

7
00:00:17,030 --> 00:00:20,428
a zabawy do białego rana; możesz ustawić 

8
00:00:20,528 --> 00:00:23,329
sobie w domu optymalną temperaturę

9
00:00:23,429 --> 00:00:26,230
czyli nie za niską i nie za wysoką

10
00:00:26,330 --> 00:00:28,278
ale optymalizacja często

11
00:00:28,378 --> 00:00:30,205
nie oznacza równowagi.

12
00:00:30,720 --> 00:00:34,048
Optymalna wypłata? Jak najwyższa.

13
00:00:34,304 --> 00:00:37,376
Optymalne koszty? Jak najniższe.

14
00:00:37,888 --> 00:00:40,192
Zwłaszcza gdy w grę wchodzą liczby

15
00:00:40,448 --> 00:00:44,032
optymalność często skręca w stronę skrajności

16
00:00:44,544 --> 00:00:47,177
i właśnie takim, skrajnym podejściem

17
00:00:47,277 --> 00:00:50,431
do optymalizacji zajmiemy się w tym filmie.

18
00:01:02,464 --> 00:01:04,512
Wyobraź sobie janusza nad morzem.

19
00:01:04,768 --> 00:01:07,061
Przytachał 12-metrowy parawan

20
00:01:07,161 --> 00:01:09,243
i chce zagarnąć dla siebie 

21
00:01:09,343 --> 00:01:11,636
jak największy kawałek plaży.

22
00:01:11,936 --> 00:01:14,303
Słupki parawanu można, rzecz jasna

23
00:01:14,403 --> 00:01:17,004
ustawiać w dowolny kształt, ale janusz

24
00:01:17,104 --> 00:01:19,919
chce mieć prostokąt, aby wygodnie było mu

25
00:01:20,019 --> 00:01:22,386
ułożyć wewnątrz leżaki i ręczniki.

26
00:01:22,688 --> 00:01:25,248
Jakie powinny być boki tego prostokąta

27
00:01:25,504 --> 00:01:26,960
aby powierzchnia plaży

28
00:01:27,060 --> 00:01:29,954
ograniczona parawanem, była jak największa?

29
00:01:31,136 --> 00:01:34,176
Wiemy, że parawan ma długość 12 metrów.

30
00:01:34,464 --> 00:01:36,247
Tyle więc będzie miał obwód

31
00:01:36,347 --> 00:01:37,791
powstałego prostokąta.

32
00:01:38,304 --> 00:01:41,223
Musimy jeszcze założyć, że słupki nie są trwale

33
00:01:41,323 --> 00:01:43,876
związane z materiałem parawanu, więc można

34
00:01:43,976 --> 00:01:45,947
je wstawiać w zasadzie dowolnie.

35
00:01:46,240 --> 00:01:47,982
Ile da się do takiego obwodu

36
00:01:48,082 --> 00:01:49,312
wcisnąć powierzchni?

37
00:01:49,824 --> 00:01:51,892
Przeanalizujmy to na przykładzie

38
00:01:51,992 --> 00:01:53,861
kilku różnych długości boków.

39
00:01:54,176 --> 00:01:57,081
Jeśli jeden z boków będzie miał jeden metr

40
00:01:57,181 --> 00:01:58,890
drugi musi mieć 5 metrów.

41
00:01:58,990 --> 00:02:01,282
Jakie będzie pole takiego prostokąta?

42
00:02:01,856 --> 00:02:03,109
To jeden razy pięć

43
00:02:03,209 --> 00:02:05,403
czyli pięć metrów kwadratowych.

44
00:02:05,799 --> 00:02:08,305
Wydłużmy krótszy bok o pół metra.

45
00:02:08,512 --> 00:02:12,352
Pole to teraz półtora metra razy 4,5 metra

46
00:02:12,608 --> 00:02:15,936
czyli sześć i 75 setnych metra kwadratowego.

47
00:02:16,448 --> 00:02:19,060
Przy wymiarach 2 na 4, to już 

48
00:02:19,160 --> 00:02:22,876
8 metrów kwadratowych, a kwadrat trzy metry

49
00:02:22,976 --> 00:02:26,209
na trzy metry da nam pole równe 9 m².

50
00:02:26,432 --> 00:02:29,248
Dalsze zmiany nic nowego już nie wprowadzają.

51
00:02:29,504 --> 00:02:32,064
Otrzymamy te same wyniki, co wcześniej.

52
00:02:32,320 --> 00:02:35,147
Zmieni się tylko ustawienie boków prostokąta.

53
00:02:35,648 --> 00:02:38,233
Z wyliczeń wynika, że największe pole

54
00:02:38,333 --> 00:02:40,506
uzyskamy, ustawiając parawan w kształcie

55
00:02:40,606 --> 00:02:42,912
kwadratu o boku 3 metrów.

56
00:02:43,328 --> 00:02:46,144
Nasza analiza nie jest jednak zbyt dokładna.

57
00:02:46,400 --> 00:02:48,921
Obliczaliśmy pole przy zmianach wymiarów

58
00:02:49,021 --> 00:02:50,513
o co najmniej pół metra.

59
00:02:50,761 --> 00:02:53,101
To wystarczy przy układaniu ręczników

60
00:02:53,201 --> 00:02:55,491
ale w wielu wypadkach może okazać się

61
00:02:55,591 --> 00:02:56,639
niewystarczające.

62
00:02:57,152 --> 00:02:59,593
Jak przeprowadzić optymalizację w bardziej

63
00:02:59,693 --> 00:03:02,368
usystematyzowany i dokładniejszy sposób?

64
00:03:02,784 --> 00:03:05,344
Punktem wyjścia niech będzie dla nas wykres

65
00:03:05,600 --> 00:03:08,507
zależności pola naszego prostokątnego

66
00:03:08,607 --> 00:03:11,913
kawałka plaży od długości jednego z boków.

67
00:03:12,512 --> 00:03:15,162
Oznaczmy długość tego boku jako x.

68
00:03:15,311 --> 00:03:20,373
Dla x równego jednemu metrowi, pole to 5 m².

69
00:03:20,704 --> 00:03:25,385
Gdy x to półtora metra, pole to 6,75 m².

70
00:03:25,824 --> 00:03:28,640
Gdy x równa się dwa, pole to osiem.

71
00:03:29,127 --> 00:03:31,403
Czy wykres ten coś ci przypomina?

72
00:03:31,968 --> 00:03:33,942
Mamy trochę luk między punktami

73
00:03:34,042 --> 00:03:36,613
ale i tak widać, że wykres ten układa się

74
00:03:36,713 --> 00:03:39,778
w kształt paraboli z maksimum w punkcie

75
00:03:39,878 --> 00:03:42,414
gdzie x = 3 m.

76
00:03:42,720 --> 00:03:45,801
Gdybyśmy mieli wzór tej funkcji, całe zadanie

77
00:03:45,901 --> 00:03:48,028
sprowadzałoby się do obliczenia 

78
00:03:48,128 --> 00:03:50,881
współrzędnej iksowej wierzchołka paraboli

79
00:03:50,981 --> 00:03:52,670
i wartości drugiego boku.

80
00:03:53,216 --> 00:03:55,738
Zróbmy sobie teraz przerwę na orzeszka

81
00:03:55,838 --> 00:03:59,348
a po niej pokażę ci, jak taki wzór wyznaczyć.

82
00:04:03,456 --> 00:04:06,198
Wykres, który narysowaliśmy przed chwilą

83
00:04:06,298 --> 00:04:09,130
pokazywał, jak zmienia się pole prostokąta

84
00:04:09,230 --> 00:04:11,922
w zależności od długości jednego z boków

85
00:04:12,022 --> 00:04:13,438
przy stałym obwodzie.

86
00:04:13,952 --> 00:04:17,096
W naszym przypadku P równa się x razy y

87
00:04:17,196 --> 00:04:20,914
bo takimi literami oznaczyłam boki prostokąta.

88
00:04:21,631 --> 00:04:24,447
Pole prostokąta zależy od długości obu boków.

89
00:04:24,959 --> 00:04:28,131
Im większe liczby wstawimy pod x i pod y

90
00:04:28,231 --> 00:04:30,114
tym większe będzie pole.

91
00:04:30,214 --> 00:04:32,325
Jednak w naszym przypadku nie możemy

92
00:04:32,425 --> 00:04:34,236
dowolnie zmieniać obu wymiarów.

93
00:04:34,431 --> 00:04:37,221
Obwód ma być cały czas równy 12.

94
00:04:37,759 --> 00:04:40,108
Znając obwód, wystarczy więc znać 

95
00:04:40,208 --> 00:04:43,072
długość jednego boku, a drugi możemy sobie

96
00:04:43,172 --> 00:04:44,886
w każdej chwili obliczyć.

97
00:04:45,183 --> 00:04:46,702
Możemy więc zapisać wzór 

98
00:04:46,802 --> 00:04:48,510
na obwód naszego prostokąta:

99
00:04:48,767 --> 00:04:52,373
Dwa iks plus dwa igrek równa się dwanaście.

100
00:04:52,863 --> 00:04:55,621
Mamy tu dwie niewiadome: x i y.

101
00:04:56,017 --> 00:04:58,641
Chcąc pozbyć się nadmiarowej niewiadomej

102
00:04:58,741 --> 00:05:00,914
we wzorze, postępujemy tu podobnie

103
00:05:01,014 --> 00:05:03,321
jak w przypadku metody podstawiania 

104
00:05:03,421 --> 00:05:05,644
przy rozwiązywaniu układów równań.

105
00:05:05,919 --> 00:05:10,114
Z równania: 2x + 2y = 12

106
00:05:10,229 --> 00:05:12,063
wyznaczamy jedną z niewiadomych.

107
00:05:12,319 --> 00:05:15,647
Dowolną, ale Jeśli używamy liter x i y

108
00:05:15,903 --> 00:05:17,951
wygodniej nam będzie wyznaczyć y

109
00:05:18,207 --> 00:05:21,279
aby w powstałej funkcji została nam zmienna x

110
00:05:21,535 --> 00:05:23,583
do której jesteśmy przyzwyczajeni.

111
00:05:23,839 --> 00:05:25,375
Wyznaczamy więc y.

112
00:05:25,887 --> 00:05:28,464
W tym celu przenosimy 2x na drugą stronę

113
00:05:28,564 --> 00:05:31,333
równania ze zmianą znaku, a następnie

114
00:05:31,433 --> 00:05:34,515
dzielimy obustronnie przez 2, co daje nam:

115
00:05:34,615 --> 00:05:37,167
y równa się 6 minus x.

116
00:05:37,919 --> 00:05:39,826
Otrzymaliśmy w ten sposób wzór 

117
00:05:39,926 --> 00:05:42,148
na długość drugiego boku prostokąta.

118
00:05:42,527 --> 00:05:44,831
Gdy we wzorze na pole prostokąta

119
00:05:44,985 --> 00:05:48,183
zastąpimy igrek wyrażeniem 6 - x

120
00:05:48,415 --> 00:05:52,044
Otrzymamy P = x razy 6 - x, czyli wzór

121
00:05:52,144 --> 00:05:55,530
pozwalający obliczyć pole prostokąta

122
00:05:55,630 --> 00:05:59,163
o obwodzie 12, znając jeden jego bok.

123
00:05:59,679 --> 00:06:02,561
We wzorze tym x jest zmienną, bo zmieniamy

124
00:06:02,661 --> 00:06:05,822
jego wartość sprawdzając, jak zmieni się pole.

125
00:06:06,079 --> 00:06:08,895
Możemy go więc zapisać jako funkcję P od x.

126
00:06:09,407 --> 00:06:11,513
Musimy jednak pamiętać, że nie możemy

127
00:06:11,613 --> 00:06:13,739
pod iks wstawiać dowolnej liczby.

128
00:06:13,839 --> 00:06:16,130
Iks to bok prostokąta, musi więc być

129
00:06:16,230 --> 00:06:18,949
liczbą większą od zera. Nie może też być

130
00:06:19,049 --> 00:06:22,626
liczbą większą od 6, a więc dziedziną tej funkcji

131
00:06:22,726 --> 00:06:26,563
są liczby z przedziału otwartego od 0 do 6.

132
00:06:27,583 --> 00:06:29,375
Jaką funkcję otrzymaliśmy?

133
00:06:29,887 --> 00:06:32,707
Jest to stara, poczciwa funkcja kwadratowa

134
00:06:32,807 --> 00:06:34,875
zapisana w postaci iloczynowej.

135
00:06:35,057 --> 00:06:38,305
Jeśli wymnożymy x z nawiasem

136
00:06:38,833 --> 00:06:41,966
a następnie uporządkujemy wyrazy

137
00:06:42,163 --> 00:06:44,478
otrzymamy ją w postaci ogólnej.

138
00:06:44,933 --> 00:06:46,186
Mamy wzór.

139
00:06:46,401 --> 00:06:49,238
Teraz sprawdźmy, czy nasza wcześniejsza

140
00:06:49,338 --> 00:06:50,917
analiza była poprawna.

141
00:06:51,391 --> 00:06:54,406
Mamy obliczyć, dla jakiej długości boku

142
00:06:54,506 --> 00:06:57,235
czyli dla jakiego x, pole prostokąta

143
00:06:57,335 --> 00:06:58,699
będzie największe.

144
00:06:59,071 --> 00:07:02,027
Nasza funkcja ma ujemny współczynnik a

145
00:07:02,127 --> 00:07:05,112
to znaczy, że jej ramiona są skierowane

146
00:07:05,212 --> 00:07:08,276
ku dołowi, a co za tym idzie, ma wartość

147
00:07:08,376 --> 00:07:11,678
największą, odpowiadającą największemu polu

148
00:07:11,778 --> 00:07:15,367
prostokąta i zarazem wierzchołkowi paraboli.

149
00:07:15,683 --> 00:07:17,678
Chcemy znać długość boku

150
00:07:17,810 --> 00:07:20,319
czyli iksową współrzędną wierzchołka.

151
00:07:20,831 --> 00:07:23,647
Ją oznaczamy najczęściej literą p.

152
00:07:24,009 --> 00:07:25,695
Pamiętasz wzór na p?

153
00:07:29,219 --> 00:07:31,807
P równa się minus b przez 2a.

154
00:07:32,095 --> 00:07:36,435
W naszym przypadku b to 6, a a to -1

155
00:07:36,535 --> 00:07:41,435
czyli p równa się minus 6 przez 2 razy -1

156
00:07:41,535 --> 00:07:43,924
co daje nam wynik 3.

157
00:07:44,639 --> 00:07:46,762
Uff, mamy nasz bok x.

158
00:07:46,943 --> 00:07:50,158
Drugi obliczamy ze wzoru: y równa się 

159
00:07:50,258 --> 00:07:53,598
sześć minus iks, czyli 6 - 3

160
00:07:53,698 --> 00:07:55,549
co również daje nam trzy.

161
00:07:56,159 --> 00:07:58,270
Pamiętaj, że w naszym przypadku

162
00:07:58,370 --> 00:08:00,132
y to drugi bok prostokąta.

163
00:08:00,255 --> 00:08:02,303
Nie pomyl go z wartością funkcji!

164
00:08:03,071 --> 00:08:06,205
Potwierdziliśmy tym samym, że kawałek plaży

165
00:08:06,305 --> 00:08:08,278
ogrodzony 12-metrowym parawanem

166
00:08:08,378 --> 00:08:10,190
będzie miał największe pole

167
00:08:10,290 --> 00:08:13,436
jeśli będzie kwadratem o boku 3 metrów.

168
00:08:19,199 --> 00:08:21,136
Poprzedni przykład nie był pewnie

169
00:08:21,236 --> 00:08:22,270
bardzo wymagający.

170
00:08:22,527 --> 00:08:25,253
Wiele osób intuicyjnie rozłożyłoby taki parawan

171
00:08:25,353 --> 00:08:27,134
w kształt zbliżony do kwadratu.

172
00:08:27,391 --> 00:08:28,690
Teraz postawimy janusza

173
00:08:28,790 --> 00:08:30,206
przed większym wyzwaniem.

174
00:08:30,463 --> 00:08:33,111
Nadal chce on zająć maksymalną powierzchnię

175
00:08:33,211 --> 00:08:35,244
plaży, ale przy tym zapewnić sobie

176
00:08:35,344 --> 00:08:37,115
prywatny dostęp do morza.

177
00:08:37,375 --> 00:08:39,834
Mamy więc sytuację, w której parawan

178
00:08:39,934 --> 00:08:42,901
ma stanowić trzy boki prostokąta, a czwartym

179
00:08:43,001 --> 00:08:44,763
bokiem ma być brzeg morza.

180
00:08:45,045 --> 00:08:47,391
Czy i tym razem kwadrat okaże się

181
00:08:47,491 --> 00:08:48,820
optymalnym wyborem?

182
00:08:50,175 --> 00:08:51,967
Doradź januszowi samodzielnie

183
00:08:52,223 --> 00:08:54,772
a za chwilę sprawdzimy, czy twoje obliczenia

184
00:08:54,872 --> 00:08:56,158
zgadzają się z moimi.

185
00:08:59,647 --> 00:09:01,083
Szybkie sprawdzenie.

186
00:09:01,183 --> 00:09:03,181
Znów optymalizujemy pole

187
00:09:03,281 --> 00:09:05,535
czyli P równa się x razy y.

188
00:09:06,047 --> 00:09:08,607
Tym razem jednak nasze 12 metrów

189
00:09:08,863 --> 00:09:10,911
ma wystarczyć tylko na trzy boki:

190
00:09:11,423 --> 00:09:14,492
dwa iks plus igrek równa się dwanaście.

191
00:09:14,822 --> 00:09:16,256
Wyznaczamy y.

192
00:09:16,543 --> 00:09:19,718
Y równa się 12 minus 2 x.

193
00:09:20,127 --> 00:09:23,814
Podstawiamy: P od x równa się

194
00:09:23,914 --> 00:09:26,312
x razy 12 minus 2x.

195
00:09:26,527 --> 00:09:29,876
X i tym razem nie może być mniejszy od zera

196
00:09:29,976 --> 00:09:32,880
ani większy od sześciu, ponieważ nawet

197
00:09:32,980 --> 00:09:36,279
gdyby bok y był bardzo krótki, to pozostałe

198
00:09:36,379 --> 00:09:39,520
prawie 12 metrów parawanu musi wystarczyć

199
00:09:39,620 --> 00:09:41,546
na dwa boki o długości x.

200
00:09:42,143 --> 00:09:45,215
Po zapisaniu funkcji w postaci ogólnej widzimy

201
00:09:45,471 --> 00:09:48,799
że i tym razem współczynnik a jest ujemny

202
00:09:48,899 --> 00:09:50,737
co oznacza, że funkcja posiada

203
00:09:50,837 --> 00:09:51,983
wartość największą.

204
00:09:52,430 --> 00:09:55,455
Po obliczeniu p, czyli maksimum naszej funkcji

205
00:09:55,711 --> 00:09:58,527
okazuje się, że optymalna długość boku x

206
00:09:59,039 --> 00:10:00,831
to i tym razem trzy metry.

207
00:10:01,333 --> 00:10:04,195
X należy do dziedziny, ponieważ miał się

208
00:10:04,295 --> 00:10:07,230
zawierać w przedziale otwartym od 0 do 6.

209
00:10:08,521 --> 00:10:10,450
Drugi bok prostokąta to:

210
00:10:10,550 --> 00:10:12,939
y równa się 12 minus 2 x

211
00:10:13,154 --> 00:10:17,471
czyli 12 minus 2 razy 3, co daje nam 6 metrów.

212
00:10:17,983 --> 00:10:20,499
Janusz postąpi więc najrozsądniej

213
00:10:20,599 --> 00:10:24,126
ustawiając prostokąt o wymiarach 6 na 3 metry

214
00:10:24,498 --> 00:10:27,322
w ten sposób, że bok o długości 6 metrów 

215
00:10:27,422 --> 00:10:29,756
będzie równoległy do brzegu morza.

216
00:10:30,527 --> 00:10:32,626
A jakie pole wtedy otrzyma?

217
00:10:33,087 --> 00:10:35,064
Podaliśmy już wymiary prostokąta

218
00:10:35,164 --> 00:10:37,662
więc wystarczy je pomnożyć, by dowiedzieć

219
00:10:37,762 --> 00:10:40,373
się, że dwukrotnie większe niż poprzednio.

220
00:10:40,767 --> 00:10:44,365
Taki sam wynik otrzymamy, obliczając wartość

221
00:10:44,465 --> 00:10:47,183
naszej funkcji dla x równego trzem

222
00:10:47,283 --> 00:10:50,333
czyli igrekową współrzędną wierzchołka

223
00:10:50,433 --> 00:10:52,571
albo korzystając ze wzoru: 

224
00:10:52,671 --> 00:10:55,692
q równa się minus delta przez 4a.

225
00:11:01,247 --> 00:11:03,367
Zostawmy naszego janusza na plaży

226
00:11:03,467 --> 00:11:05,603
i podsumujmy: aby obliczyć zadanie

227
00:11:05,703 --> 00:11:08,365
optymalizacyjne, dające się opisać funkcją

228
00:11:08,465 --> 00:11:11,061
kwadratową, należy w pierwszej kolejności

229
00:11:11,161 --> 00:11:12,886
wyznaczyć wzór tej funkcji.

230
00:11:13,535 --> 00:11:15,405
Kolejnym krokiem jest obliczenie

231
00:11:15,505 --> 00:11:17,375
współrzędnej iksowej wierzchołka

232
00:11:17,631 --> 00:11:20,191
i sprawdzenie, czy należy ona do dziedziny.

233
00:11:20,703 --> 00:11:22,504
Teraz należy przypomnieć sobie 

234
00:11:22,604 --> 00:11:24,286
o co tak naprawdę nas pytano.

235
00:11:24,543 --> 00:11:27,909
Możliwe, że obliczony x to już koniec zadania.

236
00:11:28,127 --> 00:11:31,089
Może konieczne będzie obliczenie jeszcze innej

237
00:11:31,189 --> 00:11:33,446
wielkości, na przykład drugiego boku

238
00:11:33,546 --> 00:11:36,131
prostokąta lub maksymalnej czy minimalnej

239
00:11:36,231 --> 00:11:38,292
wartości funkcji, analogicznie do

240
00:11:38,392 --> 00:11:40,191
pola prostokąta w przykładzie

241
00:11:40,291 --> 00:11:42,583
który liczyliśmy przed chwilą.

242
00:11:46,540 --> 00:11:48,764
Byłoby optymalnie, gdyby ten film

243
00:11:48,864 --> 00:11:50,398
zasłużył na polubienie.

244
00:11:50,655 --> 00:11:53,701
Jeśli chcesz się zmierzyć z innymi wyzwaniami

245
00:11:53,801 --> 00:11:57,389
optymalizacji, oglądaj inne filmy tej playlisty.