1
00:00:00,768 --> 00:00:03,090
Jednym z najbardziej znanych problemów

2
00:00:03,190 --> 00:00:05,887
optymalizacyjnych jest problem komiwojażera.

3
00:00:06,257 --> 00:00:08,611
Chodzi w nim o takie zaplanowanie

4
00:00:08,711 --> 00:00:11,598
trasy handlowca, by objechał on określoną

5
00:00:11,698 --> 00:00:14,220
liczbę klientów jak najkrótszą drogą

6
00:00:14,320 --> 00:00:16,382
lub w jak najkrótszym czasie.

7
00:00:16,757 --> 00:00:20,795
Jako pierwszy sformułował go w 1932 roku

8
00:00:20,895 --> 00:00:24,319
austriacki matematyk, Karl Menger.

9
00:00:24,832 --> 00:00:27,392
O ile sam problem wydaje się banalny

10
00:00:27,648 --> 00:00:29,582
o tyle znalezienie rozwiązania 

11
00:00:29,682 --> 00:00:30,976
jest naprawdę trudne.

12
00:00:31,232 --> 00:00:34,699
Dla n punktów istnieje bowiem n minus 1 silnia

13
00:00:34,799 --> 00:00:37,119
przez dwa, kombinacji połączeń.

14
00:00:37,376 --> 00:00:39,791
My w tej lekcji będziemy rozwiązywać

15
00:00:39,891 --> 00:00:42,923
prostsze problemy optymalizacyjne. Zapraszam.

16
00:00:54,350 --> 00:00:56,931
W tej playliście zoptymalizowaliśmy 

17
00:00:57,031 --> 00:00:59,708
niejedną figurę, jednak optymalizacja 

18
00:00:59,808 --> 00:01:01,439
to nie tylko geometria.

19
00:01:01,696 --> 00:01:04,589
Optymalizujemy zyski firm, podatki

20
00:01:04,689 --> 00:01:07,965
czy własną garderobę, aby minimum ubrań

21
00:01:08,065 --> 00:01:10,006
dawało maksimum efektu.

22
00:01:10,656 --> 00:01:12,990
Optymalizacja w życiu codziennym wymaga

23
00:01:13,090 --> 00:01:15,083
najczęściej wielu zmiennych.

24
00:01:15,264 --> 00:01:18,336
My skupimy się na jej uproszczonym wariancie.

25
00:01:19,104 --> 00:01:20,896
Przeczytajmy pierwsze zadanie.

26
00:01:21,664 --> 00:01:24,023
Suma dwóch liczb jest równa 10. 

27
00:01:24,123 --> 00:01:27,034
Znajdź te liczby, jeśli wiadomo, że suma

28
00:01:27,134 --> 00:01:29,593
jednej z liczb i kwadratu drugiej 

29
00:01:29,693 --> 00:01:31,826
jest najmniejsza z możliwych.

30
00:01:33,184 --> 00:01:35,900
Na początek przeanalizujmy parę liczb

31
00:01:36,000 --> 00:01:37,634
która w sumie da nam 10.

32
00:01:37,792 --> 00:01:40,775
Może to być na przykład jeden i dziewięć.

33
00:01:41,145 --> 00:01:43,544
W tym zadaniu kolejność ma znaczenie

34
00:01:43,680 --> 00:01:46,496
bo tylko jedną z liczb podnosimy do kwadratu.

35
00:01:47,008 --> 00:01:50,080
Innym przypadkiem będzie więc 9 i 1.

36
00:01:50,592 --> 00:01:52,384
Obliczmy w obu wariantach

37
00:01:52,640 --> 00:01:55,585
sumę pierwszej liczby i kwadratu drugiej.

38
00:01:56,992 --> 00:02:00,320
Jak zapisać tę sumę w postaci uogólnionej?

39
00:02:00,832 --> 00:02:03,136
Aby uniknąć wprowadzania dwóch zmiennych

40
00:02:03,392 --> 00:02:08,112
nasze liczby możemy oznaczyć jako iks i 10-x.

41
00:02:08,512 --> 00:02:10,791
Ponieważ to drugą liczbę podnosimy

42
00:02:10,891 --> 00:02:13,733
do kwadratu, to ją oznaczmy jako iks

43
00:02:13,888 --> 00:02:16,700
a pierwszą jako 10 - x.

44
00:02:16,960 --> 00:02:19,264
Łatwiej bowiem podnieść do kwadratu iks

45
00:02:19,520 --> 00:02:21,833
niż wyrażenie 10 - x.

46
00:02:22,336 --> 00:02:25,449
Nasza suma to więc 10 minus iks

47
00:02:25,664 --> 00:02:27,712
dodać x do potęgi drugiej.

48
00:02:28,480 --> 00:02:30,645
Porządkujemy wyrazy i zapisujemy 

49
00:02:30,745 --> 00:02:32,575
nasze wyrażenie jako funkcję

50
00:02:32,866 --> 00:02:36,331
iks do kwadratu minus iks plus 10.

51
00:02:36,672 --> 00:02:38,720
Teraz musimy określić jej dziedzinę.

52
00:02:38,976 --> 00:02:41,650
Jaką wartość może przyjmować nasz iks?

53
00:02:42,304 --> 00:02:44,508
W zadaniu nie ma podanych ograniczeń.

54
00:02:44,608 --> 00:02:46,895
Pod x możemy wstawić dowolną liczbę

55
00:02:46,995 --> 00:02:49,032
a więc dziedziną naszej funkcji 

56
00:02:49,132 --> 00:02:51,152
jest zbiór liczb rzeczywistych.

57
00:02:51,894 --> 00:02:54,800
Suma, którą zapisaliśmy ma być najmniejsza 

58
00:02:54,900 --> 00:02:57,893
z możliwych, czyli ma być minimalną wartością

59
00:02:57,993 --> 00:02:59,100
naszej funkcji.

60
00:02:59,200 --> 00:03:02,016
Nasza funkcja ma dodatni współczynnik a

61
00:03:02,272 --> 00:03:04,751
a więc jej wykres będzie miał ramiona 

62
00:03:04,851 --> 00:03:07,596
skierowane ku górze i wartość najmniejszą.

63
00:03:07,904 --> 00:03:09,184
Wszystko się zgadza.

64
00:03:09,696 --> 00:03:11,488
Mamy znaleźć dwie liczby

65
00:03:11,744 --> 00:03:13,792
które w sumie dadzą nam 10.

66
00:03:14,048 --> 00:03:15,328
Jedna z nich to x.

67
00:03:15,840 --> 00:03:18,542
Nasza suma będzie najmniejsza w tym miejscu

68
00:03:18,642 --> 00:03:19,950
a więc musimy obliczyć

69
00:03:20,050 --> 00:03:22,384
iksową współrzędną wierzchołka.

70
00:03:22,752 --> 00:03:25,824
Wzór na p to minus b przez 2a.

71
00:03:26,336 --> 00:03:29,664
Po podstawieniu otrzymujemy 1/2.

72
00:03:29,920 --> 00:03:32,992
Drugą z naszych liczb jest więc jedna druga.

73
00:03:34,135 --> 00:03:39,130
Pierwsza to 10 - 1/2, czyli 9 i 1/2.

74
00:03:39,648 --> 00:03:45,469
Mamy tym samym szukane liczby: 9,5 i 1/2.

75
00:03:52,448 --> 00:03:53,984
Czas na drugie zadanie.

76
00:03:54,240 --> 00:03:56,339
Tym razem zoptymalizujemy zyski

77
00:03:56,439 --> 00:03:57,903
w małym biznesie.

78
00:03:58,336 --> 00:04:01,287
Pewien sklepikarz sprzedawał damskie torebki

79
00:04:01,387 --> 00:04:03,712
po 120 zł za sztukę.

80
00:04:04,224 --> 00:04:07,040
Miesięcznie sprzedawał w tej cenie 300 torebek.

81
00:04:07,552 --> 00:04:10,906
Zauważył, że każdy wzrost ceny o 10 zł

82
00:04:11,006 --> 00:04:14,892
zmniejszał miesięczną sprzedaż o 25 torebek.

83
00:04:15,488 --> 00:04:18,911
Oblicz, jaką cenę jednej torebki powinien

84
00:04:19,011 --> 00:04:21,621
ustalić sprzedawca, aby uzyskać 

85
00:04:21,721 --> 00:04:25,602
jak największy zysk, jeśli cena hurtowa torebki

86
00:04:25,702 --> 00:04:27,261
to 80 zł za sztukę.

87
00:04:28,031 --> 00:04:31,072
Zanim zaczniemy optymalizować cenę torebki 

88
00:04:31,172 --> 00:04:33,732
i układać funkcję określającą tę cenę

89
00:04:33,832 --> 00:04:36,751
przeanalizujmy kilka możliwych scenariuszy

90
00:04:36,851 --> 00:04:39,748
aby łatwiej nam było zobaczyć zależności.

91
00:04:40,319 --> 00:04:42,678
Przy cenie 120 zł sprzedaje się

92
00:04:42,778 --> 00:04:44,849
 300 torebek miesięcznie.

93
00:04:45,183 --> 00:04:47,760
Kiedy cenę podniesiemy o 10 zł 

94
00:04:47,860 --> 00:04:51,709
sprzedawać się będzie 275 torebek miesięcznie.

95
00:04:52,351 --> 00:04:54,056
Przy cenie 140 zł 

96
00:04:54,156 --> 00:04:57,226
sprzedaż spadnie do 250 torebek.

97
00:04:57,727 --> 00:04:59,354
Jak w tych sytuacjach 

98
00:04:59,454 --> 00:05:01,310
obliczyć zysk sprzedawcy?

99
00:05:02,335 --> 00:05:05,231
W pierwszym wariancie, na jednej torebce

100
00:05:05,331 --> 00:05:07,122
sprzedawca zarabia 40 zł.

101
00:05:07,711 --> 00:05:10,066
Sprzedaje miesięcznie 300 torebek 

102
00:05:10,166 --> 00:05:15,134
a więc jego zysk to 40 razy 300, czyli 12 tysięcy.

103
00:05:15,903 --> 00:05:18,097
W drugim wariancie zysk to

104
00:05:18,197 --> 00:05:24,351
50 razy 275, czyli 13 750.

105
00:05:24,863 --> 00:05:29,471
W trzecim 60 razy 250, czyli 15 000.

106
00:05:29,727 --> 00:05:31,586
Na razie zysk rośnie.

107
00:05:31,775 --> 00:05:35,871
Jednak gdybyśmy ustalili cenę na 240 zł

108
00:05:36,127 --> 00:05:39,455
czyli o 120 zł więcej niż obecnie

109
00:05:39,711 --> 00:05:42,783
to sprzedaż spadnie do zera i zysków nie będzie

110
00:05:43,551 --> 00:05:44,831
Gdzie jest złoty środek?

111
00:05:45,343 --> 00:05:48,097
Zaraz go znajdziemy, nie analizując zysków

112
00:05:48,197 --> 00:05:49,950
dla każdej z możliwych cen.

113
00:05:50,719 --> 00:05:52,736
Co zmieniało się w naszej analizie?

114
00:05:53,279 --> 00:05:56,735
Na każde 10 zł podwyżki musieliśmy odjąć

115
00:05:56,835 --> 00:05:59,678
25 sztuk z miesięcznej sprzedaży.

116
00:05:59,935 --> 00:06:02,997
Zmieniała się skala podwyżki, co najwygodniej

117
00:06:03,097 --> 00:06:05,279
będzie przedstawić, jako krotność

118
00:06:05,379 --> 00:06:07,335
dziesięciozłotowych podwyżek.

119
00:06:08,230 --> 00:06:12,019
Cenę podnosimy więc o 10 zł iks razy

120
00:06:12,123 --> 00:06:17,280
czyli o 10x, co daje nam wyrażenie 120 + 10x.

121
00:06:17,855 --> 00:06:20,096
Jednak nas interesuje zysk.

122
00:06:20,415 --> 00:06:24,255
Z jednej torebki sprzedawca ma obecnie 40 zł.

123
00:06:24,767 --> 00:06:27,594
Po podwyżce będzie to o 10x więcej

124
00:06:27,694 --> 00:06:30,097
czyli 40 plus 10x.

125
00:06:30,655 --> 00:06:35,266
Ilość sprzedanych egzemplarzy to 300 - 25x

126
00:06:35,519 --> 00:06:38,210
bo na każdą dziesięciozłotową podwyżkę

127
00:06:38,310 --> 00:06:40,387
spada ona o 25 sztuk.

128
00:06:40,895 --> 00:06:42,405
A zysk miesięczny?

129
00:06:43,199 --> 00:06:46,461
To iloczyn zarobku na jednej torebce i liczby

130
00:06:46,561 --> 00:06:50,749
sprzedanych sztuk, czyli 40 plus 10x

131
00:06:50,899 --> 00:06:54,130
razy 300 minus 25x.

132
00:06:54,463 --> 00:06:55,952
Pamiętajmy o nawiasach!

133
00:06:56,511 --> 00:06:58,303
Nasza zależność gotowa.

134
00:06:58,559 --> 00:07:01,119
Spróbuj dokończyć to zadanie samodzielnie

135
00:07:01,375 --> 00:07:04,703
a następnie wznów film i sprawdź, jak Ci poszło.

136
00:07:08,031 --> 00:07:09,823
Oto przykładowe rozwiązanie.

137
00:07:10,079 --> 00:07:12,092
Funkcja po wymnożeniu nawiasów 

138
00:07:12,192 --> 00:07:13,755
i uporządkowaniu wyrazów 

139
00:07:13,855 --> 00:07:15,269
przyjmuje taką postać.

140
00:07:15,967 --> 00:07:19,026
Jej dziedziną będzie przedział od 0 do 12

141
00:07:19,126 --> 00:07:22,110
bo większa liczba podwyżek nie ma sensu.

142
00:07:22,879 --> 00:07:25,951
Iksowa współrzędna wierzchołka to 4

143
00:07:26,463 --> 00:07:30,815
a więc optymalna cena to 120 plus 10 razy 4 

144
00:07:31,071 --> 00:07:32,863
czyli 160 złotych.

145
00:07:33,375 --> 00:07:36,447
Taką właśnie cenę powinien ustalić sprzedawca

146
00:07:36,703 --> 00:07:38,495
aby uzyskać największy zysk.

147
00:07:44,895 --> 00:07:46,793
W zadaniach optymalizacyjnych 

148
00:07:46,893 --> 00:07:49,246
zwykle musimy wyznaczyć wzór funkcji.

149
00:07:49,503 --> 00:07:52,382
Łatwiej to zrobić, jeśli najpierw przeprowadzisz

150
00:07:52,482 --> 00:07:54,995
analizę z wykorzystaniem konkretnych liczb

151
00:07:55,135 --> 00:07:56,927
spełniających warunki zadania.

152
00:07:57,439 --> 00:08:00,300
Posługując się liczbami, łatwiej dostrzec

153
00:08:00,400 --> 00:08:02,714
zależności, które w kolejnym kroku

154
00:08:02,814 --> 00:08:05,554
można uogólnić na symbole i w ten sposób

155
00:08:05,654 --> 00:08:07,166
wyznaczyć żądany wzór.

156
00:08:09,983 --> 00:08:12,260
Tym filmem chcieliśmy Cię przekonać

157
00:08:12,360 --> 00:08:14,521
że optymalizacja pomaga nie tylko 

158
00:08:14,621 --> 00:08:17,696
w napisaniu klasówki, ale i w codziennym życiu.

159
00:08:17,919 --> 00:08:20,829
Zanim jednak założysz biznes i zechcesz go 

160
00:08:20,929 --> 00:08:22,669
zoptymalizować, polub nas.