1
00:00:00,156 --> 00:00:02,558
Słowo „ciąg” może oznaczać wiele

2
00:00:02,558 --> 00:00:03,684
różnych rzeczy.

3
00:00:03,840 --> 00:00:06,378
Jest ciąg pieszy, czyli chodnik

4
00:00:06,378 --> 00:00:07,524
i ciąg jezdny.

5
00:00:07,936 --> 00:00:10,062
Rakieta nie wystrzeliłaby w kosmos

6
00:00:10,162 --> 00:00:12,388
gdyby nie odpowiednia siła ciągu

7
00:00:12,544 --> 00:00:14,647
a dobry napastnik zawsze ma

8
00:00:14,647 --> 00:00:15,816
ciąg na bramkę.

9
00:00:16,128 --> 00:00:17,982
Kiedyś ciągiem określano też

10
00:00:18,082 --> 00:00:20,780
w sądownictwie kradzież albo rozbój.

11
00:00:20,992 --> 00:00:24,131
Słownym kuzynem ciągu jest słówko „ciężki”

12
00:00:24,431 --> 00:00:26,351
ale w tej lekcji pokażę Ci

13
00:00:26,451 --> 00:00:29,628
że ciągi wcale nie są ciężkie do pojęcia!

14
00:00:40,860 --> 00:00:43,464
To jest rejestracja pewnego pojazdu.

15
00:00:43,620 --> 00:00:44,944
Przeczytaj ją.

16
00:00:47,772 --> 00:00:50,376
1234 BCD.

17
00:00:50,688 --> 00:00:52,688
Zapis rejestracji składa się

18
00:00:52,688 --> 00:00:53,760
z cyfr i liter.

19
00:00:53,916 --> 00:00:55,214
Czy potrafisz powiedzieć

20
00:00:55,314 --> 00:00:57,444
jaki jest pierwszy znak tej rejestracji?

21
00:00:57,600 --> 00:00:58,980
Jestem pewny, że tak!

22
00:00:59,136 --> 00:01:00,772
Jest nim cyfra 1.

23
00:01:00,928 --> 00:01:03,332
A jak jest piąty znak tej rejestracji?

24
00:01:03,488 --> 00:01:07,328
1, 2, 3, 4, 5.

25
00:01:07,584 --> 00:01:09,832
Na piątym miejscu stoi litera B.

26
00:01:10,144 --> 00:01:11,880
Spójrzmy na kolejny przykład.

27
00:01:12,192 --> 00:01:15,364
Z ilu znaków składa się napis „pistacja”?

28
00:01:15,520 --> 00:01:16,332
Policzmy!

29
00:01:16,544 --> 00:01:22,632
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

30
00:01:22,944 --> 00:01:24,836
Tutaj mamy wyłącznie litery.

31
00:01:24,992 --> 00:01:27,652
Jaka litera stoi na siódmym miejscu?

32
00:01:27,808 --> 00:01:29,232
Litera „j”.

33
00:01:29,344 --> 00:01:31,748
A na którym miejscu stoi litera „p”?

34
00:01:31,904 --> 00:01:33,228
Na pierwszym.

35
00:01:33,696 --> 00:01:35,622
Przejdźmy do kolejnego przykładu.

36
00:01:35,688 --> 00:01:37,230
Widzisz tutaj hasło do konta

37
00:01:37,330 --> 00:01:39,172
na Steamie pewnego gracza:

38
00:01:39,328 --> 00:01:42,344
matematyka16#.

39
00:01:42,656 --> 00:01:44,548
Hasło składa się z liter

40
00:01:44,704 --> 00:01:47,208
cyfr oraz znaku specjalnego.

41
00:01:47,520 --> 00:01:49,335
Na którym miejscu w tym haśle

42
00:01:49,335 --> 00:01:50,336
stoi litera „t”?

43
00:01:50,592 --> 00:01:52,896
Możemy ją znaleźć w dwóch miejscach

44
00:01:53,152 --> 00:01:55,500
na pozycji trzeciej i siódmej.

45
00:01:56,224 --> 00:01:57,796
Każdy matematyk zauważy

46
00:01:57,896 --> 00:01:59,872
w tych przykładach przyporządkowanie

47
00:01:59,973 --> 00:02:02,468
które kolejnym liczbom naturalnym dodatnim

48
00:02:02,624 --> 00:02:03,791
czyli naszym pozycjom

49
00:02:03,891 --> 00:02:05,896
przyporządkowuje pewne wartości.

50
00:02:06,208 --> 00:02:08,146
Matematycy takie przyporządkowanie

51
00:02:08,246 --> 00:02:10,080
nazywają ciągiem.

52
00:02:11,072 --> 00:02:13,464
Matematycy zajmują się głównie ciągami

53
00:02:13,464 --> 00:02:15,349
liczbowymi, czyli takimi, które

54
00:02:15,349 --> 00:02:17,516
składają się wyłącznie z liczb.

55
00:02:17,728 --> 00:02:20,076
Czy znasz przykład takiego ciągu?

56
00:02:22,904 --> 00:02:25,375
Każdy człowiek w Polsce ma przypisany

57
00:02:25,475 --> 00:02:27,418
do swojej osoby niepowtarzalny

58
00:02:27,418 --> 00:02:28,324
ciąg liczbowy.

59
00:02:28,480 --> 00:02:31,240
Jest nim numer identyfikacyjny PESEL.

60
00:02:31,340 --> 00:02:32,564
Na przykład taki.

61
00:02:33,088 --> 00:02:34,924
To jest ciąg liczbowy.

62
00:02:35,136 --> 00:02:37,284
Na pierwszym miejscu stoi 8

63
00:02:37,440 --> 00:02:40,100
na drugim 1, na trzecim 0

64
00:02:40,256 --> 00:02:42,860
na czwartym jedynka i tak dalej.

65
00:02:44,096 --> 00:02:45,922
PESEL zawsze składa się

66
00:02:45,922 --> 00:02:47,668
z jedenastu elementów.

67
00:02:50,808 --> 00:02:52,914
Inny przykład ciągu liczbowego

68
00:02:53,014 --> 00:02:54,724
możemy zobaczyć w telewizji

69
00:02:54,824 --> 00:02:57,152
gdy piłkarze reprezentacji kraju stoją

70
00:02:57,308 --> 00:02:59,912
jeden obok drugiego i śpiewają hymn.

71
00:03:00,224 --> 00:03:01,978
Potrafimy podać numer zawodnika

72
00:03:02,078 --> 00:03:04,132
stojącego na pierwszym miejscu

73
00:03:04,233 --> 00:03:06,168
drugim miejscu i tak dalej

74
00:03:06,268 --> 00:03:07,536
aż do jedenastego.

75
00:03:07,648 --> 00:03:09,428
Mamy tutaj ciąg, który składa się

76
00:03:09,428 --> 00:03:10,920
z jedenastu elementów.

77
00:03:11,232 --> 00:03:12,819
Wszystkie są liczbami

78
00:03:12,819 --> 00:03:14,860
więc to jest ciąg liczbowy.

79
00:03:15,072 --> 00:03:17,133
A co się stanie, gdy zawodnicy

80
00:03:17,133 --> 00:03:18,427
po śpiewaniu hymnu

81
00:03:18,427 --> 00:03:20,336
rozbiegną się po boisku?

82
00:03:20,504 --> 00:03:21,742
Czy potrafisz powiedzieć

83
00:03:21,842 --> 00:03:24,432
który zawodnik stoi na drugim miejscu?

84
00:03:24,556 --> 00:03:27,048
Nie, bo już nie stoją obok siebie.

85
00:03:27,360 --> 00:03:30,050
To ustawienie, choć też w pewien sposób

86
00:03:30,150 --> 00:03:32,780
uporządkowane, nie jest ciągiem.

87
00:03:36,376 --> 00:03:38,454
Innym przykładem ciągu liczbowego

88
00:03:38,554 --> 00:03:40,777
jest ciąg dodatnich wielokrotności

89
00:03:40,777 --> 00:03:41,796
liczby 2.

90
00:03:41,952 --> 00:03:43,300
Spróbuj wypisać kilka

91
00:03:43,400 --> 00:03:45,680
kolejnych liczb z tego ciągu.

92
00:03:48,608 --> 00:03:51,666
Pierwszym wyrazem tego ciągu jest liczba 2

93
00:03:51,766 --> 00:03:55,520
drugim — 4, trzecim — 6, czwartym — 8

94
00:03:55,776 --> 00:03:58,436
piątym — 10, szóstym — 12.

95
00:03:58,592 --> 00:04:00,328
Zatrzymajmy się na chwilę.

96
00:04:00,540 --> 00:04:02,376
Czy da się wypisać wszystkie

97
00:04:02,376 --> 00:04:03,556
wyrazy tego ciągu?

98
00:04:03,712 --> 00:04:04,609
No nie da się.

99
00:04:04,709 --> 00:04:07,296
Musielibyśmy robić to w nieskończoność.

100
00:04:07,808 --> 00:04:09,471
To jest przykład ciągu

101
00:04:09,471 --> 00:04:11,436
liczbowego nieskończonego.

102
00:04:11,904 --> 00:04:13,740
A jak jest w numerze PESEL?

103
00:04:14,208 --> 00:04:17,252
Tu liczba znaków jest zawsze skończona

104
00:04:17,352 --> 00:04:18,659
i wynosi 11.

105
00:04:18,815 --> 00:04:20,201
Numer PESEL jest zatem

106
00:04:20,301 --> 00:04:22,343
ciągiem liczbowym skończonym.

107
00:04:22,655 --> 00:04:25,571
Ten ciąg jest jednakże nieskończony.

108
00:04:25,727 --> 00:04:28,083
Aby zaznaczyć, że dany ciąg jest

109
00:04:28,083 --> 00:04:29,854
nieskończony, po przecinku

110
00:04:29,854 --> 00:04:31,659
zapisujemy 3 kropki.

111
00:04:32,127 --> 00:04:33,551
To jest pierwszy podział

112
00:04:33,551 --> 00:04:34,987
ciągów liczbowych.

113
00:04:35,967 --> 00:04:38,571
Ciągi można zapisywać również w tabeli.

114
00:04:38,939 --> 00:04:41,298
W pierwszym wierszu znajdą się numery

115
00:04:41,298 --> 00:04:43,815
pozycji, na których stoją kolejne wyrazy

116
00:04:43,815 --> 00:04:45,813
ciągu, a w drugim wierszu

117
00:04:45,813 --> 00:04:47,331
odpowiednie wyrazy.

118
00:04:47,487 --> 00:04:51,071
Zobacz, na pierwszym miejscu stoi liczba 2

119
00:04:51,583 --> 00:04:53,119
na drugim — 4

120
00:04:53,375 --> 00:04:55,011
na trzecim — 6

121
00:04:55,423 --> 00:04:56,803
na czwartym — 8

122
00:04:56,959 --> 00:05:00,131
na piątym — 10, na szóstym — 12

123
00:05:00,287 --> 00:05:01,355
i tak dalej.

124
00:05:01,567 --> 00:05:03,739
Matematycy lubią upraszczać sobie

125
00:05:03,839 --> 00:05:05,763
nazwy, oznaczenia i zapisy.

126
00:05:05,919 --> 00:05:08,545
Pozycję w ciągach postanowili oznaczać

127
00:05:08,545 --> 00:05:11,757
literą „n”, a kolejne wartości ciągu jakąś

128
00:05:11,757 --> 00:05:14,923
literą alfabetu z indeksem dolnym „n”.

129
00:05:15,035 --> 00:05:17,539
Warto przyzwyczaić się do tych oznaczeń.

130
00:05:17,695 --> 00:05:19,943
Będziemy z nich często korzystać.

131
00:05:20,155 --> 00:05:21,091
Pokażę Ci teraz

132
00:05:21,191 --> 00:05:23,527
co można robić z takimi oznaczeniami.

133
00:05:23,839 --> 00:05:26,343
Weźmy na przykład n równe 3.

134
00:05:26,655 --> 00:05:28,269
Oznacza to, że chodzi nam

135
00:05:28,369 --> 00:05:30,083
o trzeci wyraz w tym ciągu.

136
00:05:30,239 --> 00:05:32,131
Jest nim liczba 6.

137
00:05:32,287 --> 00:05:34,079
Zamiast pisać słownie

138
00:05:34,335 --> 00:05:37,223
„trzecim wyrazem tego ciągu jest liczba 6”

139
00:05:37,323 --> 00:05:39,043
to robimy to w ten sposób:

140
00:05:39,199 --> 00:05:42,696
zapisujemy a z indeksem dolnym 3

141
00:05:42,696 --> 00:05:44,007
równa się 6.

142
00:05:44,319 --> 00:05:46,490
a z indeksem dolnym 3

143
00:05:46,490 --> 00:05:48,971
czytamy po prostu „a 3”.

144
00:05:49,183 --> 00:05:51,331
Weźmy teraz n równe 4.

145
00:05:51,487 --> 00:05:53,323
Ile wynosi a4?

146
00:05:53,831 --> 00:05:54,859
8.

147
00:05:55,071 --> 00:05:56,451
Możesz zauważyć

148
00:05:56,607 --> 00:05:59,523
że ciągi można zapisywać na różne sposoby.

149
00:05:59,679 --> 00:06:02,125
Ten sam ciąg dodatnich wielokrotności

150
00:06:02,125 --> 00:06:04,387
dwójki, zapisaliśmy słownie

151
00:06:04,543 --> 00:06:06,847
wypisując kolejne wyrazy ciągu

152
00:06:07,103 --> 00:06:08,939
oraz za pomocą tabeli.

153
00:06:09,407 --> 00:06:11,570
Może masz jakiś pomysł, jak jeszcze

154
00:06:11,570 --> 00:06:13,547
inaczej możemy zapisać ten ciąg?

155
00:06:17,343 --> 00:06:19,937
Jeżeli coś jest zapisane w tabeli to

156
00:06:19,937 --> 00:06:22,819
możemy to łatwo zapisać za pomocą grafu.

157
00:06:22,975 --> 00:06:24,611
Rysujemy dwie elipsy.

158
00:06:24,767 --> 00:06:27,425
W pierwszej będą pozycje wyrazów ciągu

159
00:06:27,425 --> 00:06:29,938
czyli n, a w drugiej wyrazy ciągu

160
00:06:29,938 --> 00:06:31,111
czyli an.

161
00:06:31,423 --> 00:06:34,083
Pierwszym wyrazem ciągu jest liczba 2

162
00:06:34,239 --> 00:06:35,875
drugim — liczba 4

163
00:06:36,031 --> 00:06:37,411
trzecim — liczba 6

164
00:06:37,567 --> 00:06:39,055
a czwartym — liczba 8.

165
00:06:39,155 --> 00:06:41,450
Możemy tak wypisywać w nieskończoność

166
00:06:41,550 --> 00:06:43,781
więc w obu elipsach na końcach

167
00:06:43,881 --> 00:06:45,863
zapisujemy 3 kropeczki.

168
00:06:46,015 --> 00:06:48,775
Ciągi możemy prezentować też na wykresie.

169
00:06:48,987 --> 00:06:50,896
Na osi poziomej znajdują się

170
00:06:50,896 --> 00:06:53,545
numery wyrazów ciągu, czyli n

171
00:06:53,745 --> 00:06:56,967
a na osi pionowej wyrazy ciągu, czyli an.

172
00:06:57,279 --> 00:07:00,195
Pierwszym wyrazem tego ciągu jest liczba 2

173
00:07:00,351 --> 00:07:01,887
drugim — liczba 4

174
00:07:02,143 --> 00:07:04,803
trzecim — liczba 6 i tak dalej.

175
00:07:05,271 --> 00:07:06,942
Przejdźmy teraz do jeszcze

176
00:07:06,942 --> 00:07:09,255
do innego sposobu zapisywania ciągów.

177
00:07:09,567 --> 00:07:12,225
Zastanów się, czy potrafisz dostrzec

178
00:07:12,225 --> 00:07:14,572
zależność między numerem wyrazu

179
00:07:14,572 --> 00:07:17,202
czyli pozycją, a wyrazem stojącym

180
00:07:17,202 --> 00:07:18,315
na tej pozycji.

181
00:07:21,599 --> 00:07:24,653
Zobacz, wyrazy tego ciągu są 2 razy

182
00:07:24,653 --> 00:07:26,165
większe niż numery miejsc

183
00:07:26,165 --> 00:07:27,431
na których stoją.

184
00:07:27,743 --> 00:07:30,403
Mnożąc 1 przez 2 otrzymamy 2.

185
00:07:30,559 --> 00:07:33,219
Mnożąc 2 przez 2 otrzymamy 4.

186
00:07:33,375 --> 00:07:36,135
Mnożąc 2 przez 3 otrzymamy 6.

187
00:07:36,447 --> 00:07:38,795
Jak to zapisać za pomocą wzoru?

188
00:07:39,007 --> 00:07:42,377
Wyrazy tego ciągu, czyli an są 2 razy

189
00:07:42,377 --> 00:07:44,292
większe niż numery wyrazów

190
00:07:44,292 --> 00:07:46,731
czyli an równa się 2 razy n.

191
00:07:46,943 --> 00:07:49,291
Jak wykorzystuje się takie wzory?

192
00:07:49,503 --> 00:07:52,675
Wymyśl sobie dowolną pozycję w tym ciągu

193
00:07:52,831 --> 00:07:55,435
na przykład siedemdziesiątą dziewiątą.

194
00:07:55,647 --> 00:07:57,840
Dzięki znajomości wzoru możemy szybko

195
00:07:57,840 --> 00:08:00,711
obliczyć jaki wyraz stoi na tej pozycji.

196
00:08:01,203 --> 00:08:03,767
Wystarczy w miejsce litery „n”

197
00:08:03,867 --> 00:08:07,111
wstawić numer pozycji, czyli 79.

198
00:08:07,323 --> 00:08:10,695
2 razy 79 to 158.

199
00:08:11,063 --> 00:08:13,514
W tym ciągu na siedemdziesiątym dziewiątym

200
00:08:13,514 --> 00:08:16,583
miejscu stoi liczba 158.

201
00:08:16,895 --> 00:08:19,456
Wzory takie jak ten będziemy badać

202
00:08:19,556 --> 00:08:21,547
w kolejnych lekcjach.

203
00:08:25,243 --> 00:08:28,003
Teraz przyszedł czas na szybką powtórkę.

204
00:08:28,159 --> 00:08:30,130
Spróbuj wymienić poznane dotąd

205
00:08:30,230 --> 00:08:32,299
metody zapisywania ciągu.

206
00:08:35,639 --> 00:08:38,243
Możemy go zapisać na przykład słownie.

207
00:08:38,399 --> 00:08:39,978
Ciąg możemy także zapisać

208
00:08:40,078 --> 00:08:42,183
wypisując jego kolejne wyrazy.

209
00:08:42,395 --> 00:08:45,311
Możemy też wykorzystać tabelę, graf

210
00:08:45,567 --> 00:08:47,759
wykres i wzór.

211
00:08:51,043 --> 00:08:53,035
A spójrz teraz na taki ciąg:

212
00:08:53,303 --> 00:08:57,782
0, 100, 1/2, pierwiastek z pięciu

213
00:08:57,782 --> 00:09:00,247
i 10 do potęgi trzeciej.

214
00:09:00,415 --> 00:09:02,422
Zauważ, że mamy tutaj wypisane

215
00:09:02,522 --> 00:09:04,455
kolejne wyrazy tego ciągu.

216
00:09:04,667 --> 00:09:06,181
Jakimi innymi metodami

217
00:09:06,281 --> 00:09:08,395
możemy przedstawić ten ciąg?

218
00:09:08,607 --> 00:09:10,443
Możemy skorzystać z tabeli?

219
00:09:10,555 --> 00:09:12,647
Możemy! Oto ona!

220
00:09:13,215 --> 00:09:15,207
A z grafu? Też!

221
00:09:15,675 --> 00:09:17,411
A co sądzisz o wykresie?

222
00:09:17,723 --> 00:09:19,559
Czy będzie on czytelny?

223
00:09:19,871 --> 00:09:22,787
Zauważ, że pierwszym wyrazem jest 0.

224
00:09:22,943 --> 00:09:26,115
Drugim — 100, a trzecim — 1/2.

225
00:09:26,271 --> 00:09:27,665
Nie starczy nam miejsca

226
00:09:27,765 --> 00:09:29,899
aby zrobić czytelną podziałkę.

227
00:09:30,111 --> 00:09:31,235
Nie zmienia to faktu

228
00:09:31,391 --> 00:09:34,146
że gdybyśmy bardzo chcieli to moglibyśmy

229
00:09:34,146 --> 00:09:36,143
i na wykresie go przedstawić.

230
00:09:36,551 --> 00:09:38,409
A czy ten ciąg da się opisać

231
00:09:38,409 --> 00:09:39,683
jakimś wzorem?

232
00:09:39,839 --> 00:09:41,263
Jak myślisz?

233
00:09:44,713 --> 00:09:47,265
Najprawdopodobniej wyrazami tego ciągu

234
00:09:47,365 --> 00:09:48,868
są przypadkowe liczby

235
00:09:48,968 --> 00:09:51,047
to znaczy, że nie ma reguły ich doboru.

236
00:09:51,203 --> 00:09:52,817
Nie możemy więc tej reguły

237
00:09:52,917 --> 00:09:55,755
zapisać językiem matematyki, czyli wzorem.

238
00:09:55,967 --> 00:09:57,862
Ciągi można opisywać dowolnym

239
00:09:57,962 --> 00:09:59,857
z poznanych wcześniej sposobów

240
00:09:59,957 --> 00:10:02,111
wyjątkiem jest wzór, nie każdy ciąg

241
00:10:02,111 --> 00:10:04,090
da się przedstawić w postaci wzoru.

242
00:10:04,346 --> 00:10:06,324
Wzory ciągów będziemy badać dokładnie

243
00:10:06,424 --> 00:10:07,843
w kolejnych lekcjach.

244
00:10:07,999 --> 00:10:09,791
Teraz utrwalimy zdobytą wiedzę.

245
00:10:12,863 --> 00:10:14,243
Spójrz na taki ciąg:

246
00:10:14,399 --> 00:10:18,339
2, 4, 8, 16, 32 i tak dalej.

247
00:10:18,495 --> 00:10:20,275
Czy to jest ciąg?

248
00:10:23,159 --> 00:10:25,488
Mamy tutaj pewne przyporządkowanie.

249
00:10:25,588 --> 00:10:27,917
To znaczy, że jesteśmy w stanie powiedzieć

250
00:10:28,017 --> 00:10:29,603
który element jest pierwszy

251
00:10:29,759 --> 00:10:31,851
który drugi i tak dalej.

252
00:10:32,075 --> 00:10:33,187
To jest ciąg.

253
00:10:33,343 --> 00:10:35,335
A czy to jest ciąg liczbowy?

254
00:10:35,647 --> 00:10:38,136
Wszystkie wyrazy tego ciągu to liczby.

255
00:10:38,136 --> 00:10:39,376
Mamy zatem do czynienia

256
00:10:39,376 --> 00:10:40,805
z ciągiem liczbowym.

257
00:10:41,023 --> 00:10:43,092
Czy ten ciąg jest skończony

258
00:10:43,092 --> 00:10:44,395
czy nieskończony?

259
00:10:47,735 --> 00:10:49,933
3 kropki na końcu oznaczają

260
00:10:50,033 --> 00:10:52,331
że to jest ciąg nieskończony.

261
00:10:52,799 --> 00:10:54,541
Czy istnieje wzór opisujący

262
00:10:54,641 --> 00:10:56,683
kolejne wyrazy tego ciągu?

263
00:11:00,023 --> 00:11:01,603
Pierwszy wyraz to 2.

264
00:11:01,915 --> 00:11:04,007
Pozycja tego wyrazu to 1.

265
00:11:04,219 --> 00:11:07,190
Kandydatem na wzór jest iloczyn dwójki

266
00:11:07,290 --> 00:11:08,915
i numeru pozycji.

267
00:11:09,339 --> 00:11:11,766
Pierwszym wyrazem tego ciągu będzie zatem

268
00:11:11,866 --> 00:11:13,935
2 razy 1, czyli 2.

269
00:11:15,071 --> 00:11:16,955
Sprawdźmy, czy taka reguła zadziała

270
00:11:17,055 --> 00:11:18,243
dla drugiej liczby.

271
00:11:18,399 --> 00:11:21,571
Też, bo 2 razy druga pozycja to 4.

272
00:11:21,727 --> 00:11:23,367
Ale czy ta metoda sprawdzi się

273
00:11:23,467 --> 00:11:24,643
dla trzeciej pozycji?

274
00:11:24,799 --> 00:11:27,047
2 razy trzecia pozycja to 6.

275
00:11:27,359 --> 00:11:28,581
W tym ciągu jednakże

276
00:11:28,581 --> 00:11:30,631
na trzeciej pozycji stoi 8.

277
00:11:30,943 --> 00:11:33,603
Ten wzór nie działa. Szukamy innego.

278
00:11:33,759 --> 00:11:35,907
Wracamy do pierwszej pozycji.

279
00:11:36,063 --> 00:11:38,345
Jakim innym działaniem wykorzystującym

280
00:11:38,345 --> 00:11:41,127
dwójkę i jedynkę da się otrzymać 2?

281
00:11:41,439 --> 00:11:43,071
2 do potęgi pierwszej

282
00:11:43,171 --> 00:11:45,390
bo po podniesieniu dwójki do potęgi

283
00:11:45,490 --> 00:11:47,683
która jest taka sama jak numer pozycji

284
00:11:47,839 --> 00:11:49,419
otrzymamy 2.

285
00:11:49,631 --> 00:11:50,699
A co dalej?

286
00:11:50,911 --> 00:11:53,059
Teraz numerem pozycji będzie 2.

287
00:11:53,215 --> 00:11:55,719
2 do potęgi drugiej to 4.

288
00:11:55,931 --> 00:11:58,435
Wciąż się zgadza. A dalej?

289
00:11:58,747 --> 00:12:00,383
Kolejna pozycja to 3.

290
00:12:00,639 --> 00:12:02,987
2 do potęgi trzeciej to 8.

291
00:12:03,199 --> 00:12:04,579
Hura! Działa!

292
00:12:04,735 --> 00:12:06,482
Upewnijmy się, że działa to też

293
00:12:06,582 --> 00:12:07,907
dla kolejnych pozycji.

294
00:12:08,063 --> 00:12:10,445
2 do potęgi czwartej to 16

295
00:12:10,545 --> 00:12:13,027
a 2 do potęgi piątej to 32.

296
00:12:13,183 --> 00:12:14,789
Mamy zatem wzór

297
00:12:14,789 --> 00:12:17,679
jest nim 2 do potęgi n–tej.

298
00:12:17,791 --> 00:12:19,717
A czy ten ciąg da się przedstawić

299
00:12:19,727 --> 00:12:22,243
za pomocą grafu, tabelki i wykresu?

300
00:12:22,399 --> 00:12:25,060
Tak, bo każdy ciąg da się przedstawić

301
00:12:25,160 --> 00:12:26,339
w taki sposób.

302
00:12:26,495 --> 00:12:28,721
Pamiętaj tylko, że nie każdy ciąg

303
00:12:28,821 --> 00:12:30,535
da się opisać wzorem.

304
00:12:30,847 --> 00:12:33,707
Pokazaliśmy jednak, że ten się da.

305
00:12:38,045 --> 00:12:39,875
Ciągi liczbowe możemy opisywać

306
00:12:39,975 --> 00:12:42,879
na różne sposoby: wypisywać wyrazy

307
00:12:43,135 --> 00:12:46,251
opisywać wzorem, tabelką czy też grafem.

308
00:12:50,103 --> 00:12:52,442
Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych

309
00:12:52,442 --> 00:12:54,856
lekcji o ciągach oraz do zasubskrybowania

310
00:12:54,856 --> 00:12:57,447
naszego kanału na Youtubie!