1
00:00:00,442 --> 00:00:02,828
W jednej z warszawskich szkół znajduje się

2
00:00:02,928 --> 00:00:05,070
namalowany przeze mnie i kolegę mural

3
00:00:05,170 --> 00:00:06,941
przedstawiający twarz jednego

4
00:00:06,941 --> 00:00:09,572
z największych matematyków wszech czasów

5
00:00:09,728 --> 00:00:11,620
Leonarda Fibonacciego.

6
00:00:11,776 --> 00:00:13,606
Jego nazwisko jest zazwyczaj

7
00:00:13,706 --> 00:00:16,072
kojarzone z ciągiem Fibonacciego.

8
00:00:16,640 --> 00:00:18,036
W tej lekcji dowiesz się

9
00:00:18,136 --> 00:00:20,112
czym w matematyce są ciągi.

10
00:00:32,000 --> 00:00:34,126
Wiesz już, że kolejne dodatnie

11
00:00:34,126 --> 00:00:36,708
wielokrotności dwójki, tworzą ciąg.

12
00:00:36,864 --> 00:00:39,159
Wypiszmy kilka początkowych wyrazów

13
00:00:39,159 --> 00:00:40,130
tego ciągu.

14
00:00:40,192 --> 00:00:45,968
2, 4, 6, 8, 10 i tak dalej.

15
00:00:46,336 --> 00:00:48,813
Oczywiście jest to ciąg nieskończony

16
00:00:48,813 --> 00:00:50,671
więc nie jesteśmy w stanie wypisać

17
00:00:50,771 --> 00:00:52,324
wszystkich jego wyrazów

18
00:00:52,480 --> 00:00:54,372
ale możemy napisać regułę

19
00:00:54,528 --> 00:00:57,188
według której wyznaczamy kolejne wyrazy.

20
00:00:57,344 --> 00:00:59,383
N–ty wyraz tego ciągu wyznaczamy

21
00:00:59,483 --> 00:01:02,308
mnożąc liczbę 2 przez numer pozycji

22
00:01:02,464 --> 00:01:04,456
an równa się 2n.

23
00:01:04,768 --> 00:01:06,381
Popatrz i zastanów się

24
00:01:06,381 --> 00:01:09,008
co oznacza zapis „an”.

25
00:01:11,936 --> 00:01:15,335
an to n–ty wyraz ciągu, czyli liczba

26
00:01:15,335 --> 00:01:17,568
która stoi na n–tym miejscu.

27
00:01:17,824 --> 00:01:21,988
To znaczy, że a z indeksem 1, czyli a1

28
00:01:22,144 --> 00:01:25,392
to wyraz, który stoi na pierwszym miejscu.

29
00:01:25,504 --> 00:01:29,188
a z indeksem 2, czyli a2, to wyraz

30
00:01:29,344 --> 00:01:31,436
który stoi na miejscu drugim.

31
00:01:31,648 --> 00:01:35,076
Natomiast a z indeksem 5 to a5

32
00:01:35,232 --> 00:01:36,868
i stoi na miejscu piątym.

33
00:01:37,024 --> 00:01:38,192
I tak dalej.

34
00:01:38,560 --> 00:01:40,192
Popatrz i zastanów się

35
00:01:40,292 --> 00:01:42,600
do czego wykorzystujemy wzór ciągu.

36
00:01:45,954 --> 00:01:48,900
Podstawmy do wzoru w miejsce n jedynkę.

37
00:01:49,056 --> 00:01:50,324
Co otrzymamy?

38
00:01:50,592 --> 00:01:54,020
a1 równa się 2 razy 1, czyli 2.

39
00:01:54,176 --> 00:01:56,605
To znaczy, że pierwszy wyraz ciągu

40
00:01:56,605 --> 00:01:59,120
wynosi 2 i zgadza się dokładnie z tym

41
00:01:59,120 --> 00:02:01,488
co wypisaliśmy na początku filmu.

42
00:02:01,600 --> 00:02:03,318
Podobnie jeśli chcemy wyliczyć

43
00:02:03,418 --> 00:02:05,284
wyraz drugi, czyli a2.

44
00:02:05,496 --> 00:02:07,939
Przypominamy sobie, że to oznacza

45
00:02:08,039 --> 00:02:11,540
że n równa się 2 i podstawiając do wzoru

46
00:02:11,586 --> 00:02:15,016
mamy a2 równa się 2 razy 2, czyli 4.

47
00:02:15,168 --> 00:02:17,811
Analogicznie trzeci wyraz oznacza

48
00:02:17,911 --> 00:02:20,857
że n równa się 3, czyli a3 równa się

49
00:02:20,857 --> 00:02:23,504
2 razy 3, a to równa się 6.

50
00:02:23,872 --> 00:02:25,764
A jaki jest czwarty wyraz?

51
00:02:25,920 --> 00:02:28,580
W miejsce n wstawiamy liczbę 4.

52
00:02:28,736 --> 00:02:32,108
a4 równa się 2 razy 4, czyli 8.

53
00:02:32,576 --> 00:02:34,412
Mam teraz zadanie dla Ciebie.

54
00:02:34,624 --> 00:02:37,284
Spróbuj samodzielnie obliczyć piąty

55
00:02:37,440 --> 00:02:40,356
dziesiąty i setny wyraz tego ciągu

56
00:02:40,512 --> 00:02:43,472
a następnie porównaj swoje wyniki z moimi.

57
00:02:47,268 --> 00:02:49,813
Najpierw obliczę piąty wyraz tego ciągu

58
00:02:50,043 --> 00:02:52,388
w tym przypadku n równa się 5.

59
00:02:52,544 --> 00:02:56,428
a5 to nic innego, jak 2 razy 5, czyli 10.

60
00:02:56,796 --> 00:02:59,111
Aby obliczyć dziesiąty wyraz tego ciągu

61
00:02:59,211 --> 00:03:01,410
w miejsce litery „n” należy wstawić

62
00:03:01,410 --> 00:03:02,372
liczbę 10.

63
00:03:02,528 --> 00:03:04,461
a10, czyli dziesiąty wyraz

64
00:03:04,561 --> 00:03:07,436
równa się 2 razy 10, czyli 20.

65
00:03:07,904 --> 00:03:10,033
Chcąc obliczyć setny wyraz tego ciągu

66
00:03:10,133 --> 00:03:12,902
w miejsce litery „n” wstawię liczbę 100

67
00:03:12,902 --> 00:03:15,617
otrzymując a100 równa się 2 razy 100

68
00:03:15,617 --> 00:03:16,652
czyli 200.

69
00:03:17,176 --> 00:03:19,614
Popatrzmy jeszcze raz na nasz wzór:

70
00:03:19,680 --> 00:03:21,672
an równa się 2 razy n.

71
00:03:21,984 --> 00:03:24,744
Od czego zależy wartość wyrazu ciągu?

72
00:03:25,056 --> 00:03:27,460
Od jego położenia, czyli miejsca

73
00:03:27,616 --> 00:03:29,096
na którym się znajduje.

74
00:03:29,252 --> 00:03:31,556
Jest ono oznaczone literą „n”.

75
00:03:31,968 --> 00:03:34,671
Formuła, która pozwala obliczyć wyraz

76
00:03:34,671 --> 00:03:37,900
ciągu, gdy znamy jego miejsce, nazywa się

77
00:03:38,000 --> 00:03:39,912
wzorem ogólnym ciągu.

78
00:03:40,360 --> 00:03:42,362
Wzorem ogólnym ciągu utworzonego

79
00:03:42,462 --> 00:03:44,851
z dodatnich wielokrotności dwójki

80
00:03:44,851 --> 00:03:48,852
jest formuła: an równa się 2 razy n.

81
00:03:53,130 --> 00:03:56,113
Sprawdźmy, czy liczba 16 jest wyrazem

82
00:03:56,113 --> 00:03:57,220
tego ciągu.

83
00:03:57,312 --> 00:03:59,393
Możemy od razu powiedzieć, że tak

84
00:03:59,393 --> 00:04:01,452
bo to jest liczba dodatnia parzysta.

85
00:04:01,664 --> 00:04:04,228
Możemy ją zatem wstawić w miejsce an

86
00:04:04,248 --> 00:04:06,308
do wzoru i dzięki temu znaleźć

87
00:04:06,308 --> 00:04:07,496
jej pozycję.

88
00:04:07,608 --> 00:04:09,032
Obliczamy n.

89
00:04:09,344 --> 00:04:11,466
Aby to zrobić, wystarczy to równanie

90
00:04:11,566 --> 00:04:13,540
obustronnie podzielić przez 2.

91
00:04:13,696 --> 00:04:15,788
n równa się 8.

92
00:04:16,000 --> 00:04:17,484
Jaki z tego wniosek?

93
00:04:17,691 --> 00:04:20,195
n oznacza numer miejsca w ciągu

94
00:04:20,351 --> 00:04:23,102
więc liczba 16 jest ósmym wyrazem

95
00:04:23,102 --> 00:04:27,363
tego ciągu, co zapisujemy a8 równa się 16

96
00:04:27,519 --> 00:04:30,739
lub słownie: liczba 16 jest

97
00:04:30,739 --> 00:04:33,139
ósmym wyrazem tego ciągu.

98
00:04:34,145 --> 00:04:37,507
A czy liczba 17 jest wyrazem tego ciągu?

99
00:04:37,799 --> 00:04:39,524
To nie jest liczba parzysta

100
00:04:39,524 --> 00:04:40,669
więc nie jest.

101
00:04:40,831 --> 00:04:43,064
Zobaczmy, co by się stało, gdybyśmy

102
00:04:43,064 --> 00:04:46,051
zrobili tak, jak w przypadku liczby 16

103
00:04:46,207 --> 00:04:49,905
czyli w miejsce an wstawili liczbę 17.

104
00:04:50,359 --> 00:04:53,291
Po podzieleniu obustronnie tego równania

105
00:04:53,291 --> 00:04:57,233
przez 2 wyszłoby nam, że n równa się 8,5.

106
00:04:57,339 --> 00:05:00,352
Co oznacza n? Miejsce, na którym

107
00:05:00,352 --> 00:05:02,023
stoi liczba w ciągu.

108
00:05:02,335 --> 00:05:04,167
Czy liczba może stać na miejscu

109
00:05:04,167 --> 00:05:05,969
o numerze 8,5?

110
00:05:06,051 --> 00:05:07,099
No nie!

111
00:05:07,309 --> 00:05:09,927
Liczba 17 nie jest zatem wyrazem

112
00:05:09,927 --> 00:05:11,107
tego ciągu.

113
00:05:11,451 --> 00:05:13,447
Teraz mam zadanie dla Ciebie.

114
00:05:13,499 --> 00:05:17,895
Którym wyrazem tego ciągu jest liczba 236?

115
00:05:18,107 --> 00:05:21,067
Zatrzymaj film i policz samodzielnie.

116
00:05:24,407 --> 00:05:27,229
Aby znaleźć odpowiedź na zadane pytanie

117
00:05:27,329 --> 00:05:29,692
należy w miejsce an w tym wzorze

118
00:05:29,792 --> 00:05:32,387
wstawić liczbę 236.

119
00:05:32,763 --> 00:05:35,915
236 równa się 2 razy n.

120
00:05:36,127 --> 00:05:38,831
To równanie dzielimy obustronnie przez 2.

121
00:05:39,199 --> 00:05:42,827
Otrzymujemy, że n równa się 118.

122
00:05:43,295 --> 00:05:46,480
Oznacza to, że liczba 236

123
00:05:46,480 --> 00:05:49,283
jest sto osiemnastym wyrazem tego ciągu.

124
00:05:49,439 --> 00:05:51,531
Możemy to zapisać krócej:

125
00:05:51,743 --> 00:05:55,727
a 118 równa się 236.

126
00:05:59,423 --> 00:06:01,831
Przejdźmy teraz do kolejnego przykładu.

127
00:06:02,239 --> 00:06:04,643
Mamy ciąg an opisany wzorem.

128
00:06:04,799 --> 00:06:07,353
an równa się n do potęgi czwartej

129
00:06:07,353 --> 00:06:09,451
odjąć n do potęgi drugiej.

130
00:06:09,919 --> 00:06:12,423
Mamy obliczyć drugi wyraz tego ciągu.

131
00:06:12,635 --> 00:06:13,803
Jak to zrobić?

132
00:06:14,225 --> 00:06:16,619
Drugi wyraz to a2.

133
00:06:16,831 --> 00:06:19,616
Aby obliczyć a2, w miejsce litery n

134
00:06:19,616 --> 00:06:22,151
w tym wzorze wstawiamy liczbę 2.

135
00:06:22,363 --> 00:06:25,596
a2 równa się zatem 2 do potęgi czwartej

136
00:06:25,596 --> 00:06:27,427
odjąć 2 do potęgi drugiej.

137
00:06:27,583 --> 00:06:29,419
To równa się 12.

138
00:06:29,787 --> 00:06:32,298
Spróbuj teraz samodzielnie obliczyć

139
00:06:32,298 --> 00:06:35,407
pierwszy i czwarty wyraz tego ciągu.

140
00:06:38,235 --> 00:06:40,839
Pierwszy wyraz tego ciągu to a1.

141
00:06:41,151 --> 00:06:43,276
Aby obliczyć a1 w tym wzorze

142
00:06:43,276 --> 00:06:46,059
w miejsce litery n wstawiamy liczbę 1.

143
00:06:46,271 --> 00:06:48,481
Otrzymujemy 1 do potęgi czwartej

144
00:06:48,581 --> 00:06:50,467
odjąć 1 do potęgi drugiej.

145
00:06:50,623 --> 00:06:54,051
To równa się 1 odjąć 1, a to wynosi 0.

146
00:06:54,207 --> 00:06:56,811
Pierwszy wyraz tego ciągu to 0.

147
00:06:57,279 --> 00:06:59,783
A jaki jest czwarty wyraz tego ciągu?

148
00:06:59,995 --> 00:07:02,479
Aby obliczyć czwarty wyraz tego ciągu

149
00:07:02,579 --> 00:07:05,159
w miejsce litery n wstawiamy 4.

150
00:07:05,471 --> 00:07:08,899
a4 równa się zatem 4 do potęgi czwartej

151
00:07:08,999 --> 00:07:11,253
odjąć 4 do potęgi drugiej

152
00:07:11,353 --> 00:07:14,831
a to równa się 256 odjąć 16

153
00:07:14,943 --> 00:07:17,959
a ta różnica wynosi 240.

154
00:07:18,271 --> 00:07:20,769
Przejdźmy teraz do kolejnego zadania.

155
00:07:24,365 --> 00:07:26,905
Teraz mamy do czynienia z ciągiem bn

156
00:07:26,905 --> 00:07:28,355
który jest opisany wzorem

157
00:07:28,511 --> 00:07:31,939
–1 do potęgi n–tej razy n.

158
00:07:32,095 --> 00:07:34,443
Tym razem spróbuj samodzielnie obliczyć

159
00:07:34,543 --> 00:07:37,459
piąty i dziesiąty wyraz tego ciągu.

160
00:07:41,095 --> 00:07:43,905
Piąty wyraz tego ciągu to b5.

161
00:07:43,905 --> 00:07:46,067
Aby obliczyć b5 w tym wzorze

162
00:07:46,167 --> 00:07:49,191
w miejsce litery n wstawiamy liczbę 5.

163
00:07:49,403 --> 00:07:52,875
Otrzymujemy –1 do potęgi piątej razy 5.

164
00:07:53,087 --> 00:07:55,747
–1 do potęgi piątej to –1

165
00:07:55,903 --> 00:07:58,919
a to pomnożone przez 5 daje nam –5.

166
00:07:59,231 --> 00:08:01,379
To jest piąty wyraz tego ciągu.

167
00:08:01,535 --> 00:08:04,173
Teraz obliczę dziesiąty wyraz tego ciągu

168
00:08:04,173 --> 00:08:05,519
czyli b10.

169
00:08:05,631 --> 00:08:10,207
b10 to –1 do potęgi dziesiątej razy 10.

170
00:08:10,239 --> 00:08:14,891
–1 do potęgi 10 to 1, a 1 razy 10 to 10.

171
00:08:15,103 --> 00:08:16,981
Dziesiątym wyrazem tego ciągu

172
00:08:16,981 --> 00:08:18,865
jest liczba 10.

173
00:08:22,783 --> 00:08:25,131
Przejdźmy teraz do ostatniego zadania.

174
00:08:25,499 --> 00:08:28,954
Czy liczba 26 jest wyrazem ciągu

175
00:08:29,054 --> 00:08:31,843
cn równa się 2n plus 3?

176
00:08:31,999 --> 00:08:33,835
Jeśli tak, to którym?

177
00:08:34,303 --> 00:08:35,750
Spróbuj odpowiedzieć na te

178
00:08:35,750 --> 00:08:37,263
pytania samodzielnie.

179
00:08:40,759 --> 00:08:44,085
Jeżeli liczba 26 jest którymś wyrazem tego

180
00:08:44,085 --> 00:08:46,603
ciągu, to oznacza to, że da się ją

181
00:08:46,603 --> 00:08:49,588
obliczyć korzystając z tej formuły

182
00:08:49,588 --> 00:08:52,460
pamiętając o tym, że n oznacza liczbę

183
00:08:52,460 --> 00:08:54,006
naturalną dodatnią.

184
00:08:54,106 --> 00:08:56,314
Sprawdźmy, czy taka liczba istnieje

185
00:08:56,414 --> 00:08:58,813
rozwiązując odpowiednie równanie.

186
00:08:59,035 --> 00:09:02,974
Tym równaniem jest 26 równa się

187
00:09:02,974 --> 00:09:04,655
2n plus 3.

188
00:09:05,153 --> 00:09:07,667
Najpierw od obu stron tego równania

189
00:09:07,767 --> 00:09:09,219
odejmujemy liczbę 3.

190
00:09:09,375 --> 00:09:12,491
Otrzymujemy 23 równa się 2n.

191
00:09:12,753 --> 00:09:14,975
Teraz dzielimy to równanie obustronnie

192
00:09:14,975 --> 00:09:18,891
przez 2, otrzymując n równa się 11,5.

193
00:09:19,157 --> 00:09:21,487
Zastanów się teraz, czy coś może stać

194
00:09:21,487 --> 00:09:24,167
na miejscu o numerze 11,5?

195
00:09:24,509 --> 00:09:25,347
No nie!

196
00:09:25,503 --> 00:09:28,867
Dlatego liczba 26 nie jest wyrazem

197
00:09:28,867 --> 00:09:29,955
tego ciągu.

198
00:09:30,231 --> 00:09:31,951
Nie musimy odpowiadać na pytanie

199
00:09:31,951 --> 00:09:33,283
„jeśli tak to którym?”

200
00:09:33,339 --> 00:09:36,911
bo liczba 26 nie jest wyrazem tego ciągu.

201
00:09:41,013 --> 00:09:43,221
Wzór ogólny ciągu to wzór

202
00:09:43,221 --> 00:09:45,059
na n–ty wyraz tego ciągu.

203
00:09:45,215 --> 00:09:48,062
Na przykład, wzór ogólny ciągu an to

204
00:09:48,062 --> 00:09:49,611
2n minus 1.

205
00:09:49,979 --> 00:09:51,749
Wzór ten pozwala na obliczenie

206
00:09:51,849 --> 00:09:54,099
wyrazu ciągu o dowolnym numerze.

207
00:09:54,175 --> 00:09:56,101
Na przykład, jeśli chcemy obliczyć

208
00:09:56,201 --> 00:09:58,627
wyraz stojący na piątym miejscu

209
00:09:58,783 --> 00:10:01,417
to w miejsce litery n we wzorze ogólnym

210
00:10:01,517 --> 00:10:03,179
wstawiamy liczbę 5.

211
00:10:06,519 --> 00:10:08,160
Zapraszam Cię do obejrzenia

212
00:10:08,160 --> 00:10:09,877
pozostałych lekcji z wprowadzenia

213
00:10:09,877 --> 00:10:12,042
do ciągów oraz do polubienia naszej

214
00:10:12,042 --> 00:10:14,482
strony na Facebooku.