1
00:00:00,712 --> 00:00:03,056
Spirala Fibonacciego zbudowana jest

2
00:00:03,056 --> 00:00:04,588
z ćwiartek okręgu

3
00:00:04,588 --> 00:00:06,946
w których promienie są kolejnymi liczbami

4
00:00:06,946 --> 00:00:08,492
ciągu Fibonacciego.

5
00:00:08,604 --> 00:00:11,864
Promień tej ćwiartki to 1, tej też 1

6
00:00:11,964 --> 00:00:17,096
tej 2, tej 3, tej 5, tej 8, a tej 13.

7
00:00:17,308 --> 00:00:19,188
Spirale Fibonacciego często

8
00:00:19,188 --> 00:00:20,580
występują w naturze.

9
00:00:20,736 --> 00:00:22,440
Taki kształt mają na przykład

10
00:00:22,540 --> 00:00:24,419
muszle łodzika pięknego

11
00:00:24,520 --> 00:00:27,024
surowiec na oryginalne puchary.

12
00:00:38,200 --> 00:00:40,448
Widzisz wzrosty pięciu osób.

13
00:00:40,604 --> 00:00:43,108
Te wartości tworzą ciąg liczbowy.

14
00:00:43,264 --> 00:00:45,162
W tym ustawieniu pierwsza osoba

15
00:00:45,162 --> 00:00:48,234
jest najniższa, a każda kolejna wyższa

16
00:00:48,234 --> 00:00:49,352
od poprzedniej.

17
00:00:49,664 --> 00:00:51,812
Ten ciąg nazywamy rosnącym.

18
00:00:51,968 --> 00:00:53,546
Skoro każdy kolejny wyraz

19
00:00:53,646 --> 00:00:56,516
jest większy od poprzedniego, to w języku

20
00:00:56,516 --> 00:00:58,472
matematyki możemy to zapisać jako

21
00:00:58,472 --> 00:01:01,996
an plus 1 jest większe niż an.

22
00:01:02,208 --> 00:01:04,618
A co się stanie, gdy zapiszemy te wzrosty

23
00:01:04,718 --> 00:01:06,604
w odwrotnej kolejności?

24
00:01:06,816 --> 00:01:09,670
Teraz pierwsza osoba jest najwyższa

25
00:01:09,670 --> 00:01:12,492
a każda kolejna niższa od poprzedniej.

26
00:01:12,704 --> 00:01:15,920
Taki ciąg nazywamy ciągiem malejącym.

27
00:01:16,600 --> 00:01:19,177
A jaki ciąg otrzymamy ustawiając obok

28
00:01:19,177 --> 00:01:22,120
siebie 5 osób jednakowego wzrostu?

29
00:01:22,432 --> 00:01:24,151
W takiej sytuacji mówimy

30
00:01:24,151 --> 00:01:26,372
że ciąg jest stały.

31
00:01:26,688 --> 00:01:28,248
Skoro każdy kolejny wyraz

32
00:01:28,348 --> 00:01:30,068
jest taki sam jak poprzedni

33
00:01:30,168 --> 00:01:32,372
to taką zależność możemy zapisać jako

34
00:01:32,528 --> 00:01:35,220
an plus 1 równa się an.

35
00:01:35,900 --> 00:01:37,892
Spójrz teraz na taki ciąg.

36
00:01:38,048 --> 00:01:41,988
Pierwsza osoba ma 175 centymetrów wzrostu

37
00:01:42,144 --> 00:01:44,548
druga tyle samo i trzecia też.

38
00:01:44,860 --> 00:01:48,900
Czwarta ma już 177 centymetrów wzrostu

39
00:01:49,212 --> 00:01:52,228
piąta i szósta po 180 centymetrów.

40
00:01:52,384 --> 00:01:55,456
Wzrost siódmej to 182 centymetry.

41
00:01:56,012 --> 00:01:58,570
Czy w tym ciągu każdy kolejny wyraz

42
00:01:58,570 --> 00:02:00,520
jest większy od poprzedniego?

43
00:02:00,888 --> 00:02:02,000
No nie!

44
00:02:02,268 --> 00:02:04,772
To nie jest zatem ciąg rosnący.

45
00:02:04,928 --> 00:02:07,844
Widzimy tutaj jednak tendencją wzrostową:

46
00:02:08,156 --> 00:02:10,660
3 pierwsze wyrazy są takie same

47
00:02:10,972 --> 00:02:13,476
czwarty jest większy od poprzednich

48
00:02:14,144 --> 00:02:16,246
piąty jest większy od czwartego

49
00:02:16,346 --> 00:02:18,440
ale jest taki sam jak szósty

50
00:02:18,652 --> 00:02:20,236
siodmy jest większy od

51
00:02:20,236 --> 00:02:21,898
wszystkich poprzednich.

52
00:02:22,034 --> 00:02:24,369
Jeżeli ciąg nie jest rosnący

53
00:02:24,369 --> 00:02:26,862
ale tendencja jest wzrostowa

54
00:02:26,862 --> 00:02:29,804
to taki ciąg nazywamy niemalejącym.

55
00:02:30,016 --> 00:02:32,706
Ciąg niemalejący to taki, który czasami

56
00:02:32,706 --> 00:02:35,236
jest stały, a czasami rosnący.

57
00:02:35,392 --> 00:02:37,440
Możemy to zapisać w taki sposób:

58
00:02:37,952 --> 00:02:41,736
an plus 1 jest większe bądź równe an.

59
00:02:42,048 --> 00:02:44,196
Spójrz na jeszcze jeden ciąg.

60
00:02:44,352 --> 00:02:47,874
Pierwsza osoba ma 182 centymetry wzrostu

61
00:02:47,974 --> 00:02:49,572
i jest najwyższa.

62
00:02:49,728 --> 00:02:53,243
Druga i trzecia mają po 180 centymetrów

63
00:02:53,243 --> 00:02:56,408
wzrostu, wzrost czwartej i piątej to

64
00:02:56,408 --> 00:03:01,824
176 centymetrów, a szóstej 174 centymetry.

65
00:03:02,060 --> 00:03:04,864
Czy to jest ciąg malejący?

66
00:03:08,180 --> 00:03:10,378
Ciąg malejący to taki ciąg

67
00:03:10,378 --> 00:03:12,265
w którym każdy kolejny wyraz

68
00:03:12,265 --> 00:03:14,328
jest mniejszy od poprzedniego.

69
00:03:14,444 --> 00:03:17,220
Widzimy, że tutaj tak nie jest.

70
00:03:17,376 --> 00:03:20,392
Zauważamy jednak tendencję spadkową.

71
00:03:20,604 --> 00:03:23,464
Taki ciąg nazywamy ciągiem nierosnącym.

72
00:03:23,886 --> 00:03:25,985
Ciąg nierosnący czasami maleje

73
00:03:26,085 --> 00:03:27,816
a czasami jest stały.

74
00:03:28,128 --> 00:03:30,126
Tę ogólność w języku matematyki

75
00:03:30,226 --> 00:03:32,324
możemy zapisać w taki sposób:

76
00:03:32,480 --> 00:03:36,464
an plus 1 jest mniejsze bądź równe an.

77
00:03:40,802 --> 00:03:44,354
Ciągi rosnące, malejące, stałe

78
00:03:44,354 --> 00:03:46,660
niemalejące i nierosnące

79
00:03:46,816 --> 00:03:49,676
nazywamy ciągami monotonicznymi.

80
00:03:50,300 --> 00:03:52,292
Weźmy jeszcze inny ciąg.

81
00:03:52,618 --> 00:03:54,067
Pierwsza osoba w nim

82
00:03:54,067 --> 00:03:57,006
ma 175 centymetrów wzrostu.

83
00:03:57,306 --> 00:03:59,820
Druga jest od wyższa od pierwszej.

84
00:04:00,012 --> 00:04:02,436
Trzecia z kolei jest niższa od pierwszej

85
00:04:02,436 --> 00:04:05,738
i drugiej, czwarta jest wyższa od trzeciej

86
00:04:05,838 --> 00:04:08,264
a piąta jestem niższa od czwartej.

87
00:04:08,832 --> 00:04:11,024
Czy ten ciąg jest monotoniczny?

88
00:04:14,604 --> 00:04:17,066
W tym ciągu wartości kolejnych wyrazów

89
00:04:17,166 --> 00:04:19,683
raz są większe, a raz mniejsze.

90
00:04:20,069 --> 00:04:23,167
Nie jest to ani ciąg rosnący, ani malejący

91
00:04:23,423 --> 00:04:25,946
ani też stały, ani niemalejący

92
00:04:25,946 --> 00:04:27,207
ani nierosnący.

93
00:04:27,519 --> 00:04:30,479
Taki ciąg nazywamy niemonotonicznym.

94
00:04:33,919 --> 00:04:36,178
Utrwalmy zdobytą do tej pory wiedzę

95
00:04:36,278 --> 00:04:37,391
takim ćwiczeniem:

96
00:04:37,759 --> 00:04:39,751
widzisz układ współrzędnych.

97
00:04:39,963 --> 00:04:42,823
Zaznaczono na nim wyrazy pewnego ciągu.

98
00:04:43,135 --> 00:04:45,206
Po lewej stronie zapisano poznane

99
00:04:45,206 --> 00:04:46,307
rodzaje ciągów.

100
00:04:46,463 --> 00:04:49,094
Wskaż wśród nich ten, który pokazano

101
00:04:49,094 --> 00:04:50,291
na wykresie.

102
00:04:53,223 --> 00:04:54,900
Na osi poziomej znajdują się

103
00:04:55,000 --> 00:04:56,790
numery wyrazów ciągu

104
00:04:56,790 --> 00:04:59,417
a na pionowej wartości tych wyrazów.

105
00:04:59,675 --> 00:05:01,767
Pierwszy punkt jest najniżej.

106
00:05:02,079 --> 00:05:03,864
Każdy kolejny punkt jest

107
00:05:03,864 --> 00:05:05,351
wyżej niż poprzedni.

108
00:05:05,663 --> 00:05:08,388
Oznacza to, że każdy kolejny wyraz ciągu

109
00:05:08,488 --> 00:05:10,471
jest większy od poprzedniego.

110
00:05:10,839 --> 00:05:12,775
To jest ciąg rosnący.

111
00:05:14,101 --> 00:05:16,971
A jaki ciąg przedstawiono na tym wykresie?

112
00:05:20,255 --> 00:05:22,303
Pierwszy punkt jest najwyżej.

113
00:05:22,559 --> 00:05:24,813
Drugi jest niżej, a trzeci jest

114
00:05:24,913 --> 00:05:27,167
na tej samej wysokości, co drugi.

115
00:05:27,773 --> 00:05:28,889
Czwarty jest niżej

116
00:05:28,889 --> 00:05:30,439
niż wszystkie poprzednie.

117
00:05:30,751 --> 00:05:33,246
Piąty i szósty są na takiej samej

118
00:05:33,246 --> 00:05:35,459
wysokości, co punkt czwarty.

119
00:05:35,775 --> 00:05:38,058
Widzimy zatem, że ten ciąg

120
00:05:38,058 --> 00:05:40,835
czasami maleje, a czasami jest stały.

121
00:05:40,991 --> 00:05:43,239
To jest ciąg nierosnący.

122
00:05:44,575 --> 00:05:46,467
Spójrz teraz na kolejny wykres.

123
00:05:46,623 --> 00:05:48,047
Jaki to ciąg?

124
00:05:51,421 --> 00:05:53,310
Wszystkie punkty na wykresie są na tej

125
00:05:53,310 --> 00:05:56,348
samej wysokości co oznacza, że wszystkie

126
00:05:56,348 --> 00:05:57,765
wyrazy są takie same.

127
00:05:58,201 --> 00:05:59,999
Z osi pionowej możemy odczytać

128
00:06:00,099 --> 00:06:02,183
że ich wartość wynosi 4.

129
00:06:02,483 --> 00:06:04,587
Skoro wszystkie wyrazy są takie same

130
00:06:04,799 --> 00:06:06,791
to jest to ciąg stały.

131
00:06:08,127 --> 00:06:10,375
Przejdźmy do kolejnego wykresu.

132
00:06:10,947 --> 00:06:13,347
2 pierwsze punkty są najniżej.

133
00:06:13,503 --> 00:06:15,651
Trzeci jest wyżej od poprzednich.

134
00:06:15,807 --> 00:06:18,777
Tak samo czwarty, piąty z kolei jest

135
00:06:18,777 --> 00:06:21,027
na tej samej wysokości, co czwarty.

136
00:06:21,393 --> 00:06:23,843
Szósty jest wyżej niż poprzednie.

137
00:06:24,259 --> 00:06:27,105
Widzimy, że czasami ciąg jest stały

138
00:06:27,105 --> 00:06:28,701
a czasami rośnie.

139
00:06:28,763 --> 00:06:31,055
To jest ciąg niemalejący.

140
00:06:32,191 --> 00:06:34,083
Spójrz na ostatni wykres.

141
00:06:34,239 --> 00:06:36,434
Pierwszy punkt jest najwyżej

142
00:06:36,434 --> 00:06:37,767
a drugi najniżej.

143
00:06:38,209 --> 00:06:40,397
Trzeci jest wyżej niż drugi

144
00:06:40,397 --> 00:06:42,275
a czwarty niżej niż trzeci.

145
00:06:42,431 --> 00:06:45,447
Cała reszta jest na tej samej wysokości.

146
00:06:45,759 --> 00:06:47,614
Punkty są jakby rozrzucone

147
00:06:47,614 --> 00:06:49,287
bez żadnej reguły.

148
00:06:49,755 --> 00:06:52,159
Taki ciąg jest niemonotoniczny.

149
00:06:52,655 --> 00:06:54,503
Wykonaliśmy wszystkie zadania

150
00:06:54,503 --> 00:06:55,331
w tej lekcji.

151
00:06:55,643 --> 00:06:57,560
W kolejnej lekcji będziemy badali

152
00:06:57,660 --> 00:06:59,095
monotoniczności ciągów

153
00:06:59,195 --> 00:07:01,675
wykorzystując ich wzory ogólne.

154
00:07:06,389 --> 00:07:09,964
Ciągi rosnące, malejące, nierosnące

155
00:07:09,964 --> 00:07:12,174
niemalejące oraz stałe

156
00:07:12,174 --> 00:07:13,863
to ciągi monotoniczne.

157
00:07:14,175 --> 00:07:16,306
Ciągi, których nie możemy w ten sposób

158
00:07:16,306 --> 00:07:17,909
opisać to ciągi, które

159
00:07:17,909 --> 00:07:19,595
nie są monotoniczne.

160
00:07:23,703 --> 00:07:25,246
Zapraszam Cię do obejrzenia

161
00:07:25,346 --> 00:07:27,184
pozostałych lekcji z tego działu

162
00:07:27,284 --> 00:07:29,090
oraz do odwiedzenia naszej strony

163
00:07:29,090 --> 00:07:31,241
internetowej pistacja.tv.

164
00:07:31,261 --> 00:07:33,419
Tam znajdziesz wszystkie lekcje.