1
00:00:00,301 --> 00:00:02,105
Wiele osób odkłada pieniądze

2
00:00:02,205 --> 00:00:04,226
na realizację swoich marzeń:

3
00:00:04,326 --> 00:00:06,379
egzotyczne wakacje, motor,

4
00:00:06,479 --> 00:00:07,563
albo nowy tablet.

5
00:00:07,881 --> 00:00:09,544
Uwierz mi, że i do tego

6
00:00:09,644 --> 00:00:11,273
przydaje się matematyka.

7
00:00:11,599 --> 00:00:13,315
Dzięki tej lekcji dowiesz się,

8
00:00:13,415 --> 00:00:14,920
jak wykorzystywać wzory

9
00:00:15,020 --> 00:00:16,572
matematyczne do obliczania,

10
00:00:16,672 --> 00:00:18,625
ile pieniędzy uda ci się zgromadzić

11
00:00:18,725 --> 00:00:21,109
w określonym czasie, w zależności

12
00:00:21,209 --> 00:00:22,777
od warunków oszczędzania.

13
00:00:33,685 --> 00:00:35,925
Wyobraź sobie, że pierwszego stycznia

14
00:00:36,025 --> 00:00:38,587
masz na koncie 145 zł.

15
00:00:38,873 --> 00:00:40,716
Postanawiasz od lutego wpłacać

16
00:00:40,816 --> 00:00:42,162
na konto każdego miesiąca

17
00:00:42,262 --> 00:00:43,322
po 100 zł.

18
00:00:43,489 --> 00:00:45,586
Zakładając, że nic z niego

19
00:00:45,686 --> 00:00:47,220
nie wypłacisz, ile pieniędzy

20
00:00:47,320 --> 00:00:48,653
będziesz mieć na koncie

21
00:00:48,753 --> 00:00:50,059
po siedmiu miesiącach?

22
00:00:50,266 --> 00:00:52,224
A ile po 23 latach?

23
00:00:52,641 --> 00:00:54,381
O ile dla siedmiu miesięcy

24
00:00:54,481 --> 00:00:56,606
da się wykonać obliczenia w pamięci,

25
00:00:56,764 --> 00:00:59,005
o tyle dla 23 lat

26
00:00:59,105 --> 00:01:00,959
nie będzie to już takie proste.

27
00:01:01,356 --> 00:01:02,786
Do symulacji oszczędzania

28
00:01:02,886 --> 00:01:05,519
przez 7 miesięcy wykorzystamy tabelę.

29
00:01:05,813 --> 00:01:07,641
W pierwszym wierszu znajdą się

30
00:01:07,741 --> 00:01:09,190
numery kolejnych miesięcy

31
00:01:09,290 --> 00:01:10,787
począwszy od stycznia,

32
00:01:10,887 --> 00:01:13,216
a w drugim wierszu kwoty na koncie.

33
00:01:13,520 --> 00:01:14,839
W styczniu na koncie mamy

34
00:01:14,939 --> 00:01:16,380
kwotę początkową, z którą

35
00:01:16,480 --> 00:01:20,400
rozpoczęliśmy oszczędzanie, czyli 145 zł.

36
00:01:20,916 --> 00:01:22,696
W drugim miesiącu na konto

37
00:01:22,796 --> 00:01:24,039
wpłacamy 100 zł.

38
00:01:24,285 --> 00:01:27,040
Mamy już 245 zł.

39
00:01:27,582 --> 00:01:29,354
Spróbuj samodzielnie wypełnić

40
00:01:29,454 --> 00:01:30,454
resztę tabeli.

41
00:01:34,081 --> 00:01:35,797
W trzecim miesiącu na koncie

42
00:01:35,897 --> 00:01:38,347
będzie 345 zł,

43
00:01:38,447 --> 00:01:41,302
w czwartym 445 zł, 

44
00:01:41,402 --> 00:01:44,078
w piątym 545 zł,

45
00:01:44,178 --> 00:01:46,752
w szóstym 645 zł,

46
00:01:46,911 --> 00:01:50,080
a w siódmym 745 zł.

47
00:01:50,180 --> 00:01:51,599
Po siedmiu miesiącach

48
00:01:51,699 --> 00:01:55,214
na koncie będzie 745 zł.

49
00:01:55,365 --> 00:01:57,504
Widzisz jakąś prawidłowość?

50
00:02:00,918 --> 00:02:02,825
W każdym kolejnym miesiącu

51
00:02:02,925 --> 00:02:04,398
kwota na koncie powiększa się

52
00:02:04,498 --> 00:02:06,106
o stałą wartość,

53
00:02:06,217 --> 00:02:08,768
w tym przypadku wynoszącą 100 zł.

54
00:02:09,252 --> 00:02:12,096
Taki ciąg nazywamy ciągiem arytmetycznym.

55
00:02:12,406 --> 00:02:14,893
Ciąg arytmetyczny to taki ciąg liczb,

56
00:02:14,993 --> 00:02:16,831
w którym każda kolejna liczba

57
00:02:16,931 --> 00:02:18,595
różni się od poprzedniej

58
00:02:18,695 --> 00:02:19,945
o stałą wartość,

59
00:02:20,231 --> 00:02:22,848
dodatnią, ujemną lub zero.

60
00:02:22,948 --> 00:02:24,315
Ta wartość nazywa się

61
00:02:24,415 --> 00:02:27,374
różnicą ciągu arytmetycznego.

62
00:02:27,474 --> 00:02:30,528
Różnicą tego ciągu jest kwota 100 zł.

63
00:02:31,004 --> 00:02:32,832
Zastanówmy się teraz,

64
00:02:32,932 --> 00:02:34,238
ile pieniędzy znajdzie się

65
00:02:34,338 --> 00:02:36,653
na twoim koncie po 23 latach.

66
00:02:37,011 --> 00:02:38,512
Liczenie tego na piechotę

67
00:02:38,612 --> 00:02:39,656
nie ma sensu.

68
00:02:40,046 --> 00:02:42,071
Pokażę ci, jak w sprytny sposób

69
00:02:42,171 --> 00:02:44,352
znaleźć odpowiedź na to pytanie.

70
00:02:48,046 --> 00:02:49,706
Przeanalizujmy proces

71
00:02:49,806 --> 00:02:51,851
oszczędzania, który widzisz w tabeli.

72
00:02:52,201 --> 00:02:53,861
Pierwszego miesiąca mieliśmy

73
00:02:53,961 --> 00:02:56,261
na koncie 145 zł.

74
00:02:56,753 --> 00:02:58,191
Kwotę pieniędzy w pierwszym

75
00:02:58,291 --> 00:03:00,519
miesiącu oznaczmy literą m

76
00:03:00,619 --> 00:03:02,267
z indeksem dolnym 1.

77
00:03:02,624 --> 00:03:04,682
Kwotę na koncie w drugim miesiącu

78
00:03:04,782 --> 00:03:06,462
obliczyliśmy, dodając do kwoty

79
00:03:06,562 --> 00:03:08,789
z miesiąca poprzedniego 100 zł.

80
00:03:09,250 --> 00:03:11,681
Kwotę z miesiąca trzeciego obliczyliśmy

81
00:03:11,781 --> 00:03:13,246
dodając do kwoty z miesiąca

82
00:03:13,346 --> 00:03:14,692
poprzedniego 100 zł.

83
00:03:15,098 --> 00:03:16,647
Tak samo postępowaliśmy

84
00:03:16,747 --> 00:03:18,347
w czwartym, piątym,

85
00:03:18,447 --> 00:03:20,704
szóstym i siódmym miesiącu.

86
00:03:20,977 --> 00:03:22,677
Do tej pory kolejną wartość

87
00:03:22,777 --> 00:03:24,631
w ciągu obliczaliśmy dodając

88
00:03:24,731 --> 00:03:26,006
do wyrazu poprzedniego

89
00:03:26,106 --> 00:03:28,214
ustaloną kwotę 100 zł.

90
00:03:28,325 --> 00:03:29,528
Mamy tutaj do czynienia

91
00:03:29,628 --> 00:03:32,012
z niczym innym jak z rekurencją.

92
00:03:32,377 --> 00:03:34,016
Zapiszmy jej wzór.

93
00:03:34,116 --> 00:03:36,588
Początkowa wartość, czyli m1,

94
00:03:36,688 --> 00:03:38,955
wynosiła 145 zł.

95
00:03:39,458 --> 00:03:40,458
Kwota na koncie

96
00:03:40,558 --> 00:03:43,189
w dowolnym miesiącu, czyli mn,

97
00:03:43,289 --> 00:03:45,242
powstaje przez dodanie do kwoty

98
00:03:45,342 --> 00:03:47,367
z miesiąca poprzedniego 100 zł.

99
00:03:47,766 --> 00:03:49,516
To jest wzór rekurencyjny

100
00:03:49,616 --> 00:03:51,476
naszego ciągu arytmetycznego.

101
00:03:51,603 --> 00:03:53,467
Czy ten wzór przyda się jednak

102
00:03:53,567 --> 00:03:55,034
do wygodnego obliczenia kwoty

103
00:03:55,134 --> 00:03:57,253
na koncie po 23 latach?

104
00:03:57,387 --> 00:03:58,848
No nie za bardzo.

105
00:03:59,036 --> 00:04:01,152
Spróbujmy znaleźć inny sposób.

106
00:04:01,471 --> 00:04:03,456
Wróćmy raz jeszcze do tabeli.

107
00:04:03,659 --> 00:04:04,743
Starajmy się myśleć

108
00:04:04,843 --> 00:04:06,576
o tym ciągu inaczej.

109
00:04:06,703 --> 00:04:08,523
Teraz skupimy się na kwocie

110
00:04:08,623 --> 00:04:11,808
początkowej, która wynosi 145 zł.

111
00:04:12,068 --> 00:04:14,180
Zapamiętaj ją, bo od tego momentu

112
00:04:14,280 --> 00:04:16,418
będziemy cały czas z niej korzystać.

113
00:04:16,723 --> 00:04:18,613
W drugim miesiącu mamy kwotę

114
00:04:18,713 --> 00:04:21,669
z pierwszego dodać 1 razy 100 zł.

115
00:04:21,769 --> 00:04:24,542
m2 równa się 145 zł

116
00:04:24,642 --> 00:04:28,360
dodać 1 razy 100 zł, czyli 245 zł.

117
00:04:28,460 --> 00:04:29,895
W trzecim mamy kwotę

118
00:04:29,995 --> 00:04:32,603
początkową dodać 2 razy 100 zł.

119
00:04:32,825 --> 00:04:35,967
m3, czyli kwota w trzecim miesiącu

120
00:04:36,067 --> 00:04:39,807
to 145 zł dodać 2 razy 100 zł.

121
00:04:40,188 --> 00:04:42,236
W czwartym miesiącu ile razy

122
00:04:42,336 --> 00:04:43,336
do kwoty początkowej

123
00:04:43,436 --> 00:04:44,690
dodajemy 100 zł?

124
00:04:45,432 --> 00:04:48,451
Jeden, dwa, trzy razy.

125
00:04:49,155 --> 00:04:50,867
m4 równa się zatem

126
00:04:50,967 --> 00:04:54,913
145 zł dodać 3 razy 100 zł.

127
00:04:55,383 --> 00:04:58,573
W siódmym miesiącu do 145 zł

128
00:04:58,673 --> 00:05:00,932
dodajemy 6 razy 100 zł.

129
00:05:01,877 --> 00:05:03,938
m7, czyli siódmy wyraz

130
00:05:04,038 --> 00:05:07,741
to 145 zł dodać 6 razy 100 zł.

131
00:05:08,318 --> 00:05:10,527
Widzisz jakąś zależność?

132
00:05:10,743 --> 00:05:12,831
Weźmy na przykład czwarty miesiąc.

133
00:05:13,159 --> 00:05:15,759
Obliczając kwotę w tym miesiącu

134
00:05:15,859 --> 00:05:18,296
do 145 zł dodaliśmy 

135
00:05:18,396 --> 00:05:20,517
100 zł razy 3,

136
00:05:20,617 --> 00:05:22,740
czyli liczbę o 1 mniejszą

137
00:05:22,840 --> 00:05:24,567
niż numer tego miesiąca.

138
00:05:24,964 --> 00:05:26,911
Weźmy teraz siódmy miesiąc.

139
00:05:27,011 --> 00:05:29,210
Obliczając kwotę w tym miesiącu

140
00:05:29,310 --> 00:05:33,288
do 145 zł dodaliśmy 100 zł razy 6,

141
00:05:33,388 --> 00:05:35,203
czyli liczbę o 1 mniejszą

142
00:05:35,303 --> 00:05:37,118
niż numer tego miesiąca.

143
00:05:37,334 --> 00:05:39,725
Jak widzisz, żeby znaleźć kwotę

144
00:05:39,825 --> 00:05:41,716
na koncie w danym miesiącu,

145
00:05:41,816 --> 00:05:45,938
do kwoty 145 zł dodajemy 100 zł,

146
00:05:46,038 --> 00:05:47,996
czyli różnicę naszego ciągu,

147
00:05:48,096 --> 00:05:49,755
o 1 raz mniej niż numer

148
00:05:49,855 --> 00:05:51,960
danego miesiąca oszczędzania.

149
00:05:52,805 --> 00:05:54,520
To, co powiedziałem, możemy

150
00:05:54,620 --> 00:05:56,454
zapisać za pomocą wzoru.

151
00:05:56,938 --> 00:05:58,661
Obliczając kwotę w dowolnym

152
00:05:58,761 --> 00:06:01,040
miesiącu – co zapisujemy jako

153
00:06:01,140 --> 00:06:02,961
m z indeksem dolnym n –

154
00:06:03,061 --> 00:06:05,314
do kwoty w pierwszym miesiącu,

155
00:06:05,414 --> 00:06:09,434
czyli do 145 zł dodajemy 100 zł,

156
00:06:09,534 --> 00:06:11,557
czyli różnicę naszego ciągu,

157
00:06:11,657 --> 00:06:13,566
o 1 raz mniej niż numer

158
00:06:13,666 --> 00:06:15,609
danego miesiąca oszczędzania,

159
00:06:15,757 --> 00:06:19,535
czyli 100 zł razy, w nawiasie, n minus 1.

160
00:06:19,983 --> 00:06:22,291
Pamiętaj, że w tym przypadku

161
00:06:22,391 --> 00:06:25,279
n oznacza liczbę miesięcy oszczędzania.

162
00:06:25,768 --> 00:06:27,098
To ile pieniędzy będziemy

163
00:06:27,198 --> 00:06:29,343
mieć po 23 latach?

164
00:06:29,654 --> 00:06:31,709
Najpierw musimy 23 lata

165
00:06:31,809 --> 00:06:33,336
zamienić na miesiące.

166
00:06:33,539 --> 00:06:37,333
23 razy 12 to 276.

167
00:06:37,560 --> 00:06:40,201
Po 276 miesiącach

168
00:06:40,301 --> 00:06:43,284
na koncie będzie 145 zł

169
00:06:43,384 --> 00:06:44,669
dodać 100 razy…

170
00:06:44,769 --> 00:06:47,847
o 1 miesiąc mniej niż 276,

171
00:06:47,947 --> 00:06:49,974
czyli 275.

172
00:06:50,366 --> 00:06:55,348
Otrzymujemy 27 645 zł.

173
00:06:55,610 --> 00:06:57,499
Wzór ciągu, dzięki któremu

174
00:06:57,599 --> 00:06:59,279
możemy obliczyć dowolny wyraz

175
00:06:59,379 --> 00:07:01,215
w zależności od numeru miejsca

176
00:07:01,315 --> 00:07:03,790
w ciągu, nazywamy wzorem ogólnym.

177
00:07:03,890 --> 00:07:05,260
To jest to wzór ogólny

178
00:07:05,360 --> 00:07:07,423
naszego ciągu arytmetycznego.

179
00:07:07,554 --> 00:07:09,018
Akurat w tym ciągu

180
00:07:09,118 --> 00:07:12,511
wartość początkowa wynosi 145 zł, 

181
00:07:12,611 --> 00:07:14,328
a różnica 100 zł.

182
00:07:14,479 --> 00:07:16,365
W innym ciągu arytmetycznym

183
00:07:16,465 --> 00:07:18,534
obie wartości mogą być inne.

184
00:07:18,696 --> 00:07:21,510
Wartość początkową w ciągu mn

185
00:07:21,610 --> 00:07:24,173
oznacza się symbolem m1.

186
00:07:24,311 --> 00:07:26,318
Różnicę ciągu arytmetycznego

187
00:07:26,418 --> 00:07:28,547
zapisuje się za pomocą litery r

188
00:07:28,647 --> 00:07:29,999
od słowa „różnica”.

189
00:07:30,342 --> 00:07:32,463
Wzór ogólny dowolnego ciągu

190
00:07:32,563 --> 00:07:35,144
arytmetycznego mn równa się

191
00:07:35,244 --> 00:07:37,833
zatem wartości początkowej m1

192
00:07:37,933 --> 00:07:40,325
dodać w nawiasie n minus 1

193
00:07:40,425 --> 00:07:42,741
razy różnica, czyli r.

194
00:07:43,030 --> 00:07:44,874
m1 to pierwszy wyraz,

195
00:07:44,974 --> 00:07:46,874
a r to różnica ciągu.

196
00:07:47,856 --> 00:07:49,570
Zapamiętaj ten wzór.

197
00:07:49,670 --> 00:07:51,807
Będziemy z niego często korzystać.

198
00:07:55,363 --> 00:07:56,712
Poćwiczymy sobie teraz

199
00:07:56,812 --> 00:07:59,285
rozpoznawanie ciągów arytmetycznych.

200
00:07:59,454 --> 00:08:00,767
Oto pierwszy ciąg.

201
00:08:00,996 --> 00:08:08,009
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 i tak dalej.

202
00:08:08,238 --> 00:08:10,160
Czy ten ciąg jest arytmetyczny?

203
00:08:10,260 --> 00:08:12,082
Aby odpowiedzieć na to pytanie,

204
00:08:12,182 --> 00:08:13,696
patrzymy na wyraz pierwszy,

205
00:08:13,796 --> 00:08:14,949
który wynosi 1.

206
00:08:15,082 --> 00:08:16,895
Drugi wyraz to też 1.

207
00:08:17,064 --> 00:08:19,052
Ile należy dodać do pierwszego

208
00:08:19,152 --> 00:08:20,937
wyrazu, aby otrzymać drugi?

209
00:08:21,074 --> 00:08:22,074
Zero.

210
00:08:22,275 --> 00:08:23,981
W ciągu arytmetycznym każdy

211
00:08:24,081 --> 00:08:25,412
kolejny wyraz powstaje

212
00:08:25,512 --> 00:08:27,298
przez dodanie do poprzedniego

213
00:08:27,398 --> 00:08:28,649
takiej samej liczby.

214
00:08:28,927 --> 00:08:31,487
Trzeci wyraz wynosi jednak 2.

215
00:08:31,587 --> 00:08:33,036
Do drugiego wyrazu należy

216
00:08:33,136 --> 00:08:34,319
zatem dodać 1,

217
00:08:34,419 --> 00:08:36,458
aby otrzymać wyraz trzeci.

218
00:08:36,566 --> 00:08:37,566
Widzimy już,

219
00:08:37,666 --> 00:08:39,935
że to nie jest ciąg arytmetyczny.

220
00:08:40,392 --> 00:08:42,239
Spójrz teraz na taki ciąg.

221
00:08:42,404 --> 00:08:47,615
2, 4, 8, 16, 32 i tak dalej.

222
00:08:47,838 --> 00:08:50,175
Czy to jest ciąg arytmetyczny?

223
00:08:50,417 --> 00:08:52,080
Aby otrzymać drugi wyraz,

224
00:08:52,180 --> 00:08:54,231
należy do pierwszego dodać 2.

225
00:08:54,502 --> 00:08:56,044
Jeżeli do drugiego wyrazu

226
00:08:56,144 --> 00:08:58,556
dodalibyśmy 2 otrzymalibyśmy 6,

227
00:08:58,656 --> 00:09:00,159
a tutaj mamy 8.

228
00:09:00,346 --> 00:09:02,388
To nie jest ciąg arytmetyczny.

229
00:09:02,762 --> 00:09:04,635
Zbadajmy kolejny ciąg

230
00:09:04,894 --> 00:09:10,588
1, 2, 3, 4, 5, 6 i tak dalej.

231
00:09:10,793 --> 00:09:12,377
Aby otrzymać drugi wyraz,

232
00:09:12,477 --> 00:09:14,697
należy do pierwszego dodać 1.

233
00:09:14,859 --> 00:09:16,793
Dodając 1 do drugiego wyrazu

234
00:09:16,893 --> 00:09:18,137
otrzymujemy 3.

235
00:09:18,342 --> 00:09:20,257
Dodając 1 do trzeciego wyrazu

236
00:09:20,357 --> 00:09:21,655
otrzymujemy 4. 

237
00:09:21,755 --> 00:09:23,772
Widzimy, że kolejny wyraz

238
00:09:23,872 --> 00:09:25,282
jest zawsze o 1

239
00:09:25,382 --> 00:09:26,824
większy od poprzedniego.

240
00:09:27,041 --> 00:09:29,090
Aby stwierdzić, że ciąg jest

241
00:09:29,190 --> 00:09:30,686
arytmetyczny, nie wystarczy

242
00:09:30,786 --> 00:09:33,114
sprawdzić kilku początkowych wyrazów. 

243
00:09:33,214 --> 00:09:35,313
Nie wiemy, jakie są kolejne wyrazy.

244
00:09:35,413 --> 00:09:37,591
Załóżmy więc, że reguła obliczania

245
00:09:37,691 --> 00:09:39,711
kolejnych wyrazów się nie zmieni.

246
00:09:39,811 --> 00:09:41,211
Przy tym założeniu możemy

247
00:09:41,311 --> 00:09:43,133
odpowiedzieć na nasze pytanie.

248
00:09:43,233 --> 00:09:45,097
To jest ciąg arytmetyczny.

249
00:09:45,290 --> 00:09:47,263
Ile wynosi jego różnica?

250
00:09:50,445 --> 00:09:51,445
Jeden.

251
00:09:51,774 --> 00:09:53,091
Ten ciąg możemy zatem

252
00:09:53,192 --> 00:09:54,733
opisać wzorem ogólnym.

253
00:09:54,833 --> 00:09:56,147
Czy pamiętasz, jak możemy

254
00:09:56,247 --> 00:09:58,008
zapisać każdy ciąg arytmetyczny

255
00:09:58,108 --> 00:09:59,316
wzorem ogólnym?

256
00:10:02,732 --> 00:10:04,927
Nazwijmy ten ciąg an.

257
00:10:05,033 --> 00:10:07,214
W ciągu arytmetycznym n-ty wyraz 

258
00:10:07,314 --> 00:10:08,998
otrzymujemy dodając do wyrazu

259
00:10:09,098 --> 00:10:10,413
pierwszego, czyli w tym

260
00:10:10,513 --> 00:10:11,739
przypadku do jedynki,

261
00:10:11,839 --> 00:10:15,161
n minus 1 razy różnicę ciągu,

262
00:10:15,261 --> 00:10:17,607
czyli n minus 1 razy 1. 

263
00:10:17,764 --> 00:10:19,969
To wyrażenie możemy sobie uprościć

264
00:10:20,069 --> 00:10:22,041
i otrzymamy 1 dodać n

265
00:10:22,141 --> 00:10:24,180
minus 1, czyli m.

266
00:10:24,385 --> 00:10:26,722
Ciąg an równa się n.

267
00:10:27,150 --> 00:10:29,247
Przejdźmy do kolejnej planszy.

268
00:10:33,512 --> 00:10:35,455
Spójrz teraz na taki ciąg.

269
00:10:35,555 --> 00:10:41,088
6, 13, 20, 27, 34 i tak dalej.

270
00:10:41,188 --> 00:10:43,220
Czy to jest ciąg arytmetyczny?

271
00:10:43,320 --> 00:10:45,631
Spróbuj odpowiedzieć samodzielnie.

272
00:10:49,417 --> 00:10:50,954
Widzimy, że w tym ciągu

273
00:10:51,054 --> 00:10:52,502
drugi wyraz jest większy

274
00:10:52,602 --> 00:10:54,264
od pierwszego o 7.

275
00:10:54,364 --> 00:10:56,063
Trzeci wyraz jest większy

276
00:10:56,163 --> 00:10:57,930
od drugiego też o 7.

277
00:10:58,117 --> 00:10:59,906
Czwarty wyraz jest większy

278
00:11:00,006 --> 00:11:02,057
od trzeciego też o 7.

279
00:11:02,157 --> 00:11:03,792
Piąty wyraz jest większy

280
00:11:03,892 --> 00:11:05,799
od poprzedniego też o 7.

281
00:11:05,925 --> 00:11:07,757
Aby stwierdzić, że ciąg

282
00:11:07,857 --> 00:11:09,480
jest arytmetyczny, nie wystarczy

283
00:11:09,580 --> 00:11:11,974
sprawdzić kilku początkowych wyrazów.

284
00:11:12,074 --> 00:11:14,194
Nie wiemy, jakie są kolejne wyrazy.

285
00:11:14,294 --> 00:11:16,517
Załóżmy więc, że reguła obliczania

286
00:11:16,617 --> 00:11:18,631
kolejnych wyrazów się nie zmieni.

287
00:11:18,731 --> 00:11:20,198
Przy tym założeniu możemy

288
00:11:20,298 --> 00:11:21,957
odpowiedzieć na nasze pytanie.

289
00:11:22,057 --> 00:11:24,198
Każdy kolejny wyraz jest większy

290
00:11:24,298 --> 00:11:26,271
od poprzedniego o stałą wartość,

291
00:11:26,371 --> 00:11:27,871
która wynosi 7.

292
00:11:28,000 --> 00:11:29,919
To jest ciąg arytmetyczny.

293
00:11:30,084 --> 00:11:32,097
Spróbuj samodzielnie zapisać

294
00:11:32,197 --> 00:11:33,916
wzór ogólny tego ciągu.

295
00:11:37,085 --> 00:11:38,905
Do zapisania wzoru ogólnego

296
00:11:39,005 --> 00:11:40,826
potrzebujemy dwóch wartości:

297
00:11:41,007 --> 00:11:43,743
pierwszego wyrazu oraz różnicy.

298
00:11:43,843 --> 00:11:45,628
W tym przypadku pierwszy wyraz

299
00:11:45,728 --> 00:11:48,020
to 6, a różnica to 7.

300
00:11:48,120 --> 00:11:50,143
Nazwijmy ten ciąg bn.

301
00:11:50,388 --> 00:11:52,153
bn równa się 6

302
00:11:52,253 --> 00:11:53,647
dodać w nawiasie

303
00:11:53,747 --> 00:11:56,031
n minus 1 razy 7.

304
00:11:56,973 --> 00:11:58,591
Co powiesz na taki ciąg?

305
00:11:58,774 --> 00:12:01,979
12, 6, 0, minus 6,

306
00:12:02,079 --> 00:12:04,239
minus 12 i tak dalej.

307
00:12:04,339 --> 00:12:06,527
Czy to jest ciąg arytmetyczny?

308
00:12:09,667 --> 00:12:11,245
W tym ciągu drugi wyraz

309
00:12:11,345 --> 00:12:13,465
jest o 6 mniejszy od pierwszego,

310
00:12:13,565 --> 00:12:16,390
trzeci jest o 6 mniejszy od drugiego,

311
00:12:16,490 --> 00:12:19,134
czwarty jest o 6 mniejszy od trzeciego,

312
00:12:19,234 --> 00:12:22,014
a piąty o 6 mniejszy od czwartego.

313
00:12:22,114 --> 00:12:24,054
Każdy kolejny wyraz różni się

314
00:12:24,154 --> 00:12:26,410
od poprzedniego o tę samą wartość,

315
00:12:26,510 --> 00:12:28,988
która w tym przypadku wynosi minus 6.

316
00:12:29,088 --> 00:12:31,103
To jest ciąg arytmetyczny.

317
00:12:31,223 --> 00:12:32,874
Spróbuj samodzielnie zapisać

318
00:12:32,974 --> 00:12:34,862
wzór ogólny tego ciągu.

319
00:12:37,814 --> 00:12:40,063
Nazwijmy ten ciąg cn.

320
00:12:40,163 --> 00:12:41,622
Do pierwszego wyrazu,

321
00:12:41,722 --> 00:12:43,044
czyli do liczby 12,

322
00:12:43,144 --> 00:12:45,568
dodajemy w nawiasie n minus 1

323
00:12:45,668 --> 00:12:48,020
razy różnicę, czyli minus 6.

324
00:12:48,279 --> 00:12:49,279
Gotowe.

325
00:12:49,593 --> 00:12:51,003
Oczywiście wzory ogólne

326
00:12:51,103 --> 00:12:52,208
zapisane w ten sposób

327
00:12:52,308 --> 00:12:53,816
możemy sobie upraszczać.

328
00:12:53,991 --> 00:12:55,328
Mnożymy każdy element

329
00:12:55,428 --> 00:12:57,329
tego nawiasu przez minus 6.

330
00:12:57,503 --> 00:13:01,702
Otrzymujemy 12 odjąć 6n dodać 6,

331
00:13:01,802 --> 00:13:04,793
co daje nam 18 odjąć 6n.

332
00:13:04,992 --> 00:13:08,223
cn równa się 18 odjąć 6n.

333
00:13:12,396 --> 00:13:14,623
Zbadajmy teraz ostatni ciąg.

334
00:13:14,723 --> 00:13:19,343
5, 5, 5, 5, 5 i 5.

335
00:13:19,481 --> 00:13:21,023
To jest ciąg stały.

336
00:13:21,211 --> 00:13:22,211
Jak myślisz,

337
00:13:22,311 --> 00:13:24,351
czy to jest ciąg arytmetyczny?

338
00:13:27,577 --> 00:13:28,959
Oczywiście, że tak!

339
00:13:29,151 --> 00:13:30,808
Jest to ciąg arytmetyczny,

340
00:13:30,908 --> 00:13:32,266
którego pierwszym wyrazem

341
00:13:32,366 --> 00:13:35,465
jest liczba 5, a różnica wynosi 0.

342
00:13:35,845 --> 00:13:38,251
Jaki jest wzór ogólny tego ciągu?

343
00:13:38,351 --> 00:13:40,223
Nazwijmy go dn.

344
00:13:40,538 --> 00:13:42,942
Do pierwszego wyrazu, czyli 5

345
00:13:43,042 --> 00:13:45,472
dodajemy n minus 1 w nawiasie

346
00:13:45,572 --> 00:13:47,423
razy różnicę, czyli 0.

347
00:13:47,774 --> 00:13:50,120
dn równa się zatem 5.

348
00:13:50,220 --> 00:13:51,617
To jest wzór ogólny

349
00:13:51,717 --> 00:13:53,142
tego ciągu stałego.

350
00:13:57,980 --> 00:14:00,124
Ciąg liczbowy an nazywamy

351
00:14:00,224 --> 00:14:02,010
ciągiem arytmetycznym, jeśli

352
00:14:02,110 --> 00:14:03,884
istnieje taka liczba r,

353
00:14:03,984 --> 00:14:05,778
że każdy wyraz tego ciągu

354
00:14:05,878 --> 00:14:07,272
oprócz pierwszego

355
00:14:07,372 --> 00:14:09,414
powstaje przez dodanie tej liczby

356
00:14:09,514 --> 00:14:10,878
do wyrazu poprzedniego.

357
00:14:11,065 --> 00:14:14,351
an plus 1 równa się an dodać r

358
00:14:14,451 --> 00:14:16,132
dla n należących do liczb

359
00:14:16,232 --> 00:14:17,964
naturalnych dodatnich.

360
00:14:18,078 --> 00:14:20,927
Liczbę r nazywamy różnicą ciągu.

361
00:14:24,693 --> 00:14:26,452
Zapraszam cię do obejrzenia

362
00:14:26,552 --> 00:14:28,374
pozostałych lekcji o ciągach

363
00:14:28,474 --> 00:14:29,664
oraz do zasubskrybowania

364
00:14:29,764 --> 00:14:31,131
naszego kanału.