1
00:00:00,778 --> 00:00:02,636
Stare powiedzenie brzmi:

2
00:00:02,827 --> 00:00:05,376
grosz do grosza, a będzie kokosza.

3
00:00:05,476 --> 00:00:08,551
Jak myślisz, ile dni trzeba, by odkładając

4
00:00:08,651 --> 00:00:12,287
grosz do grosza kupić kokoszę za 100 groszy?

5
00:00:12,550 --> 00:00:14,121
Na takie pytanie odpowiada

6
00:00:14,221 --> 00:00:15,649
ciąg arytmetyczny.

7
00:00:26,504 --> 00:00:28,715
Wiesz już, że ciąg arytmetyczny

8
00:00:28,815 --> 00:00:30,898
to taki, w którym pierwszy wyraz

9
00:00:30,998 --> 00:00:33,682
jest dowolną liczbą, a każdy następny

10
00:00:33,806 --> 00:00:36,237
powstaje poprzez dodanie do poprzedniego

11
00:00:36,337 --> 00:00:38,997
z góry ustalonej i niezmiennej liczby,

12
00:00:39,097 --> 00:00:40,704
tak zwanej różnicy.

13
00:00:41,027 --> 00:00:43,243
W tym przypadku pierwszym wyrazem

14
00:00:43,343 --> 00:00:44,919
jest liczba minus 5,

15
00:00:45,019 --> 00:00:47,068
a każdy następny wyraz powstaje

16
00:00:47,168 --> 00:00:49,742
przez dodanie do poprzedniego liczby 2.

17
00:00:49,890 --> 00:00:52,813
Wiesz także, że liczbę, którą dodajemy

18
00:00:52,913 --> 00:00:54,690
– by powstały następne wyrazy –

19
00:00:54,790 --> 00:00:56,476
nazywamy różnicą ciągu

20
00:00:56,576 --> 00:00:58,319
i oznaczamy literą r.

21
00:00:58,419 --> 00:01:01,184
Różnicą tego ciągu jest liczba 2.

22
00:01:01,418 --> 00:01:02,885
Co jeszcze należy wiedzieć

23
00:01:02,985 --> 00:01:04,537
o ciągu arytmetycznym?

24
00:01:04,752 --> 00:01:06,816
Znać jego wzór ogólny.

25
00:01:06,916 --> 00:01:08,352
Czy potrafisz go podać?

26
00:01:11,590 --> 00:01:14,265
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

27
00:01:14,365 --> 00:01:16,414
to an równa się a1

28
00:01:16,514 --> 00:01:18,236
dodać w nawiasie n minus 1,

29
00:01:18,336 --> 00:01:20,640
zamykamy nawias, razy r.

30
00:01:20,874 --> 00:01:22,980
Spróbuj samodzielnie zapisać wzór

31
00:01:23,080 --> 00:01:25,086
ogólny ciągu, którego pierwszym

32
00:01:25,186 --> 00:01:26,968
wyrazem jest liczba minus 5, 

33
00:01:27,068 --> 00:01:28,832
a różnicą liczba 2.

34
00:01:32,484 --> 00:01:34,241
Wzorem ogólnym tego ciągu

35
00:01:34,341 --> 00:01:37,235
jest formuła: minus 5 dodać

36
00:01:37,335 --> 00:01:40,235
n minus 1 w nawiasie razy 2.

37
00:01:40,540 --> 00:01:42,321
To wyrażenie można uprościć,

38
00:01:42,421 --> 00:01:45,082
otrzymując minus 5 dodać 2n

39
00:01:45,182 --> 00:01:47,947
minus 2, czyli minus 7 dodać 2n.

40
00:01:48,449 --> 00:01:50,592
Przejdźmy do kolejnego zadania.

41
00:01:54,432 --> 00:01:56,438
Pierwszym wyrazem pewnego ciągu

42
00:01:56,538 --> 00:01:59,442
arytmetycznego jest liczba minus 15.

43
00:01:59,561 --> 00:02:01,600
Różnica ciągu to 6.

44
00:02:01,776 --> 00:02:04,672
Wypisz pięć kolejnych wyrazów tego ciągu.

45
00:02:05,903 --> 00:02:07,957
Zauważ, że na pierwszym miejscu

46
00:02:08,057 --> 00:02:10,163
stoi liczba minus 15.

47
00:02:10,263 --> 00:02:11,840
Obliczmy wyraz drugi.

48
00:02:12,016 --> 00:02:13,220
W jaki sposób?

49
00:02:13,320 --> 00:02:15,168
Najprościej, jak się da.

50
00:02:15,268 --> 00:02:17,054
Skoro to jest ciąg arytmetyczny

51
00:02:17,154 --> 00:02:19,251
to znaczy, że drugi wyraz powstaje

52
00:02:19,351 --> 00:02:21,157
poprzez dodanie do pierwszego

53
00:02:21,257 --> 00:02:23,360
liczby, która jest różnicą ciągu.

54
00:02:23,460 --> 00:02:25,846
U nas pierwszy wyraz to minus 15,

55
00:02:25,946 --> 00:02:29,227
a różnica 6, więc minus 15 dodać 6

56
00:02:29,327 --> 00:02:32,145
daje minus 9 i to jest drugi wyraz.

57
00:02:32,279 --> 00:02:34,368
Teraz obliczmy wyraz trzeci.

58
00:02:34,468 --> 00:02:37,440
Minus 9 dodać 6 to minus 3.

59
00:02:37,540 --> 00:02:40,000
Czy potrafisz podać kolejne wyrazy?

60
00:02:42,876 --> 00:02:45,259
Czwarty wyraz to 3, bo minus 3

61
00:02:45,359 --> 00:02:48,473
dodać 6 daje 3, a piąty wyraz to 9,

62
00:02:48,573 --> 00:02:50,240
bo to 3 dodać 6.

63
00:02:50,555 --> 00:02:52,652
Moglibyśmy to zadanie rozwiązać

64
00:02:52,752 --> 00:02:54,557
także innym sposobem,

65
00:02:54,657 --> 00:02:56,611
korzystając ze wzoru ogólnego

66
00:02:56,711 --> 00:02:58,090
na ciąg arytmetyczny.

67
00:02:58,190 --> 00:02:59,428
Potrzebujemy do tego

68
00:02:59,528 --> 00:03:01,334
pierwszego wyrazu i różnicy.

69
00:03:01,530 --> 00:03:02,738
Pierwszy wyraz ciągu

70
00:03:02,838 --> 00:03:04,409
wynosi minus 15

71
00:03:04,509 --> 00:03:07,392
i tę wartość wstawiamy w miejsce a1.

72
00:03:07,492 --> 00:03:09,237
Do tego dodajemy w nawiasie

73
00:03:09,337 --> 00:03:11,940
n minus 1 i ten nawias mnożymy

74
00:03:12,040 --> 00:03:14,658
przez różnicę, czyli przez 6.

75
00:03:14,892 --> 00:03:16,625
Otrzymaliśmy wzór ogólny

76
00:03:16,725 --> 00:03:18,574
tego ciągu arytmetycznego.

77
00:03:18,674 --> 00:03:20,704
Wzór ogólny ma tę zaletę,

78
00:03:20,804 --> 00:03:22,552
że dzięki niemu możemy obliczyć

79
00:03:22,652 --> 00:03:23,989
dowolny wyraz ciągu

80
00:03:24,089 --> 00:03:26,258
znając wyłącznie jego pozycję.

81
00:03:26,358 --> 00:03:29,018
Zobacz: aby obliczyć drugi wyraz

82
00:03:29,118 --> 00:03:31,315
w tym ciągu, w miejsce litery n

83
00:03:31,415 --> 00:03:33,579
w tym wzorze wstawiamy liczbę 2.

84
00:03:33,736 --> 00:03:35,503
Otrzymujemy: a2 równa się

85
00:03:35,603 --> 00:03:37,500
minus 15 dodać w nawiasie

86
00:03:37,600 --> 00:03:40,470
2 minus 1, zamykamy nawias,

87
00:03:40,570 --> 00:03:43,488
razy 6. To równa się minus 9.

88
00:03:43,813 --> 00:03:45,714
Ta metoda dała takie same wyniki,

89
00:03:45,814 --> 00:03:46,814
jak poprzednia.

90
00:03:46,914 --> 00:03:48,770
Mamy już dwa wyrazy ciągu.

91
00:03:48,870 --> 00:03:50,470
Brakuje nam trzech.

92
00:03:50,570 --> 00:03:53,789
Spróbuj obliczyć a3, a4 i a5

93
00:03:53,889 --> 00:03:56,177
korzystając ze wzoru ogólnego.

94
00:04:00,288 --> 00:04:03,297
a3 to minus 15 dodać, w nawiasie

95
00:04:03,397 --> 00:04:06,330
3 minus 1, zamknąć nawias, razy 6

96
00:04:06,430 --> 00:04:08,320
i to daje nam minus 3.

97
00:04:08,469 --> 00:04:10,585
a4 to minus 15

98
00:04:10,685 --> 00:04:12,877
dodać, w nawiasie 4 minus 1,

99
00:04:12,977 --> 00:04:14,978
zamykamy nawias, razy 6,

100
00:04:15,078 --> 00:04:16,492
a to równa się 3.

101
00:04:16,774 --> 00:04:20,117
a5 to minus 15 dodać, w nawiasie 5

102
00:04:20,217 --> 00:04:23,323
minus 1, zamykamy nawias, razy 6,

103
00:04:23,423 --> 00:04:24,959
a to równa się 9.

104
00:04:25,239 --> 00:04:27,037
Widzisz, że te wyniki

105
00:04:27,137 --> 00:04:29,701
są takie same, jak w poprzedniej metodzie.

106
00:04:29,801 --> 00:04:31,103
Pamiętaj jednak,

107
00:04:31,203 --> 00:04:33,068
że wzór ogólny ma tę zaletę,

108
00:04:33,168 --> 00:04:34,974
że dzięki niemu możemy obliczyć

109
00:04:35,074 --> 00:04:36,903
dowolny wyraz podając tylko

110
00:04:37,003 --> 00:04:38,102
jego pozycję.

111
00:04:38,202 --> 00:04:40,456
Mam teraz zadanie dla ciebie.

112
00:04:40,642 --> 00:04:42,476
Spróbuj samodzielnie obliczyć

113
00:04:42,576 --> 00:04:45,088
111-ty wyraz tego ciągu.

114
00:04:48,680 --> 00:04:51,445
Aby obliczyć 111-ty wyraz ciągu,

115
00:04:51,545 --> 00:04:53,479
do wzoru ogólnego podstawiamy

116
00:04:53,579 --> 00:04:56,163
w miejsce litery n liczbę 111.

117
00:04:56,297 --> 00:04:59,028
Otrzymujemy a111 równa się

118
00:04:59,128 --> 00:05:01,607
minus 15 dodać, w nawiasie

119
00:05:01,707 --> 00:05:05,919
111 odjąć 1, zamknąć nawias, razy 6.

120
00:05:06,019 --> 00:05:07,333
Po wykonaniu obliczeń

121
00:05:07,433 --> 00:05:09,812
otrzymujemy 645.

122
00:05:10,079 --> 00:05:13,126
Gdybyśmy chcieli obliczyć 111-ty wyraz

123
00:05:13,226 --> 00:05:15,318
dodając do poprzednich wyrazów

124
00:05:15,418 --> 00:05:17,596
liczbę 6, to zajęłoby to nam

125
00:05:17,696 --> 00:05:19,743
mnóstwo czasu i miejsca.

126
00:05:19,955 --> 00:05:21,612
Korzystanie ze wzoru ogólnego

127
00:05:21,712 --> 00:05:23,255
jest dużo szybsze.

128
00:05:23,465 --> 00:05:25,375
Przejdźmy do kolejnego zadania.

129
00:05:28,069 --> 00:05:31,392
Wyznacz 60-ty wyraz ciągu arytmetycznego,

130
00:05:31,492 --> 00:05:33,616
w którym a1 równa się 4,

131
00:05:33,716 --> 00:05:35,658
a r równa się minus 1.

132
00:05:36,570 --> 00:05:38,197
W jaki sposób najszybciej

133
00:05:38,297 --> 00:05:39,656
rozwiązać to zadanie?

134
00:05:39,989 --> 00:05:41,617
Nie będziemy liczyć po kolei

135
00:05:41,717 --> 00:05:43,761
wszystkich wyrazów do 60.

136
00:05:43,861 --> 00:05:45,695
bo będzie ich za dużo.

137
00:05:45,795 --> 00:05:48,604
Wiemy, że dzięki wzorowi ogólnemu

138
00:05:48,704 --> 00:05:50,719
możemy obliczyć wartość dowolnego

139
00:05:50,819 --> 00:05:53,375
wyrazu znając jego pozycję.

140
00:05:53,508 --> 00:05:55,071
Obydwie wartości – a1 i r –

141
00:05:55,171 --> 00:05:58,475
są podane w treści zadania.

142
00:05:58,609 --> 00:06:01,909
Wstawiamy zatem w miejsce a1 liczbę 4,

143
00:06:02,009 --> 00:06:04,726
a w miejsce r liczbę minus 1.

144
00:06:04,898 --> 00:06:07,143
Otrzymujemy: an równa się

145
00:06:07,243 --> 00:06:09,932
4 dodać, w nawiasie n minus 1,

146
00:06:10,032 --> 00:06:12,764
zamykamy nawias, razy minus 1.

147
00:06:13,203 --> 00:06:16,025
Skoro mamy policzyć 60. wyraz,

148
00:06:16,125 --> 00:06:19,391
to znaczy, że nasze n równa się 60.

149
00:06:19,746 --> 00:06:21,536
Wstawmy zatem we wzorze

150
00:06:21,636 --> 00:06:24,474
w miejsce litery n liczbę 60 i obliczmy.

151
00:06:24,574 --> 00:06:27,563
a60 równa się 4 odjąć,

152
00:06:27,663 --> 00:06:30,143
w nawiasie 60 minus 1.

153
00:06:30,438 --> 00:06:32,267
Współczynnik minus 1,

154
00:06:32,367 --> 00:06:33,819
przez który mnożymy nawias

155
00:06:33,919 --> 00:06:35,863
nie zmienia jego wartości,

156
00:06:35,963 --> 00:06:37,181
a jedynie jego znak.

157
00:06:37,281 --> 00:06:39,615
Dlatego przed nawiasem jest minus.

158
00:06:39,827 --> 00:06:42,057
a60 równa się zatem

159
00:06:42,157 --> 00:06:46,436
4 odjąć 59, a to wynosi minus 55.

160
00:06:46,536 --> 00:06:48,831
Możemy już udzielić odpowiedzi.

161
00:06:48,931 --> 00:06:52,159
a60 równa się minus 55.

162
00:06:52,301 --> 00:06:54,463
Przejdźmy do kolejnego zadania.

163
00:06:58,199 --> 00:07:02,248
Pierwszym wyrazem ciągu bn jest liczba 20.

164
00:07:02,411 --> 00:07:04,959
Różnica ciągu wynosi minus 8.

165
00:07:05,090 --> 00:07:07,091
Zapisz wzór ogólny tego ciągu

166
00:07:07,191 --> 00:07:12,492
oraz oblicz b15, b31 i b1001.

167
00:07:12,645 --> 00:07:14,994
Rozwiąż to zadanie samodzielnie.

168
00:07:18,524 --> 00:07:21,874
Aby zapisać wzór ogólny ciągu arytmetycznego,

169
00:07:21,974 --> 00:07:24,549
potrzebujemy pierwszego wyrazu i różnicy,

170
00:07:24,649 --> 00:07:26,797
a te są podane  w treści zadania.

171
00:07:27,029 --> 00:07:28,967
Wzór ogólny ciągu bn

172
00:07:29,067 --> 00:07:31,096
to b1, czyli 20,

173
00:07:31,196 --> 00:07:33,557
dodać n odjąć 1 w nawiasie,

174
00:07:33,657 --> 00:07:35,930
razy r, czyli minus 8.

175
00:07:36,298 --> 00:07:38,873
Aby obliczyć 15-ty wyraz ciągu,

176
00:07:38,973 --> 00:07:41,389
w miejsce litery n we wzorze ogólnym

177
00:07:41,489 --> 00:07:43,540
wstawiamy liczbę 15.

178
00:07:43,984 --> 00:07:46,874
Otrzymujemy: b15 równa się 20

179
00:07:46,974 --> 00:07:49,198
dodać, w nawiasie 15 odjąć 1,

180
00:07:49,298 --> 00:07:51,737
zamykamy nawias, razy minus 8,

181
00:07:51,837 --> 00:07:53,210
a to po wykonaniu obliczeń

182
00:07:53,310 --> 00:07:55,438
daje nam minus 92.

183
00:07:55,826 --> 00:08:00,167
Podobnie b31 równa się 20 dodać,

184
00:08:00,267 --> 00:08:04,198
w nawiasie 31 odjąć 1, zamykamy nawias,

185
00:08:04,298 --> 00:08:07,337
razy minus 8 i to po wykonaniu obliczeń

186
00:08:07,437 --> 00:08:09,469
wynosi minus 220.

187
00:08:09,837 --> 00:08:13,632
b1001 równa się 20 dodać

188
00:08:13,732 --> 00:08:16,229
w nawiasie 1001 odjąć 1,

189
00:08:16,329 --> 00:08:19,000
zamykamy nawias, razy minus 8

190
00:08:19,100 --> 00:08:20,883
i to po wykonaniu obliczeń

191
00:08:20,983 --> 00:08:24,255
daje nam minus 7980.

192
00:08:24,855 --> 00:08:26,873
Możemy zatem podać odpowiedź.

193
00:08:26,979 --> 00:08:29,836
b15 równa się minus 92,

194
00:08:29,936 --> 00:08:33,109
b31 równa się minus 220

195
00:08:33,209 --> 00:08:37,961
i b1001 równa się minus 7980.

196
00:08:38,061 --> 00:08:40,191
Przejdźmy do ostatniego zadania.

197
00:08:43,844 --> 00:08:45,774
W ciągu arytmetycznym cn

198
00:08:45,874 --> 00:08:50,043
różnica wynosi 2, a wartość c20 to 17.

199
00:08:50,148 --> 00:08:52,735
Ile wynosi pierwszy wyraz tego ciągu?

200
00:08:52,942 --> 00:08:55,295
Możemy policzyć to na dwa sposoby.

201
00:08:55,578 --> 00:08:57,343
Znamy wyraz dwudziesty.

202
00:08:57,546 --> 00:08:59,231
Skoro różnica to 2,

203
00:08:59,331 --> 00:09:01,365
wyraz dwudziesty jest o 2 większy

204
00:09:01,465 --> 00:09:02,956
od dziewiętnastego.

205
00:09:03,138 --> 00:09:05,258
Inaczej mówiąc, wyraz 19-ty

206
00:09:05,358 --> 00:09:07,441
jest o 2 mniejszy od 20-go

207
00:09:07,617 --> 00:09:08,863
A osiemnasty?

208
00:09:08,963 --> 00:09:10,911
O 2 mniejszy od 19-go.

209
00:09:11,161 --> 00:09:13,090
Aby dojść do pierwszego wyrazu,

210
00:09:13,190 --> 00:09:15,731
musielibyśmy trochę się naodejmować.

211
00:09:15,831 --> 00:09:17,567
Dużo liczenia, prawda?!

212
00:09:17,851 --> 00:09:19,620
Chcąc zaoszczędzić czas,

213
00:09:19,720 --> 00:09:21,156
przeczytajmy jeszcze raz,

214
00:09:21,256 --> 00:09:22,608
co wiemy o tym ciągu.

215
00:09:22,732 --> 00:09:25,860
Jego dwudziesty wyraz ma wartość 17.

216
00:09:26,032 --> 00:09:28,267
20 to numer wyrazu ciągu,

217
00:09:28,367 --> 00:09:30,516
czyli n równa się 20.

218
00:09:30,822 --> 00:09:32,484
Może więc do obliczeń da się

219
00:09:32,584 --> 00:09:34,423
wykorzystać jakoś wzór ogólny

220
00:09:34,523 --> 00:09:35,855
ciągu arytmetycznego?

221
00:09:36,223 --> 00:09:37,279
Zapiszmy go.

222
00:09:37,680 --> 00:09:40,865
cn równa się c1 dodać, w nawiasie

223
00:09:40,965 --> 00:09:44,017
n minus 1, zamykamy nawias, razy r.

224
00:09:44,208 --> 00:09:46,572
Teraz spróbujmy wstawić do niego

225
00:09:46,672 --> 00:09:48,482
znane dane z treści zadania.

226
00:09:48,824 --> 00:09:49,831
r to 2.

227
00:09:50,064 --> 00:09:52,894
20-ty wyraz ciągu to 17.

228
00:09:53,067 --> 00:09:55,464
Zatem dla n równego 20

229
00:09:55,564 --> 00:09:58,391
formuła przyjmie wartość 17.

230
00:09:58,520 --> 00:10:01,739
W miejsce cn wstawmy zatem 17,

231
00:10:01,839 --> 00:10:04,415
a w miejsce n liczbę 20.

232
00:10:04,515 --> 00:10:06,106
Co otrzymaliśmy?

233
00:10:06,206 --> 00:10:08,742
17 równa się c1 dodać

234
00:10:08,842 --> 00:10:10,662
w nawiasie 20 odjąć 1,

235
00:10:10,762 --> 00:10:13,117
zamknąć nawias, razy 2.

236
00:10:13,277 --> 00:10:15,935
Mamy tutaj równanie z niewiadomą c1.

237
00:10:16,224 --> 00:10:18,239
Rozwiąż je samodzielnie.

238
00:10:21,477 --> 00:10:23,979
20 odjąć 1 to 19,

239
00:10:24,079 --> 00:10:26,767
a 19 razy 2 to 38.

240
00:10:26,867 --> 00:10:31,295
Otrzymujemy 17 równa się c1 dodać 38.

241
00:10:31,395 --> 00:10:34,987
Odejmując od obu stron równania liczbę 38

242
00:10:35,087 --> 00:10:37,532
otrzymujemy c1 równa się 17

243
00:10:37,632 --> 00:10:41,343
odjąć 38, a to równa się minus 21.

244
00:10:41,687 --> 00:10:43,839
Możemy już zapisać odpowiedź.

245
00:10:44,185 --> 00:10:47,423
c1 równa się minus 21.

246
00:10:47,523 --> 00:10:49,215
Tyle wynosi pierwszy wyraz.

247
00:10:49,572 --> 00:10:51,339
Wykonaliśmy nasze zadanie.

248
00:10:51,439 --> 00:10:52,543
Gratulacje!

249
00:10:57,255 --> 00:11:00,203
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego an

250
00:11:00,303 --> 00:11:03,118
o pierwszym wyrazie a1 i różnicy r

251
00:11:03,218 --> 00:11:06,568
ma postać: an równa się a1 dodać

252
00:11:06,668 --> 00:11:08,642
w nawiasie n odjąć 1,

253
00:11:08,742 --> 00:11:10,638
zamykamy nawias, razy r.

254
00:11:10,738 --> 00:11:13,951
Znając pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego

255
00:11:14,051 --> 00:11:16,997
i jego różnicę, z powyższego wzoru obliczymy

256
00:11:17,097 --> 00:11:18,908
dowolny wyraz ciągu.

257
00:11:21,926 --> 00:11:23,636
Zapraszam cię do obejrzenia

258
00:11:23,736 --> 00:11:25,524
pozostałych lekcji z tej playlisty

259
00:11:25,624 --> 00:11:26,888
oraz do polubienia naszej

260
00:11:26,988 --> 00:11:28,489
strony na Facebooku.