1
00:00:00,167 --> 00:00:02,745
Pewne bakterie – kuzynki laseczek 

2
00:00:02,845 --> 00:00:05,186
jadu kiełbasianego – mnożą się, 

3
00:00:05,286 --> 00:00:07,696
czyli dzielą, nawet co 10 minut.

4
00:00:08,139 --> 00:00:10,334
Teoretycznie jedna taka bakteria 

5
00:00:10,434 --> 00:00:12,932
potrzebowałaby niecałych 5 godzin 

6
00:00:13,032 --> 00:00:14,460
żeby wyprodukować 

7
00:00:14,560 --> 00:00:16,563
aż 500 milionów potomków.

8
00:00:16,664 --> 00:00:19,594
Na szczęście te rekordzistki są pożyteczne.

9
00:00:19,694 --> 00:00:22,017
Przerabiają szczątki roślin i zwierząt 

10
00:00:22,117 --> 00:00:24,093
na proste związki.

11
00:00:34,309 --> 00:00:36,859
Z jednej bakterii po 20 minutach 

12
00:00:36,959 --> 00:00:38,461
powstają dwie bakterie.

13
00:00:38,561 --> 00:00:41,514
Ile bakterii powstanie z jednej po godzinie, 

14
00:00:41,614 --> 00:00:44,996
ile po trzech godzinach, a ile po jednej dobie?

15
00:00:45,096 --> 00:00:47,616
Jak się domyślasz, liczba bakterii 

16
00:00:47,716 --> 00:00:50,264
po jednej, 3 i 24 godzinach 

17
00:00:50,364 --> 00:00:51,984
będzie tworzyć ciąg.

18
00:00:52,084 --> 00:00:54,435
Na początku mamy jedną bakterię.

19
00:00:54,535 --> 00:00:57,600
Oznacza to, że b1 równa się 1.

20
00:00:58,029 --> 00:01:00,911
Po 20 minutach mamy już dwie bakterie.

21
00:01:01,011 --> 00:01:02,976
b2 równa się 2.

22
00:01:03,088 --> 00:01:04,358
W kolejnym podziale, 

23
00:01:04,458 --> 00:01:06,443
który nastąpi po 20 minutach,

24
00:01:06,543 --> 00:01:09,632
każda z dwóch bakterii podzieli się na dwie.

25
00:01:09,850 --> 00:01:13,472
Po 40 minutach będziemy mieć 4 mikroby.

26
00:01:13,826 --> 00:01:17,056
Po 60 minutach możemy zaobserwować,

27
00:01:17,156 --> 00:01:20,784
że bakterii jest już 8, bo z każdej z czterech

28
00:01:20,884 --> 00:01:22,497
powstały kolejne dwie.

29
00:01:22,597 --> 00:01:24,465
Możemy dać już odpowiedź 

30
00:01:24,565 --> 00:01:26,314
na pierwszą część pytania.

31
00:01:26,414 --> 00:01:28,205
Po godzinie z jednej bakterii 

32
00:01:28,305 --> 00:01:30,940
powstanie kolonia 8 mikrobów.

33
00:01:31,040 --> 00:01:32,219
Dlaczego ośmiu?

34
00:01:32,319 --> 00:01:34,819
Bo jedna godzina to 3 razy 20 minut, 

35
00:01:34,919 --> 00:01:36,766
czyli 3 cykle podziału.

36
00:01:36,866 --> 00:01:39,072
Kolejne wyniki wpiszmy w tabelę.

37
00:01:39,288 --> 00:01:41,305
Pierwszy wiersz określa numer 

38
00:01:41,405 --> 00:01:43,469
pozycji w bakteryjnym ciągu.

39
00:01:43,569 --> 00:01:46,049
Zauważ, że numer pozycji jest 

40
00:01:46,149 --> 00:01:47,339
w naszym przypadku zawsze 

41
00:01:47,439 --> 00:01:50,035
o 1 większy od liczby cykli podziału.

42
00:01:50,135 --> 00:01:51,831
W ciągu godziny mamy trzy 

43
00:01:51,931 --> 00:01:54,651
dwudziestominutowe cykle, więc po godzinie

44
00:01:54,751 --> 00:01:56,715
 jesteśmy na pozycji czwartej.

45
00:01:56,817 --> 00:01:59,640
Jak widzisz, każdy kolejny podział

46
00:01:59,740 --> 00:02:02,112
dwukrotnie zwiększa liczbę bakterii.

47
00:02:02,318 --> 00:02:05,879
Po pierwszym cyklu, czyli w drugiej pozycji

48
00:02:05,979 --> 00:02:09,791
mamy dwie bakterie, po drugim 4, po trzecim 8.

49
00:02:10,084 --> 00:02:12,838
W piątej pozycji mamy 16 bakterii,

50
00:02:12,948 --> 00:02:15,168
a w szóstej 32.

51
00:02:15,458 --> 00:02:17,298
Teraz zastanówmy się, 

52
00:02:17,398 --> 00:02:20,103
ile bakterii będzie po trzech godzinach.

53
00:02:20,408 --> 00:02:22,321
W ciągu 3 godzin mamy 9 

54
00:02:22,421 --> 00:02:24,580
dwudziestominutowych cykli.

55
00:02:24,681 --> 00:02:26,745
Numer pozycji będzie wynosił

56
00:02:26,845 --> 00:02:28,992
 zatem 9 dodać 1, czyli 10.

57
00:02:29,247 --> 00:02:31,422
Jaką liczbę będziemy mieć w tabeli 

58
00:02:31,522 --> 00:02:33,015
w pozycji dziesiątek?

59
00:02:33,115 --> 00:02:34,624
Policzmy w pamięci.

60
00:02:34,926 --> 00:02:37,042
Szósty cykl, czyli 7. pozycja 

61
00:02:37,142 --> 00:02:39,333
to 64 bakterie.

62
00:02:39,433 --> 00:02:43,280
W pozycji 8. mamy już 128 mikrobów,

63
00:02:43,380 --> 00:02:45,780
w dziewiątej 256,

64
00:02:45,880 --> 00:02:48,536
a w dziesiątej, czyli po 9 cyklach

65
00:02:48,636 --> 00:02:50,496
– to znaczy po trzech godzinach –

66
00:02:50,596 --> 00:02:52,544
512 bakterii.

67
00:02:52,760 --> 00:02:55,860
Spróbujmy określić wzór pozwalający nam 

68
00:02:55,960 --> 00:02:57,395
obliczyć liczbę bakterii 

69
00:02:57,495 --> 00:03:00,224
w n-tej pozycji, czyli bn.

70
00:03:00,673 --> 00:03:02,818
Zauważ, że mamy tu do czynienia

71
00:03:02,918 --> 00:03:04,576
z potęgami liczby 2.

72
00:03:04,777 --> 00:03:07,720
Możemy więc zapisać nasz wzór jako 

73
00:03:07,820 --> 00:03:11,773
bn równa się 2 do potęgi n minus pierwszej.

74
00:03:11,873 --> 00:03:14,185
Ten wzór pozwala nam obliczyć,

75
00:03:14,285 --> 00:03:17,373
ile bakterii będziemy mieć po 24 godzinach,

76
00:03:17,473 --> 00:03:18,912
czyli po jednej dobie.

77
00:03:19,265 --> 00:03:21,340
Liczba cykli w tym czasie

78
00:03:21,440 --> 00:03:24,544
to 3 razy 24, czyli 72.

79
00:03:24,737 --> 00:03:27,581
Pozycja, której wartość chcemy obliczyć 

80
00:03:27,681 --> 00:03:30,365
będzie mieć zatem numer 73.

81
00:03:30,465 --> 00:03:32,316
Wstawiając do tego wzoru 

82
00:03:32,416 --> 00:03:35,081
w miejsce litery n liczbę 73 

83
00:03:35,181 --> 00:03:37,699
otrzymamy: b73 równa się

84
00:03:37,799 --> 00:03:40,662
2 do potęgi 73 minus 1, 

85
00:03:40,762 --> 00:03:43,760
a to daje nam 2 do potęgi 72.

86
00:03:43,860 --> 00:03:46,124
Jest to tak duża liczba, 

87
00:03:46,224 --> 00:03:47,973
że nie będziemy jej wyznaczać.

88
00:03:48,073 --> 00:03:50,400
Zostawimy zapis w potędze.

89
00:03:54,342 --> 00:03:57,265
Zastanów się, jak obliczyć liczbę bakterii

90
00:03:57,365 --> 00:04:00,020
gdy na początku mamy nie jedną, lecz trzy.

91
00:04:00,120 --> 00:04:03,200
Jakim wzorem można opisać taką sytuację?

92
00:04:03,584 --> 00:04:05,188
Dla ułatwienia posłużymy się 

93
00:04:05,288 --> 00:04:07,027
jeszcze raz naszą tabelą.

94
00:04:07,127 --> 00:04:09,856
W pierwszej pozycji mamy trzy bakterie.

95
00:04:09,982 --> 00:04:11,773
Potem ich liczba się podwaja, 

96
00:04:11,873 --> 00:04:13,525
czyli po pierwszym cyklu

97
00:04:13,625 --> 00:04:15,287
– to znaczy w drugiej pozycji – 

98
00:04:15,387 --> 00:04:20,208
jest ich 6, po kolejnym 12 i tak dalej.

99
00:04:22,137 --> 00:04:24,371
Jak różnią się wartości wyrazów

100
00:04:24,471 --> 00:04:27,007
od tych, które mieliśmy w tabeli wcześniej?

101
00:04:27,333 --> 00:04:29,823
Każdy będzie trzykrotnie większy.

102
00:04:30,325 --> 00:04:33,407
W takim razie, jak będzie wyglądać nasz wzór?

103
00:04:33,662 --> 00:04:37,274
Będzie to cn równa się 3 razy 

104
00:04:37,374 --> 00:04:40,373
2 do potęgi n minus pierwszej.

105
00:04:40,473 --> 00:04:43,494
W tym ciągu każdy wyraz poza pierwszym 

106
00:04:43,594 --> 00:04:45,266
powstaje poprzez wymnożenie 

107
00:04:45,366 --> 00:04:48,099
wyrazu poprzedzającego przez pewną liczbę,

108
00:04:48,199 --> 00:04:50,559
tak jak w tym przypadku, przez liczbę 2.

109
00:04:50,758 --> 00:04:53,012
Taki ciąg w matematyce nazywamy 

110
00:04:53,112 --> 00:04:55,098
ciągiem geometrycznym, a liczbę 

111
00:04:55,198 --> 00:04:57,962
przez którą mnożymy, ilorazem ciągu.

112
00:04:58,110 --> 00:05:01,055
Iloraz ciągu oznaczamy literą q.

113
00:05:04,606 --> 00:05:06,687
Mam teraz dla ciebie zadanie.

114
00:05:06,787 --> 00:05:09,015
Sprawdź, czy ciąg zapisany w tabeli

115
00:05:09,115 --> 00:05:10,718
jest geometryczny.

116
00:05:14,074 --> 00:05:16,653
Można zaobserwować, że począwszy 

117
00:05:16,753 --> 00:05:19,094
od drugiego wyrazu, każdy kolejny 

118
00:05:19,194 --> 00:05:22,047
jest 4 razy większy od poprzedniego.

119
00:05:22,302 --> 00:05:27,607
3 razy 4 to 12, 12 razy 4 to 48,

120
00:05:27,707 --> 00:05:31,007
 a 48 razy 4 to 192.

121
00:05:31,259 --> 00:05:33,294
Możemy też to sprawdzić inaczej,

122
00:05:33,394 --> 00:05:35,103
wykorzystując dzielenie.

123
00:05:35,520 --> 00:05:37,961
Wyraz następny można podzielić 

124
00:05:38,061 --> 00:05:39,446
przez wyraz poprzedzający.

125
00:05:39,546 --> 00:05:44,349
Na przykład 192 podzielić przez 48 to 4.

126
00:05:44,634 --> 00:05:46,986
Wynik jest taki sam dla dzielenia 

127
00:05:47,086 --> 00:05:50,941
48 przez 12 i 12 przez 3.

128
00:05:51,041 --> 00:05:53,382
Za każdym razem otrzymujemy 4,

129
00:05:53,482 --> 00:05:55,839
więc ten ciąg jest geometryczny.

130
00:05:56,002 --> 00:05:59,423
Jego wzór ogólny to an równa się

131
00:05:59,523 --> 00:06:02,751
3 razy 4 do potęgi n minus pierwszej.

132
00:06:03,059 --> 00:06:06,425
Możemy to uogólnić stwierdzając, że ciąg 

133
00:06:06,525 --> 00:06:08,864
geometryczny to ciąg o wzorze

134
00:06:08,964 --> 00:06:12,496
an równa się wyraz pierwszy, czyli a1

135
00:06:12,596 --> 00:06:15,295
razy q do potęgi n minus pierwszej.

136
00:06:15,509 --> 00:06:18,874
Pamiętaj, że a1 oznacza pierwszy wyraz ciągu,

137
00:06:18,974 --> 00:06:20,927
a q – jego iloraz.

138
00:06:24,554 --> 00:06:26,815
Mam dla ciebie jeszcze jedno zadanie.

139
00:06:27,074 --> 00:06:29,195
Sprawdź, które z podanych ciągów

140
00:06:29,295 --> 00:06:30,398
 są geometryczne.

141
00:06:30,577 --> 00:06:32,536
Dla każdego ciągu geometrycznego 

142
00:06:32,636 --> 00:06:34,611
zapisz jego wzór ogólny.

143
00:06:34,711 --> 00:06:36,799
Mamy tutaj pierwszy ciąg:

144
00:06:36,899 --> 00:06:41,955
2, 4, 6, 8, 10 i 12.

145
00:06:42,055 --> 00:06:45,014
Czy to jest ciąg geometryczny? Zobacz.

146
00:06:45,114 --> 00:06:47,445
Począwszy od wyrazu drugiego

147
00:06:47,545 --> 00:06:50,623
każdy wyraz jest o 2 większy od poprzedniego.

148
00:06:50,723 --> 00:06:52,927
O dwa, nie dwa razy,

149
00:06:53,027 --> 00:06:55,487
a więc to nie jest ciąg geometryczny.

150
00:06:55,587 --> 00:06:57,535
To jest ciąg arytmetyczny.

151
00:06:57,771 --> 00:06:59,839
Spójrz teraz na kolejny ciąg.

152
00:06:59,939 --> 00:07:04,622
1/2, 3/2, 9/2 i 27/2.

153
00:07:05,114 --> 00:07:07,328
Każdy wyraz w tym ciągu jest 

154
00:07:07,428 --> 00:07:09,669
trzykrotnie większy od poprzedniego.

155
00:07:09,769 --> 00:07:11,885
Łatwo to zobaczyć, bo w mianowniku 

156
00:07:11,985 --> 00:07:14,631
ułamki się nie zmieniają, a każdy licznik

157
00:07:14,731 --> 00:07:16,991
jest 3 razy większy od poprzedniego.

158
00:07:17,338 --> 00:07:19,651
A więc jest to ciąg geometryczny 

159
00:07:19,751 --> 00:07:21,933
o ilorazie q równym 3.

160
00:07:22,033 --> 00:07:23,647
Zapiszmy jego wzór.

161
00:07:23,912 --> 00:07:25,940
Pierwszy wyraz to 1/2, 

162
00:07:26,040 --> 00:07:27,808
a iloraz właśnie poznaliśmy.

163
00:07:27,908 --> 00:07:29,023
Wynosi 3.

164
00:07:29,257 --> 00:07:31,028
Wzór ogólny tego ciągu 

165
00:07:31,128 --> 00:07:33,536
geometrycznego to bn równa się

166
00:07:33,636 --> 00:07:37,471
1/2 razy 3 do potęgi n minus pierwszej.

167
00:07:38,607 --> 00:07:40,543
Spójrz teraz na kolejny ciąg.

168
00:07:40,811 --> 00:07:48,124
Minus 2, 4, minus 8, 16, minus 32 i 64.

169
00:07:48,224 --> 00:07:50,014
Tu łatwiej nam będzie znaleźć 

170
00:07:50,114 --> 00:07:52,246
iloraz ciągu dzieląc wyrazy.

171
00:07:52,346 --> 00:07:55,140
Na początek a2 podzielimy przez a1.

172
00:07:55,240 --> 00:07:58,463
4 podzielić przez minus 2 to minus 2.

173
00:07:58,606 --> 00:08:01,279
Teraz a3 dzielimy przez a2.

174
00:08:01,379 --> 00:08:03,301
Minus 8 podzielić przez 4 

175
00:08:03,401 --> 00:08:04,579
to też minus 2.

176
00:08:04,679 --> 00:08:06,736
Sprawdź samodzielnie ilorazy 

177
00:08:06,836 --> 00:08:09,561
dla pozostałych znanych wyrazów.

178
00:08:13,045 --> 00:08:16,616
16 podzielić przez minus 8 to minus 2.

179
00:08:16,716 --> 00:08:20,848
Minus 32 podzielić przez 16 to też minus 2.

180
00:08:20,948 --> 00:08:22,877
Taki sam wynik da podzielenie

181
00:08:22,977 --> 00:08:26,154
liczby 64 przez minus 32.

182
00:08:26,292 --> 00:08:27,907
Mamy więc do czynienia 

183
00:08:28,007 --> 00:08:29,694
z ciągiem geometrycznym.

184
00:08:29,816 --> 00:08:31,999
Zapiszmy jego wzór ogólny.

185
00:08:32,119 --> 00:08:35,327
Potrzebujemy pierwszego wyrazu oraz ilorazu.

186
00:08:35,544 --> 00:08:37,887
Pierwszy wyraz to minus 2.

187
00:08:37,987 --> 00:08:40,959
Iloraz, czyli q, to też minus 2.

188
00:08:41,059 --> 00:08:43,555
Wzór ogólny tego ciągu to minus 2 

189
00:08:43,655 --> 00:08:47,245
razy minus 2 do potęgi n minus 1.

190
00:08:47,345 --> 00:08:49,518
Przejdźmy teraz do ostatniego ciągu.

191
00:08:49,618 --> 00:08:54,352
6, 6, 6, 6, 6 i 6.

192
00:08:54,520 --> 00:08:56,319
To jest ciąg stały.

193
00:08:56,577 --> 00:08:58,978
Zgodzisz się chyba, że taki ciąg 

194
00:08:59,078 --> 00:09:01,595
też możemy określić jako geometryczny.

195
00:09:01,695 --> 00:09:03,743
Jego iloraz wynosi 1,

196
00:09:03,843 --> 00:09:06,122
a pierwszy i wszystkie pozostałe

197
00:09:06,222 --> 00:09:08,607
wyrazy tego ciągu to 6.

198
00:09:08,707 --> 00:09:11,596
Wzór ogólny to dn równa się 

199
00:09:11,696 --> 00:09:13,368
wyraz pierwszy, czyli 6, razy

200
00:09:13,468 --> 00:09:18,591
iloraz, czyli 1, do potęgi minus pierwszej.

201
00:09:18,691 --> 00:09:21,369
To tyle w tej lekcji. Gratuluję!

202
00:09:25,365 --> 00:09:26,612
Ciąg liczbowy an 

203
00:09:26,712 --> 00:09:28,900
nazywamy ciągiem geometrycznym

204
00:09:29,000 --> 00:09:31,112
jeśli istnieje taka liczba q,

205
00:09:31,212 --> 00:09:34,011
że każdy wyraz ciągu oprócz pierwszego

206
00:09:34,111 --> 00:09:36,681
powstaje poprzez pomnożenie wyrazu 

207
00:09:36,781 --> 00:09:38,943
poprzedniego przez tę liczbę.

208
00:09:39,046 --> 00:09:41,375
Można to zapisać w taki sposób:

209
00:09:41,475 --> 00:09:44,695
an plus 1 równa się an razy q 

210
00:09:44,795 --> 00:09:46,742
dla każdego n należącego do

211
00:09:46,842 --> 00:09:48,434
 liczb naturalnych dodatnich.

212
00:09:48,534 --> 00:09:51,359
Liczbę q nazywamy ilorazem ciągu.

213
00:09:54,911 --> 00:09:57,972
Zapraszam cię do obejrzenia pozostałych lekcji 

214
00:09:58,072 --> 00:09:59,488
o ciągu geometrycznym oraz 

215
00:09:59,588 --> 00:10:02,647
do zasubskrybowania naszego kanału.