1
00:00:00,271 --> 00:00:02,848
Gdy kupujesz zeszyt, możesz wybrać 

2
00:00:02,948 --> 00:00:04,856
format A4 albo A5.

3
00:00:04,956 --> 00:00:06,306
Co to oznacza?

4
00:00:06,477 --> 00:00:08,440
Międzynarodowa norma definiuje 

5
00:00:08,540 --> 00:00:11,466
trzy serie formatów – A, B i C.

6
00:00:11,623 --> 00:00:13,793
Interesująca nas seria A 

7
00:00:13,893 --> 00:00:15,529
zaczyna się od A0,

8
00:00:15,629 --> 00:00:17,299
który odpowiada prostokątowi 

9
00:00:17,399 --> 00:00:20,141
o powierzchni 1m kwadratowego

10
00:00:20,241 --> 00:00:22,528
przy czym jego wymiary są tak dobrane,

11
00:00:22,628 --> 00:00:25,113
że stosunek dłuższego boku do krótszego 

12
00:00:25,213 --> 00:00:26,975
to pierwiastek z dwóch.

13
00:00:27,075 --> 00:00:30,464
Format A1 jest połową formatu A0,

14
00:00:30,564 --> 00:00:32,839
czyli krótszy bok arkusza A0

15
00:00:32,939 --> 00:00:35,072
to dłuższy bok arkusza A1.

16
00:00:35,558 --> 00:00:38,093
Ale stosunek dłuższego boku do krótszego 

17
00:00:38,193 --> 00:00:40,841
nadal jest równy pierwiastkowi z dwóch.

18
00:00:40,941 --> 00:00:43,776
Żeby znaleźć wymiary zeszytu A5

19
00:00:43,876 --> 00:00:47,191
trzeba posłużyć się ciągiem geometrycznym.

20
00:00:47,389 --> 00:00:49,664
Opowiem ci o nim w tej lekcji.

21
00:01:00,317 --> 00:01:03,681
Już wiesz, że ciąg geometryczny to taki ciąg,

22
00:01:03,781 --> 00:01:06,420
w którym każdy wyraz oprócz pierwszego 

23
00:01:06,520 --> 00:01:08,559
powstaje poprzez pomnożenie wyrazu 

24
00:01:08,659 --> 00:01:10,812
poprzedniego przez pewną liczbę

25
00:01:10,912 --> 00:01:12,704
zwaną ilorazem ciągu.

26
00:01:12,962 --> 00:01:14,913
Tę zależność możemy zapisać 

27
00:01:15,013 --> 00:01:17,025
takim wzorem rekurencyjnym:

28
00:01:17,125 --> 00:01:20,640
an plus 1 równa się an razy q

29
00:01:20,740 --> 00:01:23,010
dla każdego n należącego do zbioru

30
00:01:23,110 --> 00:01:24,799
 liczb naturalnych dodatnich.

31
00:01:24,899 --> 00:01:28,550
Pamiętaj, że wzór rekurencyjny to taki,

32
00:01:28,650 --> 00:01:31,221
który pozwala na obliczenie kolejnego wyrazu 

33
00:01:31,321 --> 00:01:33,479
korzystając z poprzedniego.

34
00:01:33,579 --> 00:01:35,879
A jak nazywa się wzór, w którym

35
00:01:35,979 --> 00:01:38,592
możemy obliczyć dowolny wyraz ciągu

36
00:01:38,692 --> 00:01:40,864
znając tylko jego pozycję?

37
00:01:41,269 --> 00:01:43,997
Taki wzór nazywamy wzorem ogólnym.

38
00:01:44,097 --> 00:01:46,715
Dla ciągu geometrycznego będzie to 

39
00:01:46,815 --> 00:01:49,564
an równa się a1 razy q 

40
00:01:49,664 --> 00:01:51,968
do potęgi n minus pierwszej.

41
00:01:52,068 --> 00:01:54,895
Pokażę ci, jak wykorzystać podane informacje 

42
00:01:54,995 --> 00:01:57,112
w zadaniach o ciągach.

43
00:01:57,212 --> 00:01:59,040
Pierwsze zadanie brzmi:

44
00:01:59,288 --> 00:02:02,485
Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego,

45
00:02:02,585 --> 00:02:05,406
w którym trzeci wyraz wynosi 27,

46
00:02:05,506 --> 00:02:06,976
a czwarty 9.

47
00:02:07,468 --> 00:02:09,169
Szukamy wzoru ogólnego 

48
00:02:09,269 --> 00:02:11,385
dla tego ciągu geometrycznego.

49
00:02:11,485 --> 00:02:13,833
Dla każdego ciągu geometrycznego 

50
00:02:13,933 --> 00:02:16,733
wzór ogólny to an równa się a1 

51
00:02:16,833 --> 00:02:19,289
razy q do potęgi n minus pierwszej.

52
00:02:19,717 --> 00:02:21,568
Czego zatem potrzebujemy?

53
00:02:21,741 --> 00:02:24,128
Wyrazu pierwszego i ilorazu.

54
00:02:24,266 --> 00:02:26,176
Co wiemy z treści zadania?

55
00:02:26,416 --> 00:02:30,777
Trzeci wyraz to 27, czyli a3 równa się 27, 

56
00:02:30,877 --> 00:02:34,623
a czwarty to 9, czyli a4 równa się 9.

57
00:02:34,888 --> 00:02:37,553
Skoro mamy podane dwa kolejne wyrazy,

58
00:02:37,653 --> 00:02:40,768
możemy obliczyć iloraz tego ciągu.

59
00:02:40,868 --> 00:02:43,072
Spróbuj to zrobić samodzielnie.

60
00:02:46,104 --> 00:02:48,347
Czwarty wyraz powstaje przez 

61
00:02:48,447 --> 00:02:51,617
pomnożenie trzeciego przez iloraz, czyli q.

62
00:02:51,717 --> 00:02:54,628
Dzieląc obie strony równania przez a3 

63
00:02:54,728 --> 00:02:59,200
otrzymujemy q równe a4 podzielić przez a3.

64
00:02:59,300 --> 00:03:01,452
Podstawiając dane z treści zadania 

65
00:03:01,552 --> 00:03:06,147
otrzymujemy 9/27, a po skróceniu 1/3.

66
00:03:06,491 --> 00:03:09,440
Mamy już iloraz ciągu. To jedna trzecia.

67
00:03:09,705 --> 00:03:11,521
Obliczmy wyraz pierwszy,

68
00:03:11,621 --> 00:03:14,048
obliczając kolejno a2 i a1.

69
00:03:14,338 --> 00:03:16,643
Wartość drugiego wyrazu to wartość

70
00:03:16,743 --> 00:03:18,981
 trzeciego podzielona przez iloraz, 

71
00:03:19,081 --> 00:03:20,195
czyli przez q.

72
00:03:20,295 --> 00:03:23,530
Mamy zatem 27 podzielić przez 1/3, 

73
00:03:23,630 --> 00:03:27,661
a to równa się 27 razy 3, czyli 81.

74
00:03:27,964 --> 00:03:29,498
W ten sam sposób możemy 

75
00:03:29,598 --> 00:03:32,482
obliczyć wyraz pierwszy, którego potrzebujemy

76
00:03:32,582 --> 00:03:34,528
do zapisania wzoru ogólnego.

77
00:03:34,850 --> 00:03:38,112
a1 równa się a2 podzielić przez q,

78
00:03:38,212 --> 00:03:41,146
czyli 81 podzielić przez 1/3,

79
00:03:41,246 --> 00:03:46,304
a to się równa 81 razy 3, czyli 243.

80
00:03:46,661 --> 00:03:49,771
Mamy już teraz wszystkie dane, dzięki którym

81
00:03:49,871 --> 00:03:52,191
zapiszemy wzór ogólny tego ciągu.

82
00:03:52,702 --> 00:03:56,505
W miejsce a1 wstawiamy 243,

83
00:03:56,605 --> 00:03:59,104
a w miejsce q 1/3 i mamy

84
00:03:59,255 --> 00:04:03,658
an równa się 243 razy jedna trzecia

85
00:04:03,758 --> 00:04:05,760
do potęgi n minus pierwszej.

86
00:04:06,517 --> 00:04:08,832
Przejdźmy do kolejnego zadania.

87
00:04:13,100 --> 00:04:17,368
Między liczbę 3 i liczbę 768 wstaw 

88
00:04:17,468 --> 00:04:19,605
trzy inne liczby tak, aby wszystkie

89
00:04:19,705 --> 00:04:22,655
tworzyły pięcioelementowy ciąg geometryczny.

90
00:04:22,960 --> 00:04:25,471
Wykonajmy rysunek do tego zadania.

91
00:04:25,571 --> 00:04:27,440
Mamy liczbę 3.

92
00:04:27,540 --> 00:04:30,591
Potem jakieś 3 liczby, których nie znamy.

93
00:04:30,858 --> 00:04:34,175
Na końcu zapisuję 768.

94
00:04:34,552 --> 00:04:37,247
Pierwszy wyraz, czyli 3, to a1.

95
00:04:37,452 --> 00:04:41,087
Liczba 768 to piąty wyraz ciągu.

96
00:04:41,282 --> 00:04:44,370
Aby znaleźć a2, a3 i a4 

97
00:04:44,470 --> 00:04:46,691
potrzebujemy ilorazu ciągu.

98
00:04:46,791 --> 00:04:48,511
Jak go znaleźć?

99
00:04:48,637 --> 00:04:50,303
Masz jakiś pomysł?

100
00:04:53,385 --> 00:04:58,495
Wykorzystajmy informację, że a5 to 768.

101
00:04:58,727 --> 00:05:01,055
Znamy też a1, czyli 3.

102
00:05:01,304 --> 00:05:03,353
Wykorzystajmy wzór ogólny.

103
00:05:03,453 --> 00:05:05,696
an równa się a1 razy q 

104
00:05:05,796 --> 00:05:07,662
do potęgi n minus pierwszej.

105
00:05:07,762 --> 00:05:10,413
Piąty wyraz, czyli a5, to a1 

106
00:05:10,513 --> 00:05:13,255
razy q do potęgi 5 odjąć 1.

107
00:05:13,355 --> 00:05:18,263
Skoro piąty wyraz to 768, a pierwszy to 3,

108
00:05:18,363 --> 00:05:21,279
to wstawiając te dane do tego wzoru mamy

109
00:05:21,379 --> 00:05:26,655
768 równa się 3 razy q do potęgi 4.

110
00:05:27,461 --> 00:05:30,143
Żeby obliczyć iloraz, najpierw dzielimy

111
00:05:30,243 --> 00:05:32,609
obie strony równania przez 3.

112
00:05:32,709 --> 00:05:36,895
Mamy 256 równa się q do potęgi czwartej.

113
00:05:37,467 --> 00:05:40,223
Aby znaleźć q należy zadać sobie pytanie,

114
00:05:40,472 --> 00:05:41,901
jaka liczba podniesiona 

115
00:05:42,001 --> 00:05:45,182
do potęgi czwartej to 256.

116
00:05:45,282 --> 00:05:47,185
Taką liczbą jest 4,

117
00:05:47,285 --> 00:05:50,463
bo 4 do potęgi czwartej to 256.

118
00:05:50,780 --> 00:05:52,705
W tym przypadku podstawa potęgi 

119
00:05:52,805 --> 00:05:55,010
jest taka sama, jak wykładnik.

120
00:05:55,110 --> 00:05:56,717
Pamiętaj jednak, że nie musi być 

121
00:05:56,817 --> 00:05:58,412
tak za każdym razem.

122
00:05:58,512 --> 00:06:00,321
Czy to jedyne rozwiązanie?

123
00:06:00,421 --> 00:06:01,471
No nie.

124
00:06:01,571 --> 00:06:05,567
Minus 4 do potęgi czwartej to też 256.

125
00:06:05,909 --> 00:06:07,986
Pamiętaj, że tego równania 

126
00:06:08,086 --> 00:06:09,659
nie można pierwiastkować.

127
00:06:09,759 --> 00:06:12,445
Pierwiastek da nam tylko liczbę dodatnią.

128
00:06:12,545 --> 00:06:15,295
Stracilibyśmy wtedy rozwiązanie ujemne.

129
00:06:15,550 --> 00:06:17,522
Jakie wyciągamy wnioski z tego, 

130
00:06:17,622 --> 00:06:20,245
że otrzymaliśmy dwa różne ilorazy?

131
00:06:20,345 --> 00:06:23,615
Takie, że możemy otrzymać 2 różne ciągi 

132
00:06:23,715 --> 00:06:26,815
spełniające warunki podane w treści zadania.

133
00:06:27,215 --> 00:06:29,119
Pierwszym jest ciąg, w którym

134
00:06:29,219 --> 00:06:32,191
każdy kolejny wyraz powstaje przez

135
00:06:32,291 --> 00:06:34,495
pomnożenie poprzedniego przez 4.

136
00:06:34,654 --> 00:06:36,287
Zaczynamy od początku.

137
00:06:36,470 --> 00:06:38,335
Pierwszy wyraz to 3.

138
00:06:38,435 --> 00:06:41,407
Drugi to 3 razy 4, czyli 12.

139
00:06:41,507 --> 00:06:44,991
Trzeci to 12 razy 4, czyli 48.

140
00:06:45,224 --> 00:06:49,599
Czwarty to 48 razy 4, czyli 192.

141
00:06:49,783 --> 00:06:54,975
Mnożąc 192 przez 4 otrzymamy 768.

142
00:06:55,261 --> 00:06:56,767
Wszystko się zgadza.

143
00:06:57,024 --> 00:06:58,815
To pierwsza odpowiedź.

144
00:06:58,975 --> 00:07:01,964
Zróbmy to samo dla q równego minus 4.

145
00:07:02,064 --> 00:07:03,679
Otrzymamy nowy ciąg.

146
00:07:03,858 --> 00:07:05,615
Pierwszy wyraz to 3.

147
00:07:05,715 --> 00:07:09,311
Drugi to 3 razy minus 4, czyli minus 12.

148
00:07:09,492 --> 00:07:10,880
Trzeci to minus 12 

149
00:07:10,980 --> 00:07:13,628
razy minus 4, czyli 48.

150
00:07:13,728 --> 00:07:19,210
Czwarty to 48 razy minus 4, czyli minus 192.

151
00:07:19,310 --> 00:07:22,441
Minus 192 razy minus 4 

152
00:07:22,541 --> 00:07:25,919
daje nam wyraz piąty, czyli 768.

153
00:07:26,019 --> 00:07:29,279
Też się zgadza. To druga odpowiedź.

154
00:07:29,494 --> 00:07:32,607
Wykonaliśmy drugie zadanie. Gratulacje!

155
00:07:36,349 --> 00:07:38,751
Teraz przyszedł czas na następne.

156
00:07:39,333 --> 00:07:42,847
Wyznacz iloraz ciągu geometrycznego bn,

157
00:07:42,947 --> 00:07:48,143
w którym b3 to 1 i 1/2, a b5 to 1 i 1/4.

158
00:07:48,243 --> 00:07:50,527
Przypomnijmy sobie wzór ogólny.

159
00:07:50,799 --> 00:07:53,575
bn równa się b1 razy q 

160
00:07:53,675 --> 00:07:55,864
do potęgi n minus pierwszej.

161
00:07:55,964 --> 00:07:58,463
Wstawmy do niego dane z treści zadania.

162
00:07:58,781 --> 00:08:01,916
Skoro piąty wyraz to 1 i 1/4,

163
00:08:02,016 --> 00:08:06,399
to 1 i 1/4 równa się b1 razy q do jakiej potęgi?

164
00:08:06,523 --> 00:08:07,978
Skoro to piąty wyraz,

165
00:08:08,078 --> 00:08:11,263
to do potęgi 5 odjąć 1, czyli 4,

166
00:08:11,834 --> 00:08:14,335
Dla wyrazu piątego mamy równanie

167
00:08:14,435 --> 00:08:19,064
1 i 1/4 równa się b1 razy q do potęgi czwartej.

168
00:08:19,398 --> 00:08:22,527
Zrób to samo dla wyrazu trzeciego.

169
00:08:25,773 --> 00:08:29,508
Skoro b3 to 1 i 1/2, to 1 i 1/2

170
00:08:29,608 --> 00:08:32,511
równa się b1 razy q do potęgi drugiej.

171
00:08:32,764 --> 00:08:34,631
Mamy dwa równania, w których 

172
00:08:34,731 --> 00:08:36,691
występują dwie niewiadome.

173
00:08:36,791 --> 00:08:38,325
Da się zatem je obliczyć 

174
00:08:38,425 --> 00:08:40,823
rozwiązując ten układ równań.

175
00:08:40,923 --> 00:08:43,007
Masz jakiś pomysł, jak to zrobić?

176
00:08:46,254 --> 00:08:47,955
Ja postanowiłem podzielić 

177
00:08:48,055 --> 00:08:49,973
pierwsze równanie przez drugie.

178
00:08:50,073 --> 00:08:52,869
Dzielenie zapiszę za pomocą kreski ułamkowej, 

179
00:08:52,969 --> 00:08:54,823
zamieniając liczby mieszane 

180
00:08:54,923 --> 00:08:56,369
na ułamki niewłaściwe.

181
00:08:56,469 --> 00:09:01,439
1 i 1/2 to 3/2, a 1 i 1/4 to 5/4.

182
00:09:01,853 --> 00:09:03,933
Po prawej stronie w liczniku mamy

183
00:09:04,033 --> 00:09:06,475
b1 razy q do potęgi czwartej, 

184
00:09:06,575 --> 00:09:10,455
a w mianowniku b1 razy q do potęgi drugiej.

185
00:09:10,555 --> 00:09:12,959
Popatrz na prawą stronę równania.

186
00:09:13,194 --> 00:09:16,387
b1 nam się skróci, a z dzielenia potęg 

187
00:09:16,487 --> 00:09:18,582
zostanie q do kwadratu.

188
00:09:18,682 --> 00:09:22,431
Ile to jest 5/4 podzielić przez 3/2?

189
00:09:22,971 --> 00:09:27,295
To jest to samo, co 5/4 pomnożyć przez 2/3.

190
00:09:27,395 --> 00:09:31,135
Z obliczeń po lewej dostajemy 5/6.

191
00:09:31,359 --> 00:09:34,859
Jaka liczba podniesiona do kwadratu to 5/6?

192
00:09:34,959 --> 00:09:37,651
Taką liczbą jest pierwiastek z 5/6 

193
00:09:37,751 --> 00:09:40,493
albo minus pierwiastek z 5/6.

194
00:09:40,593 --> 00:09:42,423
To wszystkie zadania w tej lekcji.

195
00:09:42,523 --> 00:09:43,935
Dobra robota!

196
00:09:48,512 --> 00:09:51,517
Znając wartości dwóch dowolnych wyrazów 

197
00:09:51,617 --> 00:09:54,618
ciągu geometrycznego i miejsca, na których 

198
00:09:54,718 --> 00:09:57,031
stoją te wyrazy, możemy wyznaczyć 

199
00:09:57,131 --> 00:09:59,919
iloraz tego ciągu i jego pierwszy wyraz.

200
00:10:00,021 --> 00:10:02,573
Aby to zrobić, ułóż układ równań 

201
00:10:02,673 --> 00:10:05,491
dwukrotnie wykorzystując wzór ogólny 

202
00:10:05,591 --> 00:10:08,882
i rozwiąż go, na przykład dzieląc równanie 

203
00:10:08,982 --> 00:10:12,115
przez siebie, lub zastanów się, ile razy 

204
00:10:12,215 --> 00:10:15,191
wcześniejszy z wyrazów należy pomnożyć 

205
00:10:15,291 --> 00:10:18,424
przez iloraz, aby otrzymać wyraz kolejny,

206
00:10:18,524 --> 00:10:21,263
następnie ułóż odpowiednie równanie 

207
00:10:21,363 --> 00:10:22,565
i rozwiąż je.

208
00:10:22,688 --> 00:10:24,582
Zadania tego typu bardzo często 

209
00:10:24,682 --> 00:10:26,099
mają dwa rozwiązania.

210
00:10:26,199 --> 00:10:28,199
Pamiętaj o tym.

211
00:10:31,384 --> 00:10:33,931
Zapraszam cię do obejrzenia kolejnej lekcji

212
00:10:34,031 --> 00:10:35,984
z tego działu oraz do odwiedzenia 

213
00:10:36,084 --> 00:10:37,664
naszej strony na Facebooku.