1 00:00:00,126 --> 00:00:02,007 Dziennikarze sportowi są znani 2 00:00:02,027 --> 00:00:03,508 z kwiecistego języka. 3 00:00:03,584 --> 00:00:06,236 Czasami zapożyczają w swoich artykułach 4 00:00:06,236 --> 00:00:08,126 pewne zwroty z matematyki. 5 00:00:08,192 --> 00:00:11,164 Na przykład: radość biegaczy po każdym 6 00:00:11,184 --> 00:00:13,065 przebiegniętym kilometrze rosła 7 00:00:13,065 --> 00:00:15,098 w postępie geometrycznym. 8 00:00:15,616 --> 00:00:18,156 Mamy nadzieję, że z naszymi lekcjami 9 00:00:18,176 --> 00:00:20,528 twoja wiedza o ciągach też wzrośnie 10 00:00:20,528 --> 00:00:22,802 w postępie geometrycznym. 11 00:00:33,792 --> 00:00:36,405 W tej lekcji rozwiążemy cztery zadania 12 00:00:36,405 --> 00:00:39,278 egzaminacyjne o ciągu geometrycznym. 13 00:00:39,936 --> 00:00:42,659 W rosnącym ciągu geometrycznym an 14 00:00:42,689 --> 00:00:45,214 określonym dla n większego bądź równego 15 00:00:45,244 --> 00:00:48,046 jednemu, spełniony jest warunek 16 00:00:48,276 --> 00:00:50,462 a4 równa się 3a1. 17 00:00:51,200 --> 00:00:53,478 Iloraz tego ciągu jest równy??? 18 00:00:53,504 --> 00:00:56,234 Mamy wskazać jedną z czterech odpowiedzi. 19 00:00:56,320 --> 00:00:57,856 Najlepiej poprawną. 20 00:00:58,368 --> 00:01:01,328 Spróbuj samodzielnie rozwiązać to zadanie. 21 00:01:04,768 --> 00:01:07,744 Wiemy, że ten ciąg jest geometryczny. 22 00:01:08,096 --> 00:01:09,846 Z treści zadania wiemy też 23 00:01:09,906 --> 00:01:12,212 że 3a1 równa się a4. 24 00:01:12,704 --> 00:01:15,264 Naszym zadaniem jest obliczenie q. 25 00:01:15,264 --> 00:01:18,117 Jak inaczej możemy zapisać zależność 26 00:01:18,117 --> 00:01:20,621 między czwartym a pierwszym wyrazem 27 00:01:20,621 --> 00:01:23,184 wykorzystując przy tym iloraz q? 28 00:01:23,456 --> 00:01:25,824 Czwarty wyraz ciągu geometrycznego 29 00:01:25,824 --> 00:01:28,211 otrzymamy mnożąc wyraz pierwszy 30 00:01:28,281 --> 00:01:31,123 przez iloraz, czyli q, podniesiony 31 00:01:31,173 --> 00:01:32,636 do potęgi trzeciej. 32 00:01:33,184 --> 00:01:36,701 Wstawiając w miejsce a4, iloczyn a1 razy q 33 00:01:36,711 --> 00:01:39,542 do potęgi trzeciej, otrzymujemy 3a1 34 00:01:39,552 --> 00:01:42,650 równa się a1 razy q do potęgi trzeciej. 35 00:01:43,424 --> 00:01:46,237 Dzieląc obie strony równania przez a1 36 00:01:46,337 --> 00:01:48,404 otrzymujemy, że 3 równa się 37 00:01:48,504 --> 00:01:50,079 q do potęgi trzeciej. 38 00:01:50,848 --> 00:01:53,200 Jaką liczbę należy podnieść do potęgi 3 39 00:01:53,200 --> 00:01:55,426 aby otrzymać 3? 40 00:01:56,224 --> 00:01:58,528 Pierwiastek trzeciego stopnia z trzech. 41 00:01:59,040 --> 00:02:00,326 Tyle wynosi iloraz 42 00:02:00,326 --> 00:02:02,112 tego ciągu geometrycznego. 43 00:02:02,368 --> 00:02:04,672 Zatem poprawna odpowiedź to C. 44 00:02:07,744 --> 00:02:09,710 Przejdźmy do drugiego zadania. 45 00:02:10,086 --> 00:02:15,361 Ciąg x, 2x dodać 3 oraz 4x dodać 3 46 00:02:15,381 --> 00:02:16,824 jest geometryczny. 47 00:02:17,472 --> 00:02:20,032 Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy??? 48 00:02:20,288 --> 00:02:22,080 Tu też mamy 4 odpowiedzi. 49 00:02:22,848 --> 00:02:24,384 To zadanie możemy rozwiązać 50 00:02:24,384 --> 00:02:25,578 na dwa sposoby. 51 00:02:25,920 --> 00:02:27,535 W niektórych zadaniach możemy 52 00:02:27,535 --> 00:02:29,630 sprawdzać po kolei, która odpowiedź 53 00:02:29,630 --> 00:02:30,878 jest poprawna. 54 00:02:31,120 --> 00:02:33,088 Zacznijmy od odpowiedzi A. 55 00:02:33,344 --> 00:02:36,238 Wstawmy liczbę -4 w miejsce x 56 00:02:36,258 --> 00:02:38,291 w wyrażeniach, które są kolejnymi 57 00:02:38,291 --> 00:02:39,488 wyrazami ciągu. 58 00:02:40,000 --> 00:02:44,608 Otrzymamy: -4, 2 razy -4 dodać 3 59 00:02:44,864 --> 00:02:47,680 oraz 4 razy -4 dodać 3. 60 00:02:47,936 --> 00:02:50,026 Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy 61 00:02:50,026 --> 00:02:53,186 -4, -5 i -13. 62 00:02:53,568 --> 00:02:55,360 Czy to jest ciąg geometryczny? 63 00:02:55,616 --> 00:02:56,378 Nie. 64 00:02:56,640 --> 00:02:58,944 Odpowiedź A jest zatem błędna. 65 00:02:59,456 --> 00:03:02,255 Spróbuj sprawdzić, która z odpowiedzi 66 00:03:02,305 --> 00:03:04,750 b, c czy d jest poprawna. 67 00:03:08,160 --> 00:03:10,967 Gdy w miejsce x wstawimy odpowiedź b 68 00:03:10,987 --> 00:03:13,776 czyli 1, otrzymamy następujący ciąg: 69 00:03:14,048 --> 00:03:15,840 1, 5 i 7. 70 00:03:16,096 --> 00:03:18,384 To też nie jest ciąg geometryczny. 71 00:03:18,912 --> 00:03:19,950 Sprawdzamy dalej. 72 00:03:20,448 --> 00:03:23,008 Po wstawieniu w miejsce x odpowiedzi C 73 00:03:23,264 --> 00:03:25,568 otrzymamy: 0, 3 i 3. 74 00:03:25,824 --> 00:03:27,872 To też nie jest ciąg geometryczny. 75 00:03:28,384 --> 00:03:29,920 Została odpowiedź D. 76 00:03:30,432 --> 00:03:33,043 Po zastąpieniu x liczbą -1 77 00:03:33,103 --> 00:03:35,828 mamy: -1, 1 i -1. 78 00:03:36,576 --> 00:03:38,203 To jest ciąg geometryczny 79 00:03:38,203 --> 00:03:40,786 którego ilorazem jest liczba -1. 80 00:03:40,928 --> 00:03:42,984 To jest poprawna odpowiedź. 81 00:03:45,792 --> 00:03:47,725 Pokażę Ci teraz drugą metodę 82 00:03:47,725 --> 00:03:50,082 która polega na wykorzystaniu własności 83 00:03:50,112 --> 00:03:52,935 że kwadrat środkowego wyrazu jest taki sam 84 00:03:52,965 --> 00:03:55,102 jak iloczyn wyrazów skrajnych. 85 00:03:55,520 --> 00:03:59,129 To znaczy, że w nawiasie 2x dodać 3 86 00:03:59,159 --> 00:04:01,962 zamykamy nawias, do kwadratu, równa się 87 00:04:01,992 --> 00:04:05,061 x razy w nawiasie 4x dodać 3 88 00:04:05,081 --> 00:04:06,572 zamykamy nawias. 89 00:04:06,784 --> 00:04:08,320 Uprośćmy obie strony. 90 00:04:08,832 --> 00:04:11,844 W nawiasie, 2x dodać 3, zamykamy nawias 91 00:04:11,844 --> 00:04:14,770 do kwadratu, to 4x do kwadratu 92 00:04:14,870 --> 00:04:18,276 dodać 12x dodać 9, a prawa strona to 93 00:04:18,307 --> 00:04:20,563 4x do kwadratu dodać 3x. 94 00:04:21,631 --> 00:04:24,049 Uporządkujmy to równanie przerzucając 95 00:04:24,049 --> 00:04:26,370 wszystkie elementy występujące po prawej 96 00:04:26,370 --> 00:04:28,280 stronie równania, na lewą 97 00:04:28,340 --> 00:04:30,197 ze zmienionym znakiem. 98 00:04:30,335 --> 00:04:33,088 Otrzymujemy 4x do kwadratu dodać 99 00:04:33,088 --> 00:04:38,653 12x dodać 9 odjąć 4x do kwadratu odjąć 3x. 100 00:04:39,039 --> 00:04:41,087 Zredukujmy wyrazy podobne. 101 00:04:41,343 --> 00:04:45,157 4x do kwadratu odjąć 4x do kwadratu to 0. 102 00:04:45,695 --> 00:04:48,767 12x odjąć 3x to 9x. 103 00:04:49,023 --> 00:04:50,559 Do tego dodajemy 9. 104 00:04:51,071 --> 00:04:52,607 Ta suma równa się zeru. 105 00:04:53,119 --> 00:04:54,911 Teraz sam oblicz wynik. 106 00:04:58,495 --> 00:05:01,567 Co należy dodać do 9, aby otrzymać 0? 107 00:05:01,823 --> 00:05:02,847 -9 108 00:05:03,359 --> 00:05:06,104 Jaką liczbę należy wstawić w miejsce x 109 00:05:06,164 --> 00:05:08,785 aby 9x wynosiło -9? 110 00:05:08,991 --> 00:05:10,015 -1 111 00:05:10,783 --> 00:05:13,599 Otrzymujemy zatem, że x to -1. 112 00:05:14,367 --> 00:05:17,257 Pamiętaj, że x to nic innego, jak pierwszy 113 00:05:17,257 --> 00:05:19,231 wyraz ciągu podanego w zadaniu. 114 00:05:19,743 --> 00:05:22,303 Poprawną odpowiedzią jest zatem D. 115 00:05:22,815 --> 00:05:25,375 Pokazaliśmy to zresztą pierwszą metodą. 116 00:05:25,631 --> 00:05:27,167 Przejdźmy do trzeciego zadania. 117 00:05:30,513 --> 00:05:34,075 Dany jest ciąg geometryczny an określony 118 00:05:34,111 --> 00:05:36,563 dla n większego bądź równego jednemu 119 00:05:36,713 --> 00:05:39,199 w którym a1 to pierwiastek z dwóch 120 00:05:39,455 --> 00:05:41,759 a2 to 2 pierwiastki z dwóch 121 00:05:42,015 --> 00:05:44,831 a a3 to 4 pierwiastki z dwóch. 122 00:05:45,087 --> 00:05:47,647 Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać... 123 00:05:48,415 --> 00:05:49,927 Naszym zadaniem jest wskazanie 124 00:05:49,927 --> 00:05:51,973 jednej poprawnej odpowiedzi. 125 00:05:52,511 --> 00:05:55,343 Wzór ogólny ciągu geometrycznego to 126 00:05:55,343 --> 00:05:58,143 a1 razy q do potęgi n minus 1. 127 00:05:58,911 --> 00:06:00,509 Pierwszy wyraz znamy. 128 00:06:00,509 --> 00:06:02,207 To pierwiastek z dwóch. 129 00:06:02,495 --> 00:06:04,799 Do wzoru ogólnego brakuje nam q. 130 00:06:05,567 --> 00:06:07,516 Aby obliczyć iloraz tego ciągu 131 00:06:07,536 --> 00:06:09,566 geometrycznego, wystarczy podzielić 132 00:06:09,566 --> 00:06:11,455 wyraz kolejny przez poprzedni 133 00:06:11,711 --> 00:06:14,015 czyli na przykład a2 przez a1. 134 00:06:14,783 --> 00:06:16,831 Otrzymamy 2 pierwiastki z dwóch 135 00:06:17,087 --> 00:06:18,927 podzielić przez pierwiastek z dwóch 136 00:06:18,937 --> 00:06:19,717 czyli 2. 137 00:06:20,415 --> 00:06:23,733 Wzór ogólny to pierwiastek z dwóch 138 00:06:23,733 --> 00:06:25,791 razy 2 do potęgi n minus 1. 139 00:06:26,559 --> 00:06:28,957 Wśród podanych odpowiedzi nie ma takiej. 140 00:06:29,119 --> 00:06:30,143 Co zrobić? 141 00:06:30,655 --> 00:06:32,425 Należy przekształcić ten wzór 142 00:06:32,425 --> 00:06:33,847 do innej postaci. 143 00:06:34,239 --> 00:06:37,392 Pierwiastek z dwóch to 2 do potęgi 1/2 144 00:06:37,392 --> 00:06:40,383 i to mnożymy przez 2 do potęgi n minus 1. 145 00:06:41,407 --> 00:06:44,007 Mnożąc potęgi o takich samych podstawach 146 00:06:44,107 --> 00:06:47,038 przepisujemy podstawę, a wykładniki dodajemy. 147 00:06:47,551 --> 00:06:50,988 Otrzymujemy 2 do potęgi 1/2 dodać n 148 00:06:50,988 --> 00:06:54,719 odjąć 1, czyli 2 do potęgi n minus 1/2. 149 00:06:55,487 --> 00:06:57,535 Rozdzielmy to na iloczyn dwóch potęg. 150 00:06:58,559 --> 00:07:00,779 Otrzymujemy 2 do potęgi n-tej 151 00:07:00,779 --> 00:07:03,127 razy 2 do potęgi -1/2. 152 00:07:03,679 --> 00:07:06,341 2 do potęgi -1/2 to inaczej 153 00:07:06,357 --> 00:07:08,543 1 przez pierwiastek z dwóch. 154 00:07:08,543 --> 00:07:10,704 Więc otrzymujemy 2 do potęgi n-tej 155 00:07:10,734 --> 00:07:12,287 przez pierwiastek z dwóch. 156 00:07:12,639 --> 00:07:15,199 Taki wzór znajduje się w odpowiedzi B. 157 00:07:15,711 --> 00:07:17,503 To jest poprawna odpowiedź. 158 00:07:17,759 --> 00:07:19,295 Wykonaliśmy nasze zadanie. 159 00:07:20,063 --> 00:07:21,599 Przejdźmy do ostatniego. 160 00:07:24,671 --> 00:07:27,418 Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny: 161 00:07:27,608 --> 00:07:31,205 24, 6 oraz a odjąć 1. 162 00:07:31,583 --> 00:07:32,607 Stąd wynika, że: 163 00:07:32,863 --> 00:07:34,655 a równa się 5/2 164 00:07:34,911 --> 00:07:36,447 a równa się 2/5 165 00:07:36,703 --> 00:07:38,239 a równa się 3/2 166 00:07:38,495 --> 00:07:40,287 albo a równa się 2/3. 167 00:07:41,055 --> 00:07:43,615 Spróbuj samodzielnie rozwiązać to zadanie. 168 00:07:47,199 --> 00:07:49,759 Znamy dwa pierwsze wyrazy tego ciągu. 169 00:07:50,015 --> 00:07:52,575 Potrafimy zatem obliczyć jego iloraz. 170 00:07:52,831 --> 00:07:56,671 Wynosi 6 podzielić przez 24, czyli 1/4. 171 00:07:57,183 --> 00:07:59,716 Trzeci wyraz otrzymamy mnożąc wartość 172 00:07:59,716 --> 00:08:01,701 wyrazu drugiego przez iloraz. 173 00:08:02,303 --> 00:08:06,399 Mamy więc 6 razy 1/4, a to wynosi 3/2. 174 00:08:07,167 --> 00:08:08,691 Trzeci wyraz znamy jednak 175 00:08:08,691 --> 00:08:09,727 z treści zadania. 176 00:08:10,239 --> 00:08:11,775 To a odjąć 1. 177 00:08:12,543 --> 00:08:13,823 Mamy znaleźć a. 178 00:08:14,335 --> 00:08:16,383 Zrobimy to, rozwiązując takie równanie. 179 00:08:16,895 --> 00:08:19,711 3/2 i to równa się a odjąć 1. 180 00:08:20,223 --> 00:08:23,096 Przerzućmy -1 na drugą stronę równania 181 00:08:23,096 --> 00:08:24,645 ze zmienionym znakiem. 182 00:08:25,087 --> 00:08:27,647 3/2 dodać 1 to 5/2. 183 00:08:28,159 --> 00:08:29,439 Znaleźliśmy a. 184 00:08:29,695 --> 00:08:31,599 Poprawną odpowiedzią jest więc 185 00:08:31,599 --> 00:08:32,847 odpowiedź A. 186 00:08:33,279 --> 00:08:35,071 Wykonaliśmy wszystkie zadania. 187 00:08:35,327 --> 00:08:36,369 Szacunek. 188 00:08:40,447 --> 00:08:42,641 W dowolnym ciągu geometrycznym 189 00:08:42,641 --> 00:08:45,107 iloraz kolejnych wyrazów jest stały 190 00:08:45,107 --> 00:08:48,534 co zapisujemy: an plus 1 podzielić przez an 191 00:08:48,684 --> 00:08:49,873 równa się q. 192 00:08:50,175 --> 00:08:52,343 To prosty sposób na sprawdzenie 193 00:08:52,443 --> 00:08:54,611 czy dany ciąg jest geometryczny. 194 00:08:54,783 --> 00:08:56,814 W zadaniach, w których masz wybrać 195 00:08:56,814 --> 00:08:59,190 jedną z podanych odpowiedzi, najpierw 196 00:08:59,280 --> 00:09:01,953 ustal, czy wykorzystując te odpowiedzi 197 00:09:02,043 --> 00:09:04,352 możesz policzyć kolejne wyrazy ciągu 198 00:09:04,352 --> 00:09:06,751 a następnie sprawdź, czy otrzymany 199 00:09:06,771 --> 00:09:09,569 z obliczeń ciąg jest geometryczny. 200 00:09:12,703 --> 00:09:15,199 Ten dział dotyczy ciągu geometrycznego. 201 00:09:15,199 --> 00:09:16,828 Jeśli lubisz nasze lekcje 202 00:09:16,828 --> 00:09:19,235 polub naszą stronę na Facebooku.