1
00:00:00,256 --> 00:00:02,859
Trygonometria powstała i rozwinęła się

2
00:00:02,959 --> 00:00:04,863
głównie na potrzeby żeglugi.

3
00:00:05,120 --> 00:00:07,703
Dzięki niej można było dokładniej określać

4
00:00:07,803 --> 00:00:10,186
położenie statków na morzu w oparciu 

5
00:00:10,286 --> 00:00:13,129
o położenie Słońca i gwiazd na nieboskłonie.

6
00:00:13,312 --> 00:00:16,026
Na rozwój trygonometrii niebagatelny wpływ

7
00:00:16,126 --> 00:00:19,019
miały badania astronomiczne.

8
00:00:30,976 --> 00:00:33,410
Dzięki trygonometrii będziemy w stanie

9
00:00:33,510 --> 00:00:36,352
określać miary kątów w trójkącie prostokątnym

10
00:00:36,452 --> 00:00:37,921
na podstawie zależności 

11
00:00:38,021 --> 00:00:39,932
między długościami jego boków.

12
00:00:40,192 --> 00:00:43,264
Zaraz wprowadzę cię w tajniki trygonometrii.

13
00:00:48,384 --> 00:00:51,456
Spójrz na takie dwa trójkąty prostokątne.

14
00:00:51,968 --> 00:00:54,449
Boki tego trójkąta są dwa razy dłuższe

15
00:00:54,549 --> 00:00:56,831
niż odpowiednie boki tego trójkąta.

16
00:00:57,344 --> 00:01:00,081
Te dwa trójkąty są trójkątami podobnymi

17
00:01:00,181 --> 00:01:01,560
z cechy bok-bok-bok.

18
00:01:02,464 --> 00:01:04,195
Kąt znajdujący się naprzeciw 

19
00:01:04,295 --> 00:01:06,714
krótszej przyprostokątnej w tym trójkącie

20
00:01:06,814 --> 00:01:08,607
oznaczyłem grecką literą alfa.

21
00:01:09,120 --> 00:01:10,891
Kąt znajdujący się naprzeciw 

22
00:01:10,991 --> 00:01:13,466
dłuższej przyprostokątnej w tym trójkącie

23
00:01:13,566 --> 00:01:15,400
oznaczyłem grecką literą beta.

24
00:01:16,032 --> 00:01:17,955
Skoro te dwa trójkąty są podobne

25
00:01:18,055 --> 00:01:20,237
to odpowiednie kąty w tych trójkątach

26
00:01:20,337 --> 00:01:21,150
są identyczne.

27
00:01:21,920 --> 00:01:24,224
Ustawmy się teraz w tym wierzchołku.

28
00:01:24,736 --> 00:01:27,036
Przyprostokątna, na którą patrzymy

29
00:01:27,136 --> 00:01:29,040
czyli ta, która znajduje się 

30
00:01:29,140 --> 00:01:31,647
naprzeciw kąta alfa, ma długość trzy.

31
00:01:31,904 --> 00:01:33,318
Podzielmy tę długość 

32
00:01:33,418 --> 00:01:35,739
przez długość przeciwprostokątnej.

33
00:01:35,839 --> 00:01:38,363
Wynik zapiszmy w postaci ułamka.

34
00:01:38,816 --> 00:01:40,771
Otrzymujemy 3/5.

35
00:01:40,936 --> 00:01:43,542
Teraz ustawmy się w tym wierzchołku.

36
00:01:43,680 --> 00:01:46,495
On również znajduje się przy kącie alfa.

37
00:01:46,752 --> 00:01:49,675
Bok, na który patrzymy, czyli ten, który jest

38
00:01:49,775 --> 00:01:52,235
naprzeciw kąta alfa, ma długość sześć.

39
00:01:52,384 --> 00:01:54,659
Podzielmy długość tej przyprostokątnej 

40
00:01:54,759 --> 00:01:56,735
przez długość przeciwprostokątnej.

41
00:01:57,248 --> 00:01:59,808
Wynik również zapiszemy w postaci ułamka.

42
00:02:00,064 --> 00:02:02,133
Otrzymujemy sześć dziesiątych.

43
00:02:02,880 --> 00:02:04,590
Te dwa ilorazy oznaczają 

44
00:02:04,690 --> 00:02:07,246
stosunki długości odpowiednich boków.

45
00:02:07,488 --> 00:02:12,096
Zauważ, że ułamek 3/5 to jest to samo, co 6/10.

46
00:02:13,376 --> 00:02:16,385
Ten zapis czytamy "sinus alfa".

47
00:02:16,960 --> 00:02:18,752
To tylko groźnie brzmi.

48
00:02:19,107 --> 00:02:21,020
Czym jest sinus alfa?

49
00:02:21,312 --> 00:02:23,501
Gdy mamy do czynienia z trójkątem 

50
00:02:23,601 --> 00:02:25,872
prostokątnym i kąt alfa jest jednym 

51
00:02:25,972 --> 00:02:27,832
z kątów ostrych tego trójkąta

52
00:02:27,968 --> 00:02:30,624
to sinus alfa jest to iloraz długości

53
00:02:30,724 --> 00:02:32,336
odpowiednich boków.

54
00:02:32,832 --> 00:02:35,239
Wyobrażamy sobie, że stajemy w narożniku

55
00:02:35,339 --> 00:02:37,439
który znajduje się przy kącie alfa.

56
00:02:37,952 --> 00:02:40,583
Długość przyprostokątnej znajdującej się

57
00:02:40,683 --> 00:02:42,593
naprzeciw kąta alfa, dzielimy 

58
00:02:42,693 --> 00:02:44,921
przez długość przeciwprostokątnej.

59
00:02:45,632 --> 00:02:48,997
W przypadku tego trójkąta otrzymujemy 3/5.

60
00:02:49,261 --> 00:02:53,154
I już. To jest sinus kąta alfa w tym trójkącie.

61
00:02:54,080 --> 00:02:55,872
Powiem Ci teraz pewną ciekawostkę.

62
00:02:56,896 --> 00:02:58,438
Gdy znamy stosunek długości 

63
00:02:58,538 --> 00:03:00,884
odpowiednich boków w trójkącie prostokątnym

64
00:03:00,984 --> 00:03:03,038
to możemy skorzystać z pewnej tablicy

65
00:03:03,296 --> 00:03:05,757
aby odczytać miarę tego kąta.

66
00:03:06,112 --> 00:03:07,987
O tym, jak to się robi, opowiem Ci

67
00:03:08,087 --> 00:03:10,358
w jednej z kolejnych lekcji w tym dziale.

68
00:03:12,000 --> 00:03:14,202
Pokażę ci teraz coś nowego.

69
00:03:14,304 --> 00:03:15,723
Dalej wyobrażamy sobie

70
00:03:15,823 --> 00:03:17,375
że stoimy w tym miejscu.

71
00:03:17,632 --> 00:03:19,936
Zajmijmy się najpierw tym trójkątem.

72
00:03:20,448 --> 00:03:23,195
Podzielmy teraz długość przyprostokątnej

73
00:03:23,295 --> 00:03:25,432
znajdującej się przy kącie alfa 

74
00:03:25,532 --> 00:03:27,859
przez długość przeciwprostokątnej.

75
00:03:28,384 --> 00:03:30,395
Dzielenie zapiszemy w postaci 

76
00:03:30,495 --> 00:03:32,643
ułamka zwykłego i otrzymamy 4/5.

77
00:03:32,992 --> 00:03:35,284
Zróbmy to samo w tym trójkącie.

78
00:03:35,552 --> 00:03:36,832
Stoimy w tym miejscu.

79
00:03:37,088 --> 00:03:39,086
Dzielimy długość przyprostokątnej

80
00:03:39,186 --> 00:03:41,071
znajdującej się przy kącie alfa 

81
00:03:41,171 --> 00:03:43,828
przez długość przeciwprostokątnej.

82
00:03:44,512 --> 00:03:46,506
Dzielenie zapisujemy w postaci 

83
00:03:46,606 --> 00:03:48,863
ułamka zwykłego i otrzymujemy 8/10.

84
00:03:49,888 --> 00:03:52,670
Ten zapis czytamy "kosinus alfa".

85
00:03:52,960 --> 00:03:55,860
Możemy to również zapisać jako "cosinus alfa"

86
00:03:55,960 --> 00:03:58,335
ale ten zapis czytamy "kosinus alfa".

87
00:03:59,104 --> 00:04:01,649
Gdy zechcemy obliczyć cosinus kąta alfa

88
00:04:01,749 --> 00:04:04,826
to ustawiamy się w wierzchołku przy kącie alfa.

89
00:04:04,992 --> 00:04:07,844
Następnie dzielimy długość przyprostokątnej

90
00:04:07,944 --> 00:04:10,003
znajdującej się przy kącie alfa 

91
00:04:10,103 --> 00:04:12,347
przez długość przeciwprostokątnej.

92
00:04:12,498 --> 00:04:15,385
W ten sposób otrzymamy cosinus kąta alfa.

93
00:04:16,094 --> 00:04:19,263
Pokażę ci teraz coś jeszcze. Tym razem podzielę

94
00:04:19,363 --> 00:04:22,071
długość przyprostokątnej znajdującej się 

95
00:04:22,171 --> 00:04:24,399
naprzeciw kąta alfa przez długość 

96
00:04:24,499 --> 00:04:27,805
przyprostokątnej znajdującej się przy kącie alfa.

97
00:04:28,287 --> 00:04:30,770
Gdy takie dzielenie zapiszę w postaci 

98
00:04:30,870 --> 00:04:32,819
ułamka zwykłego, otrzymam 3/4.

99
00:04:33,407 --> 00:04:35,711
Przenieśmy się teraz do tego trójkąta.

100
00:04:35,967 --> 00:04:37,794
Tutaj robimy dokładnie to samo 

101
00:04:37,894 --> 00:04:40,217
czyli dzielimy długość przyprostokątnej 

102
00:04:40,317 --> 00:04:42,387
znajdującej się naprzeciw kąta alfa

103
00:04:42,623 --> 00:04:44,588
przez długość przyprostokątnej 

104
00:04:44,688 --> 00:04:46,718
znajdującej się przy kącie alfa.

105
00:04:46,975 --> 00:04:49,511
Gdy takie dzielenie zapiszę w postaci

106
00:04:49,611 --> 00:04:51,657
ułamka zwykłego, otrzymam 6/8.

107
00:04:51,839 --> 00:04:54,529
Ten zapis czytamy "tangens alfa".

108
00:04:54,911 --> 00:04:56,797
Gdy zechcemy wyznaczyć tangens

109
00:04:56,897 --> 00:04:59,508
kąta ostrego alfa w trójkącie prostokątnym

110
00:04:59,608 --> 00:05:02,219
ustawiamy się w wierzchołku przy tym kącie

111
00:05:02,319 --> 00:05:05,059
następnie dzielimy długość przyprostokątnej 

112
00:05:05,159 --> 00:05:07,383
znajdującej się naprzeciw kąta alfa 

113
00:05:07,483 --> 00:05:09,384
przez długość przyprostokątnej 

114
00:05:09,484 --> 00:05:11,564
znajdując ej się przy kącie alfa.

115
00:05:11,807 --> 00:05:15,379
W tym przypadku tangens kąta alfa to 6/8.

116
00:05:17,951 --> 00:05:19,951
Zobaczmy teraz, co się stanie

117
00:05:20,051 --> 00:05:22,405
gdy kąt alfa zastąpimy kątem beta.

118
00:05:22,815 --> 00:05:24,449
Pokażę ci, jak wyznaczyć 

119
00:05:24,549 --> 00:05:26,654
sinus kąta beta w tym trójkącie.

120
00:05:27,167 --> 00:05:30,192
Wyobrażam sobie, że stoję w tym wierzchołku.

121
00:05:30,751 --> 00:05:33,282
Aby wyznaczyć sinus kąta beta, wystarczy

122
00:05:33,382 --> 00:05:35,669
że podzielę długość przyprostokątnej 

123
00:05:35,769 --> 00:05:37,927
znajdującej się naprzeciw kąta beta

124
00:05:38,027 --> 00:05:40,170
przez długość przeciwprostokątnej.

125
00:05:40,991 --> 00:05:42,783
Otrzymam 4/5.

126
00:05:43,039 --> 00:05:45,104
Tyle wynosi sinus kąta beta.

127
00:05:45,855 --> 00:05:48,599
Zatrzymaj teraz lekcję i spróbuj samodzielnie

128
00:05:48,699 --> 00:05:50,977
zapisać sinus kąta beta, który znajduje się

129
00:05:51,077 --> 00:05:52,312
w tym trójkącie.

130
00:05:56,351 --> 00:05:59,224
Wyobrażam sobie, że stoję w tym wierzchołku.

131
00:05:59,423 --> 00:06:01,494
Dzielę długość przyprostokątnej 

132
00:06:01,594 --> 00:06:03,814
znajdującej się naprzeciw kąta beta

133
00:06:03,914 --> 00:06:06,118
przez długość przeciwprostokątnej.

134
00:06:06,680 --> 00:06:10,062
Sinus kąta beta w tym trójkącie to 8/10.

135
00:06:10,227 --> 00:06:13,955
Zwróć uwagę, że te dwa ułamki są równoważne.

136
00:06:14,527 --> 00:06:17,508
Aby odnaleźć cosinus kąta beta w tym trójkącie

137
00:06:17,608 --> 00:06:20,408
wystarczy podzielić długość przyprostokątnej

138
00:06:20,508 --> 00:06:22,451
znajdującej się przy kącie beta

139
00:06:22,551 --> 00:06:24,741
przez długość przeciwprostokątnej.

140
00:06:25,279 --> 00:06:27,085
Otrzymamy 3/5.

141
00:06:28,224 --> 00:06:30,413
Teraz spróbuj samodzielnie znaleźć

142
00:06:30,513 --> 00:06:32,702
cosinus kąta beta w tym trójkącie.

143
00:06:36,799 --> 00:06:38,649
Tym razem jesteśmy tutaj.

144
00:06:39,103 --> 00:06:40,968
Aby znaleźć cosinus tego kąta

145
00:06:41,068 --> 00:06:43,874
wystarczy podzielić długość przyprostokątnej

146
00:06:43,974 --> 00:06:45,905
znajdującej się przy tym kącie

147
00:06:46,007 --> 00:06:48,299
przez długość przeciwprostokątnej.

148
00:06:49,343 --> 00:06:53,511
Otrzymamy 6 podzielić przez 10, czyli 6/10.

149
00:06:53,695 --> 00:06:55,412
Teraz pokażę ci, jak znaleźć 

150
00:06:55,512 --> 00:06:57,534
tangens kąta beta w tym trójkącie.

151
00:06:58,303 --> 00:07:00,835
Patrzymy z wierzchołka przy kącie beta.

152
00:07:01,631 --> 00:07:03,427
Aby znaleźć tangens kąta beta 

153
00:07:03,527 --> 00:07:06,135
wystarczy podzielić długość przyprostokątnej

154
00:07:06,235 --> 00:07:08,339
znajdującej się naprzeciw kąta beta

155
00:07:08,440 --> 00:07:10,847
przez długość drugiej przyprostokątnej.

156
00:07:11,615 --> 00:07:13,389
Otrzymamy 4/3.

157
00:07:13,919 --> 00:07:16,135
Spróbuj teraz samodzielnie znaleźć 

158
00:07:16,235 --> 00:07:18,386
tangens kąta beta w tym trójkącie.

159
00:07:22,791 --> 00:07:24,059
Jesteśmy tutaj.

160
00:07:24,159 --> 00:07:26,117
Dzielimy długość przyprostokątnej

161
00:07:26,217 --> 00:07:28,004
która jest naprzeciw kąta beta 

162
00:07:28,104 --> 00:07:30,428
przez długość drugiej przyprostokątnej.

163
00:07:31,071 --> 00:07:32,853
Otrzymujemy 8/6.

164
00:07:34,143 --> 00:07:36,791
Teraz przyszła pora, aby podsumować sobie

165
00:07:36,891 --> 00:07:39,884
zdobytą wiedzę o sinusie, cosinusie i tangensie

166
00:07:39,984 --> 00:07:42,435
kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

167
00:07:46,431 --> 00:07:48,904
Widzisz trójkąt prostokątny.

168
00:07:49,503 --> 00:07:51,619
Długość boku, który znajduje się 

169
00:07:51,719 --> 00:07:54,622
naprzeciw kąta alfa, oznaczono małą literą a.

170
00:07:54,879 --> 00:07:57,739
Długość przyprostokątnej, która znajduje się

171
00:07:57,839 --> 00:08:00,929
naprzeciw kąta beta, oznaczono małą literą b.

172
00:08:01,279 --> 00:08:03,367
Długość przeciwprostokątnej 

173
00:08:03,467 --> 00:08:05,250
oznaczono małą literą c.

174
00:08:06,399 --> 00:08:08,239
Aby obliczyć sinus kąta alfa

175
00:08:08,339 --> 00:08:11,209
wystarczy podzielić długość przyprostokątnej

176
00:08:11,309 --> 00:08:12,541
naprzeciw kąta alfa

177
00:08:12,799 --> 00:08:14,847
przez długość przeciwprostokątnej.

178
00:08:15,871 --> 00:08:18,120
A co należy zrobić, aby obliczyć

179
00:08:18,220 --> 00:08:19,535
 cosinus kąta alfa?

180
00:08:19,711 --> 00:08:21,491
Wystarczy podzielić długość 

181
00:08:21,591 --> 00:08:23,582
przyprostokątnej przy kącie alfa

182
00:08:23,682 --> 00:08:25,854
przez długość przeciwprostokątnej.

183
00:08:28,159 --> 00:08:30,131
Aby obliczyć tangens kąta alfa

184
00:08:30,231 --> 00:08:33,096
wystarczy podzielić długość przyprostokątnej

185
00:08:33,196 --> 00:08:35,455
naprzeciw kąta alfa, przez długość 

186
00:08:35,555 --> 00:08:37,729
przyprostokątnej przy kącie alfa.

187
00:08:39,167 --> 00:08:42,453
Pokażę Ci jeszcze, czym jest sinus kąta beta

188
00:08:42,553 --> 00:08:45,384
cosinus kąta beta i tangens kąta beta.

189
00:08:45,823 --> 00:08:48,428
Sinusem kąta beta jest iloraz długości

190
00:08:48,528 --> 00:08:50,944
przyprostokątnej naprzeciw kąta beta

191
00:08:51,044 --> 00:08:53,040
i długości przeciwprostokątnej

192
00:08:53,140 --> 00:08:54,208
czyli b przez c.

193
00:08:55,295 --> 00:08:57,918
Cosinusem kąta beta jest iloraz długości

194
00:08:58,018 --> 00:09:00,123
przyprostokątnej przy kącie beta 

195
00:09:00,223 --> 00:09:02,128
i długości przeciwprostokątnej

196
00:09:02,228 --> 00:09:03,464
czyli a przez c.

197
00:09:03,999 --> 00:09:06,849
Tangensem kąta beta jest iloraz długości

198
00:09:06,949 --> 00:09:09,459
przyprostokątnej naprzeciw kąta beta

199
00:09:09,559 --> 00:09:12,699
i długości przyprostokątnej przy kącie beta.

200
00:09:13,163 --> 00:09:16,512
W tym trójkącie ten iloraz to b przez a.

201
00:09:21,407 --> 00:09:23,440
Mam teraz zadanie dla Ciebie.

202
00:09:23,711 --> 00:09:26,810
Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie

203
00:09:26,910 --> 00:09:30,121
zapisać sinus kąta alfa cosinus kąta alfa

204
00:09:30,221 --> 00:09:31,786
i tangens kąta alfa.

205
00:09:36,255 --> 00:09:38,559
Zacznę od sinusa kąta alfa.

206
00:09:38,815 --> 00:09:40,628
Kąt alfa jest tutaj.

207
00:09:40,863 --> 00:09:43,679
Wyobrażam sobie, że jestem w tym miejscu.

208
00:09:43,935 --> 00:09:46,708
Aby obliczyć sinus kąta alfa wystarczy

209
00:09:46,808 --> 00:09:49,382
że podzielę długość przyprostokątnej

210
00:09:49,482 --> 00:09:51,610
która jest naprzeciw kąta alfa

211
00:09:51,710 --> 00:09:54,186
przez długość przeciwprostokątnej.

212
00:09:54,943 --> 00:09:57,162
W liczniku zapisuję zatem 5 

213
00:09:57,262 --> 00:09:59,806
a w mianowniku pierwiastek z 37.

214
00:10:00,319 --> 00:10:03,612
Po usunięciu niewymierności z mianownika

215
00:10:03,712 --> 00:10:06,921
otrzymamy 5 pierwiastków z 37 przez 37.

216
00:10:07,487 --> 00:10:09,791
Obliczę teraz cosinus kąta alfa.

217
00:10:10,559 --> 00:10:12,646
Dalej jestem w tym miejscu.

218
00:10:12,863 --> 00:10:16,006
Aby obliczyć cosinus kąta alfa, dzielę długość

219
00:10:16,106 --> 00:10:19,060
przyprostokątne,j która jest przy kącie alfa

220
00:10:19,160 --> 00:10:21,470
przez długość przeciwprostokątnej.

221
00:10:22,335 --> 00:10:25,624
W liczniku zapisuję zatem pierwiastek z 12

222
00:10:25,724 --> 00:10:28,218
a w mianowniku pierwiastek z 37.

223
00:10:28,479 --> 00:10:30,389
Mogę to zapisać jako

224
00:10:30,489 --> 00:10:33,086
pierwiastek z ułamka 12/37.

225
00:10:33,343 --> 00:10:35,903
Teraz obliczę tangens kąta alfa.

226
00:10:36,159 --> 00:10:38,050
Dalej jestem tutaj.

227
00:10:38,463 --> 00:10:40,963
Tangens kąta alfa to iloraz długości

228
00:10:41,063 --> 00:10:43,584
przyprostokątnej naprzeciw kąta alfa 

229
00:10:43,684 --> 00:10:46,397
przez długość drugiej przyprostokątnej.

230
00:10:46,911 --> 00:10:49,011
W liczniku zapisuję zatem 5 

231
00:10:49,111 --> 00:10:51,518
a w mianowniku pierwiastek z 12.

232
00:10:51,775 --> 00:10:54,822
Po usunięciu niewymierności z mianownika

233
00:10:54,922 --> 00:10:58,124
otrzymamy pięć pierwiastków z 12 przez 12.

234
00:10:58,431 --> 00:11:00,610
Możesz jeszcze spróbować zapisać 

235
00:11:00,710 --> 00:11:02,974
sinus kąta beta, cosinus kąta beta 

236
00:11:03,074 --> 00:11:04,375
i tangens kąta beta.

237
00:11:04,575 --> 00:11:06,367
Odpowiedzi napisz w komentarzu.

238
00:11:06,884 --> 00:11:09,721
Sprawdź, czy inni mają tak samo.

239
00:11:15,327 --> 00:11:17,709
Sinus, cosinus i tangens oznaczają 

240
00:11:17,809 --> 00:11:20,212
ilorazy długości odpowiednich boków

241
00:11:20,312 --> 00:11:21,581
 w trójkącie.

242
00:11:21,727 --> 00:11:23,802
Chcąc obliczyć sinus kąta alfa 

243
00:11:23,902 --> 00:11:26,133
dzielisz długość przyprostokątnej 

244
00:11:26,233 --> 00:11:27,435
naprzeciw tego kąta

245
00:11:27,535 --> 00:11:29,816
przez długość przeciwprostokątnej.

246
00:11:29,919 --> 00:11:32,506
Cosinus alfa obliczysz, dzieląc długość

247
00:11:32,606 --> 00:11:34,737
przyprostokątnej przy kącie alfa 

248
00:11:34,837 --> 00:11:37,086
przez długość przeciwprostokątnej.

249
00:11:37,343 --> 00:11:39,715
Aby obliczyć tangens, podziel długość

250
00:11:39,815 --> 00:11:42,137
przyprostokątnej naprzeciw kąta alfa 

251
00:11:42,237 --> 00:11:44,740
przez długość drugiej przyprostokątnej.

252
00:11:49,119 --> 00:11:50,661
Zapraszam cię do obejrzenia 

253
00:11:50,761 --> 00:11:52,702
pozostałych lekcji o trygonometrii.

254
00:11:52,959 --> 00:11:55,619
Jeśli chcesz być na bieżąco z nowymi lekcjami

255
00:11:55,719 --> 00:11:57,295
to zasubskrybuj nasz kanał.