1
00:00:00,256 --> 00:00:02,772
Pierwszym Europejskim matematykiem

2
00:00:02,782 --> 00:00:04,575
który traktował trygonometrię

3
00:00:04,615 --> 00:00:07,278
jako dyscyplinę oddzielną od astronomii

4
00:00:07,288 --> 00:00:08,970
był Regiomontanus.

5
00:00:09,016 --> 00:00:11,402
W XV wieku napisał pracę

6
00:00:11,422 --> 00:00:14,879
„De triangulis omnimodis libri quinque”

7
00:00:14,909 --> 00:00:16,292
w której usystematyzował

8
00:00:16,292 --> 00:00:19,876
całą dotychczasową wiedzę z tej dziedziny.

9
00:00:31,740 --> 00:00:33,604
Wyobraź sobie, że zielony odcinek

10
00:00:33,604 --> 00:00:35,335
to podjazd, dzięki któremu

11
00:00:35,335 --> 00:00:38,124
można wjechać na wysokość jednego metra.

12
00:00:38,712 --> 00:00:41,263
Ten podjazd jest nachylony do podłoża

13
00:00:41,293 --> 00:00:43,330
pod kątem 14 stopni.

14
00:00:43,596 --> 00:00:45,073
Czy posiadając wyłącznie

15
00:00:45,073 --> 00:00:46,317
te dwie informacje

16
00:00:46,317 --> 00:00:48,115
jesteśmy w stanie policzyć

17
00:00:48,145 --> 00:00:50,674
jaka jest długość tego podjazdu?

18
00:00:51,000 --> 00:00:52,537
Zwróć uwagę, że mamy tutaj

19
00:00:52,537 --> 00:00:55,206
do czynienia z trójkątem prostokątnym.

20
00:00:55,402 --> 00:00:58,474
Tutaj mamy kąt ostry, który ma 14 stopni.

21
00:00:58,640 --> 00:01:00,555
Przyprostokątna, znajdująca się

22
00:01:00,555 --> 00:01:03,032
naprzeciw tego kąta ma 1 metr.

23
00:01:03,298 --> 00:01:06,370
Chcemy znać długość przeciwprostokątnej.

24
00:01:06,626 --> 00:01:07,998
Jeżeli podzielę długość

25
00:01:07,998 --> 00:01:09,290
tej przyprostokątnej

26
00:01:09,290 --> 00:01:11,435
przez długość przeciwprostokątnej

27
00:01:11,435 --> 00:01:13,669
to powinienem to zapisać w postaci

28
00:01:13,669 --> 00:01:15,892
sinusa, cosinusa czy tangensa?

29
00:01:16,264 --> 00:01:19,080
Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć.

30
00:01:22,714 --> 00:01:24,840
Iloraz długości przyprostokątnej

31
00:01:24,840 --> 00:01:27,634
naprzeciw kąta oraz przeciwprostokątnej

32
00:01:27,654 --> 00:01:28,602
to sinus.

33
00:01:28,908 --> 00:01:31,768
W tym przypadku mamy sinus 14 stopni.

34
00:01:31,868 --> 00:01:33,782
Zapiszę to w tym miejscu.

35
00:01:35,564 --> 00:01:36,913
Sinus tego kąta

36
00:01:36,923 --> 00:01:39,123
to 1 metr podzielić przez a.

37
00:01:39,123 --> 00:01:41,888
Zapiszę to w postaci ułamka zwykłego.

38
00:01:42,752 --> 00:01:43,910
Może się wydawać

39
00:01:43,910 --> 00:01:46,080
że mamy tutaj dwie niewiadome.

40
00:01:46,346 --> 00:01:47,930
Pamiętaj jednak, że potrafimy

41
00:01:47,930 --> 00:01:49,371
obliczyć na kalkulatorze

42
00:01:49,371 --> 00:01:51,356
albo sprawdzić w internecie

43
00:01:51,356 --> 00:01:53,414
ile to jest sinus 14 stopni.

44
00:01:54,062 --> 00:01:54,874
Zobacz.

45
00:01:55,074 --> 00:01:57,479
Tutaj mamy sinus, tutaj cosinus

46
00:01:57,479 --> 00:01:58,856
a tutaj tangens.

47
00:01:59,332 --> 00:02:01,746
Aby obliczyć sinus 14 stopni

48
00:02:01,786 --> 00:02:03,844
najpierw wpisuję 14 stopni

49
00:02:03,844 --> 00:02:07,232
a następnie wciskam klawisz z napisem sin.

50
00:02:07,232 --> 00:02:08,768
On oznacza sinusa.

51
00:02:09,396 --> 00:02:11,956
Tyle wynosi sinus 14 stopni.

52
00:02:12,990 --> 00:02:14,978
W tablicach maturalnych podaje się

53
00:02:14,978 --> 00:02:16,892
rozwinięcie do czwartego miejsca

54
00:02:16,892 --> 00:02:17,718
po przecinku.

55
00:02:17,804 --> 00:02:20,255
Kolejną cyfrą występującą po dziewiątce

56
00:02:20,285 --> 00:02:21,358
jest dwójka.

57
00:02:21,870 --> 00:02:23,900
Oznacza to, że nie zwiększamy zatem

58
00:02:23,900 --> 00:02:25,116
tej cyfry.

59
00:02:25,730 --> 00:02:27,932
Pomnóżmy obie strony tego równania

60
00:02:27,952 --> 00:02:28,762
przez a.

61
00:02:29,876 --> 00:02:35,550
Po lewej stronie otrzymamy a razy 0,2419.

62
00:02:35,876 --> 00:02:37,610
Długości przeciwprostokątnych

63
00:02:37,610 --> 00:02:40,212
po prawej stronie równania się skrócą.

64
00:02:40,322 --> 00:02:42,054
Zostanie nam 1 metr.

65
00:02:47,440 --> 00:02:51,792
Długość podjazdu to około 4,13 metra.

66
00:02:52,334 --> 00:02:54,894
Znaleźliśmy poszukiwaną długość.

67
00:02:59,472 --> 00:03:01,520
Spójrz teraz na takie zadanie.

68
00:03:01,676 --> 00:03:03,677
Mamy znaleźć długość boku

69
00:03:03,707 --> 00:03:05,144
oznaczonego literą.

70
00:03:05,350 --> 00:03:06,404
W tym trójkącie

71
00:03:06,424 --> 00:03:08,954
tylko ten bok jest oznaczony literą.

72
00:03:09,210 --> 00:03:12,794
Wiemy, że cosinus beta równa się 1/2.

73
00:03:12,960 --> 00:03:15,264
Kąt beta znajduje się w tym miejscu.

74
00:03:15,776 --> 00:03:18,066
Długości których boków, muszę podzielić

75
00:03:18,096 --> 00:03:20,333
aby otrzymać cosinus tego konta?

76
00:03:20,383 --> 00:03:22,980
Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć.

77
00:03:26,252 --> 00:03:27,445
Cosinus kąta beta

78
00:03:27,445 --> 00:03:29,649
to iloraz długości przyprostokątnej

79
00:03:29,649 --> 00:03:32,105
która znajduje się przy kącie beta

80
00:03:32,105 --> 00:03:34,344
i długości przeciwprostokątnej.

81
00:03:34,780 --> 00:03:37,091
Cosinus kąta beta równa się zatem

82
00:03:37,141 --> 00:03:38,334
b przez 5.

83
00:03:39,418 --> 00:03:40,228
Zobacz.

84
00:03:40,248 --> 00:03:41,774
Z treści zadania wiemy

85
00:03:41,784 --> 00:03:44,172
że cosinus tego kąta to 1/2.

86
00:03:44,628 --> 00:03:47,391
Korzystając z długości boków tego trójkąta

87
00:03:47,421 --> 00:03:49,142
otrzymaliśmy b przez 5.

88
00:03:49,904 --> 00:03:51,754
Oznacza to, że iloraz długości

89
00:03:51,754 --> 00:03:54,568
tych dwóch boków ma być równy 1/2.

90
00:03:55,024 --> 00:03:56,153
Zapisujemy zatem

91
00:03:56,173 --> 00:03:58,584
że b przez 5 równa się 1/2.

92
00:03:59,160 --> 00:04:01,164
Takie równania rozwiązujemy

93
00:04:01,174 --> 00:04:02,940
mnożąc liczby na krzyż.

94
00:04:03,286 --> 00:04:05,334
2 razy b to 2b

95
00:04:08,050 --> 00:04:10,098
5 razy 1 to 5

96
00:04:10,464 --> 00:04:13,024
Otrzymujemy 2b równa się 5.

97
00:04:14,058 --> 00:04:15,939
To jak znaleźć długość b?

98
00:04:16,179 --> 00:04:18,384
Wystarczy obie strony tego równania

99
00:04:18,384 --> 00:04:19,795
podzielić przez 2.

100
00:04:20,939 --> 00:04:23,499
2b podzielić przez 2, to b.

101
00:04:26,677 --> 00:04:29,493
5 podzielić przez 2 to 2,5.

102
00:04:31,993 --> 00:04:35,321
Odcinek b ma długość równą 2,5.

103
00:04:35,697 --> 00:04:37,489
Wykonaliśmy nasze zadanie.

104
00:04:37,875 --> 00:04:38,899
Gratulacje.

105
00:04:43,151 --> 00:04:44,897
Ostatnie zadanie w tej lekcji

106
00:04:44,937 --> 00:04:46,264
jest dla Ciebie.

107
00:04:46,434 --> 00:04:49,071
Znajdź długość boku oznaczonego literą

108
00:04:49,111 --> 00:04:52,925
wiedząc, że tangens gamma równa się 1,8.

109
00:04:53,371 --> 00:04:54,967
Konkretnie chodzi nam o długość

110
00:04:54,967 --> 00:04:57,965
tego boku, która jest oznaczona literą c.

111
00:04:58,511 --> 00:05:01,071
Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć.

112
00:05:04,635 --> 00:05:06,846
Znamy tangens kąta gamma.

113
00:05:07,186 --> 00:05:09,839
Ten kąt znajduje się tutaj.

114
00:05:09,941 --> 00:05:12,378
Tangens kąta gamma w tym trójkącie

115
00:05:12,378 --> 00:05:15,317
to iloraz długości tego boku i tego boku.

116
00:05:15,949 --> 00:05:17,229
Zapiszmy to.

117
00:05:17,741 --> 00:05:19,631
Tangens gamma równa się

118
00:05:19,651 --> 00:05:22,199
4,5 podzielić przez c.

119
00:05:22,289 --> 00:05:25,923
Wiemy, że tangens gamma to 1,8.

120
00:05:26,259 --> 00:05:28,119
Oznacza to, że ten iloraz

121
00:05:28,129 --> 00:05:30,627
musi się równać 1,8.

122
00:05:31,259 --> 00:05:33,051
To również zapisujemy.

123
00:05:35,581 --> 00:05:37,466
Teraz obie strony tego równania

124
00:05:37,466 --> 00:05:39,019
mnożymy przez c.

125
00:05:40,841 --> 00:05:43,568
4,5 podzielić przez c razy c

126
00:05:43,578 --> 00:05:44,902
równa się 4,5.

127
00:05:44,982 --> 00:05:46,493
Po lewej stronie równania

128
00:05:46,503 --> 00:05:48,391
zostanie zatem 4,5.

129
00:05:49,455 --> 00:05:53,039
Po prawej stronie otrzymamy 1,8 razy c.

130
00:05:54,349 --> 00:05:56,261
Teraz obie strony równania

131
00:05:56,291 --> 00:05:58,867
dzielimy przez 1,8.

132
00:05:59,293 --> 00:06:04,669
1,8 razy c podzielić przez 1,8, to c.

133
00:06:05,041 --> 00:06:06,540
Po lewej stronie otrzymamy

134
00:06:06,560 --> 00:06:10,513
4,5 podzielić przez 1,8.

135
00:06:14,779 --> 00:06:16,827
c równa się 2,5

136
00:06:17,801 --> 00:06:19,656
To jest nasza odpowiedź.

137
00:06:19,766 --> 00:06:22,007
Szukaliśmy długości tego boku.

138
00:06:22,479 --> 00:06:24,271
Wynosi ona 2,5.

139
00:06:30,977 --> 00:06:33,893
Mając dany sinus, cosinus lub tangens

140
00:06:33,923 --> 00:06:35,373
jednego z kątów ostrych

141
00:06:35,373 --> 00:06:37,158
trójkąta prostokątnego

142
00:06:37,158 --> 00:06:39,549
i znając długość dowolnego boku

143
00:06:39,549 --> 00:06:42,697
możesz obliczyć długość pozostałych boków

144
00:06:42,697 --> 00:06:45,077
układając odpowiednie równania.

145
00:06:45,333 --> 00:06:47,068
Dzięki tej lekcji widzisz

146
00:06:47,088 --> 00:06:48,971
że to nic trudnego.

147
00:06:53,425 --> 00:06:54,720
Jeśli chcesz wiedzieć

148
00:06:54,720 --> 00:06:56,076
więcej o trygonometrii

149
00:06:56,076 --> 00:06:57,514
to obejrzyj pozostałe

150
00:06:57,514 --> 00:06:58,951
lekcje z tego działu.

151
00:06:59,097 --> 00:07:00,838
Wszystkie działy znajdziesz

152
00:07:00,838 --> 00:07:03,947
na naszej stronie internetowej pi-stacja.tv