1
00:00:00,754 --> 00:00:02,388
Tablice trygonometryczne

2
00:00:02,388 --> 00:00:04,602
które wykorzystywał w swoich pracach

3
00:00:04,602 --> 00:00:06,906
indyjski matematyk Aryabhata

4
00:00:06,906 --> 00:00:08,200
są najstarszymi

5
00:00:08,200 --> 00:00:09,754
które przetrwały do dziś.

6
00:00:10,030 --> 00:00:12,139
Zawierają one wartości sinusa

7
00:00:12,159 --> 00:00:13,747
i odwrotności cosinusa

8
00:00:13,767 --> 00:00:16,297
dla kątów od zera do 90 stopni

9
00:00:16,327 --> 00:00:18,351
z dokładnością do czterech miejsc

10
00:00:18,381 --> 00:00:19,752
po przecinku.

11
00:00:31,710 --> 00:00:33,516
Spójrz na taką sytuację.

12
00:00:33,592 --> 00:00:35,640
Mamy tutaj trójkąt prostokątny.

13
00:00:35,876 --> 00:00:38,692
Krótsza przyprostokątna ma długość 3.

14
00:00:38,988 --> 00:00:42,060
Dłuższa przyprostokątna ma długość 4.

15
00:00:42,598 --> 00:00:45,162
Przeciwprostokątna ma długość 5.

16
00:00:45,966 --> 00:00:48,265
W tym miejscu zaznaczono kąt ostry

17
00:00:48,265 --> 00:00:49,790
i oznaczono go alfa.

18
00:00:50,448 --> 00:00:53,086
Starożytni matematycy zastanawiali się

19
00:00:53,106 --> 00:00:55,477
jak znaleźć miarę kąta alfa

20
00:00:55,477 --> 00:00:57,157
znając długości boków

21
00:00:57,157 --> 00:00:58,996
trójkąta prostokątnego.

22
00:00:59,428 --> 00:01:00,755
W dzisiejszych czasach

23
00:01:00,755 --> 00:01:02,404
jest to dużo łatwiejsze.

24
00:01:02,420 --> 00:01:04,040
Pokażę Ci, jak to robić.

25
00:01:04,588 --> 00:01:06,989
Skoro chcemy znaleźć miarę tego kąta

26
00:01:06,999 --> 00:01:09,206
to ustawiamy się w tym wierzchołku.

27
00:01:09,638 --> 00:01:11,482
Znamy długości wszystkich boków

28
00:01:11,492 --> 00:01:12,570
tego trójkąta.

29
00:01:13,046 --> 00:01:14,479
Wybieramy zatem sinus

30
00:01:14,479 --> 00:01:15,978
cosinus lub tangens.

31
00:01:16,364 --> 00:01:17,644
Ja wybiorę sinus.

32
00:01:18,096 --> 00:01:19,161
Sinus kąta alfa

33
00:01:19,161 --> 00:01:21,428
to iloraz długości przyprostokątnej

34
00:01:21,428 --> 00:01:23,947
znajdującej się naprzeciw kąta alfa

35
00:01:23,947 --> 00:01:26,178
i długości przeciwprostokątnej.

36
00:01:27,332 --> 00:01:30,404
Sinus kąta alfa równa się zatem 3/5.

37
00:01:31,408 --> 00:01:33,872
Gdy znamy już wartość sinusa alfa

38
00:01:33,892 --> 00:01:36,265
to możemy skorzystać z tablicy wartości

39
00:01:36,315 --> 00:01:38,132
funkcji trygonometrycznych.

40
00:01:38,802 --> 00:01:41,466
Funkcje trygonometryczne to właśnie sinus

41
00:01:41,476 --> 00:01:42,912
cosinus i tangens.

42
00:01:44,198 --> 00:01:47,014
Pokażę Ci teraz, jak wygląda taka tablica.

43
00:01:48,966 --> 00:01:50,476
Teraz widzisz tabelę.

44
00:01:50,804 --> 00:01:53,372
Ta tabela nazwana jest tablicą wartości

45
00:01:53,372 --> 00:01:55,150
funkcji trygonometrycznych.

46
00:01:55,678 --> 00:01:57,852
W pierwszej kolumnie znajdują się kąty

47
00:01:57,862 --> 00:01:59,712
od zera do 90 stopni.

48
00:01:59,882 --> 00:02:01,702
Oznaczono je literą alfa.

49
00:02:02,334 --> 00:02:04,651
Ten symbol oznacza, że liczby pod spodem

50
00:02:04,671 --> 00:02:06,786
są kątami podanymi w stopniach.

51
00:02:07,082 --> 00:02:09,125
Obok znajduje się taka sama tabela

52
00:02:09,125 --> 00:02:11,022
tylko że z innymi kontami.

53
00:02:11,424 --> 00:02:13,472
Tę tabelę można przewijać.

54
00:02:14,034 --> 00:02:14,802
Zobacz.

55
00:02:14,958 --> 00:02:16,072
Tak, jak mówiłem.

56
00:02:16,102 --> 00:02:18,155
W pierwszej kolumnie można znaleźć

57
00:02:18,155 --> 00:02:20,384
kąty od zera do 90 stopni.

58
00:02:23,622 --> 00:02:25,579
W czwartej kolumnie znajdują się

59
00:02:25,599 --> 00:02:27,631
uporządkowane malejąco kąty

60
00:02:27,651 --> 00:02:29,690
od 90 do zera stopni.

61
00:02:30,238 --> 00:02:31,838
Oznaczono je beta.

62
00:02:32,306 --> 00:02:33,959
Weźmy sobie teraz jakiś kąt

63
00:02:33,969 --> 00:02:35,382
z pierwszej kolumny.

64
00:02:35,388 --> 00:02:36,924
Na przykład 2 stopnie.

65
00:02:37,782 --> 00:02:40,010
Gdy odczytamy wartość z tego pola

66
00:02:40,030 --> 00:02:42,227
dowiemy się, ile wynosi sinus alfa

67
00:02:42,237 --> 00:02:44,654
czyli ile wynosi sinus dwóch stopni.

68
00:02:45,146 --> 00:02:50,010
Sinus dwóch stopni wynosi 0,0349.

69
00:02:50,086 --> 00:02:51,068
Ale zobacz.

70
00:02:51,210 --> 00:02:53,242
Pod spodem mamy jeszcze taki zapis.

71
00:02:53,318 --> 00:02:54,342
Cosinus beta.

72
00:02:55,070 --> 00:02:57,703
W tym wierszu, w kolumnie oznaczonej beta

73
00:02:57,743 --> 00:02:59,618
mamy 88 stopni.

74
00:03:00,170 --> 00:03:05,546
Cosinus 88 stopni wynosi 0,0349.

75
00:03:06,344 --> 00:03:08,181
Spójrz teraz na ten kąt.

76
00:03:08,221 --> 00:03:09,608
85 stopni.

77
00:03:10,500 --> 00:03:15,108
Cosinus tego kąta wynosi 0,0872.

78
00:03:15,660 --> 00:03:18,354
Tyle samo wynosi też sinus kąta alfa

79
00:03:18,364 --> 00:03:20,534
czyli sinus kąta 5 stopni.

80
00:03:21,036 --> 00:03:23,340
Spójrz jeszcze na trzecią kolumnę.

81
00:03:23,892 --> 00:03:25,748
Tutaj mamy tylko taki zapis.

82
00:03:25,820 --> 00:03:26,844
Tangens alfa.

83
00:03:27,366 --> 00:03:28,987
Oznacza to, że żeby znaleźć

84
00:03:28,987 --> 00:03:30,222
tangens jakiegoś kąta

85
00:03:30,222 --> 00:03:31,374
musimy go odnaleźć

86
00:03:31,374 --> 00:03:33,328
wyłącznie w pierwszej kolumnie.

87
00:03:33,756 --> 00:03:35,548
Weźmy na przykład 5 stopni.

88
00:03:36,140 --> 00:03:40,492
Tangens tego kąta to 0,0875.

89
00:03:40,798 --> 00:03:42,726
Myślę, że warto jeszcze wspomnieć

90
00:03:42,736 --> 00:03:44,637
że te liczby, które znajdują się

91
00:03:44,637 --> 00:03:46,905
w tej tabeli to są wartości przybliżone

92
00:03:46,925 --> 00:03:49,330
do czwartego miejsca po przecinku.

93
00:03:49,362 --> 00:03:50,960
To przybliżenie jest jednak

94
00:03:50,960 --> 00:03:52,471
wystarczająco dokładne

95
00:03:52,471 --> 00:03:54,120
aby podawać miary kątów.

96
00:03:54,612 --> 00:03:56,940
Wróćmy teraz do naszego zadania.

97
00:03:57,328 --> 00:03:59,438
Jeszcze raz przypomnę, że w tablicy

98
00:03:59,438 --> 00:04:01,188
mamy podane liczby dziesiętne.

99
00:04:01,344 --> 00:04:03,589
Te liczby dziesiętne oznaczają wartości

100
00:04:03,589 --> 00:04:05,382
sinusów, cosinusów i tangensów

101
00:04:05,402 --> 00:04:07,868
dla kątów od zera do 90 stopni.

102
00:04:08,356 --> 00:04:10,156
My znamy sinus kąta alfa

103
00:04:10,156 --> 00:04:11,540
ale jest on zapisany

104
00:04:11,540 --> 00:04:13,340
w postaci ułamka zwykłego.

105
00:04:14,194 --> 00:04:15,762
Zamieniamy zatem ten ułamek

106
00:04:15,772 --> 00:04:17,220
na liczbę dziesiętną.

107
00:04:17,767 --> 00:04:19,259
Wystarczy pomnożyć licznik

108
00:04:19,279 --> 00:04:20,843
i mianownik przez 2.

109
00:04:21,115 --> 00:04:22,907
Otrzymamy 6/10.

110
00:04:23,675 --> 00:04:26,340
Ułamek 6/10 zapisany w postaci

111
00:04:26,340 --> 00:04:28,649
liczby dziesiętnej to 0,6.

112
00:04:29,503 --> 00:04:30,896
Teraz wrócimy do tablicy

113
00:04:30,896 --> 00:04:32,892
z wartościami trygonometrycznymi

114
00:04:32,892 --> 00:04:35,148
i będziemy szukali wartości sinusa alfa

115
00:04:35,148 --> 00:04:36,811
która wynosi 0,6.

116
00:04:38,789 --> 00:04:41,659
W drugiej kolumnie mamy wartości sinusów.

117
00:04:41,881 --> 00:04:44,212
Zwróć uwagę, że im większy kąt

118
00:04:44,222 --> 00:04:46,243
tym większa wartość sinusa.

119
00:04:46,705 --> 00:04:49,777
Tutaj mamy liczbę, która jest bliska 2/10.

120
00:04:50,349 --> 00:04:52,671
Musimy przewinąć naszą tabelę.

121
00:04:55,795 --> 00:04:58,099
Zatrzymajmy się w tym miejscu.

122
00:04:58,215 --> 00:05:00,488
Nie znajdziemy w tej tabeli wartości

123
00:05:00,518 --> 00:05:03,289
która jest równa dokładnie 6/10.

124
00:05:03,857 --> 00:05:05,760
Zwróć uwagę, że ta liczba jest

125
00:05:05,780 --> 00:05:07,917
bardzo blisko 6/10.

126
00:05:08,319 --> 00:05:09,366
Jak już mówiłem

127
00:05:09,426 --> 00:05:12,219
te wartości to i tak tylko przybliżenia.

128
00:05:12,491 --> 00:05:13,727
Wartość kąta alfa

129
00:05:13,757 --> 00:05:15,873
odczytujemy z pierwszej kolumny.

130
00:05:15,889 --> 00:05:17,937
Mamy tutaj 37 stopni.

131
00:05:18,685 --> 00:05:20,345
Wracamy do zadania.

132
00:05:21,069 --> 00:05:23,524
Najbliżej tej wartości jest kąt

133
00:05:23,564 --> 00:05:25,627
który ma 37 stopni.

134
00:05:25,973 --> 00:05:27,318
Można więc powiedzieć

135
00:05:27,338 --> 00:05:30,075
że alfa ma około 37 stopni.

136
00:05:30,777 --> 00:05:32,041
Udało nam się.

137
00:05:32,087 --> 00:05:34,135
Znaleźliśmy miarę tego kąta.

138
00:05:34,331 --> 00:05:36,891
Wynosi ona około 37 stopni.

139
00:05:37,729 --> 00:05:38,963
A jak możemy szybko

140
00:05:38,993 --> 00:05:40,845
podać miarę tego kąta?

141
00:05:41,017 --> 00:05:43,731
Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć.

142
00:05:46,935 --> 00:05:48,693
Skorzystajmy z tej własności

143
00:05:48,693 --> 00:05:51,102
że suma miar kątów w każdym trójkącie

144
00:05:51,102 --> 00:05:52,859
wynosi 180 stopni.

145
00:05:53,561 --> 00:05:57,145
Ten kąt ma 90 stopni, a ten ma 37 stopni.

146
00:05:57,727 --> 00:06:00,287
Razem mamy 127 stopni.

147
00:06:00,503 --> 00:06:03,575
Do 180 brakuje nam 53.

148
00:06:03,831 --> 00:06:06,903
Ten kąt ma miarę około 53 stopni.

149
00:06:11,757 --> 00:06:13,805
Spójrz teraz na takie zadanie.

150
00:06:14,141 --> 00:06:15,677
Rozwiąż trójkąt.

151
00:06:16,159 --> 00:06:18,207
Co to znaczy rozwiązać trójkąt?

152
00:06:19,121 --> 00:06:21,072
Tym razem, naszym zadaniem jest

153
00:06:21,072 --> 00:06:23,248
odnalezienie długości wszystkich boków

154
00:06:23,248 --> 00:06:24,570
tego trójkąta oraz miar

155
00:06:24,630 --> 00:06:26,681
wszystkich kątów tego trójkąta.

156
00:06:27,815 --> 00:06:29,531
Wiemy jedynie, że ten trójkąt

157
00:06:29,571 --> 00:06:31,619
jest trójkątem prostokątnym.

158
00:06:31,991 --> 00:06:34,039
Ten kąt ma 70 stopni.

159
00:06:34,767 --> 00:06:37,071
Długość tego boku wynosi 8.

160
00:06:37,613 --> 00:06:39,459
Od czego możemy zacząć?

161
00:06:39,807 --> 00:06:41,855
Możemy podać miarę tego kąta.

162
00:06:42,497 --> 00:06:44,170
Znamy miarę dwóch kątów

163
00:06:44,170 --> 00:06:45,943
więc łatwo możemy obliczyć

164
00:06:45,943 --> 00:06:47,375
miarę trzeciego kąta.

165
00:06:47,447 --> 00:06:51,543
90 stopni i 70 stopni to 160 stopni.

166
00:06:51,829 --> 00:06:54,645
Do 180 brakuje nam 20 stopni.

167
00:06:55,955 --> 00:06:57,957
Znamy już miary wszystkich kątów

168
00:06:57,967 --> 00:06:59,081
tego trójkąta.

169
00:06:59,403 --> 00:07:00,812
Teraz poszukamy długości

170
00:07:00,832 --> 00:07:02,283
tych dwóch boków.

171
00:07:03,389 --> 00:07:05,501
Skorzystamy z trygonometrii.

172
00:07:05,617 --> 00:07:07,647
Mamy tutaj dwa kąty ostre.

173
00:07:07,717 --> 00:07:08,935
Znamy ich miarę.

174
00:07:09,367 --> 00:07:10,550
Ustawiamy się zatem

175
00:07:10,550 --> 00:07:12,719
w jednym z tych dwóch wierzchołków.

176
00:07:12,991 --> 00:07:14,897
Ja wybieram ten wierzchołek.

177
00:07:15,391 --> 00:07:17,093
Do znalezienia mamy długości

178
00:07:17,113 --> 00:07:18,427
tych dwóch boków.

179
00:07:18,543 --> 00:07:20,589
Wybierzmy sobie jeden z nich.

180
00:07:20,641 --> 00:07:23,201
Ja wybiorę krótszą przyprostokątną.

181
00:07:23,683 --> 00:07:26,499
Długość tego boku oznaczę literą a.

182
00:07:27,247 --> 00:07:29,061
Skupiamy się teraz na długości

183
00:07:29,081 --> 00:07:30,905
dwóch przyprostokątnych.

184
00:07:31,147 --> 00:07:33,485
Dzieląc długość a przez 8

185
00:07:33,485 --> 00:07:36,011
otrzymamy tangens 20 stopni.

186
00:07:36,789 --> 00:07:37,813
Zapiszmy to.

187
00:07:38,059 --> 00:07:40,205
Tangens 20 stopni równa się

188
00:07:40,245 --> 00:07:41,879
a podzielić przez 8.

189
00:07:44,645 --> 00:07:46,693
Otrzymaliśmy pewne równanie.

190
00:07:47,431 --> 00:07:49,633
Chcemy wiedzieć, ile wynosi a.

191
00:07:50,061 --> 00:07:52,621
Nie znamy jeszcze tangensa 20 stopni.

192
00:07:53,083 --> 00:07:54,777
Możemy odczytać go z tablicy

193
00:07:54,777 --> 00:07:56,761
wartości trygonometrycznych.

194
00:07:56,953 --> 00:07:58,767
Pokażę Ci jednak, jak to zrobić

195
00:07:58,767 --> 00:08:00,727
korzystając z kalkulatora.

196
00:08:01,049 --> 00:08:02,939
Na zaawansowanych kalkulatorach

197
00:08:02,999 --> 00:08:05,024
możemy obliczać wartości sinusa

198
00:08:05,054 --> 00:08:07,523
cosinusa i tangensa dowolnego kąta.

199
00:08:08,187 --> 00:08:10,747
Chcemy obliczyć tangens 20 stopni.

200
00:08:11,169 --> 00:08:13,473
Wpisujemy zatem do kalkulatora 20.

201
00:08:14,301 --> 00:08:16,002
Skoro chcemy obliczyć tangens

202
00:08:16,022 --> 00:08:18,009
to wciskamy ten przycisk.

203
00:08:18,191 --> 00:08:19,983
Otrzymaliśmy taką liczbę.

204
00:08:20,199 --> 00:08:21,085
Zaokrąglimy ją

205
00:08:21,085 --> 00:08:23,511
do czwartego miejsca po przecinku.

206
00:08:24,149 --> 00:08:29,269
Tangens 20 stopni to 0,3640.

207
00:08:29,987 --> 00:08:32,803
Tyle mamy otrzymać, dzieląc a przed 8.

208
00:08:34,103 --> 00:08:36,194
Teraz dokładnie widać, że ten zapis

209
00:08:36,224 --> 00:08:38,097
nie był wcale niewiadomą.

210
00:08:38,641 --> 00:08:40,075
Co musimy zatem zrobić

211
00:08:40,075 --> 00:08:42,365
aby dowiedzieć się ile wynosi liczba a?

212
00:08:42,933 --> 00:08:45,737
Wystarczy, że pomnożymy te dwie liczby.

213
00:08:46,361 --> 00:08:47,641
Zapiszę to obok.

214
00:08:48,133 --> 00:08:52,485
a równa się 8 razy 0,364.

215
00:08:53,243 --> 00:08:56,059
Wynik to 2,912.

216
00:08:57,359 --> 00:09:00,334
Pamiętaj, że wartość tangensa 20 stopni

217
00:09:00,364 --> 00:09:02,207
jest wartością przybliżoną.

218
00:09:02,409 --> 00:09:04,439
Oznacza to, że długość tego odcinka

219
00:09:04,439 --> 00:09:06,213
jest również przybliżeniem.

220
00:09:06,429 --> 00:09:08,733
Mamy aż trzy cyfry po przecinku.

221
00:09:09,035 --> 00:09:10,544
My jeszcze nie wykonaliśmy

222
00:09:10,544 --> 00:09:11,403
całego zadania.

223
00:09:11,403 --> 00:09:12,833
Będziemy chcieli obliczyć

224
00:09:12,833 --> 00:09:15,011
jaką długość ma przeciwprostokątna.

225
00:09:15,229 --> 00:09:16,923
My w gruncie rzeczy znamy już

226
00:09:16,923 --> 00:09:18,943
długości dwóch przyprostokątnych.

227
00:09:19,109 --> 00:09:21,055
Korzystając z jakiego twierdzenia

228
00:09:21,065 --> 00:09:22,574
będziemy mogli obliczyć

229
00:09:22,574 --> 00:09:24,513
długość przeciwprostokątnej?

230
00:09:25,569 --> 00:09:26,556
Tym twierdzeniem

231
00:09:26,576 --> 00:09:28,531
jest twierdzenie Pitagorasa.

232
00:09:28,947 --> 00:09:30,833
Aby ułatwić sobie obliczenia

233
00:09:30,833 --> 00:09:31,978
jeszcze bardziej

234
00:09:31,978 --> 00:09:33,981
przybliżę długość tego boku.

235
00:09:34,263 --> 00:09:34,997
Przybliżę ją

236
00:09:34,997 --> 00:09:37,063
do jednego miejsca po przecinku.

237
00:09:37,561 --> 00:09:38,298
Tutaj mamy 1

238
00:09:38,298 --> 00:09:41,797
więc przybliżeniem tej liczby będzie 2,9.

239
00:09:42,661 --> 00:09:44,309
Zmażę teraz literkę a

240
00:09:44,329 --> 00:09:46,667
i zapiszę tutaj 2,9.

241
00:09:47,721 --> 00:09:49,825
Długość przeciwprostokątnej

242
00:09:49,855 --> 00:09:51,335
oznaczę literą c.

243
00:09:51,877 --> 00:09:53,734
Twierdzenie Pitagorasa mówi nam

244
00:09:53,794 --> 00:09:55,320
że jeżeli dodamy do siebie

245
00:09:55,320 --> 00:09:57,369
kwadraty długości przyprostokątnych

246
00:09:57,369 --> 00:09:58,556
to otrzymamy kwadrat

247
00:09:58,556 --> 00:10:00,595
długości przeciwprostokątnej.

248
00:10:01,269 --> 00:10:03,522
Podnosimy zatem 8 do kwadratu.

249
00:10:03,562 --> 00:10:06,476
Do tego dodajemy 2,9 do kwadratu

250
00:10:06,496 --> 00:10:08,465
i otrzymujemy c do kwadratu.

251
00:10:10,445 --> 00:10:12,649
8 do kwadratu to 64.

252
00:10:14,245 --> 00:10:18,597
2,9 do kwadratu to 8,41.

253
00:10:19,721 --> 00:10:21,656
Suma tych dwóch liczb jest równa

254
00:10:21,666 --> 00:10:24,513
kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

255
00:10:25,629 --> 00:10:30,237
Dodając te dwie liczby, otrzymamy 72,41.

256
00:10:30,925 --> 00:10:33,002
Długość przeciwprostokątnej c

257
00:10:33,072 --> 00:10:35,341
to dodatni pierwiastek z tej liczby.

258
00:10:36,195 --> 00:10:39,779
Długość przeciwprostokątnej to około 8,5.

259
00:10:40,587 --> 00:10:42,313
Wykonaliśmy nasze zadanie.

260
00:10:42,379 --> 00:10:44,175
Rozwiązaliśmy trójkąt.

261
00:10:44,241 --> 00:10:46,191
Znamy długości wszystkich boków

262
00:10:46,191 --> 00:10:48,579
i miary wszystkich kątów tego trójkąta.

263
00:10:54,381 --> 00:10:55,969
Do rozwiązywania trójkątów

264
00:10:55,969 --> 00:10:57,387
czyli poszukiwania

265
00:10:57,387 --> 00:10:59,815
miar ich kątów i długości boków

266
00:10:59,815 --> 00:11:02,477
używamy tablic trygonometrycznych.

267
00:11:02,573 --> 00:11:04,274
Znajdziesz je w intrenecie

268
00:11:04,274 --> 00:11:05,786
lub na ostatnich stronach

269
00:11:05,786 --> 00:11:07,109
tablic maturalnych.

270
00:11:07,171 --> 00:11:08,379
Odpowiednie wartości

271
00:11:08,379 --> 00:11:09,932
możesz również obliczać

272
00:11:09,932 --> 00:11:12,963
wykorzystując zaawansowany kalkulator.

273
00:11:17,893 --> 00:11:19,347
Tablice trygonometryczne

274
00:11:19,347 --> 00:11:21,030
które poznaliśmy przed chwilą

275
00:11:21,030 --> 00:11:22,596
będą wykorzystywane również

276
00:11:22,656 --> 00:11:24,727
w innych lekcjach tego działu.

277
00:11:24,895 --> 00:11:26,461
Wszystkie działy znajdziesz

278
00:11:26,461 --> 00:11:29,397
na naszej stronie internetowej pi-stacja.tv