1
00:00:00,412 --> 00:00:02,316
Astrolabium to przyrząd służący

2
00:00:02,416 --> 00:00:05,048
do pomiaru wysokości gwiazd nad horyzontem

3
00:00:05,078 --> 00:00:06,700
albo słońca w południe.

4
00:00:06,912 --> 00:00:08,815
Pozwalał też wyznaczyć szerokość

5
00:00:08,815 --> 00:00:10,540
geograficzną statku na morzu.

6
00:00:10,752 --> 00:00:12,622
Arabscy żeglarze używali go

7
00:00:12,622 --> 00:00:14,298
już w ósmym wieku.

8
00:00:25,942 --> 00:00:28,402
Widzisz trójkąt prostokątny, którego

9
00:00:28,402 --> 00:00:31,457
przyprostokątne mają długości 3 i 4

10
00:00:31,457 --> 00:00:33,836
a przeciwprostokątna to 5.

11
00:00:34,204 --> 00:00:36,808
Oznaczmy ten kąt ostry literą alfa.

12
00:00:37,120 --> 00:00:39,246
Wyznacz samodzielnie sinus

13
00:00:39,346 --> 00:00:41,772
cosinus i tangens kąta alfa.

14
00:00:45,056 --> 00:00:47,074
Sinus alfa to stosunek długości

15
00:00:47,074 --> 00:00:49,366
przyprostokątnej leżącej naprzeciw

16
00:00:49,366 --> 00:00:52,059
kąta alfa i przeciwprostokątnej

17
00:00:52,059 --> 00:00:53,604
czyli 3/5.

18
00:00:53,760 --> 00:00:55,963
Cosinus alfa to stosunek długości

19
00:00:55,963 --> 00:00:58,780
przyprostokątnej leżącej przy kącie alfa

20
00:00:58,880 --> 00:01:02,196
i przeciwprostokątnej, czyli 4/5.

21
00:01:02,464 --> 00:01:04,874
Tangens alfa to stosunek długości

22
00:01:04,874 --> 00:01:06,936
przyprostokątnej leżącej naprzeciw

23
00:01:06,936 --> 00:01:09,661
kąta alfa i drugiej przyprostokątnej

24
00:01:09,661 --> 00:01:11,112
czyli 3/4.

25
00:01:11,680 --> 00:01:14,723
Wiesz już, że w trójkącie prostokątnym

26
00:01:14,823 --> 00:01:17,099
2 kąty wewnętrzne są ostre

27
00:01:17,199 --> 00:01:19,304
a trzeci kąt to kąt prosty.

28
00:01:19,616 --> 00:01:22,773
Nie ma możliwości, aby trójkąt prostokątny

29
00:01:22,873 --> 00:01:25,448
był jednocześnie rozwartokątny.

30
00:01:25,760 --> 00:01:28,820
Okazuje się jednak, że sinus, cosinus

31
00:01:28,820 --> 00:01:30,865
i tangens istnieją także dla

32
00:01:30,865 --> 00:01:33,092
trójkątów rozwartokątnych.

33
00:01:33,440 --> 00:01:35,588
Schowam najpierw literę alfa

34
00:01:35,744 --> 00:01:38,248
która w tym przypadku oznacza kąt ostry.

35
00:01:38,840 --> 00:01:41,832
Zobacz: mamy tutaj kąt rozwarty.

36
00:01:42,144 --> 00:01:43,624
Nazwijmy go beta.

37
00:01:43,936 --> 00:01:45,828
Jego sinus to 3/5

38
00:01:45,984 --> 00:01:51,204
cosinus to –4/5, a tangens to –3/4.

39
00:01:51,360 --> 00:01:53,997
Dla kątów rozwartych, czyli takich

40
00:01:53,997 --> 00:01:56,324
które są większe niż 90 stopni

41
00:01:56,480 --> 00:01:59,140
ale mniejsze niż 180 stopni

42
00:01:59,296 --> 00:02:00,932
sinus jest dodatni

43
00:02:01,088 --> 00:02:03,948
a cosinus i tangens są zawsze ujemne.

44
00:02:04,260 --> 00:02:06,662
Dla kątów ostrych sinus, cosinus

45
00:02:06,762 --> 00:02:09,424
i tangens są zawsze dodatnie.

46
00:02:09,792 --> 00:02:11,528
Zapamiętaj tę różnicę!

47
00:02:11,996 --> 00:02:14,244
Pokażę Ci, dlaczego tak jest.

48
00:02:14,400 --> 00:02:16,748
Wróćmy do trójkąta prostokątnego

49
00:02:16,848 --> 00:02:19,416
i nanieśmy go na układ współrzędnych

50
00:02:19,416 --> 00:02:21,666
w taki sposób, żeby wierzchołek przy

51
00:02:21,666 --> 00:02:23,754
kącie alfa był w początku układu

52
00:02:23,754 --> 00:02:26,837
współrzędnych, a jedna z przyprostokątnych

53
00:02:26,937 --> 00:02:28,836
pokrywała się z osią x.

54
00:02:28,992 --> 00:02:30,779
Wtedy ten wierzchołek znajdzie się

55
00:02:30,879 --> 00:02:33,706
w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych

56
00:02:33,706 --> 00:02:35,024
czyli w tej.

57
00:02:35,260 --> 00:02:37,474
Zobacz: ten wierzchołek trójkąta

58
00:02:37,474 --> 00:02:39,388
znajduje się w początku układu

59
00:02:39,388 --> 00:02:41,183
współrzędnych, czyli w punkcie

60
00:02:41,183 --> 00:02:43,528
o współrzędnych 0, 0.

61
00:02:43,840 --> 00:02:45,149
Jakie współrzędne mają

62
00:02:45,249 --> 00:02:47,724
pozostałe wierzchołki tego trójkąta?

63
00:02:51,320 --> 00:02:54,547
Współrzędne tego wierzchołka to 4 i 0

64
00:02:54,647 --> 00:02:56,072
a tego 4 i 3.

65
00:02:56,284 --> 00:02:58,853
Czy dostrzegasz związek między długościami

66
00:02:58,853 --> 00:03:00,666
boków trójkąta prostokątnego

67
00:03:00,666 --> 00:03:02,789
znajdującego się w pierwszej ćwiartce

68
00:03:02,889 --> 00:03:05,692
układu współrzędnych, a współrzędnymi

69
00:03:05,692 --> 00:03:07,702
wierzchołków tego trójkąta?

70
00:03:07,960 --> 00:03:10,052
Ten bok leży na osi x.

71
00:03:10,364 --> 00:03:13,124
Jego koniec ma współrzędne 0 i 4

72
00:03:13,280 --> 00:03:15,072
a jego długość to 4.

73
00:03:15,584 --> 00:03:18,244
Ten bok jest prostopadły do osi x

74
00:03:18,400 --> 00:03:20,583
więc pierwsza współrzędna tego punktu

75
00:03:20,583 --> 00:03:21,872
to też 4.

76
00:03:22,240 --> 00:03:24,688
Współrzędna y to 3.

77
00:03:24,800 --> 00:03:26,992
Długość tego boku to też 3.

78
00:03:27,360 --> 00:03:30,064
Długość przeciwprostokątnej to 5.

79
00:03:30,332 --> 00:03:32,608
Gdybyśmy jej nie znali, moglibyśmy

80
00:03:32,608 --> 00:03:35,084
obliczyć ją z twierdzenia Pitagorasa.

81
00:03:35,296 --> 00:03:37,940
3 do kwadratu dodać 4 do kwadratu

82
00:03:37,940 --> 00:03:39,630
to przecież kwadrat długości

83
00:03:39,630 --> 00:03:42,209
przeciwprostokątnej, czyli w tym przypadku

84
00:03:42,209 --> 00:03:43,632
5 do kwadratu.

85
00:03:44,000 --> 00:03:47,143
Wyznaczmy teraz sinus, cosinus i tangens

86
00:03:47,143 --> 00:03:50,288
kąta alfa, korzystając ze współrzędnych.

87
00:03:50,656 --> 00:03:52,966
Aby to zrobić, potrzebujemy współrzędnych

88
00:03:53,066 --> 00:03:55,422
dowolnego punktu znajdującego się

89
00:03:55,422 --> 00:03:56,944
na ramieniu kąta alfa.

90
00:03:57,112 --> 00:03:58,864
W tym przypadku najłatwiej będzie

91
00:03:58,964 --> 00:04:01,032
wykorzystać punkt, który znajduje się

92
00:04:01,132 --> 00:04:03,400
w tym miejscu na ramieniu kąta alfa.

93
00:04:03,768 --> 00:04:06,316
Jego współrzędne to 4 i 3.

94
00:04:06,684 --> 00:04:08,617
Zauważ, że współrzędne

95
00:04:08,617 --> 00:04:10,153
tego punktu zawierają w sobie

96
00:04:10,253 --> 00:04:12,656
długości boków przyprostokątnych.

97
00:04:12,928 --> 00:04:15,945
Współrzędna x to długość tego boku

98
00:04:15,945 --> 00:04:17,780
a y tego boku.

99
00:04:18,047 --> 00:04:20,053
Długość przeciwprostokątnej

100
00:04:20,113 --> 00:04:21,982
to odległość tego punktu

101
00:04:21,982 --> 00:04:24,135
od początku układu współrzędnych.

102
00:04:24,347 --> 00:04:26,283
Oznaczmy ją literą r.

103
00:04:26,751 --> 00:04:29,163
Sposobem na obliczanie funkcji kąta

104
00:04:29,163 --> 00:04:31,278
rozwartego jest właśnie użycie

105
00:04:31,278 --> 00:04:34,263
współrzędnych, zamiast długości boków.

106
00:04:34,431 --> 00:04:38,015
Sinus kąta alfa w tym trójkącie to 3/5

107
00:04:38,271 --> 00:04:39,751
czyli y przez r.

108
00:04:39,963 --> 00:04:43,586
Cosinus alfa to 4/5, czyli x przez r

109
00:04:43,686 --> 00:04:48,043
a tangens alfa to 3/4, czyli y przez x.

110
00:04:48,311 --> 00:04:50,505
Za chwilę wykorzystamy te wzory

111
00:04:50,505 --> 00:04:52,395
do obliczenia wartości funkcji

112
00:04:52,395 --> 00:04:54,599
trygonometrycznych kąta rozwartego.

113
00:04:54,911 --> 00:04:57,048
Narysujmy kąt rozwarty beta tak

114
00:04:57,148 --> 00:04:58,590
aby koniec jego ramienia

115
00:04:58,690 --> 00:05:01,155
był symetryczny względem osi y

116
00:05:01,311 --> 00:05:03,915
do punktu o współrzędnych 4 i 3.

117
00:05:08,549 --> 00:05:10,571
Jakie współrzędne ma ten punkt?

118
00:05:11,039 --> 00:05:13,031
–4 i 3.

119
00:05:13,499 --> 00:05:14,873
Odległość tego punktu

120
00:05:14,973 --> 00:05:16,841
od początku układu współrzędnych

121
00:05:16,941 --> 00:05:18,307
oznaczamy literą r.

122
00:05:18,463 --> 00:05:21,101
Sinus kąta beta to współrzędna y

123
00:05:21,201 --> 00:05:24,039
tego punktu przez r, czyli 3/5.

124
00:05:24,251 --> 00:05:26,599
Cosinus beta to współrzędna x-owa

125
00:05:26,699 --> 00:05:29,927
tego punktu przez r, czyli –4/5.

126
00:05:30,239 --> 00:05:33,602
Tangens beta to współrzędna y tego punktu

127
00:05:33,702 --> 00:05:37,451
przez jego współrzędną x-ową, czyli –3/4.

128
00:05:38,175 --> 00:05:40,399
Jak myślisz, skąd biorą się minusy

129
00:05:40,499 --> 00:05:42,855
w wartościach cosinusa i tangensa

130
00:05:42,855 --> 00:05:43,871
kąta beta?

131
00:05:47,191 --> 00:05:49,424
Do obliczenia wartości tych funkcji

132
00:05:49,424 --> 00:05:51,709
trygonometrycznych, wykorzystywaliśmy

133
00:05:51,709 --> 00:05:53,768
współrzędne punktu znajdującego się

134
00:05:53,768 --> 00:05:55,371
na ramieniu kąta beta.

135
00:05:55,583 --> 00:05:58,249
Należy pamiętać, aby kąt był dobrze

136
00:05:58,249 --> 00:06:00,670
narysowany, czyli jego wierzchołek leżał

137
00:06:00,770 --> 00:06:02,595
w początku układu współrzędnych

138
00:06:02,751 --> 00:06:05,411
jedno ramię pokrywało się z osią x

139
00:06:05,567 --> 00:06:07,372
a drugie było w drugiej ćwiartce

140
00:06:07,472 --> 00:06:09,039
układu współrzędnych.

141
00:06:09,407 --> 00:06:10,962
Skoro ten punkt znajduje się

142
00:06:11,062 --> 00:06:13,347
w drugiej ćwiartce układu współrzędnych

143
00:06:13,659 --> 00:06:16,363
to jego współrzędna x-owa jest ujemna.

144
00:06:16,831 --> 00:06:18,783
Cosinus to x przez r

145
00:06:18,783 --> 00:06:21,027
a tangens to y przez x.

146
00:06:21,183 --> 00:06:23,042
r to odległość tego punktu

147
00:06:23,042 --> 00:06:25,067
od początku układu współrzędnych.

148
00:06:25,279 --> 00:06:28,209
Odległość jest zawsze liczbą dodatnią.

149
00:06:28,607 --> 00:06:30,966
Iloraz liczby dodatniej i ujemnej

150
00:06:31,066 --> 00:06:32,647
jest zawsze ujemny.

151
00:06:32,959 --> 00:06:36,056
Współrzędna y tego punktu jest dodatnia

152
00:06:36,056 --> 00:06:37,854
więc iloraz liczby dodatniej

153
00:06:37,954 --> 00:06:40,071
i ujemnej jest także ujemny.

154
00:06:40,283 --> 00:06:42,228
W analogiczny sposób można obliczać

155
00:06:42,328 --> 00:06:44,173
wartości funkcji trygonometrycznych

156
00:06:44,273 --> 00:06:46,776
dowolnego kąta, nawet większego

157
00:06:46,776 --> 00:06:48,719
od 180 stopni.

158
00:06:53,239 --> 00:06:54,819
Widzisz kąt prosty.

159
00:06:55,131 --> 00:06:57,992
Współrzędnych którego punktu potrzebujemy

160
00:06:58,092 --> 00:07:00,575
aby obliczyć sinus, cosinus i tangens

161
00:07:00,675 --> 00:07:02,121
dziewięćdziesięciu stopni

162
00:07:02,221 --> 00:07:03,867
w układzie współrzędnych?

163
00:07:03,935 --> 00:07:06,339
Potrzebujemy współrzędnych punktu

164
00:07:06,495 --> 00:07:08,487
który znajduje się na tym ramieniu.

165
00:07:08,799 --> 00:07:10,123
Na przykład tego.

166
00:07:10,591 --> 00:07:13,037
W tym przypadku łatwo je odczytać

167
00:07:13,037 --> 00:07:14,531
wynoszą 0 i 4.

168
00:07:14,687 --> 00:07:17,336
Ten punkt jest rzecz jasna tylko jednym

169
00:07:17,336 --> 00:07:19,705
z wielu, które możemy wykorzystać.

170
00:07:19,807 --> 00:07:22,515
Wartości sinusa, cosinusa i tangensa

171
00:07:22,615 --> 00:07:24,993
będą identyczne dla wszystkich punktów

172
00:07:25,093 --> 00:07:26,819
leżących na tym ramieniu.

173
00:07:26,975 --> 00:07:28,825
Czego jeszcze potrzebujemy?

174
00:07:29,023 --> 00:07:30,659
Długości tego ramienia.

175
00:07:30,971 --> 00:07:32,425
Można łatwo odczytać

176
00:07:32,525 --> 00:07:34,855
że długość tego odcinka to 4.

177
00:07:35,167 --> 00:07:38,083
Spróbuj teraz samodzielnie obliczyć sinus

178
00:07:38,239 --> 00:07:39,409
cosinus i tangens

179
00:07:39,409 --> 00:07:41,199
dziewięćdziesięciu stopni.

180
00:07:44,197 --> 00:07:46,143
Sinus dziewięćdziesięciu stopni to

181
00:07:46,143 --> 00:07:49,046
współrzędna y podzielona przez długość

182
00:07:49,046 --> 00:07:51,780
ramienia, czyli 4 podzielić przez 4

183
00:07:51,780 --> 00:07:53,131
a to wynosi 1.

184
00:07:53,655 --> 00:07:55,766
Cosinus dziewięćdziesięciu stopni to

185
00:07:55,766 --> 00:07:58,087
współrzędna x-owa podzielona przez

186
00:07:58,087 --> 00:08:00,818
długość ramienia, czyli 0 przez 4

187
00:08:00,818 --> 00:08:02,091
a to wynosi 0.

188
00:08:02,815 --> 00:08:04,126
A ile wynosi tangens

189
00:08:04,126 --> 00:08:05,831
dziewięćdziesięciu stopni?

190
00:08:06,143 --> 00:08:09,671
y przez x, czyli 4 podzielić przez 0.

191
00:08:09,983 --> 00:08:12,131
Ale czy można dzielić przez 0?

192
00:08:12,287 --> 00:08:13,199
No nie!

193
00:08:13,311 --> 00:08:14,379
Co to oznacza?

194
00:08:14,591 --> 00:08:17,143
Ano tyle, że tangens dziewięćdziesięciu

195
00:08:17,143 --> 00:08:19,243
stopni nie istnieje.

196
00:08:19,711 --> 00:08:21,347
Schowajmy te zapiski

197
00:08:21,503 --> 00:08:24,719
i zmieńmy miarę kąta na 180 stopni.

198
00:08:25,343 --> 00:08:27,256
Spróbuj samodzielnie wyznaczyć

199
00:08:27,356 --> 00:08:29,237
sinus, cosinus i tangens

200
00:08:29,237 --> 00:08:31,419
stu osiemdziesięciu stopni.

201
00:08:34,539 --> 00:08:37,263
Długość tego ramienia się nie zmieniła.

202
00:08:37,631 --> 00:08:39,111
Wciąż wynosi 4.

203
00:08:39,423 --> 00:08:41,059
Zmienił się jedynie punkt

204
00:08:41,215 --> 00:08:43,134
którego współrzędne odczytujemy

205
00:08:43,234 --> 00:08:44,488
do obliczenia wartości

206
00:08:44,588 --> 00:08:46,435
tych funkcji trygonometrycznych.

207
00:08:46,591 --> 00:08:48,948
Współrzędne naszego nowego punktu

208
00:08:48,948 --> 00:08:50,887
to –4 i 0.

209
00:08:51,355 --> 00:08:53,526
Sinus stu osiemdziesięciu stopni

210
00:08:53,626 --> 00:08:55,651
wynosi zatem y przez r

211
00:08:55,807 --> 00:08:58,979
czyli 0 podzielić przez 4, a to wynosi 0.

212
00:08:59,391 --> 00:09:02,081
Cosinus stu osiemdziesięciu stopni

213
00:09:02,181 --> 00:09:05,705
to x przez r, czyli –4 podzielić przez 4

214
00:09:05,705 --> 00:09:07,627
a to jest –1.

215
00:09:08,095 --> 00:09:10,399
Tangens stu osiemdziesięciu stopni

216
00:09:10,555 --> 00:09:14,439
to y przez x, czyli 0 podzielić przez –4

217
00:09:14,651 --> 00:09:16,275
a to równa się 0.

218
00:09:16,799 --> 00:09:19,437
Na koniec sprawdźmy, co się stanie

219
00:09:19,537 --> 00:09:22,575
gdy zmienimy miarę tego kąta na 0 stopni.

220
00:09:23,199 --> 00:09:24,813
Zauważ, że w tym przypadku

221
00:09:24,913 --> 00:09:26,727
ramiona kąta się pokrywają.

222
00:09:27,195 --> 00:09:29,187
Długość każdego to 4.

223
00:09:29,599 --> 00:09:31,464
Potrzebujemy jeszcze współrzędnych

224
00:09:31,564 --> 00:09:34,251
punktu znajdującego się na końcu ramienia.

225
00:09:34,619 --> 00:09:36,938
W tym przypadku nie ma znaczenia którego

226
00:09:37,038 --> 00:09:38,659
bo przecież się pokrywają.

227
00:09:39,071 --> 00:09:42,336
Odczytaj je samodzielnie i oblicz sinus

228
00:09:42,336 --> 00:09:44,847
cosinus i tangens zera stopni.

229
00:09:48,287 --> 00:09:49,611
To 4 i 0.

230
00:09:50,079 --> 00:09:52,683
Długość ramienia, czyli r to 4.

231
00:09:52,895 --> 00:09:56,362
Sinus zera stopni to y podzielić przez r

232
00:09:56,362 --> 00:09:59,861
czyli 0 podzielić przez 4, a to wynosi 0.

233
00:10:00,575 --> 00:10:03,747
Cosinus zera stopni to x podzielić przez r

234
00:10:03,903 --> 00:10:07,275
czyli 4 podzielić przez 4, a więc 1.

235
00:10:07,743 --> 00:10:11,171
Tangens zera stopni to y podzielić przez x

236
00:10:11,327 --> 00:10:14,699
czyli 0 podzielić przez 4, a to jest 0.

237
00:10:15,167 --> 00:10:16,820
Warto zapamiętać wartości

238
00:10:16,920 --> 00:10:19,173
sinusa, cosinusa i tangensa

239
00:10:19,173 --> 00:10:20,972
dla zera, dziewięćdziesięciu

240
00:10:20,972 --> 00:10:23,091
i stu osiemdziesięciu stopni.

241
00:10:28,535 --> 00:10:30,857
Dzięki tej lekcji wiesz, że możesz

242
00:10:30,857 --> 00:10:33,185
obliczać sinus, cosinus i tangens

243
00:10:33,185 --> 00:10:36,275
również dla kątów większych niż 90 stopni

244
00:10:36,374 --> 00:10:38,663
ale mniejszych niż 180 stopni.

245
00:10:39,015 --> 00:10:40,774
Wzory umożliwiające te obliczenia

246
00:10:40,874 --> 00:10:42,603
znajdują się na tablicy.

247
00:10:42,815 --> 00:10:44,950
Pamiętaj, że sinus dla takich kątów

248
00:10:45,050 --> 00:10:46,462
jest zawsze dodatni

249
00:10:46,662 --> 00:10:49,259
a cosinus i tangens są zawsze ujemne.

250
00:10:53,623 --> 00:10:55,496
W tym dziale znajdziesz lekcje

251
00:10:55,596 --> 00:10:57,613
dotyczące funkcji trygonometrycznych

252
00:10:57,713 --> 00:10:58,943
kąta rozwartego.

253
00:10:59,199 --> 00:11:01,018
Wszystkie działy znajdziesz na naszej

254
00:11:01,018 --> 00:11:03,818
stronie internetowej pistacja.tv