1
00:00:00,688 --> 00:00:02,332
Za ojca trygonometrii

2
00:00:02,332 --> 00:00:04,597
uważa się Hipparchosa z Nikei

3
00:00:04,597 --> 00:00:06,648
który w II wieku przed naszą erą

4
00:00:06,648 --> 00:00:09,414
ułożył pierwsze tablice trygonometryczne

5
00:00:09,414 --> 00:00:11,708
choć wcale nie opierał ich na stosunkach

6
00:00:11,718 --> 00:00:13,942
boków i kątów w trójkącie.

7
00:00:26,896 --> 00:00:28,722
Rozwiążmy takie zadanie.

8
00:00:28,794 --> 00:00:31,059
Drabinę o długości 4 metrów,

9
00:00:31,059 --> 00:00:32,460
oparto o ścianę tak

10
00:00:32,460 --> 00:00:34,179
że dolny koniec drabiny

11
00:00:34,179 --> 00:00:36,352
znajduje się 2,5 metra od ściany.

12
00:00:36,950 --> 00:00:39,510
Jaki kąt tworzy drabina z podłożem?

13
00:00:40,218 --> 00:00:42,136
Rozwiązując zadania tekstowe

14
00:00:42,136 --> 00:00:43,792
które dotyczą geometrii

15
00:00:43,792 --> 00:00:46,412
zawsze rozpoczynamy od stworzenia rysunku.

16
00:00:47,060 --> 00:00:49,620
Niech ta pozioma lina oznacza podłoże.

17
00:00:52,004 --> 00:00:54,564
Pionowy odcinek oznacza ścianę.

18
00:00:55,332 --> 00:00:57,124
Ściana łączy się z podłożem.

19
00:00:57,646 --> 00:00:59,132
Pod jakim kątem zazwyczaj

20
00:00:59,142 --> 00:01:01,304
ściany są nachylone do podłoża?

21
00:01:01,416 --> 00:01:03,066
Pod kątem prostym.

22
00:01:03,278 --> 00:01:06,706
Niech ten odcinek z kolei oznacza drabinę.

23
00:01:06,772 --> 00:01:08,530
Drabina łączy się z podłożem

24
00:01:08,530 --> 00:01:09,676
w tym miejscu

25
00:01:09,676 --> 00:01:11,228
a ze ścianą w tym miejscu.

26
00:01:11,228 --> 00:01:11,980
Zwróć uwagę

27
00:01:12,000 --> 00:01:14,532
że otrzymaliśmy trójkąt prostokątny.

28
00:01:15,124 --> 00:01:16,916
Co wiemy z treści zadania?

29
00:01:17,112 --> 00:01:20,440
Wiemy, że drabina ma długość 4 metrów.

30
00:01:20,716 --> 00:01:23,788
W tym miejscu mogę zapisać zatem 4 metry.

31
00:01:24,270 --> 00:01:27,128
Wiemy też, że dolny koniec drabiny

32
00:01:27,148 --> 00:01:29,846
znajduje się 2,5 metra od ściany.

33
00:01:29,942 --> 00:01:31,990
To jest dolny koniec drabiny.

34
00:01:32,532 --> 00:01:34,142
Tutaj mamy ścianę.

35
00:01:34,264 --> 00:01:36,204
Oznacza to, że ten odcinek

36
00:01:36,224 --> 00:01:37,984
ma 2,5 metra długości.

37
00:01:38,676 --> 00:01:40,980
W tym miejscu zapiszę 2,5 metra.

38
00:01:41,854 --> 00:01:43,844
A czego chcemy się dowiedzieć?

39
00:01:43,854 --> 00:01:45,322
Co chcemy obliczyć?

40
00:01:45,744 --> 00:01:48,162
W treści zadania mamy takie pytanie:

41
00:01:48,304 --> 00:01:51,120
jaki kąt tworzy drabina z podłożem?

42
00:01:51,838 --> 00:01:54,398
Tutaj mamy drabinę, a tutaj mamy podłoże.

43
00:01:54,960 --> 00:01:56,612
Chcemy się zatem dowiedzieć

44
00:01:56,612 --> 00:01:58,028
jaką miarę ma ten kąt.

45
00:01:59,116 --> 00:02:00,652
Oznaczmy go alfa.

46
00:02:01,134 --> 00:02:03,694
Szukamy zatem miary kąta alfa.

47
00:02:05,732 --> 00:02:07,537
Zwróć uwagę, że drabina

48
00:02:07,537 --> 00:02:09,190
jest przeciwprostokątną

49
00:02:09,190 --> 00:02:11,278
naszego trójkąta prostokątnego.

50
00:02:11,364 --> 00:02:13,997
Podłoże z kolei jest przyprostokątną

51
00:02:13,997 --> 00:02:15,138
tego trójkąta.

52
00:02:15,500 --> 00:02:17,718
Jeżeli ustawimy się w tym miejscu

53
00:02:17,738 --> 00:02:19,449
to będziemy w stanie obliczyć

54
00:02:19,449 --> 00:02:20,946
cosinus tego kąta.

55
00:02:21,684 --> 00:02:24,200
Cosinus kąta alfa to stosunek długości

56
00:02:24,210 --> 00:02:27,002
przyprostokątnej leżącej przy kącie alfa

57
00:02:27,082 --> 00:02:29,700
oraz długość przeciwprostokątnej.

58
00:02:30,318 --> 00:02:32,814
Możemy zatem zapisać, że cosinus alfa

59
00:02:32,814 --> 00:02:34,792
równa się 2,5 metra

60
00:02:34,792 --> 00:02:37,076
podzielić przez 4 metry.

61
00:02:38,686 --> 00:02:40,222
Metry możemy skrócić.

62
00:02:41,040 --> 00:02:43,088
Zapisujemy wynik w tym miejscu.

63
00:02:44,338 --> 00:02:46,898
Wiemy zatem, ile wynosi cosinus alfa.

64
00:02:47,204 --> 00:02:49,375
Aby znaleźć miarę kąta alfa

65
00:02:49,375 --> 00:02:51,028
należy poszukać tej wartości

66
00:02:51,028 --> 00:02:52,483
w tablicy z wartościami

67
00:02:52,483 --> 00:02:54,308
funkcji trygonometrycznych.

68
00:02:54,668 --> 00:02:56,716
Zapamiętajmy zatem tę liczbę.

69
00:02:56,902 --> 00:02:58,950
0,625

70
00:03:00,652 --> 00:03:02,703
Poszukajmy zatem w tej tabeli kąta

71
00:03:02,703 --> 00:03:06,268
którego cosinus wynosi 0,625.

72
00:03:08,086 --> 00:03:09,943
W tej kolumnie znajdują się

73
00:03:09,943 --> 00:03:12,924
sinusy kąta alfa i cosinusy kąta beta.

74
00:03:13,562 --> 00:03:15,462
Kąty alfa znajdują się tutaj

75
00:03:15,542 --> 00:03:17,758
a kąty beta znajdują się tutaj.

76
00:03:18,526 --> 00:03:20,316
Wszystko sprowadza się do tego

77
00:03:20,316 --> 00:03:24,421
aby w tej kolumnie znaleźć wartość 0,625

78
00:03:24,481 --> 00:03:27,440
i odczytać miarę kąta z ostatniej kolumny.

79
00:03:28,008 --> 00:03:30,056
No to poszukajmy tej wartości.

80
00:03:35,678 --> 00:03:36,446
Zobacz.

81
00:03:36,572 --> 00:03:44,508
Tutaj mamy 0,6157, a tutaj mamy 0,6293.

82
00:03:45,532 --> 00:03:47,707
Nie znajdziemy zatem w tej tabeli

83
00:03:47,707 --> 00:03:48,934
tej wartości.

84
00:03:49,196 --> 00:03:51,285
Zwróć jednak uwagę, że ta liczba

85
00:03:51,305 --> 00:03:53,252
jest bardzo blisko tej liczby.

86
00:03:53,970 --> 00:03:58,995
Kąt, którego cosinus wynosi 0,6293

87
00:03:59,065 --> 00:04:00,764
to 51 stopni.

88
00:04:01,414 --> 00:04:02,688
Oznacza to, że kąt

89
00:04:02,688 --> 00:04:05,707
którego cosinus wynosi 0,625

90
00:04:05,707 --> 00:04:08,238
jest bardzo blisko 51 stopni.

91
00:04:08,828 --> 00:04:11,206
Wynik podamy zatem w przybliżeniu.

92
00:04:12,688 --> 00:04:14,166
Możemy zatem zapisać

93
00:04:14,196 --> 00:04:17,551
że alfa to w przybliżeniu 51 stopni.

94
00:04:18,113 --> 00:04:20,265
Możemy zatem podać odpowiedź.

95
00:04:20,407 --> 00:04:22,397
Drabina i podłoże tworzą kąt

96
00:04:22,407 --> 00:04:25,491
którego miara to około 51 stopni.

97
00:04:30,401 --> 00:04:32,232
Spójrz na kolejne polecenie.

98
00:04:32,282 --> 00:04:33,956
Brzmi ono następująco:

99
00:04:34,246 --> 00:04:36,073
oblicz wartość wyrażenia.

100
00:04:36,259 --> 00:04:38,281
Pod spodem mamy to wyrażenie.

101
00:04:38,337 --> 00:04:41,728
Sinus 30 stopni razy tangens 60 stopni

102
00:04:41,878 --> 00:04:44,458
dodać cosinus 45 stopni

103
00:04:44,458 --> 00:04:46,641
razy tangens 45 stopni.

104
00:04:47,503 --> 00:04:48,878
Zauważ, że mamy tutaj

105
00:04:48,898 --> 00:04:50,529
charakterystyczne kąty.

106
00:04:50,615 --> 00:04:54,711
45 stopni, 60 stopni, 30 stopni.

107
00:04:55,429 --> 00:04:57,587
Wartości funkcji trygonometrycznych

108
00:04:57,597 --> 00:04:58,504
dla tych kątów

109
00:04:58,504 --> 00:05:00,449
możemy odczytać z tej tabelki.

110
00:05:01,161 --> 00:05:03,465
Ile wynosi sinus 30 stopni?

111
00:05:03,897 --> 00:05:04,921
1/2

112
00:05:06,231 --> 00:05:08,965
Tę część wyrażenia zastępujemy 1/2.

113
00:05:09,055 --> 00:05:10,929
Zapiszę ten ułamek tutaj.

114
00:05:11,341 --> 00:05:15,181
1/2 mnożymy przez tangens 60 stopni.

115
00:05:15,663 --> 00:05:17,813
Ile wynosi tangens tego kąta?

116
00:05:17,883 --> 00:05:19,317
Pierwiastek z trzech.

117
00:05:19,603 --> 00:05:22,675
1/2 mnożymy przez pierwiastek z trzech.

118
00:05:23,157 --> 00:05:26,741
Do tego dodajemy cosinus 45 stopni.

119
00:05:27,715 --> 00:05:29,204
Z tabelki odczytujemy

120
00:05:29,204 --> 00:05:31,422
że cosinus 45 stopni

121
00:05:31,422 --> 00:05:33,567
to pierwiastek z dwóch przez 2.

122
00:05:34,185 --> 00:05:36,672
Tę wartość zapisuję w tym miejscu.

123
00:05:36,782 --> 00:05:38,903
Pierwiastek z dwóch przez 2.

124
00:05:39,501 --> 00:05:40,677
To jeszcze mnożymy

125
00:05:40,687 --> 00:05:43,151
przez tangens 45 stopni.

126
00:05:43,843 --> 00:05:46,403
Tangens 45 stopni, to 1.

127
00:05:47,161 --> 00:05:48,793
Pierwiastek z dwóch przez 2

128
00:05:48,813 --> 00:05:50,509
mnożymy zatem przez 1.

129
00:05:50,991 --> 00:05:53,295
Teraz możemy przejść do obliczeń.

130
00:05:53,651 --> 00:05:55,047
Zapiszę je pod spodem

131
00:05:55,047 --> 00:05:56,919
bo tam już nie mamy miejsca.

132
00:05:57,687 --> 00:05:59,627
Zwróć uwagę, że w tym wyrażeniu

133
00:05:59,627 --> 00:06:01,745
występują dwa rodzaje działań

134
00:06:01,745 --> 00:06:03,415
mnożenie i dodawanie.

135
00:06:04,107 --> 00:06:05,830
Co najpierw wykonujemy?

136
00:06:05,850 --> 00:06:06,798
Mnożenie.

137
00:06:06,828 --> 00:06:08,941
1/2 razy pierwiastek z trzech

138
00:06:08,971 --> 00:06:11,285
to pierwiastek z trzech przez 2.

139
00:06:12,003 --> 00:06:13,088
A ile to jest

140
00:06:13,108 --> 00:06:15,660
pierwiastek z dwóch przez 2 razy 1?

141
00:06:15,780 --> 00:06:17,661
Pierwiastek z dwóch przez 2.

142
00:06:18,157 --> 00:06:20,461
Zapisuję ten ułamek w tym miejscu.

143
00:06:21,435 --> 00:06:22,679
Co zatem robimy?

144
00:06:22,735 --> 00:06:24,297
Dodajemy do siebie liczniki

145
00:06:24,297 --> 00:06:25,791
a mianownik przepiszemy.

146
00:06:25,877 --> 00:06:27,727
Otrzymujemy pierwiastek z trzech

147
00:06:27,747 --> 00:06:29,989
dodać pierwiastek z dwóch przez 2.

148
00:06:30,977 --> 00:06:32,769
Wykonaliśmy nasze zadanie.

149
00:06:32,975 --> 00:06:34,255
To jest odpowiedź.

150
00:06:34,561 --> 00:06:37,121
Tyle wynosi wartość tego wyrażenia.

151
00:06:41,553 --> 00:06:44,149
Zabierzmy się teraz za ostatnie zadanie.

152
00:06:44,295 --> 00:06:46,157
W trójkącie prostokątnym

153
00:06:46,187 --> 00:06:47,446
pokazanym na rysunku

154
00:06:47,446 --> 00:06:49,605
sinus alfa wynosi 2/7.

155
00:06:50,287 --> 00:06:52,335
Oblicz pole tego trójkąta.

156
00:06:52,707 --> 00:06:54,627
Skoro w zadaniu mowa o rysunku

157
00:06:54,637 --> 00:06:56,691
to spójrzmy na ten rysunek.

158
00:06:57,069 --> 00:06:59,117
Tutaj znajduje się kąt alfa.

159
00:06:59,323 --> 00:07:00,457
Długość boku

160
00:07:00,487 --> 00:07:03,423
który jest naprzeciw tego kąta wynosi 4.

161
00:07:03,745 --> 00:07:05,292
Z treści zadania wiemy

162
00:07:05,292 --> 00:07:07,811
że sinus kąta alfa to 2/7.

163
00:07:08,549 --> 00:07:10,296
Mam teraz pytanie dla Ciebie.

164
00:07:10,316 --> 00:07:12,637
Długości których boków w tym trójkącie

165
00:07:12,657 --> 00:07:13,629
należy podzielić

166
00:07:13,629 --> 00:07:16,223
aby wyznaczyć sinus tego kąta?

167
00:07:20,531 --> 00:07:22,869
Sinus tego kąta to iloraz długości

168
00:07:22,899 --> 00:07:24,943
tego boku i przeciwprostokątnej.

169
00:07:25,269 --> 00:07:27,829
Nie znamy długości przeciwprostokątnej.

170
00:07:27,895 --> 00:07:30,199
Oznaczę ją zatem literą c.

171
00:07:30,841 --> 00:07:32,462
Możemy zatem zapisać

172
00:07:32,502 --> 00:07:34,817
że sinus alfa to 4 przez c.

173
00:07:35,901 --> 00:07:37,036
Mamy tutaj ułamek

174
00:07:37,096 --> 00:07:39,223
którego mianownika nie znamy.

175
00:07:39,339 --> 00:07:41,503
Ale spójrz na treść zadania.

176
00:07:41,543 --> 00:07:44,816
Wiemy, że sinus alfa trójkąta na rysunku

177
00:07:44,826 --> 00:07:45,993
wynosi 2/7.

178
00:07:46,939 --> 00:07:48,093
Co to oznacza?

179
00:07:48,133 --> 00:07:50,174
Oznacza to, że 4 przez c

180
00:07:50,184 --> 00:07:52,155
to jest to samo co 2/7.

181
00:07:52,631 --> 00:07:54,046
Zapisujemy więc

182
00:07:54,046 --> 00:07:56,311
4 przez c równa się 2/7.

183
00:07:56,677 --> 00:07:57,407
Zobacz.

184
00:07:57,417 --> 00:07:59,025
Otrzymaliśmy równanie.

185
00:07:59,051 --> 00:07:59,996
Zatrzymaj lekcję

186
00:08:00,006 --> 00:08:02,443
i spróbuj je rozwiązać samodzielnie.

187
00:08:06,505 --> 00:08:08,150
Takie równanie rozwiązujemy

188
00:08:08,170 --> 00:08:09,779
mnożąc liczby na krzyż.

189
00:08:10,591 --> 00:08:12,335
Otrzymamy 2 razy c

190
00:08:12,335 --> 00:08:14,175
równa się 4 razy 7.

191
00:08:14,397 --> 00:08:15,798
Zapisujemy zatem

192
00:08:15,798 --> 00:08:17,725
2c równa się 4 razy 7.

193
00:08:18,301 --> 00:08:20,395
4 razy 7 to 28

194
00:08:20,751 --> 00:08:23,567
Otrzymujemy 2c równa się 28.

195
00:08:23,873 --> 00:08:25,153
To ile wynosi c?

196
00:08:25,369 --> 00:08:27,929
Dzielimy obie strony równania przez 2.

197
00:08:28,431 --> 00:08:30,223
c równa się 14.

198
00:08:31,031 --> 00:08:33,751
Długość przeciwprostokątnej tego trójkąta

199
00:08:33,771 --> 00:08:34,801
to 14.

200
00:08:35,609 --> 00:08:36,915
Wykorzystując dane

201
00:08:36,915 --> 00:08:38,598
które mieliśmy do dyspozycji

202
00:08:38,598 --> 00:08:41,115
obliczyliśmy długość przeciwprostokątnej.

203
00:08:41,231 --> 00:08:43,791
Chcemy jednak obliczyć pole tego trójkąta.

204
00:08:44,549 --> 00:08:46,484
Pamiętaj, że my mamy do czynienia

205
00:08:46,484 --> 00:08:48,143
z trójkątem prostokątnym.

206
00:08:48,911 --> 00:08:49,942
Znamy długość

207
00:08:50,002 --> 00:08:51,967
jednego z prostopadłych boków.

208
00:08:51,967 --> 00:08:53,870
Aby obliczyć pole tego trójkąta

209
00:08:53,880 --> 00:08:55,330
wystarczy, że dowiemy się

210
00:08:55,330 --> 00:08:57,113
jaką długość ma ten bok.

211
00:08:57,851 --> 00:08:58,906
Czy pamiętasz

212
00:08:58,906 --> 00:09:01,583
z jakiego twierdzenia należy skorzystać?

213
00:09:01,691 --> 00:09:02,854
Należy skorzystać

214
00:09:02,864 --> 00:09:04,693
z twierdzenia Pitagorasa.

215
00:09:05,521 --> 00:09:08,337
Oznaczmy długość tego boku literą a.

216
00:09:09,707 --> 00:09:11,319
Spróbuj teraz samodzielnie

217
00:09:11,329 --> 00:09:13,272
obliczyć długość tego boku.

218
00:09:13,382 --> 00:09:14,859
Oczywiście korzystając

219
00:09:14,899 --> 00:09:16,751
z twierdzenia Pitagorasa.

220
00:09:20,479 --> 00:09:22,838
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa

221
00:09:22,838 --> 00:09:25,472
otrzymujemy, że długość boku a

222
00:09:25,472 --> 00:09:27,937
wynosi 6 pierwiastków z pięciu.

223
00:09:28,395 --> 00:09:29,683
Pominąłem obliczenia

224
00:09:29,683 --> 00:09:31,882
bo twierdzenie Pitagorasa już znasz.

225
00:09:31,902 --> 00:09:33,253
Jeśli go nie pamiętasz

226
00:09:33,253 --> 00:09:35,369
to obejrzyj lekcję o tym temacie.

227
00:09:36,391 --> 00:09:37,939
Zapiszmy jeszcze na rysunku

228
00:09:37,939 --> 00:09:39,377
długość tego boku.

229
00:09:39,527 --> 00:09:41,483
Wynosi 6 pierwiastków z pięciu.

230
00:09:42,365 --> 00:09:44,197
Czy mamy już wszystkie potrzebne

231
00:09:44,217 --> 00:09:45,624
informacje do obliczenia

232
00:09:45,644 --> 00:09:47,037
pola tego trójkąta?

233
00:09:47,113 --> 00:09:49,389
Znamy długość boku i znamy długość

234
00:09:49,409 --> 00:09:51,485
prostopadłej do niego podstawy.

235
00:09:51,671 --> 00:09:53,735
W miejsce litery a wstawimy zatem

236
00:09:53,755 --> 00:09:55,551
6 pierwiastków z pięciu

237
00:09:55,571 --> 00:09:57,705
a w miejsce litery h liczbę 4.

238
00:09:58,171 --> 00:10:00,179
Spróbuj zatem samodzielnie obliczyć

239
00:10:00,179 --> 00:10:01,719
pole tego trójkąta.

240
00:10:06,057 --> 00:10:07,410
Pole tego trójkąta

241
00:10:07,410 --> 00:10:08,662
to 1/2 razy

242
00:10:08,662 --> 00:10:10,837
6 pierwiastków z pięciu razy 4.

243
00:10:11,333 --> 00:10:13,637
Liczby 2 i 6 możemy skrócić

244
00:10:13,667 --> 00:10:15,203
dzieląc je przez 2.

245
00:10:16,473 --> 00:10:17,850
1 razy 3 to 3

246
00:10:17,880 --> 00:10:19,823
a 3 razy 4 to 12

247
00:10:19,893 --> 00:10:23,037
Otrzymujemy 12 pierwiastków z pięciu.

248
00:10:23,305 --> 00:10:25,173
Wykonaliśmy nasze zadanie.

249
00:10:25,293 --> 00:10:27,521
Obliczyliśmy pole tego trójkąta.

250
00:10:27,737 --> 00:10:28,915
Gratulacje!

251
00:10:34,137 --> 00:10:36,750
Jeśli rozwiązując zadanie z geometrii

252
00:10:36,760 --> 00:10:38,989
znajdziesz w nim trójkąt prostokątny

253
00:10:38,989 --> 00:10:40,276
i będziesz znać miarę

254
00:10:40,276 --> 00:10:41,904
jednego z kątów ostrych

255
00:10:41,904 --> 00:10:43,885
oraz długość jednego z boków

256
00:10:43,921 --> 00:10:45,501
to korzystając z sinusa

257
00:10:45,501 --> 00:10:47,373
cosinusa albo tangensa

258
00:10:47,373 --> 00:10:49,003
będziesz w stanie obliczyć

259
00:10:49,003 --> 00:10:50,425
również inne wymiary.

260
00:10:55,109 --> 00:10:57,370
Ta playlista dotyczy trygonometrii.

261
00:10:57,370 --> 00:10:59,097
Wszystkie playlisty znajdziesz

262
00:10:59,097 --> 00:11:01,797
na naszej stronie internetowej pi-stacja.tv