1
00:00:00,402 --> 00:00:02,376
Sinus, cosinus i tangens

2
00:00:02,376 --> 00:00:04,029
często pomagają w pracy

3
00:00:04,029 --> 00:00:05,912
geodetom i kartografom.

4
00:00:06,160 --> 00:00:07,685
Za chwilę pokażę Ci

5
00:00:07,685 --> 00:00:09,387
jak obliczać pole w sytuacji

6
00:00:09,387 --> 00:00:10,601
gdy znamy długość

7
00:00:10,601 --> 00:00:13,823
dwóch boków trójkąta i wartość sinusa kąta

8
00:00:13,833 --> 00:00:15,908
znajdującego się między nimi.

9
00:00:29,356 --> 00:00:31,751
Wyobraź sobie, że te dwa odcinki

10
00:00:31,751 --> 00:00:32,678
to chodniki.

11
00:00:32,914 --> 00:00:35,218
Łączą się one w tym miejscu.

12
00:00:35,334 --> 00:00:36,842
Razem tworzą kąt ostry

13
00:00:36,852 --> 00:00:38,309
który ma 40 stopni.

14
00:00:38,659 --> 00:00:40,089
Wyobraź sobie teraz

15
00:00:40,119 --> 00:00:41,728
że jesteś ogrodnikiem.

16
00:00:41,874 --> 00:00:44,369
Masz przy sobie jedynie długopis, kartkę

17
00:00:44,369 --> 00:00:46,752
i telefon z dostępem do internetu.

18
00:00:46,944 --> 00:00:48,702
Wiesz, że niedługo powstanie

19
00:00:48,712 --> 00:00:50,638
w tym miejscu taki chodnik.

20
00:00:50,694 --> 00:00:52,489
Te 3 chodniki łączą się razem

21
00:00:52,519 --> 00:00:53,886
tworząc trójkąt.

22
00:00:54,524 --> 00:00:56,060
Masz tylko te trzy dane.

23
00:00:56,692 --> 00:00:57,827
Twoim zadaniem jest

24
00:00:57,837 --> 00:00:59,628
obliczenie pola tego trójkąta.

25
00:00:59,638 --> 00:01:01,941
Umożliwi Ci to stworzenie planu ogrodu

26
00:01:01,951 --> 00:01:04,190
znajdującego się w jego wnętrzu.

27
00:01:04,352 --> 00:01:05,684
Przyjrzyjmy się bliżej

28
00:01:05,684 --> 00:01:07,384
dostępnym informacjom.

29
00:01:07,630 --> 00:01:09,678
Znamy długość podstawy.

30
00:01:09,954 --> 00:01:12,002
Ten odcinek ma 10 metrów.

31
00:01:12,258 --> 00:01:14,562
Znamy również długość tego boku.

32
00:01:14,778 --> 00:01:16,058
Ma on 5 metrów.

33
00:01:16,570 --> 00:01:18,848
Te dwa boki trójkąta tworzą kąt

34
00:01:18,848 --> 00:01:20,170
który ma 40 stopni

35
00:01:20,952 --> 00:01:22,748
Naszym zadaniem jest obliczenie

36
00:01:22,768 --> 00:01:23,994
pola trójkąta.

37
00:01:24,270 --> 00:01:26,318
Jak liczymy pole trójkąta?

38
00:01:26,604 --> 00:01:28,320
Aby obliczyć pole trójkąta

39
00:01:28,320 --> 00:01:30,333
wystarczy pomnożyć 1/2

40
00:01:30,333 --> 00:01:31,905
przez długość boku trójkąta

41
00:01:31,905 --> 00:01:33,004
oraz przez długość

42
00:01:33,004 --> 00:01:35,186
padającej na niego wysokości.

43
00:01:35,790 --> 00:01:37,838
Tutaj zaczyna się cała zabawa.

44
00:01:38,360 --> 00:01:41,176
Czy znamy długość wysokości tego trójkąta?

45
00:01:41,442 --> 00:01:42,593
Nie znamy długości

46
00:01:42,593 --> 00:01:45,452
ani jednej z trzech wysokości tej figury.

47
00:01:45,784 --> 00:01:46,552
Zobacz.

48
00:01:46,818 --> 00:01:48,866
Znamy długość tego boku.

49
00:01:49,082 --> 00:01:51,250
Gdybyśmy znali długość tej wysokości

50
00:01:51,250 --> 00:01:52,985
to moglibyśmy od razu obliczyć

51
00:01:52,985 --> 00:01:54,272
pole tego trójkąta.

52
00:01:54,478 --> 00:01:56,782
Musimy znaleźć inny sposób.

53
00:01:56,928 --> 00:01:58,657
Mamy do dyspozycji długości

54
00:01:58,657 --> 00:02:01,014
tych dwóch boków oraz ten kąt.

55
00:02:02,138 --> 00:02:05,466
Długość tej wysokości oznaczę literą h.

56
00:02:05,968 --> 00:02:08,731
Zauważ, że po narysowaniu tej wysokości

57
00:02:08,761 --> 00:02:11,540
otrzymaliśmy tutaj trójkąt prostokątny.

58
00:02:12,112 --> 00:02:13,904
Znamy ten kąt ostry.

59
00:02:14,446 --> 00:02:17,006
Teraz skorzystamy z pomocy trygonometrii.

60
00:02:17,292 --> 00:02:18,408
Skoro znamy miarę

61
00:02:18,408 --> 00:02:20,854
kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

62
00:02:20,854 --> 00:02:23,004
i długość przeciwprostokątnej

63
00:02:23,004 --> 00:02:24,213
to będziemy w stanie

64
00:02:24,213 --> 00:02:26,306
obliczyć długość przyprostokątnej

65
00:02:26,306 --> 00:02:27,918
naprzeciw kąta ostrego.

66
00:02:28,024 --> 00:02:30,133
W tym przypadku ta przyprostokątna

67
00:02:30,133 --> 00:02:31,548
naprzeciw kąta ostrego

68
00:02:31,548 --> 00:02:33,298
jest wysokością tego trójkąta

69
00:02:33,298 --> 00:02:34,778
która pada na ten bok.

70
00:02:35,438 --> 00:02:36,754
Skoro chcemy obliczyć

71
00:02:36,754 --> 00:02:38,438
długość przyprostokątnej

72
00:02:38,438 --> 00:02:39,981
naprzeciw kąta ostrego

73
00:02:40,001 --> 00:02:42,385
a znamy długość przeciwprostokątnej

74
00:02:42,385 --> 00:02:44,428
to możemy skorzystać z sinusa.

75
00:02:44,674 --> 00:02:46,422
Sinusa jakiego kąta?

76
00:02:46,472 --> 00:02:48,008
Sinusa 40 stopni.

77
00:02:48,534 --> 00:02:50,274
Zapiszę to w tym miejscu.

78
00:02:50,364 --> 00:02:52,064
Sinus 40 stopni.

79
00:02:53,880 --> 00:02:55,160
Sinus tego kąta

80
00:02:55,160 --> 00:02:57,164
to iloraz długości przyprostokątnej

81
00:02:57,164 --> 00:02:59,273
znajdującej się naprzeciw tego kąta

82
00:02:59,273 --> 00:03:01,440
oraz długości przeciwprostokątnej.

83
00:03:02,012 --> 00:03:03,095
Zapisujemy zatem

84
00:03:03,105 --> 00:03:05,034
h podzielić przez 5 metrów.

85
00:03:06,038 --> 00:03:08,023
Jeżeli długość wysokości

86
00:03:08,023 --> 00:03:09,633
podzielimy przez 5 metrów

87
00:03:09,633 --> 00:03:11,560
otrzymamy sinus 40 stopni.

88
00:03:12,222 --> 00:03:15,038
No to jak znaleźć długość wysokości?

89
00:03:15,680 --> 00:03:17,025
Wystarczy 5 metrów

90
00:03:17,025 --> 00:03:19,616
pomnożyć przez sinus 40 stopni.

91
00:03:20,208 --> 00:03:22,000
Zapiszę ten iloczyn tutaj.

92
00:03:23,762 --> 00:03:25,554
Co jeszcze trzeba zrobić?

93
00:03:25,900 --> 00:03:27,433
Pamiętaj, że masz telefon

94
00:03:27,463 --> 00:03:29,348
z dostępem do internetu.

95
00:03:29,444 --> 00:03:30,559
Możesz sprawdzić

96
00:03:30,569 --> 00:03:32,788
ile wynosi sinus 40 stopni.

97
00:03:33,490 --> 00:03:35,581
Tę wartość można jeszcze odczytać

98
00:03:35,631 --> 00:03:37,445
z tablic trygonometrycznych

99
00:03:37,445 --> 00:03:38,290
lub obliczyć

100
00:03:38,290 --> 00:03:40,044
na zaawansowanym kalkulatorze.

101
00:03:40,226 --> 00:03:41,266
Sprawdźmy zatem

102
00:03:41,286 --> 00:03:43,590
ile to jest sinus 40 stopni.

103
00:03:44,036 --> 00:03:49,412
Sinus 40 stopni to 0,6428.

104
00:03:49,714 --> 00:03:51,856
Zapiszę tę wartość tutaj.

105
00:03:53,202 --> 00:03:55,895
Aby obliczyć długość wysokości, czyli h

106
00:03:55,925 --> 00:03:57,591
wystarczy pomnożyć 5 metrów

107
00:03:57,591 --> 00:03:59,313
przez sinus 40 stopni

108
00:03:59,313 --> 00:04:01,118
czyli przez tę liczbę.

109
00:04:02,192 --> 00:04:03,472
Zapiszę to tutaj.

110
00:04:03,778 --> 00:04:10,434
h równa się 5 metrów razy 0,6428

111
00:04:11,594 --> 00:04:13,028
Telefon ma kalkulator

112
00:04:13,028 --> 00:04:14,748
więc możemy z niego skorzystać

113
00:04:14,748 --> 00:04:16,576
do obliczenia tego iloczynu.

114
00:04:21,055 --> 00:04:22,419
Co otrzymamy?

115
00:04:23,233 --> 00:04:26,305
3,214 metra.

116
00:04:26,677 --> 00:04:28,725
To jest długość wysokości.

117
00:04:29,643 --> 00:04:31,691
Zapiszmy to jeszcze na ilustracji.

118
00:04:32,359 --> 00:04:36,711
Ta wysokość ma długość 3,214 metra.

119
00:04:37,057 --> 00:04:39,347
Długość boku, na którą pada ta wysokość

120
00:04:39,367 --> 00:04:40,767
to 10 metrów.

121
00:04:41,133 --> 00:04:43,949
Teraz możemy obliczyć pole tego trójkąta.

122
00:04:44,391 --> 00:04:46,167
Tutaj mamy gotowy wzór.

123
00:04:46,263 --> 00:04:48,311
Najpierw przepiszę 1/2.

124
00:04:50,505 --> 00:04:53,321
1/2 mnożymy przez długość boku.

125
00:04:53,953 --> 00:04:56,001
W tym przypadku to 10 metrów.

126
00:04:57,407 --> 00:04:58,531
To jeszcze mnożymy

127
00:04:58,531 --> 00:05:00,053
przez długość wysokości

128
00:05:00,053 --> 00:05:02,777
która jest prostopadła do tego boku.

129
00:05:03,129 --> 00:05:07,225
Obliczyliśmy, że wynosi ona 3,214 metra.

130
00:05:09,479 --> 00:05:11,019
Przejdźmy do obliczeń.

131
00:05:11,065 --> 00:05:13,170
Te dwie liczby możemy skrócić.

132
00:05:13,280 --> 00:05:14,840
Obie dzielą się przez 2.

133
00:05:14,910 --> 00:05:16,689
2 podzielić przez 2 to 1

134
00:05:16,905 --> 00:05:18,756
A 10 metrów podzielić przez 2

135
00:05:18,786 --> 00:05:19,855
to 5 metrów.

136
00:05:20,487 --> 00:05:21,800
Teraz należy obliczyć

137
00:05:21,800 --> 00:05:25,943
ile to jest 5 metrów razy 3,214 metra.

138
00:05:26,375 --> 00:05:28,679
Znowu skorzystam z kalkulatora.

139
00:05:33,131 --> 00:05:35,947
Otrzymaliśmy 16,07.

140
00:05:36,123 --> 00:05:38,043
To jest pole tego trójkąta

141
00:05:38,163 --> 00:05:41,163
16,07 metra kwadratowego.

142
00:05:42,297 --> 00:05:44,857
Teraz uogólnimy sobie nasze rozważania.

143
00:05:49,395 --> 00:05:51,065
Spójrz na taki trójkąt.

144
00:05:51,145 --> 00:05:54,339
W tym miejscu znajduje się kąt ostry alfa.

145
00:05:54,561 --> 00:05:56,052
Podstawa tego trójkąta

146
00:05:56,052 --> 00:05:58,435
ma długość oznaczoną literą a.

147
00:05:58,987 --> 00:06:00,500
Długość wysokości

148
00:06:00,500 --> 00:06:02,305
która pada na podstawę a

149
00:06:02,305 --> 00:06:04,247
została oznaczona literą h.

150
00:06:04,509 --> 00:06:06,250
Długość tego boku z kolei

151
00:06:06,290 --> 00:06:07,977
oznaczono literą b.

152
00:06:08,439 --> 00:06:10,243
Pole trójkąta obliczamy

153
00:06:10,243 --> 00:06:13,207
mnożąc 1/2 przez długość boku

154
00:06:13,207 --> 00:06:15,963
i długość wysokości padającej na ten bok.

155
00:06:16,661 --> 00:06:18,854
Zwróć uwagę, że wysokość

156
00:06:18,854 --> 00:06:20,316
ten bok trójkąta

157
00:06:20,356 --> 00:06:22,605
oraz ten fragment podstawy

158
00:06:22,631 --> 00:06:24,477
tworzą trójkąt prostokątny.

159
00:06:25,029 --> 00:06:28,101
W tym miejscu znajduje się kąt ostry alfa.

160
00:06:28,197 --> 00:06:31,589
Sinus tego kąta ostrego to h przez b.

161
00:06:32,227 --> 00:06:33,251
Zapiszmy to.

162
00:06:33,743 --> 00:06:36,559
Sinus alfa równa się h przez b.

163
00:06:37,673 --> 00:06:39,436
Pomnóżmy teraz obie strony

164
00:06:39,436 --> 00:06:41,037
tego równania przez b.

165
00:06:42,211 --> 00:06:44,038
Po prawej stronie tego równania

166
00:06:44,038 --> 00:06:45,435
te długości się skrócą.

167
00:06:46,387 --> 00:06:48,690
Otrzymujemy, że h równa się

168
00:06:48,740 --> 00:06:50,323
b razy sinus alfa.

169
00:06:51,633 --> 00:06:53,577
Możemy zatem w tym wzorze

170
00:06:53,587 --> 00:06:55,577
w miejsce litery h wstawić

171
00:06:55,607 --> 00:06:57,747
iloczyny b razy sinus alfa.

172
00:06:58,901 --> 00:07:00,437
Otrzymamy taki wzór.

173
00:07:00,623 --> 00:07:04,343
1/2 razy a razy b razy sinus alfa

174
00:07:05,793 --> 00:07:07,466
Nie zawsze zatem musimy znać

175
00:07:07,466 --> 00:07:09,593
długość wysokości trójkąta

176
00:07:09,643 --> 00:07:11,325
aby obliczyć jego pole.

177
00:07:11,661 --> 00:07:13,675
Pole trójkąta możemy też obliczyć

178
00:07:13,705 --> 00:07:15,915
znając długości dwóch boków

179
00:07:15,945 --> 00:07:17,865
oraz sinus kąta między nimi.

180
00:07:18,453 --> 00:07:20,721
Jeżeli będziemy znali sam kąt ostry

181
00:07:20,781 --> 00:07:23,219
to sinus tego kąta możemy zawsze odczytać

182
00:07:23,219 --> 00:07:25,017
z tablic trygonometrycznych

183
00:07:25,017 --> 00:07:26,835
lub sprawdzić to w internecie.

184
00:07:32,693 --> 00:07:34,651
Mam teraz zadanie dla Ciebie.

185
00:07:34,681 --> 00:07:36,661
Zatrzymaj lekcję i spróbuj

186
00:07:36,661 --> 00:07:38,857
samodzielnie obliczyć pole trójkąta

187
00:07:38,857 --> 00:07:40,387
przedstawionego na rysunku

188
00:07:40,387 --> 00:07:43,515
wiedząc, że sinus alfa równa się 2/5.

189
00:07:48,405 --> 00:07:50,385
Pole trójkąta możemy obliczyć

190
00:07:50,385 --> 00:07:52,991
mnożąc 1/2 przez długości

191
00:07:52,991 --> 00:07:55,380
dwóch boków i sinus kąta ostrego

192
00:07:55,380 --> 00:07:57,665
który jest między tymi dwoma bokami.

193
00:07:58,057 --> 00:08:00,449
Czy mamy wszystkie potrzebne informacje

194
00:08:00,489 --> 00:08:02,415
aby skorzystać z tego wzoru?

195
00:08:03,087 --> 00:08:04,623
Tutaj jest kąt alfa.

196
00:08:04,899 --> 00:08:07,459
Wiemy, że sinus tego kąta to 2/5.

197
00:08:08,237 --> 00:08:10,213
Znamy również długości boków

198
00:08:10,213 --> 00:08:12,619
między którymi znajduje się kąt alfa.

199
00:08:13,021 --> 00:08:15,695
Możemy zatem skorzystać z tego wzoru.

200
00:08:16,093 --> 00:08:19,277
Litery a i b oznaczają długości boków

201
00:08:19,297 --> 00:08:21,503
między którymi jest kąt alfa.

202
00:08:21,825 --> 00:08:24,018
Nie ma znaczenia czy długość tego boku

203
00:08:24,018 --> 00:08:25,875
oznaczymy a, czy b.

204
00:08:27,869 --> 00:08:31,080
Mnożymy po prostu 1/2 przez długości boków

205
00:08:31,100 --> 00:08:32,990
między którymi jest kąt alfa

206
00:08:32,990 --> 00:08:34,624
czyli przez 7 i 5

207
00:08:34,624 --> 00:08:36,720
oraz przez sinusa kąta alfa

208
00:08:36,720 --> 00:08:38,199
czyli przez 2/5.

209
00:08:39,409 --> 00:08:41,969
Mamy tutaj iloczyn czterech liczb.

210
00:08:42,345 --> 00:08:44,137
Są też tutaj ułamki.

211
00:08:46,035 --> 00:08:48,051
Te dwie liczby możemy skrócić.

212
00:08:48,071 --> 00:08:49,891
2 podzielić przez 2 to 1

213
00:08:50,517 --> 00:08:52,724
Te dwie liczby również możemy skrócić.

214
00:08:52,754 --> 00:08:54,729
5 podzielić przez 5 to 1

215
00:08:55,803 --> 00:08:59,643
Zostaje nam 1 razy 7 razy 1 razy 1.

216
00:09:00,265 --> 00:09:03,337
Iloczyn liczby 7 i samych jedynek to 7.

217
00:09:04,537 --> 00:09:07,097
Pole tego trójkąta wynosi 7.

218
00:09:07,715 --> 00:09:10,001
To jest to nasza odpowiedź.

219
00:09:15,851 --> 00:09:18,076
Znając długości dwóch boków

220
00:09:18,076 --> 00:09:19,740
oraz miarę kąta między nimi

221
00:09:19,740 --> 00:09:21,092
zawsze możesz obliczyć

222
00:09:21,092 --> 00:09:22,485
pole takiego trójką.

223
00:09:23,019 --> 00:09:26,395
Wystarczy, że 1/2 pomnożysz przez długości

224
00:09:26,425 --> 00:09:29,343
tych boków i sinus znanego Ci kąta.

225
00:09:34,529 --> 00:09:36,237
Zapraszam Cię do obejrzenia

226
00:09:36,237 --> 00:09:38,449
pozostałych lekcji o trygonometrii.

227
00:09:38,625 --> 00:09:40,502
Odwiedź również naszą stronę

228
00:09:40,502 --> 00:09:42,795
na Facebook 'u.