1
00:00:00,508 --> 00:00:01,919
Twierdzenia dotyczące

2
00:00:01,919 --> 00:00:04,418
stosunków boków trójkątów podobnych

3
00:00:04,418 --> 00:00:06,326
znano już w starożytnym Egipcie

4
00:00:06,326 --> 00:00:07,112
i Babilonie.

5
00:00:07,114 --> 00:00:09,672
Jednak społeczeństwa te nie znały idei

6
00:00:09,692 --> 00:00:12,480
miary kąta i badały tylko własności boków.

7
00:00:12,856 --> 00:00:14,741
Dopiero w starożytnej Grecji

8
00:00:14,741 --> 00:00:15,950
powstały twierdzenia

9
00:00:15,950 --> 00:00:17,097
będące podwalinami

10
00:00:17,097 --> 00:00:18,754
dzisiejszej trygonometrii.

11
00:00:32,292 --> 00:00:34,596
Tym razem na tablicy widzisz kwadrat.

12
00:00:34,832 --> 00:00:36,438
Kwadrat to taka figura

13
00:00:36,438 --> 00:00:37,803
która ma wszystkie boki

14
00:00:37,803 --> 00:00:39,198
tej samej długości.

15
00:00:39,198 --> 00:00:41,926
Długość boku tego kwadratu wynosi 5.

16
00:00:41,926 --> 00:00:44,116
Wszystkie kąty wewnętrzne kwadratu

17
00:00:44,116 --> 00:00:45,428
są kątami prostymi

18
00:00:45,448 --> 00:00:47,616
czyli takimi, które mają 90 stopni.

19
00:00:48,676 --> 00:00:51,670
Narysuję teraz tę przekątną tego kwadratu.

20
00:00:51,730 --> 00:00:54,368
Pamiętaj, że kwadrat ma dwie przekątne.

21
00:00:54,624 --> 00:00:56,342
Przekątna kwadratu dzieli go

22
00:00:56,342 --> 00:00:58,835
na dwa identyczne trójkąty prostokątne.

23
00:00:58,945 --> 00:01:00,548
To jest pierwszy trójkąt

24
00:01:00,624 --> 00:01:02,254
a to jest drugi trójkąt.

25
00:01:02,716 --> 00:01:04,459
Boki kwadratu są takie same

26
00:01:04,459 --> 00:01:06,742
jak przyprostokątne obu trójkątów.

27
00:01:07,374 --> 00:01:09,718
Przekątna kwadratu jest jednocześnie

28
00:01:09,718 --> 00:01:11,686
przeciwprostokątną obu trójkątów.

29
00:01:12,082 --> 00:01:14,365
Przekątna kwadratu dzieli kąty proste

30
00:01:14,395 --> 00:01:16,188
na dwa jednakowe kąty.

31
00:01:17,052 --> 00:01:19,539
Można też zauważyć, że ten trójkąt

32
00:01:19,549 --> 00:01:21,670
jest trójkątem równoramiennym.

33
00:01:23,482 --> 00:01:25,928
Połową kąta prostego jest ten kąt

34
00:01:25,948 --> 00:01:27,844
który ma 45 stopni.

35
00:01:28,190 --> 00:01:30,803
Ten kąt jest też połową kąta prostego

36
00:01:30,833 --> 00:01:32,578
i ma 45 stopni.

37
00:01:33,456 --> 00:01:35,749
Skupimy się teraz na jednym trójkącie

38
00:01:35,749 --> 00:01:37,606
ponieważ drugi był identyczny.

39
00:01:37,808 --> 00:01:40,742
Jest to trójkąt prostokątny o kątach

40
00:01:40,772 --> 00:01:44,930
45 stopni, 45 stopni i 90 stopni.

41
00:01:45,232 --> 00:01:47,070
Przyprostokątne tego trójkąta

42
00:01:47,080 --> 00:01:48,886
mają taką samą długość.

43
00:01:49,132 --> 00:01:50,924
Oznaczmy ją literą a.

44
00:01:58,564 --> 00:02:01,105
Aby obliczyć długość przeciwprostokątnej

45
00:02:01,125 --> 00:02:03,059
w trójkącie o takich kątach

46
00:02:03,059 --> 00:02:05,147
wystarczy długość przyprostokątnej

47
00:02:05,147 --> 00:02:07,388
pomnożyć przez pierwiastek z dwóch.

48
00:02:07,474 --> 00:02:09,194
Jeśli nie pamiętasz dlaczego

49
00:02:09,264 --> 00:02:11,005
przeciwprostokątna ma długość

50
00:02:11,035 --> 00:02:12,620
a razy pierwiastek z dwóch

51
00:02:12,640 --> 00:02:15,018
obejrzyj film o twierdzeniu Pitagorasa.

52
00:02:16,248 --> 00:02:17,979
Długość przyprostokątnej

53
00:02:17,979 --> 00:02:19,348
oznaczyliśmy literą a

54
00:02:19,348 --> 00:02:21,559
więc ten zapis możemy przedstawić jako

55
00:02:21,559 --> 00:02:23,386
a razy pierwiastek z dwóch.

56
00:02:28,566 --> 00:02:30,134
Od teraz skupimy się

57
00:02:30,134 --> 00:02:31,706
na znanych Ci zależnościach

58
00:02:31,706 --> 00:02:33,247
między długościami boków

59
00:02:33,247 --> 00:02:34,732
w takim trójkącie.

60
00:02:34,732 --> 00:02:36,578
Zatrzymaj teraz lekcję i spróbuj

61
00:02:36,608 --> 00:02:39,462
samodzielnie obliczyć sinus 45 stopni

62
00:02:39,482 --> 00:02:43,816
cosinus 45 stopni i tangens 45 stopni.

63
00:02:47,992 --> 00:02:51,320
Zacznę od obliczenia sinusa 45 stopni.

64
00:02:51,416 --> 00:02:53,518
Ustawiam się w tym wierzchołku.

65
00:02:53,614 --> 00:02:55,516
Sinus tego kąta to iloraz

66
00:02:55,516 --> 00:02:56,967
długości przyprostokątnej

67
00:02:56,967 --> 00:02:58,685
która jest naprzeciw tego kąta

68
00:02:58,685 --> 00:03:00,746
i długości przeciwprostokątnej.

69
00:03:02,208 --> 00:03:05,059
Sinus 45 stopni w tym trójkącie

70
00:03:05,099 --> 00:03:07,173
równa się a podzielić przez a

71
00:03:07,173 --> 00:03:08,672
razy pierwiastek z dwóch.

72
00:03:08,728 --> 00:03:10,008
Skracamy a.

73
00:03:12,558 --> 00:03:15,118
Otrzymujemy 1 przez pierwiastek z dwóch.

74
00:03:15,344 --> 00:03:17,697
Po usunięciu niewymierności z mianownika

75
00:03:17,697 --> 00:03:19,587
otrzymujemy pierwiastek z dwóch

76
00:03:19,587 --> 00:03:20,517
przez 2.

77
00:03:20,517 --> 00:03:22,878
Teraz obliczę cosinus 45 stopni.

78
00:03:23,084 --> 00:03:25,056
Znowu ustawiam się tutaj.

79
00:03:25,192 --> 00:03:26,995
Cosinus tego kąta to iloraz

80
00:03:26,995 --> 00:03:29,389
długości przyprostokątnej przy tym kącie

81
00:03:29,389 --> 00:03:31,416
i długości przeciwprostokątnej.

82
00:03:32,230 --> 00:03:34,884
Cosinus 45 stopni równa się

83
00:03:34,904 --> 00:03:36,224
a podzielić przez a

84
00:03:36,224 --> 00:03:37,896
razy pierwiastek z dwóch.

85
00:03:38,394 --> 00:03:39,930
Znowu skracamy a.

86
00:03:41,416 --> 00:03:44,262
Dostajemy 1 przez pierwiastek z dwóch a

87
00:03:44,262 --> 00:03:45,250
to jest to samo

88
00:03:45,250 --> 00:03:47,052
co pierwiastek z dwóch przez 2.

89
00:03:47,108 --> 00:03:50,081
Cosinus 45 stopni jest taki sam

90
00:03:50,111 --> 00:03:52,504
jak sinus 45 stopni.

91
00:03:53,598 --> 00:03:54,878
Teraz tangens.

92
00:03:55,014 --> 00:03:57,522
Znowu ustawiam się w tym wierzchołku.

93
00:03:57,644 --> 00:03:59,859
Tangens tego kąta to iloraz długości

94
00:03:59,869 --> 00:04:02,112
przyprostokątnej naprzeciw tego kąta

95
00:04:02,112 --> 00:04:03,742
i drugiej przyprostokątnej.

96
00:04:03,838 --> 00:04:06,654
W tym przypadku otrzymujemy a przez a.

97
00:04:07,036 --> 00:04:08,333
a możemy skrócić.

98
00:04:08,373 --> 00:04:09,992
Dzielimy te same liczby.

99
00:04:10,118 --> 00:04:13,446
Otrzymujemy 1 podzielić przez 1, czyli 1.

100
00:04:14,244 --> 00:04:16,319
Dopiszmy jeszcze do naszej tabeli

101
00:04:16,329 --> 00:04:18,436
wartości sinusa, cosinusa

102
00:04:18,486 --> 00:04:20,817
i tangensa 45 stopni.

103
00:04:21,351 --> 00:04:23,480
W poprzedniej lekcji wpisaliśmy już

104
00:04:23,480 --> 00:04:26,807
wartości dla kątów 30 stopni i 60 stopni.

105
00:04:27,329 --> 00:04:29,889
Ile wynosi sinus 45 stopni?

106
00:04:30,045 --> 00:04:31,935
Pierwiastek z dwóch przez 2.

107
00:04:32,005 --> 00:04:33,818
W tym miejscu możemy zapisać

108
00:04:33,878 --> 00:04:35,691
pierwiastek z dwóch przez 2.

109
00:04:35,747 --> 00:04:39,075
Sprawdźmy, ile wynosi cosinus 45 stopni.

110
00:04:39,381 --> 00:04:41,339
Cosinus 45 stopni

111
00:04:41,379 --> 00:04:44,159
to też pierwiastek z dwóch przez 2.

112
00:04:44,185 --> 00:04:46,350
W tym miejscu będzie taka sama liczba

113
00:04:46,350 --> 00:04:47,777
jak w polu wyżej.

114
00:04:47,809 --> 00:04:48,920
Sprawdźmy jeszcze

115
00:04:48,950 --> 00:04:51,679
ile wynosi tangens 45 stopni.

116
00:04:51,965 --> 00:04:54,013
Tangens tego kąta to 1.

117
00:04:54,385 --> 00:04:56,433
W tym polu znajdzie się jedynka.

118
00:04:57,015 --> 00:04:59,063
Wiesz już, jak powstaje tabela

119
00:04:59,103 --> 00:05:02,102
z wartościami sinusa, cosinusa i tangensa

120
00:05:02,102 --> 00:05:04,682
dla kątów które wynoszą 30 stopni

121
00:05:04,732 --> 00:05:07,471
60 stopni i 45 stopni.

122
00:05:08,003 --> 00:05:10,003
Będziemy wykorzystywać te wartości

123
00:05:10,003 --> 00:05:12,163
w różnych zadaniach geometrycznych.

124
00:05:12,163 --> 00:05:13,123
Zaufaj mi.

125
00:05:19,503 --> 00:05:22,891
Sinus, cosinus i tangens 45 stopni

126
00:05:22,891 --> 00:05:24,314
możesz łatwo obliczyć

127
00:05:24,314 --> 00:05:26,798
korzystając z zależności między bokami

128
00:05:26,798 --> 00:05:28,509
w trójkącie prostokątnym

129
00:05:28,509 --> 00:05:30,459
będącym połową kwadratu.

130
00:05:34,391 --> 00:05:36,176
Zapraszam Cię do obejrzenia

131
00:05:36,176 --> 00:05:38,202
pozostałych lekcji o trygonometrii

132
00:05:38,202 --> 00:05:39,312
oraz do odwiedzenia

133
00:05:39,312 --> 00:05:41,142
 naszej strony na Facebook 'u.