1
00:00:00,442 --> 00:00:02,348
Co ci się kojarzy z jedynką?

2
00:00:02,434 --> 00:00:04,403
Przedni ząb, program radiowy

3
00:00:04,403 --> 00:00:06,912
a może miejsce na listach wyborczych?

4
00:00:06,912 --> 00:00:08,921
Matematykom jedynka kojarzy się

5
00:00:08,921 --> 00:00:10,068
z trygonometrią.

6
00:00:10,068 --> 00:00:11,522
W tej lekcji pokażę Ci

7
00:00:11,522 --> 00:00:13,457
co to jest i do czego służy

8
00:00:13,457 --> 00:00:15,248
jedynka trygonometryczna.

9
00:00:26,624 --> 00:00:28,693
W tej lekcji pokażę Ci związek

10
00:00:28,693 --> 00:00:31,070
między funkcjami trygonometrycznymi

11
00:00:31,070 --> 00:00:32,768
a twierdzeniem Pitagorasa.

12
00:00:33,280 --> 00:00:36,101
Przyjrzyjmy się trójkątowi prostokątnemu

13
00:00:36,111 --> 00:00:38,220
o bokach 3, 4 i 5.

14
00:00:38,656 --> 00:00:39,697
Na pewno wiesz

15
00:00:39,697 --> 00:00:41,649
jak wygląda twierdzenie Pitagorasa

16
00:00:41,649 --> 00:00:43,028
dla tego trójkąta.

17
00:00:43,264 --> 00:00:44,800
Zapisz je samodzielnie.

18
00:00:48,384 --> 00:00:51,329
Suma kwadratów długości przyprostokątnych

19
00:00:51,329 --> 00:00:53,476
jest taka sama jak kwadrat

20
00:00:53,476 --> 00:00:55,604
długości przeciwprostokątnej

21
00:00:55,604 --> 00:00:57,294
czyli 3 do kwadratu

22
00:00:57,294 --> 00:00:58,984
dodać 4 do kwadratu

23
00:00:59,034 --> 00:01:00,882
równa się 5 do kwadratu.

24
00:01:01,440 --> 00:01:03,284
Teraz znajdźmy w tym trójkącie

25
00:01:03,284 --> 00:01:05,866
jakieś funkcje trygonometryczne.

26
00:01:06,048 --> 00:01:08,864
W tym celu musimy zaznaczyć kąt ostry.

27
00:01:09,120 --> 00:01:12,448
Na przykład ten, między bokami 5 i 4.

28
00:01:12,960 --> 00:01:14,752
Oznaczmy go literą alfa.

29
00:01:15,520 --> 00:01:16,383
Zanim zaczniemy

30
00:01:16,383 --> 00:01:18,616
dalej przekształcać to wyrażenie

31
00:01:18,616 --> 00:01:20,361
spróbuj wypisać wszystkie

32
00:01:20,391 --> 00:01:23,074
funkcje trygonometryczne kąta alfa.

33
00:01:26,528 --> 00:01:28,832
Sinus kąta alfa to 3/5.

34
00:01:29,088 --> 00:01:31,294
Dzielimy przyprostokątną naprzeciwko

35
00:01:31,294 --> 00:01:34,062
kąta alfa przez przeciwprostokątną.

36
00:01:34,464 --> 00:01:37,039
Cosinus tego kąta to 4/5.

37
00:01:37,139 --> 00:01:39,062
Dzielimy drugą przyprostokątną

38
00:01:39,112 --> 00:01:40,908
przez przeciwprostokątną.

39
00:01:41,632 --> 00:01:44,192
Tangens kąta alfa to 3/4.

40
00:01:44,448 --> 00:01:46,214
Dzielimy przyprostokątne

41
00:01:46,240 --> 00:01:48,428
leżącą naprzeciwko kąta alfa

42
00:01:48,448 --> 00:01:50,496
przez tę przyległą do niego.

43
00:01:51,104 --> 00:01:53,001
Spróbujmy znaleźć te liczby

44
00:01:53,001 --> 00:01:54,688
w twierdzeniu Pitagorasa.

45
00:01:55,200 --> 00:01:57,339
W tym celu podzielmy obie strony

46
00:01:57,339 --> 00:01:58,984
przez 5 do kwadratu.

47
00:01:59,040 --> 00:02:02,588
Otrzymamy wtedy 3 kwadrat przez 5 kwadrat

48
00:02:02,648 --> 00:02:05,953
dodać 4 kwadrat przez 5 kwadrat równa się

49
00:02:06,013 --> 00:02:08,420
 5 kwadrat przez 5 kwadrat.

50
00:02:08,512 --> 00:02:10,751
Z działań na potęgach wiemy

51
00:02:10,751 --> 00:02:12,997
że 3 kwadrat przez 5 kwadrat

52
00:02:12,997 --> 00:02:13,799
to to samo

53
00:02:13,839 --> 00:02:15,584
co 3/5 do kwadratu.

54
00:02:16,192 --> 00:02:18,309
Tak samo drugi ułamek możemy zapisać

55
00:02:18,309 --> 00:02:20,398
jako 4/5 do kwadratu.

56
00:02:20,800 --> 00:02:23,360
5 kwadrat przez 5 kwadrat to 1.

57
00:02:24,128 --> 00:02:26,676
Czy teraz widzisz w tym wzorze wartości

58
00:02:26,676 --> 00:02:28,277
funkcji trygonometrycznych

59
00:02:28,317 --> 00:02:29,980
dla naszego kąta alfa?

60
00:02:30,388 --> 00:02:32,470
Tak, jak wcześniej napisaliśmy

61
00:02:32,596 --> 00:02:35,156
3/5 to sinus kąta alfa

62
00:02:35,262 --> 00:02:38,590
natomiast 4/5 to cosinus tego kąta.

63
00:02:38,976 --> 00:02:41,456
Jeżeli podniesiemy sinus kąta alfa

64
00:02:41,516 --> 00:02:43,387
do kwadratu i dodamy do tego

65
00:02:43,397 --> 00:02:45,434
cosinus kąta alfa do kwadratu

66
00:02:45,484 --> 00:02:46,992
to otrzymamy 1.

67
00:02:47,680 --> 00:02:49,788
Kwadraty funkcji trygonometrycznych

68
00:02:49,788 --> 00:02:51,347
możemy zapisać w skrócie

69
00:02:51,347 --> 00:02:53,186
bez użycia znaku nawias.

70
00:02:53,824 --> 00:02:55,635
W tym celu potęgę piszemy

71
00:02:55,635 --> 00:02:57,197
nad ostatnią literą

72
00:02:57,197 --> 00:03:00,017
oznaczającą funkcje trygonometryczne

73
00:03:00,017 --> 00:03:02,196
a przed oznaczeniem kąta.

74
00:03:02,528 --> 00:03:03,274
Po dokonaniu

75
00:03:03,274 --> 00:03:05,651
zapisanych wcześniej przekształceń

76
00:03:05,651 --> 00:03:06,910
otrzymaliśmy wzór.

77
00:03:07,392 --> 00:03:08,543
Jest on prawdziwy

78
00:03:08,543 --> 00:03:11,271
dla przedstawionego trójkąta

79
00:03:11,271 --> 00:03:12,928
o bokach 3, 4 i 5

80
00:03:13,024 --> 00:03:15,488
oraz obecnego w nim kąta alfa.

81
00:03:16,096 --> 00:03:17,774
Czy będzie on działał również

82
00:03:17,774 --> 00:03:20,332
dla drugiego kąta ostrego w tym trójkącie?

83
00:03:20,704 --> 00:03:22,752
Spróbuj to zbadać samodzielnie.

84
00:03:26,592 --> 00:03:28,896
Oznaczmy ten kąt literą beta.

85
00:03:29,408 --> 00:03:31,712
Twierdzenie Pitagorasa się nie zmieni.

86
00:03:31,968 --> 00:03:33,480
Zmienia się za to wartość

87
00:03:33,480 --> 00:03:35,686
funkcji trygonometrycznych.

88
00:03:35,808 --> 00:03:38,111
Sinus beta to 4/5

89
00:03:38,111 --> 00:03:40,546
cosinus tego kąta to 3/5

90
00:03:40,592 --> 00:03:43,152
a tangens beta wynosi 4/3.

91
00:03:43,488 --> 00:03:46,945
Stąd we wzorze mamy cosinus beta równy

92
00:03:46,945 --> 00:03:50,746
3/5 i sinus beta równy 4/5.

93
00:03:50,912 --> 00:03:53,216
Ale to oczywiście ten sam wzór.

94
00:03:53,728 --> 00:03:55,361
Czy wzór będzie prawdziwy

95
00:03:55,361 --> 00:03:57,818
dla wszystkich trójkątów prostokątnych?

96
00:03:58,080 --> 00:03:59,595
Spróbujmy to sprawdzić

97
00:03:59,595 --> 00:04:01,456
dla trójkąta prostokątnego

98
00:04:01,456 --> 00:04:02,744
o bokach a, b i c.

99
00:04:03,200 --> 00:04:05,504
Mam teraz kolejne zadanie dla Ciebie.

100
00:04:05,760 --> 00:04:07,680
Samodzielnie wypisz funkcje

101
00:04:07,680 --> 00:04:09,600
trygonometryczne kąta alfa.

102
00:04:13,440 --> 00:04:15,891
Sinus kąta alfa to a przez c

103
00:04:16,041 --> 00:04:17,907
cosinus to b przez c

104
00:04:17,957 --> 00:04:20,073
a tangens to a przez b.

105
00:04:20,607 --> 00:04:23,085
Teraz zapisujemy ogólną postać

106
00:04:23,145 --> 00:04:24,923
twierdzenia Pitagorasa.

107
00:04:25,215 --> 00:04:26,818
Tak samo jak wcześniej

108
00:04:26,818 --> 00:04:28,678
dzielimy potem obie strony

109
00:04:28,678 --> 00:04:29,823
przez c kwadrat.

110
00:04:30,079 --> 00:04:31,403
Otrzymujemy:

111
00:04:31,615 --> 00:04:33,407
a kwadrat przez c kwadrat

112
00:04:33,663 --> 00:04:35,967
dodać b kwadrat przez c kwadrat

113
00:04:36,223 --> 00:04:37,247
równa się 1.

114
00:04:38,015 --> 00:04:39,926
Po przekształceniu dostajemy

115
00:04:39,986 --> 00:04:41,712
a przez c do kwadratu

116
00:04:42,042 --> 00:04:45,183
dodać b przez c do kwadratu, równa się 1.

117
00:04:45,695 --> 00:04:46,898
Czy mamy tu wzory

118
00:04:46,898 --> 00:04:48,767
na funkcje trygonometryczne?

119
00:04:48,953 --> 00:04:49,685
Tak.

120
00:04:49,791 --> 00:04:52,751
a przez c to przecież wzór na sinus

121
00:04:52,781 --> 00:04:55,011
a b przez c wzór na cosinus.

122
00:04:55,679 --> 00:04:57,265
Możemy więc zapisać

123
00:04:57,265 --> 00:04:59,184
że sinus kwadrat alfa

124
00:04:59,184 --> 00:05:02,199
dodać cosinus kwadrat alfa, to 1.

125
00:05:02,847 --> 00:05:03,930
To, co tutaj mamy

126
00:05:03,930 --> 00:05:05,361
to jedna z ważniejszych

127
00:05:05,361 --> 00:05:07,077
tożsamości trygonometrycznych.

128
00:05:07,199 --> 00:05:08,461
Ten wzór nazywa się

129
00:05:08,461 --> 00:05:11,112
jedynką trygonometryczną i jest prawdziwy

130
00:05:11,142 --> 00:05:12,972
dla funkcji trygonometrycznych

131
00:05:12,972 --> 00:05:15,596
wszystkich kątów, nie tylko ostrych.

132
00:05:15,903 --> 00:05:18,731
Ważne jest tylko, aby sinus i cosinus

133
00:05:18,751 --> 00:05:21,203
były liczone dla tego samego kąta.

134
00:05:21,535 --> 00:05:23,928
Jeżeli chcesz, to możesz spróbować

135
00:05:23,928 --> 00:05:26,508
przeprowadzić dowód dla kąta rozwartego

136
00:05:26,528 --> 00:05:28,440
znajdującego się na układzie

137
00:05:28,460 --> 00:05:29,681
współrzędnych.

138
00:05:30,239 --> 00:05:31,823
Teraz czas na wykorzystanie

139
00:05:31,823 --> 00:05:33,655
tego wzoru w zadaniu.

140
00:05:36,895 --> 00:05:37,983
Pytanie brzmi:

141
00:05:38,175 --> 00:05:39,843
czy istnieje kąt alfa

142
00:05:39,843 --> 00:05:41,279
dla którego sinus alfa

143
00:05:41,279 --> 00:05:42,715
to pierwiastek z dwóch

144
00:05:42,715 --> 00:05:45,719
przez 3 oraz cosinus alfa to 1/3?

145
00:05:46,623 --> 00:05:48,485
W tym zadaniu warto wykorzystać

146
00:05:48,485 --> 00:05:50,221
jedynkę trygonometryczną.

147
00:05:50,719 --> 00:05:52,650
Tak, jak mówiliśmy wcześniej

148
00:05:52,650 --> 00:05:54,256
ten wzór jest prawdziwy

149
00:05:54,256 --> 00:05:55,583
dla dowolnego kąta.

150
00:05:55,839 --> 00:05:57,183
Zapiszmy zatem.

151
00:05:57,375 --> 00:05:59,234
Kwadrat sinusa alfa

152
00:05:59,234 --> 00:06:02,083
czyli pierwiastek z dwóch przez 3

153
00:06:02,239 --> 00:06:04,800
w nawiasie do kwadratu

154
00:06:04,800 --> 00:06:06,330
wynosi 2/9.

155
00:06:06,335 --> 00:06:08,998
Natomiast kwadrat cosinusa tego kąta

156
00:06:08,998 --> 00:06:12,439
czyli 1/3 do kwadratu to 1/9.

157
00:06:12,991 --> 00:06:14,277
Sinus kwadrat alfa

158
00:06:14,277 --> 00:06:16,731
dodać cosinus kwadrat alfa

159
00:06:16,731 --> 00:06:19,185
wynosi zatem 2/9 dodać 1/9

160
00:06:19,261 --> 00:06:22,929
czyli 3/9, a to jest 1/3, a nie 1.

161
00:06:23,487 --> 00:06:25,501
Skoro jedynka trygonometryczna

162
00:06:25,501 --> 00:06:27,732
jest prawdziwa dla każdego kąta

163
00:06:27,732 --> 00:06:29,573
to kąt o podanych w zadaniu

164
00:06:29,573 --> 00:06:32,310
wartościach funkcji trygonometrycznych

165
00:06:32,310 --> 00:06:33,535
nie może istnieć.

166
00:06:33,983 --> 00:06:35,653
Zapiszmy odpowiedź.

167
00:06:36,031 --> 00:06:37,681
Nie istnieje kąt alfa

168
00:06:37,681 --> 00:06:39,198
dla którego sinus alfa

169
00:06:39,198 --> 00:06:41,266
to pierwiastek z dwóch przez 3

170
00:06:41,266 --> 00:06:43,795
oraz cosinus alfa to 1/3.

171
00:06:47,295 --> 00:06:49,161
Teraz zadanie dla Ciebie.

172
00:06:49,343 --> 00:06:50,756
Samodzielnie sprawdź

173
00:06:50,756 --> 00:06:52,836
czy istnieje taki kąt alfa

174
00:06:52,836 --> 00:06:54,408
że sinus alfa

175
00:06:54,408 --> 00:06:56,676
to 2 przez pierwiastek z pięciu

176
00:06:56,676 --> 00:06:59,893
a cosinus to pierwiastek z pięciu przez 5.

177
00:07:03,167 --> 00:07:05,831
Postępujemy podobnie, jak poprzednio.

178
00:07:05,983 --> 00:07:08,698
Sprawdzamy czy sinus kwadrat alfa

179
00:07:08,698 --> 00:07:11,103
dodać cosinus kwadrat alfa daje 1.

180
00:07:11,871 --> 00:07:15,218
Kwadrat dwóch przez pierwiastek z pięciu

181
00:07:15,218 --> 00:07:16,379
to 4/5

182
00:07:16,735 --> 00:07:19,690
A kwadrat pierwiastka z pięciu przez 5

183
00:07:19,770 --> 00:07:22,633
to 5/25, czyli 1/5.

184
00:07:23,135 --> 00:07:26,719
Po dodaniu otrzymujemy 5/5, czyli 1.

185
00:07:27,231 --> 00:07:28,255
Co to oznacza?

186
00:07:28,767 --> 00:07:31,583
Skoro jedynka trygonometryczna zachodzi

187
00:07:31,839 --> 00:07:34,437
to musi istnieć kąt o takich wartościach

188
00:07:34,437 --> 00:07:36,541
funkcji trygonometrycznych.

189
00:07:36,959 --> 00:07:39,263
To tyle, jeśli chodzi o tę lekcję.

190
00:07:40,031 --> 00:07:42,591
Zastosowanie jedynki trygonometrycznej

191
00:07:42,847 --> 00:07:45,069
poznasz też w kolejnych filmach.

192
00:07:50,527 --> 00:07:52,798
Odpowiednikiem twierdzenia Pitagorasa

193
00:07:52,798 --> 00:07:55,053
dla trygonometrii jest jedynka

194
00:07:55,063 --> 00:07:56,379
trygonometryczna.

195
00:07:56,415 --> 00:07:59,610
Jest to tożsamość, czyli wzór prawdziwy

196
00:07:59,610 --> 00:08:02,559
dla dowolnego kąta, nie tylko ostrego.

197
00:08:07,679 --> 00:08:10,076
Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych

198
00:08:10,076 --> 00:08:12,715
lekcji o tożsamościach trygonometrycznych

199
00:08:12,715 --> 00:08:14,457
a także do zasubskrybowania

200
00:08:14,457 --> 00:08:16,427
naszego kanału.